Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
\ша
0
-(а
]
хГ+а2Х-2
а
Г
Уа(Х
'=
1)
' ^ 7ш=<*&
lim
а—>+оо
а
2
+а
х
х
2
Таким образом,
lim а
0
•
(щх
х
а
+
а
2
х
2
а
)
hla
-
min(a
0
xf;
а
0
х
2
).
При h
= 1
имеем ПФЗФ (ПФЛ).
Следовательно, ПФЗФ (ПФЛ) есть асимптотически частный
случай ПФ ПЭЗР при а
->
+<х>.
Аналогично имеем
lim
а
0
'-(а\Х\
а
+a
2
x
2
a
)~
h/a
= lim а
{
-(^xf +а
2
х\)
hl
^ =
max(a
0
xf;
а
0
х
2
).
а->—
ос
Р~>+ог
> Пример 3.10. На основании данных по экономике СССР
(динамика национального дохода, численность занятых в матери-
альном секторе производства и объем основного производственного
капитала), опубликованных за 1960—1985 гг., были рассчитаны па-
раметры a
0
,«i,a
2
МАПФ КД без учета научно-технологического
прогресса (НТП):
и с учетом НТП:
Y
=
a
0
K
a]
L
a
\
Y
=
a
0
e
Xt
K
a
*L
a
\
Без учета НТП параметры оказались равными а
0
=1,022,
tfj =0,5382, <з
2
=0,4618 (коэффициент детерминации R
2
=0,9969;
статистика Дарбина—Уотсона DW =
0,81;
названные здесь термины
математической статистики рассмотрены в главе первой). При под-
становке фактических значений К и L за 1986 г. ошибка прогноза
с помощью ПФКД без учета НТП составила 3%, что свидетельству-
ет о том, что точность прогноза на основе рассмотренной ПФКД
без учета НТП относительно невелика.
С учетом НТП параметры ПФКД оказались равными
а
0
=
1,038,
X
= 0,0294, а
х
= 0,9749, а
2
= 0,2399 (коэффициент де-
терминации R
2
=
0,9982; статистика Дарбина—Уотсона DW =
1,63)
1
.
Гранберг
А.Г.
Моделирование социалистической экономики. — М.: Эконо-
мика, 1988.
90
> Пример 3.11. На основании данных по экономике США (ди-
намика ВВП, объем загруженного основного производственного
капитала, число отработанных часов) за 1950—1979 гг. были рассчи-
таны параметры МАПФ КД без учета НТП и с учетом НТП.
Без учета НТП параметры МАПФ КД
Y
=
a
0
K
a
\L
a
>
оказались равными а
0
=2,1005, а
х
=0,7986, а
2
=0,2014 (коэффициент
детерминации Я
2
=0,9907; статистика Дарбина—Уотсона DW =
1,1109).
С учетом НТП параметры МАПФ КД
Y = a
Q
X
°
t+Xi
sin
(a>„/+co,
)j^tf,
ja
2
оказались равными а
0
=3,7846, Х
0
=0,0208, А,, =-0,0129, со
0
=0,289,
coj = 0,7574, а
х
= 0,1374, а
2
= 0,8626 (коэффициент детерминации
R
2
=
0,9973, статистика Дарбина—Уотсона DW =
1,4102).
Особо от-
метим
2
, что в последней МАПФ КД в показателе степени экспо-
ненты фигурирует слагаемое
Х
{
sin(co
0
/
+
co
{
).
Производственная функция может быть задана в неявном виде:
G(y;x
x
,...
9
x„;a
u
...
9
a
m
)
=
0.
Такое выражение называется
уравнением производственной
поверхно-
сти, оно обобщается на случай производства нескольких видов
продукции
GiOi>
-,Уг1Х\>->x
n
;a
l9
...,«m)
= 0,»., G
r
(y
l9
...
9
y
r
;x
l9
...
9
x
n
;a
l9
...
9
a
m
) = 0.
Неявная форма представления объема выпуска (объемов выпус-
ка) используется лишь в теоретических исследованиях.
3.2.
Формальные свойства
производственных функций
Производственная функция / (х\
9
х
2
) как формальная конст-
рукция определена в
неотрицательном
ортанте двумерной плос-
кости, т.е. определена при х\ > 0, х
2
> 0. Производственная функ-
ция должна удовлетворять ряду свойств (каждая конкрет-
ная ПФ своему):
1)Д0,0) = 0 (Д0,...,0) = 0);
2)Л0,х
2
)=/(х
ь
0) = 0 (Д0,х
2
,...,*„) = ... =/(х
1
,...,х
п
_
1
,0) = 0);
3) х'>х (x'*x)=>f(x')>f(x) (х'=
(*[,...,*;),х
=
(х
ь
...,*„));
2
Смирнова
А.
К. Анализ агрегированных динамических моделей. — М.: МАКС-
Пресс, 2001.
91
4) х>0^-Ц^->0,х
=
(хь х
2
); / = 1,2 (х = (х
ь
...,*„), /
=
1,...,/?);
OXj
fl
2
f(
x
)
5) х>0=> — <0, х = (
Х
\, х
2
); i = l,2 (х
=
(х
ь
...,*„), /
=
1,...,и);
сЬс/
6)х>0=>— >0, х
=
(х
{
,х
2
);
/
=
1,2 , /*у' (х
=
(х
ь
...,*„),
dXjdxj
/, 7 =
1,...,«,
i* у);
7) функция /(^,х
2
)(/(*i,...,х
п
)) выпукла вверх при х>
О,
х =
(*1»
х
2) \
х
—
х
\* —>
х
п)'•>
8)/(у*ь 7*2) =
У
р
/(хь
х
2) (f(yx\,->yx
n
)
=
y
p
f(x
l9
...,x„).
Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска.
Свойство 2 означает, что при отсутствии хотя бы одного из ре-
сурсов нет выпуска.
Свойство 3 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресур-
са объем выпуска (строго) растет.
Свойство 4 (первая частная производная ПФ неотрица-
V
a
x.t )
тельна) означает, что с ростом затрат одного ресурса при неизмен-
ном количестве другого ресурса (других ресурсов) объем выпуска не
уменьшается. Упорядоченная пара (х
ь
x>i)
чисел х
х
и х^ для кратко-
сти здесь и далее обозначается символом х, т.е. x
=
(x
l9
x
2
)
(x = (x
b
...,xj).
Свойство 5 (вторая частная производная ПФ
d
2
f(x)
dxf ,
неполо-
жительна) означает, что с ростом затрат одного
(/-го)
ресурса при
неизменном количестве другого ресурса (других ресурсов) величина
прироста выпуска на каждую дополнительную единицу /-го ресурса
не возрастает
(закон убывающей
эффективность?)-
Свойство 6 означает, что при росте одного ресурса предельная
эффективность другого ресурса не убывает (при неизменном коли-
честве других ресурсов, если п
>
2).
На основании свойства 7 геометрический образ ПФ при п = 2
должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой вверх «горкой»,
крутизна которой убывает, если точка (х
ь
xfi уходит в плоскости
0x1*2 «на северо-восток».
Свойство 8 означает, что ПФ является однородной функцией
(ОФ)
степени
р > 0. При р > 1с ростом масштаба производства в у
раз (число у > 1), т.е. с переходом от вектора х к вектору ух объем
92
выпуска возрастает в у
р
раз, т.е. имеем рост
эффективности
произ-
водства с
ростом масштаба
производства. При р < Л имеем падение
эффективности производства с ростом масштаба производства.
При р = 1 имеем
постоянную эффективность
производства с
ростом
его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от
масштаба производства, в английской терминологии — constant
returns
to scale).
Для ПФЗВ (ПФЛ) свойства
1—
7 выполняются. Свойство 8 вы-
полняется при
/7
= 1.
Для ПФ ПЭЗР свойства
1—
7 выполняются. Свойство 8 выпол-
няется при p
=
h.
ПФ,
для которой выполняются свойства 4, 5, 6, 8, называется нео-
классической.
При п = 2 для любой ПФ, для которой справедливы все (или
часть) свойств 1—8, изокванта (если она не является прямой) есть
линия (не обязательно гладкая), которая выпукла к точке 0. Если
график Г ПФ похож на выпуклую вверх «горку», то естественно,
что ее изокванты есть линии, выпуклые к точке 0.
3.3.
Предельные (маржинальные) и средние
значения производственной функции
Пусть у = / (х)
=
f
(xj,
х
2
) (у = f{x) = f(x
u
..., х
п
))
—
производст-
венная функция (ПФ). Дробь
^,
1
= 1,2 (1 =
1,...,*)
Xi
называется
средней производительностью
/-го ресурса
(фактора
про-
изводства) (СПФ) или средним выпуском по /-му ресурсу (фактору
производства). Символика: ^/
=
-^-^.
Xi
В случае двухфакторной ПФ, у которой х
х
=К
9
x
2
=L для сред-
Y Y
них производительностей — и — основного капитала и труда ис-
К L
пользуются соответственно термины «капиталоотдача» и «средняя
производительность труда».
Пусть у = fix) -
A*i
>
х
2
)
(У
= /(*) = A*i ,-,*«)) — производст-
венная функция. Ее первая частная производная
^, /
=
1,2 (/
= 1
я)
dxi
93
называется
предельной (маржинальной) производительностью
/-го ре-
сурса
{фактора
производства) (ППФ) или предельным выпуском по
/-му ресурсу (фактору производства). Символика: М/
=
•
Обозначим символами
Ах,-
и
А,(Дх))
(A!/(x
b
х
2
) = /(л:
1
+Ах
ь
х
2
) -f{x
h
х
2
)\ A
2
Xx
b
х
2
) =/(х
ь
х
2
+Ах
2
) -/(*ь
х
2
)) соответственно, приращение переменной х, и соответствующее
ей частное приращение ИФ
J{x).
При малых Ах, имеем приближен-
ное равенство:
df(x)^A;f(x)
(
.
=
1
2)
Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, /ш сколько
единиц
увеличится
объем выпуска у, если объем затрат
JC,-
/-го ресур-
са
вырастает
на одну (достаточно малую) единицу при неизменных
объемах
другого затрачиваемого ресурса. Здесь
предельную
величину
(т.е.
ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близ-
кое к ней отношение малых
конечных
величин, т.е. А//(х) и Ах,. От-
меченное обстоятельство является ключевым для понимания эко-
номического смысла ППФ . С другими предельными величи-
ях/
нами следует поступать аналогичным образом.
> Пример ЗД2. Для ПФКД
>>
= яохГх
2
2
найдем в явном виде
А\,
А
2
, М\ и М
2
.
Имеем:
А\
==
—
== ==
CIQXI
XJ~ \ А
2
-
= = =
aftXi Ху \
Х\ Х\ Х
2
Х
2
.., df(x) ,, df(x)
ох\ охг
—^
=
а,<1 =>M,<4; —
=
а
2
^1 =>М
2
<А
2
.
А Л
2
Для ПФ y=f(x) (не только для ПФКД) неравенства
Mi
<
A^i =1,2)
94
(т.е.
предельная производительность i-го ресурса
не
больше средней
производительности этого ресурса) обычно выполняются.
> Пример 3.13. Для ЛПФ
у =
яо+Я1*1+02*2 .-0*0^0, «i>0, а
2
>0)
найдем
в
явном виде А\, А
2
, М\ж
М
2
.
Имеем:
А
У /(*) a
0
х
2
.
А\—
— = = — + а
х
+
а
2
—;
Х\
Х\ : Х\ Х\
Х
2
Х
2
Х
2
Х
2
df(x)
df(x)
М
х
= —— = а
х
\ М
2
= —— = а
2
\
дх
х
дх?
У± <
1 =>
М
х
<
А
х
; ^2. <
1
-> М
2
<
А
2
.
> Пример 3.14. Для ПФ ПЭЗР
у
=
а
0
'(а
х
х
х
~
а
+а
2
х
2
а
у
Н1а
имеем:
А
Х
=^;А
2
=-
У
*\
х
2
ha
0
a
x
ha
0
a
2
М]
(а
х
хГ+а
2
х^Г
/а)
+
1
хГ
1; Ml
(a
l
xr+a
2
JcГ")
(
*
/a);l
^
+1
'
,
Mi
/пзд'
4 а
х
х
х
а
+а
2
х
2
а
<h;
Mo
ha
2
x
2
c
A
h
a
x
x
x
a
+
a
2
x
2
a
•<h.
Пусть
у = /
(x)
—
ПФ,
x =
(xi, X2) (x = (x
1
,...,jc
w
)). Отношение
предельной производительности
M
t
/-го ресурса
к
его средней про-
изводительности At называется (частной) эластичностью выпуска по
/-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:
Е1
=М±=^.Ш 0=1,2).
At
fix) d
Xi
Сумма
E\ + Ei = E
x
(Ex+...+E„=E
x
) называется эластичностью
производства.
Поскольку при малом приращении Дх, имеем приближенное ра-
венство
Ei =
'm*f "•
I
dxi
/(*)L
V
x,
(AJ(X)\/(AX^
I
/(*))/1
*/;
95
(крайнее правое выражение есть отношение двух относительных ве-
личин и——),- постольку Ei (приближенно) показывает, на
/(*) Xi
сколько
процентов
увеличится выпуск
j/,
если затраты /-го ресурса
увеличатся на
один
процент при неизменных объемах другого ресур-
са. Пояснение выражения E
h
содержащего предельную величину
df(x)
д
-, с помощью выражения, содержащего конечное приближе-
Xi
A//W
ние
и
этой-предельной величины, является
ключевым
в пони-
мании экономической сути частной эластичности выпуска по /-му
ресурсу.
> Пример 3.15. Выпишем в явном виде для ПФКД выражения
для Е
ь
Е
2
и Е
х
.
Имеем:
Е
х
= а
{
\ Е
2
= а
2
;
Е
х
= Е\ + Е
2
= а\ + а
2
.
> Пример 3.16. Для ЛПФ у = a
x
xi+a
2
x
2
(я
0
= 0) выпишем в яв-
ном виде выражения для Е\, Е
2
и Е
х
.
Имеем:
х
х
df(x)
а
х
х
г
х
2
df(x)
а
2
х
2
#
Е]=————
= ,£2 = -" • •• -
f(x) дх
х
а
х
Х1+а
2
х
2
f(x) дх
2
а
х
Х\+а
2
х
2
Е
х
=
Е
х
+ Е
2
= 1.
> Пример 3.17. Для ПФ ПЭЗР у
=
а
0
*(а
]
х
х
а
+
a
2
x
2
a
y
h/a
выпи-
шем в явном виде выражения для Е\, Е
2
, Е
х
~ h (см. пример 3.14).
Пусть у =/(х)
—
ПФ, х = (х\, х
2
) (х
=
(х
ь
...,*„)).
Предельной
нор-
мой замены /-го ресурса (фактора производства) у-м (аббревиатура:
ПНЗФ и символика: Щ) называется выражение
ах
1,.. -
л
. .ч
Rij =
J
-{i,j = 1,2, i*j),
д
А' (3.3)
R» =
——-
(ij =
1,...,«;
i
Ф
j;
x
k
=
const; ***,** j)
OXi
при постоянной у.
Обратим внимание на то, что /
—
номер заменяемого ресурса,
j — номер замещающего ресурса. Используется также термин:
предельная технологическая
норма замены /-го ресурса (фактора
96
производства) /-м ресурсом (фактором^яроизводства). Приведем
более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма
замены ресурсов.
Пусть выпуск у является постоянным, т.е. все наборы (конфи-
гурации) затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте,
тогда первый полный дифференциал dy ПФ у
==
fix) тождественно
равен нулю:
ОХ\ Ох2
(здесь dx\, dx2
—.
дифференциалы переменных
Х\,.х{),
откуда, выра-
жая первый дифференциал dx^ получим
df(x)
(3.4)
откуда,
На
d
xr
-
d
Xi
,
df(x)
ax
'
d
xj
поделив на dx
h
получим
ckj
dxi
df(x)
Эх,
df(x)
Sxj
основании (3.3)—(3.5) имеем:
dxj
dxi
df(x)
= -**->
df(x)
>
0.7
(i,j
=
0(i*
=
1,2),
=1,2).
j,i
=
l
2).
(3.5)
(3.6)
dx,
Отметим, что строгий вывод формулы (3.6) опирается в действи-
тельности на теорему о неявной функции.
Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ
справедливо равенство:
D -
Ех Х2
К\2-
>
Ег х\
т.е.
(предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отноше-
нию эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умножен-
ному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.
97
к
Если х\ = К,
Х2
- L,
то
отношение —
= —
называется
капиталовоору-
Х2 L
женностью
труда.
В этом случае (предельная) норма замены основного
капитала трудом равна отношению эластичностеи выпуска по основно-
му капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.
Пусть ПФ — двухфакторная. При постоянном выпуске у и ма-
лых приращениях Ах\ и Axi имеем приближенное равенство:
D
-
dX2
„
А
*2
R\
2
"^"Т
-
•
-dx\ AJCJ
(3.7)
На основании (3.7) (предельная) норма замены ресурсов Я\ 2
(приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты
второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты пер-
вого ресурса
уменьшатся
на
одну
(малую)
единицу.
Чем круче касательная к изокванте l
q
в точке (jq, X2), тем
больше выражение -• и, следовательно, норма замены R
n
пер-
dx\
вого ресурса вторым (рис. 3.11).
х
2
+ Ах
2
X\
-hAx\'
9
X2
+Ax
2
)
(*19
х
2 )
X]
Х\.
•+•
ДХ[
Х\
Рис. 3.11
Х\
> Пример 3.18. Для ПФКД .у^аох?'*? выпишем в явном виде
выражения Ryi и Лгь
Имеем:
К\2-
дх\
ду_
{дх
:
2 J
а
2
х
2
ду_
\dx
2
j
ду_]
дх
х
)
а^х^
а
2
х
2
98
> Пример 3.19. Для ПФ
у =
a§+a\X\+a>iX2 выпишем
в
явном ви-
де выражения
R
n
и R
2
\.
Имеем:
R\2
=
(ду_
[дх
х
дх
2
) а
2
' \д
х
2
ду_
{дх\
U
3.4.
Производственные функции
в темповой записи
Наряду
со
связями объемных показателей выпуска
и
затрат
ре-
сурсов могут быть рассмотрены связи между темпами прироста этих
показателей. Будем здесь говорить
о
макроэкономических произ-
водственных функциях, связывающих величину совокупного про-
дукта (дохода)
7
с затратами капитала
К и
труда
Ь
у
но
все это легко
обобщается
на
любые другие производственные функции. Обозна-
чим темпы прироста величин
У, К и L
малыми буквами у,
к и I
со-
ответственно.
Это
могут быть дискретные темпы прироста
>.-ь
Y,-
прироста
Yt-i , _ Kt~Kt-\
' Kt-y
К,'
lt=
L
t
~Lt-\
угу, к,
Lt)
Lt-i
или непрерывные темпы
Итак,
ПФ в
темповой записи
имеет вид:
у =
J[k,
I).
Теперь рассмотрим связь
ПФ
Кобба—Дугласа
в
объемной
и
темповой записи. Пусть величины
К и L
являются непрерывными
дифференцируемыми функциями времени
(K
t
и
L
t
).
В
таком случае
они представляют
не
объемы использованных ресурсов
за
опреде-
ленный период времени,
а
«интенсивности»,
их
использования
в
каждый момент времени.
От
функции
Y
t
=
AKfLfe" можно после
ее логарифмирования взять полный дифференциал:
d
1пУ,
=
ad\nK
t
+
р-dkiL
t
+ у dt,
или
dY
1
=
a
.dK
l
+
^dL
l + y
.
dt
^
Y
t
K
t
L
t
Y
t
Kt L
t
и после деления обеих частей
на dt
получаем
99