Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

,M)

-f^/^-

(/ = 1,2).

dpi/ dM

П Доказательство. Допустим х* и

х*

—

решение зада-

чи потребительского выбора, т.е.

х*

= А(Рь

Р2,

Щ и х^ = />г(^ь

/>2>

^0-

Пусть

U(х*).

Тогда можно утверждать, что JC,*= H\(p\,

Р2,

«*),

х*

= #2(Рь

/>2»

и*)

= w

(Рь />2>

и*)- И следовательно,

= К(р, т

(р,

и*))

для фиксированного значения и* и любых

/?.

Продифференцируем последнее тождество по p

(/ = 1, 2). Получим

0 = ^ + -^^- (/ =

2). (2.35)

;

5М ф;

Используя теорему 1, заменим dm/dpi на Я/ (/?

/?2>

= х

= D

(р\,

Р2,

М) и перепишем (2.35) по-другому:

opt дм op i дм dp i дм

Из последнего соотношения легко получить утверждение теоремы.

• Теорема 3.

(Уравнение Слуцкого.)

Для функций спроса Маршалла

и функций спроса Хикса справедливы следующие соотношения:

dD, дН: dD:

—^ = —

x* (1, j

l, 2), (2.36)

дМ

где величина спроса по Маршаллу оценивается при заданных ценах

и доходе, а величина спроса по Хиксу — для уровня полезности,

соответствующего найденной точке маршаллианского спроса.

• Доказательство. Рассмотрим тождество xf(p,

m(p,

и)) =

= Hj(p, и) (/ = 1, 2) и продифференцируем обе части этого тожде-

ства по переменной p

(/ = 1, 2). Получим

дх* дх: о дН. dD. dD, *

дН,

-JL$!L = L или —L + —^.^L

. (2.37)

dp,

dpi dpi dM dp

Согласно теореме 1

dm/dpi

есть функция

(р,

и) = х*(р, т (р, и)).

Поэтому (2.37) можно истолковать следующим образом:

dD, dD: \ dH:

—L.

+ —-х,-(/?,m(/?,w)) = -.

dM dp.

Сделав замену фиктивных переменных (постоянных величин,

записанных в виде переменных), получим соотношение (2.36), ко-

торое известно как уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого позволяет, во-первых, анализировать измене-

кие спроса, описываемого функциями Хикса, не зная самих функций.

Во-вторых, отнести рассматриваемые товары к той или иной категории

в зависимости от направления и величины изменения спроса на них

при изменении цен и дохода. В-третьих, если записать это уравнение в

терминах коэффициентов эластичностей, то можно оценивать эластич-

ность спроса по Хиксу, используя для этого функции спроса Маршалла.

Приведем формулировку уравнения Слуцкого в терминах коэф-

фициентов эластичностей:

Е„=Е?-а^

(2.38)

где Еу

—

эластичность маршаллианского спроса на /-й товар по це-

не у'-го товара;

ЕЦ —

эластичность спроса по Хиксу (компенсиро-

ванного спроса) на /*-й товар по цене у-го товара;

Е^м

—

эластич-

ность маршаллианского спроса на /-й товар по доходу; а

— доля

расходов нау-й товар в доходе потребителя (а, =

PjXj*/

Щ-

Далее с помощью несложных преобразований уравнений (2.38)

можно получить уравнения агрегации, которые отражают зависимо-

сти между эластичностями спросов по Хиксу для различных това-

ров при изменении цены одного из них.

В частности, для / =

= 2 имеем следующие два уравнения:

а, ЕЦ + а

Е% = 0 и а, ЕЦ + а

Е?

= О,

где Eft

—

эластичность спроса по Хиксу на товар 1 при изменении

цены товара 1;

— эластичность спроса по Хиксу на товар 2 при изменении

цены товара 1;

Е^

— эластичность спроса по Хиксу на товар 1 при изменении

цены товара 2\

— эластичность спроса по Хиксу на товар 2 цри изменении

цены товара 2\

а!

—

доля расходов на товар

в доходе потребителя (а[ = р

х\ /

М);

—

оля

расходов на товар 2

доходе потребителя

(а

р^*

/ М).

2.5. Оценка благосостояния потребителя

2.5.1.

Оценка благосостояния потребителя в статике

Для оценки благосостояния потребителя в теории потребления

используются различные меры. Рассмотрим такие из них, как ком-

пенсационное и эквивалентное изменения дохода.

Допустим, цена одного из товаров изменилась (например, цена

товара 1) и стала равной q\. Если она возросла, то будет иметь ме-

сто ситуация, изображенная на рис. 2.8, я, если цена понизилась, —

ситуация, изображенная на рис. 2.8, б.

При исходной цене первого товара р\, цене второго товара pi и доходе

М потребитель выбрал набор

А>

полезность которого при заданной с по-

мощью функции полезности

U(X[,

) системе предпочтений равна

ЩА).

При повышении цены товара 1 бюджетная линия перемещается

ближе к началу координат. Потребитель выбирает новый набор.

Обозначим его В. Полезность этого набора ЩВ) меньше, чем

11(A),

т.е.

ЩВ)

ЩА)

(см. рис. 2.8, а).

При понижении цены товара 1 бюджетная линия отодвигает-

ся дальше от начала координат, и потребитель выбирает новый

набор товаров В. Полезность набора В больше, чем набора А, т.е.

ЩВ)

ЩА)

(см. рис. 2.8, б).

Если потребитель желает сохранить исходный уровень благосос-

тояния, т.е. остаться на первоначальной кривой безразличия, то он

выберет набор С, который является самым дешевым из всех, доступ-

ных потребителю наборов при новых ценах на кривой безразличия

ЩА).

Как видно на рис. 2.8, а, для приобретения набора С требуется

больший доход, чем М, которым располагает потребитель. Обозна-

чим через М

стоимость набора С. Разность М

—

М= АМ

называет-

ся «компенсацией» или

компенсированным изменением дохода

потре-

бителя. Она равна величине дохода, в которой нуждается потреби-

тель для сохранения первоначального уровня благосостояния.

Рис. 2.8

Набор С находится как решение двойственной задачи потреби-

тельского выбора:

—

q\X\

P2X2

-> min; (2.39)

Щх

) =

ЩА).

(2.40)

При повышении цены (см. рис. 2.8, а) компенсационное изме-

нение дохода положительно: потребитель нуждается в дополнитель-

ных денежных средствах для сохранения исходного «уровня жизни».

Необходимая сумма денег АМ

= (М

—

М) является оценкой «про-

игрыша» потребителя.

Если потребитель желает сохранить первоначальный уровень бла-

госостояния при понижении цены товара 1 (см. рис. 2.8, б), то вели-

чина «компенсации» будет отрицательной. Это говорит о том, что

при новых, более низких, ценах потребитель имеет излишек дохода,

если сохраняет первоначальный уровень благосостояния. Величина

этого излишка оценивает «выигрыш» потребителя.

Рассмотрим другую ситуацию. Допустим, потребитель желает

достичь уровня благосостояния, соответствующего новой кривой

безразличия при старых ценах. Обозначим через D самый дешевый

набор при исходных ценах на кривой безразличия U(B). Для опре-

деления набора D потребитель решает задачу типа (2.25), (2.26) при

U(xu

ЩВ).

Она формулируется следующим образом:

—

р\Х\ + /?2*2

—>

; (2.41)

Щх

) =

ЩВ).

(2.42)

Расход потребителя на набор D обозначим М& Разность Мр - М =

АМ

называется

эквивалентным изменением дохода

потребителя. Эк-

вивалентное изменение дохода оценивает возможность достижения

потребителем нового уровня благосостояния при прежних ценах.

При повышении цен величина эквивалентного изменения дохо-

да будет отрицательной (рис. 2.9, а), при понижении — положи-

тельной (рис. 2.9, б).

Х2 А

а) Х2

б)

Рис. 2.9

Рассмотренные величины излишка потребителя являются до-

полнением к тому понятию излишка потребителя, которое обычно

связывается только с функцией спроса от цены при прочих рав-

ных условиях. Компенсационное и эквивалентное изменения до-

хода позволяют оценить излишек потребителя с учетом изменения

цен и дохода.

2.5.2.

Оценка изменения благосостояния

потребителя во времени

Для анализа и оценки изменения «уровня жизни» потребителя

во времени рассмотрим два временных периода: t = 0 и t = 1. Пер-

вый из них будем называть базисным, второй

—

текущим.

Пусть в базисном периоде потребитель располагал доходом в

ден. ед., цена первого товара была /?

, второго — р

о (Р°

= (рю,

Р2о))-

При этих условиях потребитель выбирал набор това-

ров Х° = (хю, х

В текущем периоде доход потребителя составил М\ ден.ед., цены

равны р\\ и

Р2\

соответственно для первого и второго товаров (Р

(/Mb

Рг\))-

Набор потребителя в текущем периоде X

—

(х

1Ь

л^О-

Индекс номинального дохода М

\ = M\/MQ показывает, на-

сколько (во сколько раз) изменился номинальный доход потребите-

ля.

Но его значение не отражает реального изменения положения

потребителя, поскольку последнее характеризуется величиной ре-

ального, а не номинального дохода. Для оценки изменения реаль-

ного дохода потребителя рассмотрим индексы реального дохода.

Индекс реального дохода характеризует динамику количества

товаров в наборе потребителя. Понятно, что если при одних и тех

же ценах потребитель в текущем периоде может купить большие

количества товаров, то его реальный доход больше, в противном

случае

—

меньше. Следовательно, для построения индекса реально-

го дохода необходимо элиминировать (устранить) влияние цен, т.е.

оценить наборы товаров базисного (Х°) и текущего (X

) периодов в

одних ценах.

Оценим базисный и текущий наборы товаров в базисных ценах Р

°.

Базисный набор в этих ценах стоит

РюХю

+ /7

о^20

Щ. Затраты на

текущий набор в базисных ценах составляют

р\оХц

+ /?20*2i

Тогда отношение

(Р

}

Мо_

XnPio+XnPio

(243)

М$

ЮР\О

+Х

2ОРЮ

показывает изменение реального дохода и называется индексом ре-

ального дохода базисно взвешенным или

индексом реального

дохода

Ласпейреса.

Приведем графическую иллюстрацию оценки изменения реаль-

ного дохода потребителя. На рис. 2.10 изображены: бюджетная ли-

ния базисного периода 2?

, бюджетная линия текущего периода В\ и

бюджетная линия В

, соответствующая доходу М

Индексу номинального дохода

MQ\

соответствует отношение до-

ходов, образующих бюджетную линию базисного периода

и бюд-

жетную линию текущего периода В\. На рис. 2.10 этому индексу

соответствует стрелка между данными бюджетными линиями.

Индексу реального дохода Ласпейреса (базисно_взвешенному)

соответствует стрелка между бюджетными линиями В

BQ.

Набо-

ры товаров, расположенные на этих бюджетных линиях, измерены

в одних и тех же ценах, ценах базисного периода.

Рис. 2.10

Для того чтобы сделать наборы Х° и X

сопоставимыми, мы повер-

нули бюджетную линию В\ вокруг точки X

так, чтобы она стала парал-

лельной

BQ.

Этому повороту на рис. 2.10 соответствует стрелка между

соответствующими бюджетными линиям В\ и В

, которая изображает

индекс цен Пааше. Действительно, отношение дохода М$В$ к доходу

(В

) представляет собой оценку изменения цен, которая является

агрегатным индексом текущевзвешенным, т.е.

индексом цен

Пааше.

Обо-

значим его Ро\(Х

)

запишем его математическую формулу:

0Х

{Х

)

= Р"

п+Р^

2\ . (2.44)

Р\0

Рю

Оценив базисный и текущий наборы товаров в базисных ценах,

мы можем построить индекс реального дохода базисно взвешенный.

Он называется

индексом реального

дохода

Ласпейреса,

обозначается

1о\(Р°) и рассчитывается по формуле:

(Р°) =

Xll/?10+

2l/?20

. (2.45)

\оР\0

+ Х

20Р20

Построим другой индекс реального дохода текущевзвешенный

(индекс Пааше). Для этого оценим набор Х° в текущих ценах. Обо-

значим его стоимость при ценах Р

через М

. Тогда р\\Хю + Р2\

ю ~

, а отношение М\/

М,

является оценкой динамики реального до-

хода потребителя и называется индексом реального дохода Пааше.

Этот индекс обозначается как IQ\(P

) И имеет следующее математи-

ческое выражение:

(Р

) = *"*"

*21/>21

а (2

.4б)

\оР\\

2оРг\

Ему соответствует индекс цен Ласпейреса PQI(X°), который от-

ражает изменение цен и рассчитывается по формуле (2.44):

(X°)=

PnXl0+P2lX2

° . (2.47)

Р\0

\0 + Р20

На рис. 2.11 изображены индекс реального дохода Пааше и соот-

ветствующий ему индекс цен PoiC^

) Ласпейреса. Индекс цен Ласпей-

реса отражает поворот бюджетной линии

Д>

вокруг точки Х°, в резуль-

тате которого она становится параллельной линии В\

т.е. занимает

положение В

. Величина дохода, соответствующая бюджетной линии

равна стоимости набора Х° в новых ценах Р

= (р

Р2\),

т.е. М

Рис. 2.11

Следовательно, стрелка между бюджетными линиями В\ и В

изображает индекс реального дохода текущевзвешенный Ioi(P

стрелка между бюджетными линиями

соответствует индексу

цен Ласпейреса P

i(^

В продолжение анализа индексов реального дохода можно при-

вести два разложения индекса номинального дохода на индекс цен

и индекс реального дохода. Покажем, что

Moi « Policy

ЫР);

(2.48)

Мох

= Р

1(Х°УЫР

). (2.49)

По определению,

Moi =

L = £n

2L (250)

^0 Р\0

PlQ

Умножив числитель и знаменатель отношения (2.50) на

рурсц

/>2о*2ь

получим (2.48):

Р\\

Pi\

2\ P\o

Рго

oi= =

Р\0

+ Р20

20 Р\0

\\ + Р20

2Х

• =

)-I

(P").

Р\0

+ Р20

2\ Р\0

\0 + Р20

Аналогично выводится разложение индекса номинального до-

хода (2.49) умножением числителя и знаменателя отношения

(2.50) на/^хю+^Лю

Вопросы и задания

Приведите экономическую интерпретацию задачи оптимизации

потребительского выбора и необходимого условия оптимально-

сти потребительского набора.

Почему значения функций спроса Маршалла можно интерпре-

тировать как величину спроса потребителя? Как связаны функ-

ции спроса Маршалла с функцией косвенной полезности?

Чем отличаются функции спроса Хикса от функций спроса

Маршалла? С помощью какой функции можно найти стои-

мость самого дешевого набора заданной полезности, если из-

вестны (заданы) цены товаров?

Если известна функция расходов потребителя, то можно ли ска-

зать,

какой вид имеет функция косвенной полезности?

Как связаны функции спроса Хикса с функцией расходов по-

требителя (лемма Шепарда)? Обязательно ли знать функции

спроса Хикса, чтобы определить функцию расходов?

6. Присутствует ли в тождестве Роя характеристика влияния

изменения дохода на полезность оптимального набора потре-

бителя?

Чем отличается анализ благосостояния потребителя в статике от

анализа его благосостояния в динамике?

8. Приведите экономическую интерпретацию уравнения Слуцкого

в терминах частных производных и в терминах эластичностей.

Можно ли, используя названные уравнения, оценить влияние

изменения цены одного из товаров, допустим первого, на вели-

чину компенсированного спроса или эластичность компенси-

рованного спроса, если функции спроса Хикса (компенсиро-

ванного спроса) неизвестны?

9. Что такое индекс цен? В чем измеряются индексы цен Ласпей-

реса и Пааше? Как эти индексы связаны с индексами реального

дохода?

10.

Чем отличается компенсационное изменение дохода от эквива-

лентного изменения дохода? Могут ли данные характеристики

рассматриваться как меры изменения излишка потребителя в

статике? Могут ли они совпадать по абсолютной величине?

Производственные функции

3.1.

Однофакторные и многофакторные

производственные функции

Понятие производственной функции (ПФ) является основным в

экономической теории. Оно используется для описания принципа

«затраты—выпуск» на микро- и макроэкономичеких уровнях. За-

трачиваются ресурсы производства — факторы производства (один

или несколько) — в определенных количествах, выпускается про-

дукция в определенном объеме. Формально производственная

функция выглядит так:

f(x,<*i,:..,q

) (3.1)

или

f(x

...

)

(3.2)

где у

—

объем (количество) выпускаемой продукции; в (3.1) х

—-

ко-

личество затрачиваемого (используемого) ресурса (т.е. х>0), в (3.2)

...,х

— количества затрачиваемых (используемых) ресурсов; вектор

(х

{

,..., х

) называется конфигурацией ресурсов, х

О,..., х

...

—

параметры; символ /,называемый характеристикой ПФ,

показывает, как количество ресурса формально преобразуется в

объем выпускаемой продукции.

Производственная функция (3.1) называется

однофакторной

(од-

норесурсной — редко используемый термин); ПФ используются для

решения разнообразных аналитических, плановых и прогнозных за-

дач и в прикладных исследованиях.

Производственная функция может иметь разные области исполь-

зования. Микроэкономическая производственная функция (МИПФ)

имеет в качестве области использования (содержательной области)

отдельную фирму, производственный комплекс, отрасль. Макроэко-

номическая производственная функция (МАПФ) имеет в качестве

области использования национальную экономику, экономику регио-

на. В МАПФ наряду с малыми /,

...

П9

у используют большие

символы F, лг

...,*„, r:7 = F(jc

,...,x„;a

,...,a