Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

П)

2м(*,-г)(л-30 .

VSw(*i-^)

-Sr-iO'/-5

)

£) нет правильного ответа.

Зависимость между случайными величинами х и у описывается сле-

дующим образом: х

8-у>>, где 8 и у — положительные констан-

ты.

Тогда выборочный коэффициент корреляции между хиу

равен:

A) 8;

B) у;

О +у в зависимости от знака х ;

Я) -1;

Е)\:

В парной регрессии /-статистика для коэффициента р равна 2,4.

Также известно, что критические значения соответствующего

/-распределения равны 2,23 и 3,17 для 5-процентного и

1-про-

центного уровней значимости соответственно. Тогда гипотеза о

равенстве р нулю:

A) принимается на 5-процентном, но отвергается на

1-процент-

ном уровне значимости;

B) отвергается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях

значимости;

Q отвергается на 5-процентном, но принимается на

1-про-

центном уровне значимости;

D) принимается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях

значимости;

E) вероятно, в расчеты вкралась ошибка.

Выберите правильное утверждение для парной регрессии:

A) R

= r*j , где г

—

выборочный коэффициент корреляции меж-

ду у и у ;

=.a

Pjc

1,...,п)-регрессионные значения у;

B) R

тогда и только тогда, когда р = 0;

Q R

тогда и только тогда, когда £7=1^ =0, где е

{

>?*-&•

(i = l,...,w)

—

регрессионные остатки;

D) R

E) R

t, где /

—

значение /-статистики для параметра р.

Выборочная дисперсия a

-=—J^iC*/"~лГ)

является смещенной

оценкой теоретической дисперсии а

= Е(х -

Ех)

, потому что:

А) в выборке значений по определению меньше, чем в гене-

ральной совокупности;

В) х автоматически находится в центре выборки, поэтому от-

клонения от него меньше, чем от Ех\

Q она в п раз меньше, поскольку содержит множитель 1/л;

D) с ростом п выборочная дисперсия убывает, а теоретическая

дисперсия остается постоянной;

E) все вышесказанное верно;

6. Какую гипотезу проверяет тест структурных сдвигов

{тест Чоу)?

A) Н

: а

= const для всех /;

B) #

: р; = р; для всех i и а' = а";

Q Я

:р;=р; для всех /;

D) Н

: р

=0 для всех i; ' .

E) Н

: R

= 0.

Была оценена следующая регрессия ( в экономике труда она называ-

ется

уравнением

Минцера):

= а

рх,

5^-,+

г,

где у — логарифм

дохода; х — уровень образования; d — фиктивная переменная,

равная

для мужчин и 0 для женщин. Как с помощью этой модели

проверить гипотезу о наличии половой дискриминации по зарплате:

A) если оценка р незначима, то дискриминации нет;

B) значимо отличная от нуля оценка 5 говорит о наличии дис-

криминации;

Q значимо отличная от нуля оценка 5 говорит об отсутствии

дискриминации;

если R

большой, то модель верна, а значит, дискриминация есть;

E) данная гипотеза в рамках нашей модели не формализуется.

8. Пусть у — потребление жевательной резинки (кг/год на одного

человека); х — возраст человека (число полных лет); d — фик-

тивная переменная, равная 1, если человек курит, и 0 — в про-

тивном случае. По 250 наблюдениям, взятым из возрастного

диапазона от 15 до 30 лет, была построена следующая регрессия:

(

= 2,175 + (-0,066 + 0,012

di)

xi + e

причем все оценки оказались значимыми и регрессия в целом

тоже значимой. Тогда можно утверждать, что:

A) в среднем с каждым годом человек потребляет на 0,054 кг

жевательной резинки меньше;

B) курильщики потребляют в среднем меньше жевательной ре-

зинки, чем некурящие;

Q в среднем с каждым годом люди потребляют на 0,066 кг же-

вательной резинки меньше;

D) с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,012 кг

жевательной резинки больше;

E) с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,054 кг

жевательной резинки меньше.

9. В общем случае НЕЛЬЗЯ утверждать, что коэффициенты регрессии,

при прочих равных условиях, являются тем более точными, чем:

A) меньше теоретическая дисперсия ошибки;

B) меньше связаны между собой объясняющие переменные;

C) больше число наблюдений в выборке;

D) больше выборочный разброс регрессоров;

E) больше переменных включено в модель.

10.

Случайные величины х и у подчиняются следующей регресси-

онной зависимости: у

= $х +

е,

Ее

De = l. У вас есть случай-

ная выборка из двух наблюдений у

х, =3, х

= 4.

Чему равна МНК-оценка параметра р ?

А)

-1;

В) -0,4; С) 0; D) 0,4; Е) 1.

11.

Вы оценили модель множественной регрессии и получили сле-

дующие результаты (в скобках даны стандартные ошибки):

у.

=3,43

2,10х

+5,21*3,-.+

£,-;

=0,57; « =

35.

Вам надо про-

(2,41) (0,97) (1,14)

верить гипотезу #

Допустим, вы выбираете 5-процентный

уровень значимости (соответствующее критическое значение

равно 2,04). Сколько степеней свободы (v) имеет /-статистика,

каково ее значение (/),и принимаете ли вы гипотезу?

v =

32,7 = 1,94, гипотеза принимается;

v =

33,

/ = 1,94, гипотеза принимается;

Q v

33,

t = 4,57, гипотеза отвергается;

v =

35,

/• =

4,57, гипотеза принимается;

E) v

32,

/ = 0,97, гипотеза отвергается.

12.

Признаком точной мультиколлинеарности является:

A) #

: Р

0 для всех j отвергается;

B) t- статистики незначимы, a F- статистика значима;

Q незначимость уравнения регрессии;

D) H

: R

не отвергается;

E) компьютер отказывается считать МНК-оценки коэффициен-

тов регрессии.

13.

Переменные х и у связаны следующей зависимостью:

ГЗ +

2^.,

...,10;

* \7, / =

11,

...,20.

Какую модель должен построить исследователь, чтобы по вы-

борке \x

,у.

оценить модель, используя фиктивную перемен-

ную d

равную

при / = 1, ...ДО, и равную 0 иначе?

A) ^а

Рлу+б^+е,.;

B) у1=а

№м+Щ+г*;

О j^a

ptf^+fe,;

D) j/^a

P^+e,;

E) Оценить такую модель МНК невозможно.

14.

Рассмотрите модель:

{

=вх

+е

, i=l,...,«,

где х

...,х„

—

неслучайные величины;

...,s

—

случай-

ные отклонения с нулевыми средними, одинаковыми

дисперсиями и нулевыми ковариациями.

Воспользуйтесь следующим способом оценивания 0:

Является ли 0 линейной по yi,...,y„ оценкой 9?

Является ли 0 несмещенной оценкой 0?

Найдите дисперсию 0 и предложите способ ее оценивания.

Предложите эффективный способ оценивания 0 (в классе ли-

нейных по

>>!,...,

и несмещенных оценок). Ответ поясните.

Проверьте, выполняется ли для 0 теорема Гаусса—Маркова.

6. Какие дополнительные условия необходимо наложить на модель,

чтобы оценка 0 была эффективной. Ответ поясните.

Предположим, что Dz

- о]. При каких условиях на ъ] оценка 0

будет эффективной.

15.

Вы оцениваете с помощью МНК следующее регрессионное

уравнение:

+ Р • dj +

е,,

где w

— зарплата в месяц выпускника экономического факуль-

тета (в у.е.), а d

— количество лет обучения (принимает значе-

ния 4 или 6 лет, т.е. обучение в аспирантуре здесь не рассмат-

ривается).

Ошибки s

удовлетворяют условиям классической регресси-

онной модели:

Ег

1)6,= a

, cov(6

) =

/,./ =

1,2,...,«,

1Фj.

Вами собрана следующая статистика:

yj3Q0 1560^1 • , (1 1 ... \)

1^1560

8400/ [d

{

... d

)

1^=2004000,

-£nf =1654000.

;=i пых

1^=366000

Сформулируйте оптимизационную задачу для получения

МНК-оценок коэффициентов а и р.

Найдите оценки коэффициентов аир. Дайте содержательную

интерпретацию коэффициента р.

Проверьте гипотезу о значимом влиянии образования на зар-

плату на 5%-ном уровне значимости. Постройте 95%-ный до-

верительный интервал для параметра р.

Чему равен коэффициент детерминации.

Проверьте значимость модели в целом.

6. Предположим, что ваше решение «продолжать образование в

магистратуре или нет», зависит от положения вашей зарплаты

по отношению к средней на рынке. Пойдете ли вы в магист-

ратуру, если после окончания бакалавриата вам предлагают

750 у.е. в месяц, а после окончания магистратуры

—

1600 у.е.

Оценив модель с помощью пакета Eviews, вы решили провес-

ти тест Уайта на гетероскедастичность. Результаты теста ока-

зались следующими:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 4.506832 Probability 0.000000

Obs*R-squared 65.61422 Probability j).000000

Есть ли в вашей модели гетероскедастичность? Почему?

8. Вы подозреваете, что в оплате труда может существовать дис-

криминация по половому признаку. Предложите два способа

проверки данного предположения. Подробно опишите про-

цедуру проверки гипотез.

16.

С помощью МНК по квартальным данным с

1:1971

по 4:1976 гг.

получено следующее уравнение объема продаж товара:

1.43-0.0127x

-5.62JC,

+0.053 *,

> RSS =

101.32,

ESS

= 19.54

(1.94) (0.0043) (2.13) (0.011)

(в скобках указаны стандартные ошибки);

ESS = 2>,

,. RSS = Z(j>,-7,)

Какие переменные оказывают значимое влияние на зависи-

мую переменную?

Найдите коэффициент детерминации.

Протестируйте значимость регрессии в целом.

После добавления в уравнение линейной комбинации трех

фиктивных переменных, соответствующих второму, третьему и

четвертому кварталам года, величина ESS уменьшилась до

10.11.

Как были заданы фиктивные переменные? Проверьте гипотезу о

наличии сезонности, сформулировав необходимые модельные

предположения о виде этой сезонности.

fj Оптимизация

^|| потребительского выбора

В данной главе на примере модели оптимизации потребитель-

ского выбора показано, каким образом математический аппарат по-

зволяет глубже осмыслить экономические проблемы, получить из-

вестные выводы путем лаконичных рассуждений, увидеть зависимо-

сти и свойства, которые практически невозможно четко описать с

помощью словесных рассуждений.

2.1.

Основные предпосылки и понятия

Современная теория поведения потребителя базируется на трех

основных предположениях:

1) предпочтения потребителя сформированы;

2) предпочтения транзитивны;

3) предположение «о ненасыщаемости».

Предположение

1 говорит о том, что потребитель умеет оцени-

вать и сравнивать между собой различные наборы товаров. Если

обозначить один набор товаров А, а другой набор - Д то в соот-

ветствии с предположением 1 потребитель может установить между

ними либо отношение предпочтения (АУ В или А^В), либо отно-

шение эквивалентности {А ~ В).

Предположение

2 подтверждает способность потребителя осуще-

ствлять выбор: если для потребителя набор А предпочтительнее на-

бора В

а набор В предпочтительнее, чем набор С, то А, конечно,

предпочтительнее, чем С. В противном случае выбор был бы непо-

сильной задачей для потребителя.

И наконец,

предположение

3 соответствует интуитивному пред-

ставлению о том, что потребитель всегда предпочитает большее ко-

личество товара меньшему.

Мы не будем останавливаться на описании возможных видов

предпочтений и соответствующих им видах кривых безразличия.

Эти вопросы достаточно детально отражены как в отечественной,

так и в зарубежной литературе по микроэкономике (см., например,

Вэриан

Х.В. [1], глава 5).

Проведем анализ поведения потребителя, приняв предположе-

ние о том, что потребитель

—

это homo

oeconomicus

ранжирующий

Homo oeconomicus — идеальный рациональный потребитель, «экономический

человек». (Экономическая школа. Вып. 2. — 1992. — С. 32).

потребительские наборы по определенному, именно ему присуще-

му, правилу. Для описания этого правила введем понятие порядко-

вой функции полезности.

Обозначим набор товаров (потребительский набор) через Х

где X

—

«-мерный вектор, каждая компонента X/ которого обозна-

чает количество /-го товара в наборе, т.е. X = (х

л^, ..., x

..., х

Множество всевозможных неотрицательных векторов X образует

«-мерное пространство товаров. Для упрощения и наглядности изло-

жения модели потребительского выбора ограничимся случаем двух то-

варов, т.е. Х= (х\, Х2). При этом отметим, что все полученные выво-

ды имеют место для случая любого конечного числа товаров.

Функцией полезности U (х\, х

) назовем правило, которое каж-

дому набору товаров X = {х\, х

) ставит в соответствие число U,

которое представляет собой оценку полезности этого набора по-

требителем.

Если на пространстве товаров задана функция полезности по-

требителя U= U(x\, X2), то потребитель всегда может сказать, какие

из рассматриваемых наббров предпочтительнее, а какие из них эк-

вивалентны.

Допустим, имеются три набора: А

(Х

,Х^%

(Xf,X$) и

(Xf,X$). Если U (А) > U (В), то набор А предпочтительнее

набора Д т.е. А у В . Если U (А) = U (В), то наборы А и В эквива-

лентны для цотребителя с точки зрения доставляемой потребителю

полезности, т.е. А ~ В.

Более того, если U(A) > U(B)

a U(В) > U(Q, то U(A) > U(Q,

т.е.

из того, что А У В, я В У С следует, что А У С, т.е. выполня-

ется свойство транзитивности для отношения предпочтения между

наборами товаров.

Функция полезности должна удовлетворять следующим свой-

ствам:

1) ^^>

;>о,

^&5г)

= и

;>о,

дх

т.е.,

если х\ >xj, то

U(x

,х

)

U(x\,x

); если х\ >х

, то

U(x

) >U(x

,x\).

2) d

U/dxl = и{

0, d

U/dxl

и\

РЩ^ь)

•

> Q

5xj9x

8х

дх

Первое свойство говорит о том, что рост объема потребления

одного из товаров при неизменном объеме потребления другого

увеличивает потребительскую оценку набора товаров.

В соответствии со

вторым свойством

предельная полезность лю-

бого из товаров уменьшается, если объем его потребления растет

(закон убывающей предельной полезности).

И наконец, третье

свойство

утверждает, что предельная полез-

ность каждого из товаров увеличивается при возрастании количества

другого товара. В этом случае товар, количество которого не меняется,

становится относительно дефицитным и, следовательно, дополнитель-

ная единица этого товара имеет большую ценность, чем предыдущая.

Задавшись некоторым значением полезности U*, можно, ис-

пользуя функцию полезности, найти множество всех наборов, по-

лезность которых равняется U*. Они лежат на линии уровня функ-

ции полезности, соответствующей значению U* и удовлетворяю-

щей следующему уравнению:

U(x

) = U*. (2.1)

Линии уровня функции полезности называются кривыми без-

различия.

Кривая

безразличия

представляет собой совокупность потреби-

тельских наборов, обеспечивающих одинаковый уровень удовлетво-

рения потребностей потребителя (в частности, U= U*).

Отметим, что уравнение (2.1) задает неявную функцию х

= A(*i),

которая существует при

предположениях

1—3

относительно функции

полезности.

Типичная кривая безразличия (U(x

)

= U*) в пространстве то-

варов представлена на рис. 2.1.

Заметим, что через любую точку(xf

x^) пространства товаров

проходит некоторая кривая безразличия, для которой U

U(xf,x%).

При перемещении по кривой безразличия, например, из точки

А в точку В, происходит замещение товара 2 товаром 1, так как ко-

личество товара 1 в наборе В больше, чем в наборе А. Для оценки

скорости замещения товара 2 товаром 1 вводится понятие нормы

замещения

—

(Rate

Substitution).

По определению, RS

= —Ax

/Ax

(2.2)

где Ах,

Xf -Х

< 0;

Ах

Х$ -X*

Если приращение Ах

{

очень незначительно (Ах

{

-> 0), то оцен-

кой скорости замещения одного товара другим становится предель-

ная норма замещения MRS

(Marginal

Rate

Substitution).

MRS

= lim

Mi _>

o(-Ax2A*i)

-(dxi/dxx). (2.3)

Рис 2.1

Норма замещения RS^ оценивает среднюю скорость замещения

товара 2 товаром 1 в наборе А (см. рис. 2.1) й изображается графи-

чески как tg(P). Предельная норма замещения MRS^ оценивает

скорость замещения в точке А, равняется «минус» производной х

(х

= h (х\)) по

и изображается графически как tg(a) = ~tg(r).

Легко показать, что предельная норма замещения в любой

точке кривой безразличия может быть выражена через предель-

ные полезности товаров. Действительно, для всех наборов това-

ров,

принадлежащих некоторой кривой безразличия, изменение

полезности при приращении одного либо другого товара в набо-

ре тождественно равно нулю (по определению кривой безразли-

чия).

Это можно записать математически как равенство нулю

полного дифференциала функции полезности при некотором

значении U, а именно:

т.е.

dU=

'(dU/dxi)

'(dU/dx

)

Из (2.4) следует, что -dx

ldx\ =

U{IU

MRS

U[IU'

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Мы показали, что с помощью функции полезности можно опи-

сать предпочтения потребителя. Но этого недостаточно для матема-

тической формулировки задачи потребительского выбора. Требуется

формализовать условия, ограничивающие выбор потребителя. Тако-

выми являются прежде всего доход (бюджет) потребителя и цены

товаров. Если цену первого товара обозначить р

цену второго —

Р2,

а доход — М, то множество наборов, которые являются доступ-

ными для потребителя, удовлетворяет следующему неравенству:

Р\х\

+ Р2*2

£ М, (2.7)

где р\Х\ — расход на х\ единиц товара 7; /?2*2

—

расход на х

едини-

цы товара 2.

Среди множества доступных наборов особое место принадлежит

тем из них, которые стоят ровно М

ден.ед.

Для таких наборов (2.7)

выполняется как строгое равенство, т.е.

Р\

Р2

М. (2.8)

Они образуют бюджетное ограничение.

Бюджетное ограничение представляет собой отрезок прямой в

пространстве товаров. В этом легко убедиться, переписав (2.8) сле-

дующим образом:

X2=A-PiXi)/P2 +

M/p2.

(2.9)

Наклон прямой, задаваемой уравнением (2.9), определяется от-

ношением цен, а сдвиг ее относительно оси Х

— величиной М/р^.

Изобразим бюджетное ограничение (бюджетную линию) в про-

странстве товаров (рис. 2.2).

Если потребитель не приобретает ни одной единицы товара 7,

то очевидно, что весь свой доход он тратит на товар 2, приобретая

его в максимально возможном объеме, равном M/pi (рис. 2.2). В

случае отказа от товара 2 потребитель может приобрести М/р\ еди-

ниц товара 7. Таким образом, точки (0; M/pj) и (М/рф) являются

границами бюджетной линии.

При изменении цен, например цены товара 7, линия бюджетно-

го ограничения сдвигается либо ближе к началу координат (при по-

вышении цены товара 7 до р\\), либо отодвигается от начала коор-

динат (при понижении цены товара

до

р\?)

(рис. 2.3).

Когда меняется доход потребителя, бюджетная линия либо

опускается вниз (если М уменьшается до М\), либо смещается

вверх (если М возрастает до Mi) параллельно исходной бюджетной

линии (рис. 2.4).