149
Это равенство, по существу, было получено в примере перед опре-
делением условной вероятности. Действительно, если в рассматривае-
мом испытании n равновозможных исходов, то в силу заданных условий
p(В) = l/n и p(A ∩ B) = r/n. Тогда по определению условной вероятности
справедливо равенство p(A B) = (r/n) / (l/n) = r/l.
Пример. Из колоды игральных карт вынимают наугад одну карту,
которая оказалась черной масти. Чему равна вероятность того, что
вынута карта туз?
Пусть в этом испытании событие А = {вынут туз}, а событие
В = {вынута карта черной масти}. Событию В благоприятствуют 18 ис-
ходов этого испытания, из них событию А благоприятствуют 2 исхода.
Следовательно, искомая вероятность равна p(A B) = 2/18 = 1/9.
Для большей ясности укажем, что p(А) и p(A B) определяют вероятности собы-
тия А по отношению к двум разным пространствам элементарных событий. Если в
первом испытании это, например, универсальное множество U, то во втором испыта-
нии таким пространством является множество В, т. е. подмножество множества U,
так как В ⊂ U. Событиями во втором испытании служат пересечения событий из пер-
вого испытания с множеством В, а соответствующая им вероятность находится путем
деления вероятности события A ∩ B в первом испытании, т. е. p(A ∩ B), на вероят-
ность p(В). В принципе условная вероятность не отличается от понятия вероят-
ность. На самом деле, вероятность любого события зависит от некоторых условий,
при которых рассматривается его наступление или не наступление, а если условия
испытания изменились, то, естественно, меняется и вероятность. Поэтому все аксио-
мы вероятностей будут справедливы и для условных вероятностей p(A B).
Замечание. В формуле p(A B) выражение, стоящее в скобках, то
есть символ A B, не обозначает какого-либо события и отдельно не
употребляется.
Из определения условной вероятности и основных свойств вероят-
ности случайного события непосредственно следуют основные свойст-
ва условной вероятности:
1. p(A B) ≥ 0 для любого события А при условии, что произошло
событие В;
2. р(U B) = 1 для достоверного события U при условии, что про-
изошло событие В ⊂ U;
3. p((А ∪ В) D) = p(A D) + p(B D) для любых несовместных собы-
тий А и В, т. е. А ∩ В = ∅, при условии, что произошло событие D.
Всегда 0 ≤ p(A B) ≤ 1, в частности, p(A B) = 0, если A ∩ B = ∅, т. е.
A ∩ B — невозможное событие, и p(A B) = 1, если В ⊂ A.