Ивантер Э.В., Коросов А.В. Введение в количественную биологию

Подождите немного. Документ загружается.

Имитационное моделирование

260

ячейки которой заполнены формулами, имитирующими либо вы-

борку вариант (статические модели), либо ход процесса (динамиче-

ские модели). Каждая ячейка содержит формулу, которая вычисляет

соответствующее «модельное» значение варианты или характери-

стику системы на очередном временнóм шагу. Поскольку «объясни-

тельные» значения модельных переменных должны более или менее

совпадать с реальными наблюдениями, организуется процедура по-

иска таких (оптимальных) значений модельных параметров, кото-

рые делают отличия между моделью и реальностью наименьшими,

минимизируют «функцию отличий» («невязку»). Эта процедура оп-

тимизации выполняется с помощью отдельной программы «Поиск

решения», встроенной в пакет Excel. (Ответственное отношение к

моделированию требует понимания существа процедуры настройки!

(см.: Коросов, 2002).)

Помимо программирования самой модели и настройки ее па-

раметров требуется доказать значимость модельных параметров,

адекватность модели. Для решения этой задачи на листе Excel при-

ходится конструировать целую имитационную систему, состоящую

из следующих компонентов:

• блок исходных данных, зачастую состоящий из массива незави-

симых и зависимых переменных;

• блок расчета модельных данных, собственно имитационная мо-

дель, состоящая из уравнений; осуществляет расчет явных перемен-

ных и скрытых переменных;

• блок параметров, участвующих в расчете модельных данных и

изменяемых в процессе настройки;

• блок расчета отличий реальных и расчетных значений перемен-

ных;

• значение суммы отличий между моделью и реальностью (значе-

ние функции невязки); оно минимизируется в процессе настройки;

• блок процедуры настройки (программа «Поиск решения»);

• блок графического представления результатов;

• блок статистической оценки результатов.

В результате несложных действий мы получаем очень гибкий

инструмент описания действительности. В потенциях имитацион-

ной модели стать сложной и детализированной или, напротив, про-

стой и обобщающей, выражающей законы, управляющие миром.

Имитационное моделирование

261

Задача аппроксимации данных (статические модели)

Статические модели похожи на регрессионные; они выпол-

няют расчет модельных значений, опираясь на исходные реальные

выборочные данные. Меняется лишь процедура расчета модельных

параметров (коэффициентов в уравнениях) – вместо метода наи-

меньших квадратов используется итеративная процедура подгонки

результатов счета под исходные значения. Вследствие этого расши-

ряются возможности для аппроксимации любых зависимостей, воз-

можности для описания наблюдаемых явлений с помощью уравне-

ний самого разного вида и сложности, снимаются ограничения на

пропуски в данных, а для случая криволинейных зависимостей ре-

зультаты расчетов уточняются.

Моделирование – это не только инструмент преобразования

нагромождения фактов в емкую модельную формулу. Более инте-

ресна возможность анализировать сложное явление, представляя его

как объединение более простых взаимодействующих компонентов.

С помощью имитационной модели любая сложная кривая зависимо-

сти может быть представлена как сумма более простых кривых, па-

раметры уравнений которых приобретают биологический смысл.

Одна из часто встречающихся сложных кривых – параболическая

зависимость. Многие явления в жизни природы подчинены циклич-

ности, когда постепенное увеличение уровня изучаемого признака

сменяется плавным его падением. При этом за восходящую ветку

кривой, как правило, ответственны одни процессы, а за нисходящую

– другие (смертность). Результирующая параболическая кривая ока-

зывается следствием синтеза двух противоположных тенденций.

Рассмотрим пример модельного исследования одного слож-

ного процесса – изменения плодовитости рачка дафнии (Daphnia

magna Straus) во все возрастающих концентрациях лигнина, основ-

ного компонента сточных вод целлюлозно-бумажных комбинатов

(Калинкина, 1993). Опыт состоял в следующем. Дафний одного воз-

раста (7 дней) помещали в растворы с разными концентрациями

лигнина. Ежедневно в течение месяца собирали живую молодь.

Графическое изображение результатов опыта представляет собой

близкую к параболической зависимость плодовитости дафний (Е) от

все возрастающих концентраций лигнина ([Lig]) (рис. 10.1).

Имитационное моделирование

262

100

150

0 50 100 150 200 250

[Lig]

Рис. 10.1. Зависимость плодовитости дафний (Е)

от лигнина ([Lig])

Сначала решим простую задачу аппроксимации (приблизи-

тельного описания) исходных данных параболической кривой.

Введем на лист Excel данные, названия переменных (включая

модельную плодовитость), а также обозначения и предварительные

значения параметров (a, b, c), коэффициентов уравнения. Следую-

щая задача состоит в том, чтобы по формуле параболы рассчитать

теоретические значения плодовитости (Emod), соответствующие

данным концентрациям лигнина: E

a·[Lig]²

b·[Lig]

Введем эту формулу в ячейку C3 для расчета первого мо-

дельного значения. На листе Excel она представляет собой набор

Имитационное моделирование

263

ссылок, во-первых, на ячейки, содержащие значения аргументов

(столбец A), во-вторых, на ячейки, содержащие значения парамет-

ров модели ($F$3, $F$4, $F$5). Ссылки на параметры должны быть

абсолютными (содержать префиксы $), поскольку в расчетах разных

значений модели используются одни и те же значения параметров.

Далее следует скопировать введенную формулу в остальные

ячейки, например, с помощью операции «автозаполнение». Для это-

го нужно навести мышь на правый нижний угол выделенной ячейки

с формулой, чтобы появился курсор в виде черного крестика,

и, нажав левую кнопку, «протянуть» выделение по нескольким

ячейкам (C3:C7). Весь блок заполнится модельными формулами.

Имитационное моделирование

264

Правильность формул легко проверить, щелкнув мышкой на

любой ячейке блока и нажав функциональную клавишу F2; так же

выверяется правильность ссылок.

Рассчитанные значения плодовитости (от 1 до 40201) сильно

отличаются от реальных; предварительно заданные параметры явно

не подходят. Для «настройки» модели на действительность необхо-

димо рассчитать обобщенное отличие между ними; этой цели слу-

жит сумма квадратов разности между всеми значениями. Вводим

формулу определения различий: ф

mod

–

x)².

Автозаполнив ею ячейки блока D3:D7, рассчитаем суммар-

ное отличие Ф, например, в ячейке F2 =СУММ(D3:D7).

Имитационное моделирование

265

Теперь можно провести настройку модели, изменяя ее пара-

метры с помощью макроса оптимизации, который вызывается ко-

мандой меню Сервис\ Поиск решения.

В появившемся окне нужно с помощью мыши:

- Установить целевую ячейку (с суммой разности квадратов),

- Равной значению 0,

- Изменяя ячейки (со значениями параметров).

После этого нажать кнопку Выполнить, и в появившемся

окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить результа-

ты и рассмотреть их.

Имитационное моделирование

266

Итак, для описания эмпирической зависимости настройка

предлагает следующие коэффициенты модели (рис. 10.2):

Emod

–0.007·[Lig]²

1.1234·[Lig]

94.22. 7

100

0 50 100 150 200

[Lig]

Emod

Рис. 10.2. Модель зависимости плодовитости (Е) от лигнина ([Lig])

Корреляция между реальными и модельными значениями со-

ставила: r

E,Emod

0.953. Полученная модель хорошо описывает пра-

вые точки (50–200 мг/л), но для небольших концентраций (5 мг/л) ее

прогноз оказался заниженным (100 против 115 экз.).

Такое же уравнение в среде Excel можно построить с помо-

щью программы «Добавить линию тренда».

Преимущество имитационных моделей перед описательными

регрессионными состоит в том, что они с легкостью могут послу-

жить средством анализа сложной зависимости, разложения ее на со-

ставные компоненты, т. е. для получения моделей, более понятных и

адекватных исходным данным.

Имитационное моделирование

267

Продолжим исследование реакции дафний на лигнин с по-

мощью имитационного моделирования с целью объяснить существо

наблюдаемого процесса.

Помимо регистрации живой молоди проводились и другие

наблюдения. В частности, в высоких концентрациях на дне сосудов

наблюдались скопления останков (карапаксов) погибшей молоди, не

вошедшей в учет. Кроме того, к концу опытов даже невооруженным

глазом было видно, что дафнии в контроле существенно мельче

дафний из опытных сред.

Эти наблюдения позволяют определить два возможных фак-

тора, ответственных за изменение плодовитости. Во-первых, лигнин

явно стимулировал рост животных и крупные особи стали давать

больше молоди; для Cladocera это явление широко известно. Во-вто-

рых, в высоких концентрациях лигнина возросла смертность

новорожденных, что и снизило общую плодовитость; этот эффект

также обычен для интоксицированных дафний.

Параболическая кривая плодовитости, следовательно, обра-

зована обобщением двух простых монотонно возрастающих кри-

вых: это рост потенциальной плодовитости с ростом размеров тела и

рост смертности молоди в возрастающих концентрациях лигнина.

Определение параметров этих уравнений и составляет очередную

задачу моделирования.

Решить ее можно даже в отсутствие данных по размерам те-

ла, напрямую связав рост плодовитости рачков с увеличением кон-

центрации лигнина (мг/л). Тогда модель должна быть представлена

тремя уравнениями:

– связь потенциальной плодовитости (экз./самку/30 дней) и разме-

ров тела, зависящих от концентрации лигнина: Ep

⋅

[Lig]

– зависимость смертности от концентрации лигнина: Ed

⋅

[Lig]

– результирующая, наблюдаемая плодовитость: Emod

–

Ed,

где a, b, c, d – модельные параметры.

Здесь две модельные переменные, потенциальная плодови-

тость (Ep) и смертность (Ed), оказываются скрытыми (латентными),

они используются для расчета одной явной переменной – результи-

рующей плодовитости (Emod). При этом обе скрытые переменные

определяются одной общей для них независимой переменной [Lig].

Имитационное моделирование

268

Имитационную систему на листе Excel следует дополнить

этими уравнениями (табл. 10.1), которые в формате Excel примут

такой вид (например, для ряда 4):

C4 =$H$3*A4^$H$4,

D4 =$H$5*A4^$H$6,

E4 =C4-D4.

Таблица 10.1

Для того чтобы модельные уравнения правильно отображали

тенденции изменения соответствующих переменных, значения их

параметров необходимо задать, хотя бы приблизительно, еще перед

настройкой (метод биологического правдоподобия). Так, рост пло-

довитости может начаться только со значения 81 экз. (плодовитость

в контроле); примем начальную величину первого параметра на

уровне a = 80. Поскольку рост плодовитости идет не очень интен-

сивно, примем степенной параметр равным b

0.1 (с этими пара-

метрами первые значения потенциальной и реальной плодовитости

почти совпадут). Смертность, в отличие от плодовитости, напротив,

возрастает очень резко (примем d

2), начавшись с низкого уровня

(например, c

0.01). Подставив эти примерные величины парамет-

ров в имитационную систему, получим приблизительное описание

изменения плодовитости дафний в разных концентрациях раствора.

Далее, используя макрос оптимизации («Поиск решения»),

удается получить хорошее решение, тесное совпадение модельных и

реальных данных (табл. 10.2, рис. 10.3).

Имитационное моделирование

269

Таблица 10.2

100

150

0 50 100 150 200 250

[Lig]

Emod

Рис. 10.3. Рост потенциальной плодовитости и смертности

молоди в возрастающих концентрациях лигнина.

Корреляция между реальными и модельными значениями со-

ставила: r

E,Emod

0.996, стала немного выше, чем для первой модели.

Новая модель в целом лучше описывает процесс, в частности, Emod

ближе к E для низких концентраций. Объясняется это тем, что «от-

ветственность» за восхождение и падение кривой общей плодовито-

сти разделили между собой два уравнения, которые с помощью раз-

ных наборов параметров описывают частные механизмы изучаемого

явления.