Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

мещениях (1 – 2ν)∇

U + ∇(∇U) = 0 и определению дислокации

∫

= bUd. Из закона Гука для изотропной среды:

,ε2σ

ijij

),ε

ε(2σ

lliiii

−

+= (2.38)

где ε

= ε

+ ε

– дилатация (относительное изменение объе-

ма), ν – коэффициент Пуассона.

Сначала исследуем качественно возможный вид решения (сим-

метрию поля и структуру тензора деформаций) для простейшего

случая бесконечной прямолинейной дислокации в неограниченной

однородной изотропной упругой среде. На рис. 2.41 представлена

схема обозначения компонент напряжения в декартовых (а) и ци-

линдрических (б) координатах.

Рис. 2.41. Определение компонент напряжения в декартовых (а)

и цилиндрических (б) координатах

Упругие напряжения вокруг винтовой дислокации можно пред-

ставить, если рассмотреть деформацию цилиндрического кольца

изотропного материала.

Здесь мы по известным причинам исключаем из рассмотрения

ядро дислокации (r

– радиус ядра). Рассмотрим винтовую дисло-

кацию АВ в кристалле (см. рис. 2.25) и сопоставим ее с деформиро-

ванным цилиндрическим кольцом изотропного материала. Можно

видеть, что искажения в обоих случаях подобны (рис. 2.42). В

кольце сделан радиальный разрез, параллельный оси z (или дисло-

кации в кристалле). Затем поверхности разреза жестко смещены по

отношению друг к другу на расстояние b, равное величине вектора

231

Бюргерса в направлении z. В кольце (r – r

) образуется однородная

деформация сдвига, причем смещение в любой точке будет парал-

лельно дислокации. Из-за реальной симметрии этой конфигура-

ции полное смещение b должно быть одинаковым на круговом

пути вокруг дислокации, т.е. при любом r (r

> r > r

У винтовой дислокации с осью l вдоль

оси z одна компонента вектора Бюргерса:

= b. Поскольку направления b и t совпа-

дают, ось x можно направить произвольно –

поле имеет симметрию цилиндра (ось дис-

локации – ось симметрии бесконечного по-

рядка). Тогда при b

= b

= 0 смещения по x

и y в любой точке поля U

= 0, U

= 0 (иначе

по условию

232

0d =

∫

U существовали бы точ-

ки, где U

> 0 и U

< 0, что нарушает сим-

метрию).

Единственная компонента смещения, от-

личная от ноля, U

. Винтовая дислокация

характеризуется симметрией переноса от-

носительно оси z , т.е.

∂

и ε

= 0. Из

условия U

= 0, U

= 0 и )(

)(

∂

=ε следует ε

= ε

= 0.

В любой точке

r тензор деформации поля винтовой дислокации

имеет вид:

Рис. 2.42. Создание поля

упругих искажений,

характеризующих винтовую

дислокацию

Рис. 2.43. Контур Бюргерса

для винтовой дислокации

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0εε

ε00

zyzx

. (2.39)

Поле деформации винтовой дислока-

ции находится непосредственно из опре-

деления bU =

∫

d в цилиндрических коор-

динатах (рис. 2.43).

Рассмотрим смещение U

на окружности r = const. В силу сим-

метрии задачи его изменение 0=

∂

не должно зависеть от

выбора начала отсчета θ. Значит U

(θ) ~ θ, а из условия bU

∫

следует, что θ

π2

= . Поскольку

arctgθ = , в прямоугольных

координатах в результате дифференцирования U

из формулы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

=ε

)(

получим:

ε = = (

π4

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ )(

233

ε = = – (

π4

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ )(

= 2G , (2.40)

τ = = (

π2

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ )(

= – (

π2

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ )(

Еще проще вид σ

в цилиндрических координатах. Поскольку

выбор направления

r безразличен, положим r = x, y =0. Тогда из

выражения следует, что

= τ

= 0, τ

θz

= τ

zθ

= Gb/2πr, (2.41)

т.е. существует всего одна пара ненулевых компонент касательных

напряжений τ

θz

В любой системе координат любые компоненты поля напряже-

ний – линейные функции от напряжений. Поэтому с удалением от оси

дислокации все напряжения монотонно убывают как 1/r.

Поле напряжений краевой дислокации более сложно, чем у винтовой,

но его можно представить также с помощью упругого кольца (рис.

2.44).

Для краевой дислокации с осью z и век-

тором Бюргерса по оси x b

= b

= 0;

234

∫

= bU

d. Смещение по оси z U

= 0 (ина-

че U

зависело бы от выбора положительно-

го направления оси z , которое нельзя обу-

словить направлением

b). Вместе с условием

∂

о дает для поля краевой дислока-

ции:

эт

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

000

0εε

yyyx

xyxx

. (2.42)

Тензор напряжений σ

получается из тен-

зора деформаций с помощью закона Гука. Его единственное отли-

чие от ε

по структуре заключается в том, что σ

≠ 0 (поскольку

, пуассоново поперечное сжатие запрещено, растяжение по

осям x и y вызывает напряжения по оси z:

0ε ≠

Рис. 2.44. Создание поля

упругих искажений,

характеризующих

краевую дислокацию

= ν(σ

+ σ

) ≠ 0.

Компоненты напряжения, определенные в теории упругости, в

полярных координатах будут следующие:

θsin

σσ

−==

θcos

ττ

θθ

== (2.43)

)σσ(νσ

0ττττ

θθ

zzzrrz

Здесь

)ν1(π2 −

где G – модуль сдвига.

В прямоугольных координатах компоненты напряжений будут

иметь вид:

222

)(

)3(

−= ,

222

)(

−

= ,

(2.44)

222

)(

yxxy

−

=τ=τ ,

)(

yyxxzz

zyyzzxxz

Итак, тензоры напряжений для винтовой и краевой дислокаций будут

иметь, соответственно, следующий вид:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

0ττ

τ00

zyzx

и . (2.45)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

yyyx

xyxx

σ00

0στ

0τσ

кр

Сравнение вида тензоров указывает на важные качественные разли-

чия поля краевой и винтовой дислокаций. Во-первых, только в поле

краевой дислокации деформация плоская (нет деформации по оси

z). Во-вторых, первые инварианты тензора деформации ε

= ε

+ ε

и напряжения σ

для винтовой дислокации всюду равны

нулю (для краевой не равны). В поле винтовой дислокации нигде

нет гидростатического давления (

р ). У краевой дислока-

ции оно есть. Отсюда, в частности, следуют коренные различия во

взаимодействиях винтовой и краевой дислокаций с точечными де-

фектами.

В бесконечной среде поле напряжений дислокации убывает как

1/r, не достигая нуля ни на каком расстоянии от оси дислокации.

Поэтому в ограниченном объеме со свободной поверхностью S по-

ле напряжений должно быть другое. Чтобы его найти, надо вычис-

лить напряжения σ

(S) на поверхности S (как для бесконечной сре-

ды) и приложить к поверхности напряжения σ

(S), противополож-

ные им по знаку, чтобы уничтожить силы на поверхности. Резуль-

тат, вообще говоря, будет сложным образом зависеть от формы

235

кристалла. Поле сил, распределенных на поверхности тела, не на-

растает вглубь тела, а поле дислокации нарастает как r

–1

. Поправка

существенна лишь там, где до поверхности ближе, чем до оси дис-

локации, и в большинстве задач пользуются выражением для поля

в бесконечной среде. Также малы поправки и когда оси дислокации

выходят на поверхность.

Условия на поверхности важны, когда дислокация движется к

поверхности (или от нее). Для дислокации в полупространстве яс-

но, что энергия всего поля убывает с приближением ее к поверхно-

сти (чем ближе граница к оси дислокации, тем большая часть поля

заменена пустотой). Следовательно, дислокация притягивается к

свободной поверхности. Силу притяжения вычисляют, как в элек-

тростатике, как «силу изображения» от фиктивной «дислокации

зеркального отражения» в бесконечной среде.

Все выражения для поля дислокации имеют вид σ ~ 1/r. Они яв-

но неприемлемы вблизи оси дислокаций, поскольку предсказывают

σ → ∞ при r → 0. Во-первых, деформации е ~

π4

найдены в при-

ближении линейной упругости, которое верно лишь при малых де-

формациях (e ≤ 0,05), т.е. при

3≥

. Поэтому, кроме упругого по-

ля, следует отдельно рассматривать ядро дислокации – область

около оси радиусом r

~ (2 – 3)b, где линейная теория упругости

неприменима. Во-вторых, в ядре не применимо и само приближе-

ние упругой среды: размеры ядра соизмеримы с межатомными рас-

стояниями b. Надо исследовать парные взаимодействия, «сшив»

поле смещений по периметру ядра

U(r) с известным упругим полем

U(r) вне ядра, чтобы найти энергию ядра и напряжение τ

– силу

Пайерлса, достаточную для смещения оси ядра на период

b (усло-

вие старта прямолинейной дислокации при температуре Т = 0).

Энергия дислокации. Так как вокруг дислокации существует

поле напряжений, следует предположить, что с дислокацией связа-

на энергия искажения. Она равна работе, выполненной при образо-

вании дислокации. Общую энергию искажений можно разделить на

две части – упругую энергию и энергию ядра дислокации, т.е.

Е = Е

упр

+ Е

яд

236

Упругую энергию искажений можно подсчитать, взяв значения ком-

понент напряжения из выражения, τθ

= τ

θ =

)1(π2 ν−

⋅

θcos

для

краевой дислокации (2.49) и τθ

= τ

θ =

π2

для винтовой дислока-

ции (2.41).

Для винтовой дислокации работа, выполненная при перемещениях

граней кристалла единичной длины на расстояние b в направлении

скольжения друг относительно друга будет равна (см. рис. 2.42):

упр

∫∫ ∫

===

),ln(

π4

π22

dτ

rGb

rbSb (2.46)

где r

– внешний диаметр кристалла.

В период сдвига напряжение линейно возрастает от 0 до t. По-

этому надо брать среднюю за весь период сдвига величину напряже-

ния, равную 1/2 . Произведение этого напряжения на площадь, по τ

которой происходит сдвиг, дает нам силу сдвига, а произведение

силы сдвига на величину смещения дает искомую работу сдвига. Но

касательные напряжения на разном расстоянии от оси дислокации

различны (они убывают с увеличением этого расстояния). Поэтому

приходится брать интеграл касательных напряжений по всей пло-

щади сдвига. При числовой оценке Е

упр

необходимо учитывать, что

в реальных кристаллах дислокации располагаются различным об-

разом, так что их поля напряжений местами усиливаются, местами

компенсируются. Можно считать, что в среднем расстояние r

, на

котором поле данной дислокации компенсировано полями сосед-

них, порядка среднего расстояния между ними r

≈

–1/2

(ρ – ρ

плотность дислокаций).

Для краевой дислокации

упр

∫∫∫

−

)ν1(π2

θcos

dτ

θθ

rGb

rbrb

(см. рис. 2.44). Если разрез сделан вдоль плоскости скольжения

cos θ = 1, то

237

упр

= ).ln(

)ν1(π4

rGb

−

(2.47)

Таким образом, упругая энергия краевой дислокации больше, чем у

винтовой в

)ν1(

−

раз (ν ≈ 0,25). Если взять

r = 1 см, r

= 10

–7

см,

G = 4⋅10 дин·см

–2

, b – 2,5·10

–8

см, получим значение упругой энер-

гии искажений для краевой дислокации около 5·10

–4

эрг·см

–2

или

около 8 эВ на каждую атомную плоскость, пронизываемую дисло-

кацией.

Оценки энергии ядра дислокации являются очень приближен-

ными. Они позволяют предположить, что энергия ядра дислокации

составляет величину порядка 0,5–1,5 эВ на каждую атомную плос-

кость, пронизываемую дислокацией, т.е. это всего лишь небольшая

доля упругой энергии. Как уже отмечалось, большинство дислока-

ций имеют смешанный краевой и винтовой характер. При подсчете

энергии таких дислокаций их можно рассматривать как сумму этих

двух дислокаций. Вектор b смешанной дислокации можно разло-

жить на вектор Бюргерса краевой дислокации b

и винтовой дисло-

кации b

. Если θ – угол между вектором Бюргерса смешанной дис-

локации и линией дислокации, то векторы Бюргерса этих дислока-

ций будут иметь компоненты b

= bsinθ, b

= bcosθ . Тогда общая

энергия будет представлять сумму собственных энергий краевой и

винтовой дислокаций:

упр

= =

−

)ln()

π4

cos

)ν1(π4

sin

(

2222

rGbGb

)θcos1)(ln(

)ν1(π4

ν−

−

rGb

. (2.48)

Эта величина является промежуточным значением между энер-

гиями краевой и винтовой дислокаций. По виду выражений для

энергии краевой, винтовой и смешанной дислокаций можно за-

ключить, что величина энергии на единицу длины относительно не

чувствительна к характеру дислокации. Взяв реальные величины r

и r

, все уравнения можно записать в виде

238

упр

α)cos1(ln

)ν1(π4

rGb

=θν−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

, (2.49)

где α = 0,5–1,0.

Таким образом, можно сделать следующие выводы: энергия

дислокации пропорциональна квадрату величины вектора Бюр-

герса; энергия дислокации пропорциональна ее длине. По порядку

величины энергии различных дислокаций совпадают.

Энергия дислокации даже длиной в одну атомную плоскость

(т.е. L = b) велика:

= .

GbLGb = (2.50)

При G = 30 ГПа и b = 3·10

–8

см она составит E

≈ 2,5 эВ.

Как известно, термодинамическому равновесию отвечает концен-

трация дефектов N = N

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

, где

Е – энергия зарождения де-

фекта, a N

– число мест, где он может зародиться. Вычислим, на-

пример, термически равновесную концентрацию дислокационных

петель с радиусом 3b при комнатной температуре (kT = 2,5·10

–2

эВ):

π2

= 56,5 эВ.

Если N

= 10

см

(не может быть больше, чем число атомов), то

N = 10

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

−2

102,5

56,5

≈ 10

–960

см

т.е. одна термическая равновесная петля на куб материала ребром

больше размера видимой Вселенной. Таким образом, дислокации

ни при каких условиях испытаний не могут быть термически рав-

новесными дефектами, они являются следствием предшествовав-

ших силовых воздействий на материал.

Термическому равновесию отвечает плотность дислокаций,

равная нулю, но вследствие высоких энергетических барьеров

полное термодинамическое равновесие оказывается обычно не-

достижимым, в результате чего ни при каких отжигах плотность

дислокаций не уменьшается до нуля.

239

240

Силы, действующие на дислокацию. Движение дислокации

вызывает пластическую деформацию кристалла, т.е. дислокация

совершает работу. Учитывая это, будем оперировать представле-

нием о действии некоторой силы на линию дислокации как на са-

мостоятельный физический объект. Фактически же дислокация не

частица, не тело, а особая конфигурация в расположении атомов.

Следовательно, речь идет о силе, действующей на эту конфигура-

цию. Такую силу не следует смешивать с силами, действующими

на атомы.

При рассмотрении атомного механизма перемещения право-

винтовой дислокации мы видели, что в области ядра дислока-

ции атомы смещаются вниз и вверх в направлении действующих

на них сил, а сама конфигурация, называемая винтовой дислока-

цией, перемещается вправо перпендикулярно этому направлению.

В рассматриваемом случае можно говорить о силе, действующей

на дислокацию и направленной перпендикулярно приложенным

касательным напряжениям.

Введение понятия силы, действующей на линию дислокации,

– это всего лишь способ описания тенденции дислокационной

конфигурации к движению через кристалл. Не существует физиче-

ской силы, действующей на дислокацию, в том смысле, как, на-

пример, сила, которая перемещает стержень. Определение силы,

действующей на дислокацию, может быть дано следующим обра-

зом:

действующие на дислокацию силы являются виртуальными

силами, представляющими изменение свободной энергии системы

при движении дислокации

В общем случае на дислокацию действуют силы разного проис-

хождения: внешние силы, приложенные к поверхности кристалла;

внутренние силы от действия поля напряжений вокруг соседних

дислокаций, инородных атомов и других несовершенств.

Сначала определим работу, которая совершается внешними си-

лами на сдвиг одной части кристалла относительно другой на ве-

личину b. Затем предположим, что эта же работа совершается в ре-

зультате пробега дислокации с одной части кристалла на другой.

Приравняв полученные выражения, определим силу, действующую

на дислокацию.