Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4

Подождите немного. Документ загружается.

4.2 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

4.2.1. Слу чай ные со бы тия

1) Ос нов ные по ня тия

Cобытие — это все то, что мо жет про изой ти, а мо жет и не про -

изой ти. Очень важ но, что бы со бы тия, ко то рые мы срав ни ва ем, при над -

ле жа ли од но му мно же ст ву. Эле мен ты это го мно же ст ва на зы ва ют ся эле -

мен тар ны ми со бы тия ми.

При мер. Пред ло же ние: «вы бе ри те, по жа луй ста, пой ти на пра во,

на ле во или про чи тать но вый де тек тив» зву чит не ле по, так как по след -

ний ва ри ант при над ле жит другому множеству.

К од но му мно же ст ву при над ле жат со бы тия: «пой ти на лек цию,

пой ти в ки но или поспать».

Со бы тия мо гут об ла дать со вер шен но раз ны ми ка че ст ва ми, или,

как го во рят, раз лич ной цен но стью ин фор ма ции: на при мер, «Ма ша лю -

бит сыр», или «Маша любит Колю».

Со бы тия име ют ие рар хи че скую струк ту ру: на при мер, ка ж дый че -

ло век, ро див шись, спер ва вы би ра ет язык об ще ния (это оп ре де ля ет ся ок -

ру же ни ем), за тем че ло век вы би ра ет спе ци аль ность и так да лее. По это му

так же не ле по зву чит фра за: «Вы бе ри те, по жа луй ста, кем вы хо ти те

стать: фи зи ком, химиком или французом». Это события различных

уровней.

Бу дем рас смат ри вать со бы тия од но го мно же ст ва, ка че ст ва, уров -

ня и обо зна чать их боль ши ми бу к ва ми A, B, C … .

Два со бы тия на зы ва ют ся не со вмес ти мы ми, ес ли на сту п ле ние од -

но го из них ис клю ча ет на сту п ле ние другого.

При мер. Со бы тие A — пой ти на ле во, со бы тие B — пой ти на пра во.

Со бы тие на зы ва ет ся дос то вер ным, ес ли оно не мо жет не про изой -

ти в ус ло ви ях данного опыта.

При мер. Мо не та упа дет или «ор лом» или «реш кой».

Со бы тие на зы ва ет ся не воз мож ным, ес ли оно не мо жет про изой ти

при вы пол не нии оп ре де лен но го комплекса условий.

При мер. Мо не та не мо жет упасть на реб ро.

Два со бы тия, од но из ко то рых ис клю ча ет воз мож ность на сту п ле -

ния дру го го, на зы ва ют ся про ти во по лож ны ми.

При мер. «Орел» и «реш ка».

Чис ло, яв ляю щее ся вы ра же ни ем ме ры объ ек тив ной воз мож но сти

на сту п ле ния со бы тия, на зы ва ет ся его ве ро ят но стью и обо зна ча ет ся

сим во лом P(A). Чи та ет ся «ве ро ят ность со бы тия A».

Тео ре ма 1. Ве ро ят ность со бы тия A рав на от но ше нию чис ла слу ча -

ев m, бла го при ят ст вую щих ему из об ще го чис ла n един ст вен но воз мож -

ных и не со вмес ти мых слу ча ев, к чис лу n:

P(A) = m/n (клас си че ская ве ро ят ность) (4.2.1)

При мер. Име ет ся 100 оди на ко вых де та лей, сре ди ко то рых 3 бра -

ко ван ных. Най ти со бы тие A — по яв ле ние хо ро шей де та ли. Это му со бы -

тию бла го при ят ст ву ет 97 слу ча ев, сле до ва тель но, ве ро ят ность со бы -

тия A: P(A) = 97/100 = 0,97. Ве ро ят ность по яв ле ния бра ко ван ной де та ли

(со бы тие B): P(B)= 3/100 = 0,03.

След ст вие 1. Ве ро ят ность лю бо го со бы тия не мо жет быть мень ше

ну ля и боль ше еди ни цы. Дей ст ви тель но: со бы тие A удов ле тво ря ет не ра -

вен ст ву:

0 £ m £ n. Раз де лим это не ра вен ст во на n, и по лу чим: 0 £ m/n £ 1

или 0 £ P(A) £ 1.

След ст вие 2. Ве ро ят ность дос то вер но го со бы тия рав на еди ни це.

Дей ст ви тель но: для дос то вер но го со бы тия m = n, то есть P(A) = 1.

След ст вие 3. Ве ро ят ность не воз мож но го со бы тия рав на ну лю.

Дей ст ви тель но: m = 0, то есть P(B) = 0.

2) Сло же ние ве ро ят но стей

Тео ре ма 2. Ес ли со бы тия A и B не со вмес ти мы, то ве ро ят ность то -

го, что про изой дет од но из этих со бы тий рав на сум ме ве ро ят но стей на -

сту п ле ния ка ж до го со бы тия.

До ка за тель ст во. Пусть из об ще го чис ла n слу ча ев, со бы тию A бла -

го при ят ст ву ют k слу ча ев, а со бы тию B — t слу ча ев, то гда P(A) = k/n;

P(B) = t/n. По ус ло вию со бы тия A и B не со вмес ти мые. По это му,

со бы тию «или A, или B» бла го при ят ст ву ет (k + t) слу ча ев. P (или A,

или B) = (k + t)/n = k/n + t/n , то есть P(или A, или B) = P(A) + P(B).

След ст вие. Сум ма ве ро ят но стей всех един ст вен но воз мож ных со -

бы тий рав на единице.

P(A

) + P(A

) + … + P(A

) = 1.

При мер 1. Пар тия из 200 де та лей со дер жит:

) I сор та — 150 де та лей;

) II сор та — 30 де та лей;

) III сор та — 16 де та лей;

) брак — 4 де та ли.

Ве ро ят ность вы брать нау да чу де та ли I или II сор та: P(A

) =

= 150/200 = 0,75; P(A

) = 30/200 = 0,15; P (A

или A

) = 0,75 + 0,15 = 0,90.

Ве ро ят ность вы брать лю бую де таль: P(A

)+P(A

) =

= 0,75 + 0,15 + 0,08 + 0,02 = 1.

При мер 2. Воз ле ва шей ос та нов ки ос та нав ли ва ют ся трол лей бу сы

№№ 5, 8, 1, 6. Вам нуж ны толь ко № 5 и № 8. Вы чис лить ве ро ят ность то -

го, что к ва шей ос та нов ке пер вым по дой дет нуж ный вам мар шрут, ес ли

трол лей бу сы кур си ру ют в ко ли че ст ве: № 5 — 15 шт; № 8 — 12 шт; № 1 —

10 шт; № 6 — 13 шт.

Все го кур си ру ет 15 + 12 + 10 + 13 = 50 трол лей бу сов.

= 15/50 = 0,3; P

= 12/50 = 0,24;

P (5 или 8) = P

+ P

= 0,3 + 0,24 = 0,54,

что и со став ля ет ве ро ят ность по яв ле ния сту ден та на лек ции.

3) Ум но же ние ве ро ят но стей

Два со бы тия на зы ва ют ся за ви си мы ми, ес ли ве ро ят ность ка ж до го

из них ме ня ет ся, ко гда ста но вит ся из вест ным, что другое имеет место.

Ве ро ят ность со бы тия A, вы чис лен ная в пред по ло же нии, что со -

бы тие В на сту пи ло, на зы ва ет ся ус лов ной ве ро ят но стью со бы тия A.

Обо зна че ние: P

(A) в от ли чие от без ус лов ной ве ро ят но сти P(A).

При мер. Есть два стан ка. На пер вом стан ке из го тав ли ва ет ся 200

де та лей, из них 180 год ных; на вто ром стан ке из го тав ли ва ет ся 300 де та -

лей, из них 260 год ных. Без ус лов ная ве ро ят ность взять год ную де таль —

P(A):

P(A) = (180 + 260) / (200 + 300) = 0,88.

Ес ли же ста ло из вест но, что де таль взя ли с пер во го стан ка

(то есть про изош ло со бы тие B),то ве ро ят ность со бы тия A рав на:

P Ç (A) = 180/200 = 0,9.

Тео ре ма 3. Ве ро ят ность то го, что про изой дут со бы тие A и со бы тие

B, рав на про из ве де нию ве ро ят но сти од но го из них на ве ро ят ность вто -

ро го, вы чис лен ную в пред по ло же нии, что пер вое со бы тие име ло ме сто:

P(и A, и B) = P(A) P

(B).

До ка за тель ст во: Пусть все го из n слу ча ев, m бла го при ят ст ву ют со -

бы тию A . То гда P(A) = m/n. Пусть из m слу ча ев, бла го при ят ст вую щих A,

k слу ча ев бла го при ят ст ву ют B. То гда P

(B) = k/m. Со бы тию «и A, и B»

бла го при ят ст ву ют толь ко k слу ча ев из n: P (и A, и B) = k/n.

P (и A, и B) = k/n = (mk)/(nm) = (m/n)(k/m) = P(A) P

(B).

Со бы тия A и B иг ра ют оди на ко вую роль, по это му P(и A, и B) =

= P(B) P

(A).

Со бы тие A на зы ва ет ся не за ви си мым от со бы тия B, ес ли ве ро ят -

ность со бы тия A не из ме ня ет ся, ко гда ста но вит ся из вест ным, что со бы -

тие В име ет ме сто. P(A) = P

(A) и P

(B) = P(B), то есть со бы тия A и B

независимы.

Тео ре ма 4. Ес ли со бы тие A и B не за ви си мые, то ве ро ят ность то го,

что про изой дут и со бы тие A, и со бы тие B, рав на про из ве де нию их ве ро -

ят но стей.

До ка за тель ст во. По тео ре ме 3: P(и A, и B) = P(A) P(B).

При мер. Ве ро ят ность без от каз ной ра бо ты ав то ма ши ны — 0,9.

Най ти ве ро ят ность без от каз ной ра бо ты двух автомашин.

P(и A, и B)

= × =0 9 0 9 0 81, , , .

Обоб ще ние на не сколь ко не за ви си мых со бы тий:

Тео ре ма 4а. Ес ли со бы тия A, B, …, L не за ви си мы в со во куп но сти,

то ве ро ят ность то го, что про изой дут со бы тия и A, и B, …, и L, рав на про -

из ве де нию их ве ро ят но стей:

P(и A, и B, …, и L) =

P A P B P L( ) ( ) ( ).× × ×K

При мер. На де ся ти кар точ ках сто ят циф ры 1, 2, 3, 4, …, 8, 9, 0. Ка -

ко ва ве ро ят ность вы брать нау да чу циф ры 1, 2, 5?

Со бы тие A: вы брать кар точ ку «1»: P

= 1/10.

Со бы тие B: вы брать кар точ ку «2»: P

= 1/9.

Со бы тие C: вы брать кар точ ку «5»: P

= 1/8.

P(и A, и B, и C) = 1/10 × 1/9 × 1/8 = 1/720.

4) Пол ная ве ро ят ность

При мер. Три за во да вы пус ка ют лам поч ки. На 100 лам по чек: I за -

вод вы пус ка ет — 10 бра ко ван ных лам по чек — и обес пе чи ва ет 50% лам -

по чек го ро да; II за вод вы пус ка ет — 15 бра ко ван ных лам по чек — и обес -

пе чи ва ет 30% лам по чек го ро да; III за вод — 20 бракованных лампочек —

20% лампочек города.

На до най ти ве ро ят ность ку пить хо ро шую лам поч ку P(F).

Ве ро ят ность со бы тия - из го тов ле ние лам по чек заводом:

I-ым за во дом: P(A

) = 0,5;

II-ым за во дом: P(A

) = 0,3;

III-им за во дом: P(A

) = 0,2.

Ве ро ят ность лам поч ки быть хо ро шей при ус ло вии из го тов ле -

ния на:

I-ом за во де:

(F) = 0,90; II-м за во де:

(F) = 0,85; III-м за во де:

(F) = =0,80.

Ис ко мое со бы тие F бу дет иметь ме сто ес ли про изой дут:

•

или со бы тие K: лам поч ки из го тов ле ны на I-м за во де:

P(K) = P(A

) ×

(F) = 0,5 × 0,9 = 0,45;

•

или со бы тие M: лам поч ки из го тов ле ны на II-м за во де:

P(M) = P(A

) ×

(F) = 0,3 × 0,85 = 0,255;

•

или со бы тие L: лам поч ки из го тов ле ны на III-м за во де:

P(L) = P(A

) ×

(F) = 0,2 × 0,8 = 0,16.

Со бы тия K,L и M яв ля ют ся не со вмес ти мы ми, по это му пол ная ве -

ро ят ность ку пить хо ро шую лам поч ку:

P(F) = P(или K, или M, или L) = P(K) + P(M) + P(L) = P(A

) ×

(F) +

+ P(A

) ×

(F) + P(A

) ×

(F) = 0,5 × 0,9 + 0,3 × 0,85 + 0,2 × 0,8 = 0,45 +

+ 0,255 + 0,16 = 0,865.

Тео ре ма 5. В об щем ви де фор му ла пол ной ве ро ят но сти име ет вид:

P(F) = P(A

) ×

(F) + P(A

) ×

(F) +…+ P(A

) ×

(F) =

P A P F

( ) ( )×

5) Фор му ла Бай е са

По при ме ру из пре ды ду ще го раз де ла, по ста вим сле дую щие во про -

сы: на ка ком за во де из го тов ле на ку п лен ная лам поч ка; или, ка ко ва ве ро -

ят ность, что ку п лен ная лам поч ка (хо ро шая) из го тов ле на на I-м за во де:

Ве ро ят ность, что лам поч ка из го тов ле на на I-ом за во де и хорошая:

P(A

) ×

(F) = P(F) × P

так как со бы тия оди на ко вы (тео ре ма 3), то есть

P A

P A P F

P F

( )

( ) ( )

( )

а P(F) вы ра зим по фор му ле пол ной ве ро ят но сти:

P A

P A P F

P A P F P A P F P A

A A

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

× + × + ×

= × × + × + × =

P F

0 5 0 9 0 5 0 9 0 3 0 85 0 2 0 8 0 45 0 8

( )

, , ( , , , , , , ) , , 65 0 520= , .

Ве ро ят ность то го, что хо ро шая лам поч ка из го тов ле на на II заводе:

P A

P A P F

P A P F P A P F P A

A A

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

× + × + ×

= =

P F

0 255 0 865 0 295

( )

, , , .

На треть ем за во де:

P A

P A P F

P A P F P A P F P A

A A

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

× + × + ×

= =

P F

016 0 865 0185

( )

, , , .

Те перь сфор му ли ру ем во про сы в са мом об щем виде:

Пусть: а) не ко то рое со бы тие F мо жет иметь ме сто толь ко при на -

сту п ле нии од но го из со бы тий A

, A

, …, A

, об ра зую щих пол ную сис те -

му. Ве ро ят но сти P(A

), P(A

), …, P(A

) — известны.

б) из вест ны так же ве ро ят но сти со бы тия F при ус ло вии на сту п ле -

ния ка ж до го из со бы тий A

, A

, …, A

. Они рав ны

(F),

(F), …,

(F).

Ка ко ва ве ро ят ность со бы тия A

, ес ли из вест но, что со бы тие F

наступило?

От вет да ет фор му ла Бай е са:

P A

P A P F

F i

( )

( ) ( )

, (4.2.2)

то есть это по сле опыт ные ве ро ят но сти при всех n воз мож ных ги по те зах:

, A

, …, А

. По это му фор му лу Бай е са на зы ва ют фор му лой ги по тез. Она

слу жит для оцен ки ве ро ят но стей ги по тез A

, A

, …, A

по сле то го как со -

бы тие F на сту пи ло.

6) Фор му ла Бер нул ли

За да ча: Пусть есть не за ви си мое ис пы та ние, ко то рое мо жет на сту -

пить с ве ро ят но стью p. На до най ти ве ро ят ность P

то го, что из n опы тов

ров но m окажутся успешными.

Ре ше ние: m ис пы та ний со став ля ют не упо ря до чен ное под мно же -

ст во мно же ст ва n, сле до ва тель но, их чис ло рав но чис лу со че та ний по m

из n. Ве ро ят ность ка ж до го из m воз мож но стей на сту п ле ния нуж но го

со бы тия по тео ре ме ум но же ния ве ро ят но стей рав но про из ве де нию m

ве ро ят но стей на сту п ле ния со бы тия p на про из ве де ние (n – m) ве ро ят -

но стей не на сту п ле ния со бы тия q = 1 – p, то есть рав на p

× q

n–m

. Ука зан -

ные ве ро ят но сти яв ля ют ся не со вмес ти мы ми со бы тия ми, по это му по

тео ре ме сло же ния ве ро ят ность ис ко мо го со бы тия рав на сум ме оди на -

ко вых сла гае мых, ка ж дое из ко то рых рав но p

× q

n-m

, а чис ло сла гае мых

рав но

P C p q

m n m

p q

n m n

m m n m m n m

! ( )!

= × × =

× -

× ×

- -

. (4.2.3)

Дан ная фор му ла но сит на зва ние фор му лы Бер нул ли.

Ве ро ят но сти P

на зы ва ют ся би но ми аль ны ми ве ро ят но стя ми, так

как они сов па да ют с (m + 1) чле ном бинома Ньютона:

(p + q)

= q

+ C

× q

n-1

× p + C

× q

n-2

× p

+…+ C

n-1

× q × p

n-1

+ p

При мер. Мо не та под бра сы ва ет ся 10 раз. Ка ко ва ве ро ят ность то го,

что герб вы па дет 3 раза?

p = 1/2; q = 1/2;

P C

10 3 10

3 3 7

0 5 0 5

10 9 8

1 2 3

128

( , ) ( , )= × × =

× ×

× =

Ес ли ве ро ят ность p на сту п ле ния со бы тия в ка ж дом ис пы та нии

по сто ян на и от лич на от 0 и 1, а чис ло ис пы та ний дос та точ но ве ли ко, то

ве ро ят ность

m,n

то го, что в n не за ви си мых ис пы та ни ях со бы тие на сту -

па ет m раз, приближенно равна:

f x

npq

m n,

( )

;

где

f x e

( ) = ×

m nq

npq

. (4.2.4)

Дан ная фор му ла но сит на зва ние при бли жен ной фор му лы Му ав -

ра-Ла п ла са.

Ес ли p близ ка к 0 и 1, то

m n

( )

» ×

. (4.2.5)

Это при бли жен ная фор му ла Пу ас со на.

4.2.2 Слу чай ные ве ли чи ны

При ме не ние тео рии ве ро ят но стей к об ра бот ке ре зуль та тов на -

блю де ний (экс пе ри мен тов) ос но ва но на по ня тии слу чай ной ве ли чи ны.

Оп ре де ле ние 1. Ве ли чи на x, при ни маю щая в за ви си мо сти от не ко -

то рых слу чай ных об стоя тельств од но из зна че ний x

, x

, …, x

, имею -

щих оп ре де лен ные ве ро ят но сти p

, p

, …, p

, на зы ва ет ся слу чай ной

ве ли чи ной.

Слу чай ные ве ли чи ны бы ва ют дис крет ны ми (с дис крет ным ря дом

воз мож ных зна че ний) и не пре рыв ны ми (имею щи ми сколь угод но близ -

кие воз мож ные зна че ния). Сна ча ла рас смот рим дискретные величины.

1) Дис крет ные ве ли чи ны

Со во куп ность зна че ний слу чай ных ве ли чин и со от вет ст вую щих

ве ро ят но стей на зы ва ет ся рас пре де ле ни ем случайной величины.

Значение x

… x

Вероятность p

… p

Со бы тия x яв ля ют ся не со вмес ти мы ми и един ст вен но воз мож ны -

ми, то есть об ра зу ют пол ную сис те му со бы тий, по это му сум ма ве ро ят но -

стей равна единице:

+ p

+ … + p

= 1.

Эле мен тар ные ве ро ят но сти p

или за да ют ся из вест ным за ко ном

рас пре де ле ния p(x), или вы чис ля ют ся по экс пе ри мен таль ным данным.

Вве дем по ня тие ма те ма ти че ско го ожи да ния.

Оп ре де ле ние 2. Ма те ма ти че ским ожи да ни ем слу чай ной ве ли чи ны

(дис крет ной) на зы ва ет ся чис ло, рав ное сум ме про из ве де ний всех ее

зна че ний на со от вет ст вую щие им ве ро ят но сти:

E(x) = x

+ x

+ … + x

x p

i i

. (4.2.6)

Ма те ма ти че ское ожи да ние по ка зы ва ет, ка кое зна че ние слу чай -

ной вели чины сле ду ет ожи дать в среднем.

При мер. Да ны ре зуль та ты стрель бы двух стрел ков:

ре зуль тат 1-го стрел ка: ре зуль тат 2-го стрел ка:

число очков 3 4 5 число очков 1 2 3 4 5

вероятность 0,3 0,4 0,3 вероятность 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5

Ма те ма ти че ское ожи да ние ре зуль та тов стрель бы (сред нее зна че -

ние):

E(x

) = 3×0,3 + 4×0,4 + 5×0,3 = 4,0;

E(x

) = 1×0,1 + 2×0,1 + 3×0,1 + 4×0,2 + 5×0,5 = 3,9.

Свой ст ва ма те ма ти че ско го ожи да ния:

а) ма те ма ти че ское ожи да ние по сто ян ной ве ли чи ны рав но этой

по сто ян ной: E(a ) = a;

б) по сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за сим вол ма те ма ти -

че ско го ожи да ния E(ax) = aE(x);

в) ма те ма ти че ское ожи да ние сум мы слу чай ных ве ли чин рав но

сум ме их ма те ма ти че ских ожиданий:

E(x ± y ± z ± … ± w) = E(x) ± E(y) ± … ± E(w);

г) ма те ма ти че ское ожи да ние про из ве де ния не за ви си мых слу чай -

ных ве ли чин рав но про из ве де нию их ма те ма ти че ских ожиданий:

E(xy) = E(x)×E(y);

д) ес ли все зна че ния слу чай ной ве ли чи ны x умень шить (уве ли -

чить) на од но и то же чис ло c, то ма те ма ти че ское ожи да ние ее умень -

шит ся (уве ли чит ся) на то же чис ло c:

E(x – c) = E(x) – c.

След ст вие. Ма те ма ти че ское ожи да ние от кло не ния слу чай ной ве -

ли чи ны x от ее ма те ма ти че ско го ожи да ния рав но ну лю:

E[x – E(x)] = 0.

Вве дем по ня тие дис пер сии.

Оп ре де ле ние 3. Дис пер си ей слу чай ной ве ли чи ны на зы ва ет ся ма -

те ма ти че ское ожи да ние квад ра та от кло не ния от ее ма те ма ти че ско го

ожи да ния:

= E [x – E(x)]

= [x

– E(x)]

+ [x

– E(x)]

+ … + [x

– E(x)]

[ ( )]x E x p

i i

. (4.2.7)

Свой ст ва дис пер сии:

а) дис пер сия по сто ян ной ве ли чи ны рав на нулю:

(a) = 0;

б) по сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за знак дис пер сии,

воз во дя его в квадрат:

(kx) = k

(x);

в) дис пер сия слу чай ной ве ли чи ны рав на ма те ма ти че ско му ожи да -

нию квад ра та ее без квад ра та ее ма те ма ти че ско го ожидания:

(x) = E(x

) – E

(x);

г) дис пер сия сум мы ко неч но го чис ла слу чай ных ве ли чин рав на

сум ме их дисперсий:

(x + y) = s

(x) + s

(y);