Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Том 2. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения

Подождите немного. Документ загружается.

580 Приложение II

им тщательно отбирались. Успехи его были поразительными. В течение

1865

–

1888 гг. 133 его ученика заняли позиции в верхней десятке списка

лауреатов Кембриджских треножников. Его ученики составили 80% от

числа всех первых, вторых и третьих лауреатов. Из 23 старших лауреатов

тех лет 21 лауреат был обучен им: только две неудачи в этой удивительной

цепи успехов случились в 1883 и 1886 гг. И, по

видимому, критерии Рауса

при выборе учеников основывались не только на явных признаках выдаю

щегося математического таланта, хотя в числе его учеников были Струтт,

Глейшер, Лэмб, Пойтинг, Пирсон, Томсон, и Брагг. Вероятно, признаки

математического таланта в те времена не были столь очевидны: Струтт

(Релей), например, не был столь блестящим студентом в свой первый

год учебы в Кембридже, и Раус иногда открыто критиковал его. Только

лишь на третьем и заключительном году, Струтт все же реализовал свои

возможности, получив звание первого лауреата. Интересно, что вторым ла

уреатом в том же самом году был Альфред Маршалл, будущий известный

экономист.

Раус также был талантливым математиком, хотя и не того уровня, что

Максвелл. Он написал две книги по аналитической динамике,

Трактат о

динамике твердых тел

(1860 г.) и

Трактат о динамике частицы

(1898 г.),

которые были высоко оценены Феликсом Клейном (1849

–

1925), автором

современного подхода в геометрии. Клейн был организатором переводов

книг Рауса на немецкий язык и считал их образцовыми источниками для

преподавания аналитической динамики в университетах Германии. Более

непосредственное отношение к предмету настоящей книги имеет опуб

ликованный Раусом в 1891 г.

Трактат об аналитической статистике

который, несомненно, оказал решающее влияние на его ученика Пирсона.

Раус регулярно публиковал свои оригинальные статьи, полные элегантных

находок и вычислений. К концу его жизни его родной колледж, Питерхаус,

удостоил его Почетной стипендии. Когда он окончил свою деятельность

в качестве частного репетитора, его бывшие ученики (в числе около 80)

подарили жене Рауса его портрет, написанный известным мастером того

времени.

В то время были и другие преподаватели, учившие по своим собствен

ным системам: среди современников Рауса можно выделить Персиваля

Фроста и Вильяма Безанта. Учителем самого Рауса был Вильям Хопкинс,

еще один известный кембриджский частный преподаватель. За 22 года

преподавания Хопкинс подготовил 175 лауреатов, в том числе 17 первых

лауреатов.

Последователем Рауса был Роберт Вэбб, его бывший ученик, заняв

ший место первого лауреата в своем потоке. Успех Вэбба также был

ошеломляющим: до момента выхода на пенсию в 1902 г. он подготовил

Пирсон, Максвелл и другие знаменитые Кембриджские лауреаты 581

100 лауреатов. Следующим в этой цепочке был Роберт Герман, снова

бывший первый лауреат, ученик Рауса. Достижения Германа выглядели

более

скромно

: до 1909 г. он подготовил

только

48 лауреатов. 1909

й г. оказался фатальным: с этого года список лауреатов стал оглашаться

и печататься в алфавитном порядке (аналогичное правило было принято

и для

менее успешных

категорий студентов). В конце концов звание

лауреат

перестало употребляться в официальной лексике.

Вообще говоря, в те времена частные уроки были абсолютно необхо

димы для успешной сдачи

Математических треножников

. Без преувели

чения, почти все лауреаты брали частные уроки, некоторые даже в течение

длительного времени (исключением был Д. Дж. Морделл).

Многие жаловались на непомерные физические и психологические тре

бования, необходимые для сдачи

Математических треножников

, и, в

частности, на форму занятий и ту интеллектуальную деятельность, кото

рая требовалась при таком стиле сдачи экзаменов. Авторы этой книги с

готовностью соглашаются с тем, что такие методы могут легко свести на

нет естественную тягу к новым знаниям, в особенности у застенчивых и

замкнутых людей, которые так часто встречаются среди математических

гениев. Ни один из обладателей премии Филдса, не обучавшихся в Кембри

дже, с кем нам случалось быть знакомыми, не проявлял никакого интереса

к подобного рода экзаменам.

До 1914 г. Пирсон не так явно критиковал кембриджские

Матема

тические треножники

. Напротив, его эссе 1890 г. глубоко поддерживает

идею проведения

Математических треножников

, направленных на ре

шение задач, подчеркивая их связь с проблемами математической физики.

Каждый фрагмент математического исследования в действительности яв

ляется

задачей

или может быть сформулирован в форме таковой, и в

пост

Кембриджские дни, я видел, на примере университетов Гейдельбега

и Берлина, что этот метод решения задач дает нам преимущество перед

немецкими студентами, которые обучались на теории, а не на решении

задач. Опыт в решении задач в Кембридже сослужил мне большую службу,

и я очень благодарен за это

. (K. Пирсон,

Треножники в Кембридже

в давние времена, как я их вижу с иной точки зрения

, Mathematical

Gazette, 20, 27

–

36, 1936). С точки зрения Пирсона, его подготовка была

неоценимой для его работы с биологом В. Ф. Вэлдоном (1860

–

1906), когда

они создавали основы современной биометрики. Вэлдон, учившийся в Уни

верситетском колледже в Лондоне

никогда не достиг уровня подготовки

первого лауреата в применении анализа к решению новых задач; наверное,

это требует долгих лет работы с заданиями и упражнениями

. (Пирсон K.

Вальтер Фрэнк Рафаэль Вэлдон. 1860

–

1906

Biometrika. 1906

7. V. 5.

P. 1

–

52.)

582 Приложение II

Тем не менее, как показывает его личная переписка, в 1879 г. Пирсон

почти потерял веру в свою способность заниматься наукой. В то время

его любимой дисциплиной была физика, но он не смог стать старшим

лауреатом, что вызвало в нем страх стать посредственным ученым, и он

намеренно прекратил свою карьеру физика. Тем не менее Пирсон выжил

и стал знаменитым ученым; возможно, в его случае самым сильным

ле

карством

было решение отказаться от

узкого карьеризма

и не тратить

все силы на

треножники

. Интересы Пирсона выходили за пределы ма

тематики. Он стал экспертом по культуре эпохи Реформации и знатоком

немецких пасхальных пьес и даже подумывал об академической карьере в

этой области. Пирсон интересовался также экономикой, он переписывался

с Карлом Марксом, предложив ему перевести

Капитал

на английский,

однако Маркс отклонил это предложение.

Позже, в 1914 г., он нанес удар системе кембриджских

треножников

в первом томе биографии Ф. Гальтона, называя ее

разрушительной си

стемой

ломающей университетскую карьеру людей, которые могли бы

проявить себя в более поздний период жизни

. В частности, недостаточные

достижения Гальтона были, согласно Пирсону, результатом

невозможной

попытки соединить изучение математики с очень широким кругом интере

сов и занятий

. Бернард Шоу в своем письме к Пирсону

подобным же

образом размышляет на тему недостаточных достижений самого Пирсона.

В письме к Пирсону Шоу спрашивал:

Могу ли я сделать что

нибудь,

чтобы вызволить Вас из карьеры профессора?

Авторы этой книги согласны с подобными критическими взглядами,

но только отчасти. С точки зрения профессионального математика, кем

бриджская система

Математических треножников

того периода в целом

прошла проверку временем, как показывает приведенный выше список

знаменитых ученых, внесших выдающийся вклад во многие области ис

следований. Напрашивается вывод: лучшие воспитанники кембриджской

системы получили шанс реализовать себя в разных сферах человеческой

деятельности. И хотя система была далека от идеала, она не может отве

чать за индивидуальные просчеты и недостаточные достижения.

Это приводит нас к более общим рассуждениям о роли математического

образования в его различных формах. Цитируем Варвика (с. 180

–

181):

Сильный акцент на математические науки

—

то, что называлось в ран

нем викторианском Кембридже

либеральным образованием

, требует

дальнейших пояснений... Место математики в сердце Кембриджского ли

берального образования было завоевано, и это объяснялось тем, что

обучение математике

—

не только средство подготовки профессиональ

20 июля 1893 г., Pearson Papers, 627, University College, London.

Пирсон, Максвелл и другие знаменитые Кембриджские лауреаты 583

ных математиков, но и наилучшая дисциплина для подготовки студентов,

обучающая их мыслить четко и правильно путем решения практических

задач... Те, кто отличились при сдаче

Математических треножников

позднее проявили себя как потенциальные лидеры, способные занимать

такие ответственные должности, как должности учителя, священника, юри

ста, государственного деятеля, верховного (королевского) администратора

и банкира.

Мы четко видим, какие высокие надежды возлагаются на

рационализацию

политической, экономической и социальной жизни, и

какова роль математического мышления в достижении столь глубоких

целей.

Тут есть и другой урок, который желательно усвоить. Острый интерес

к математике, в частности к вероятности и статистике среди широкой

публики в настоящее время, очевидно, продиктован не только сугубо прак

тическими нуждами, но и определенными возвышенными надеждами. В

этом смысле теория вероятностей и статистика могут считаться гораздо

более

везучими

, чем другие уважаемые математические дисциплины.

Оправдают ли они возлагаемые на них ожидания или нет

—

это уже другой

вопрос. Но жизненные примеры учат нас, что вряд ли эти надежды будут

оправданы полностью.

Что же тогда должны ожидать от жизни хорошие или даже выдающиеся

выпускники, не говоря уже о более заурядных? Исторически интерес

ными можно считать два случая: Лесли Стефан (1832

–

1904), который

закончил в том же самом 1854 г., что и Раус с Максвеллом, но был

толь

ко

двадцатым лауреатом, и Чарльз Парсонс (1854

–

1931), который сдал

Математические треножники

в 1877 г. и был одиннадцатым лауреатом.

Подробные биографии Стефана и Парсонса можно найти в книгах:

Эннан Н. Г. Лесли Стефан: его мысли и характер и их взаимодействие

с эпохой. Лондон: МакГиббон&Ки, 1951;

Эннан Н. Г. Лесли Стефан: безбожный викторианец. Нью Йорк: Рэн

дом Хаус, 1984.

Эпплярд Р. Чарльз Парсонс: его жизнь и работа. Лондон: Констебль,

1933.

Закончив университет, Стефан получил научную стипендию от Колле

джа Тринити Холл в Кембридже. Он добился выдающихся успехов не как

математик, а как литературный критик и социолог. В 1864 г. он вышел в

отставку (как и Раус, он женился

—

его женой стала дочь Уильяма Тек

керея) и занялся редактированием

Словаря отечественной биографии

в 63

х томах, причем сам написал сотни статей для этого словаря. Его

книга

История английской мысли в XVIII столетии

(1876 г.) считается

наиболее важной из его оригинальных работ. (Дочерьми Стефана от вто

584 Приложение II

рого брака были писательница Вирджиния Вульф и художница Ванесса

Белл.) В течение всей жизни Стефан поддерживал контакты с матема

тиками и физиками своего поколения; как сильная и активная личность,

он оказал большое влияние на многих выдающихся британских физиков

и математиков, и его жизнь была неотделимо связана с развитием науки

того времени.

Непосредственно после Стефана в списке лауреатов стояло имя Адлиса

Райта, который стал издателем Шекспира. Следующим в списке лауреатов

стояло имя его кузена Эдварда Дисея, который впоследствии стал редак

тором газеты

Observer

Парсонса также готовил к экзаменам Раус, и по мнению его друзей

из Колледжа Святого Иоанна, его одиннадцатое место не было

справед

ливой мерой его способностей

. Д. МакАлистер, первый лауреат того же

года, говорил, что Парсонс был сильнее его в решении задач, но слабее в

работе с литературой. (Ближе к концу жизни Парсонсу на встрече со своим

давним другом (ставшим мастером Колледжа Святого Иоанна) был задан

вопрос, понимает ли он современные физические теории

—

концепцию су

ществования электронов, теорию относительности и т. д. Парсонс ответил:

Нет. И ты тоже не поймешь. Мы никогда не поймем: для этого нужно

родиться в мире, в котором эти понятия уже общеизвестны и банальны

Основным увлечением Парсонса была инженерия. В результате ин

тенсивной работы, начатой еще в период его обучения инженерному делу,

Парсонс разработал к 1884 г. прототип высокоскоростной турбины и в

1897 г. построил турбинный пароход

Турбиниа

. Представленный экс

пертам военно

морского ведомства,

Турбиниа

со своей скоростью и

мобильностью оказал огромное влияние на ближайшее развитие военного

и гражданского флота (некоторые историки считают, что, к сожалению,

именно этот технологический прорыв и положил начало обострению англо

немецкого военно

морского соперничества, что в конечном итоге привело

к Первой мировой войне). В заключение приведем еще одни урок, каса

ющийся XIX столетия: викторианские выпускники Кембриджа наверняка

знали, как добиваться успеха, и они жили полноценной жизнью; их опыт

сдачи

треножников

, возможно, сыграл в этом решающую роль.

Список литературы

Некоторые книги незаслуженно забыты,

но не бывает книг, которые незаслуженно помнят.

У. Г. Оден (1907

–

1973), британский поэт

[BR] Bharucha

Reid, A.T. Elements of the theory of Markov processes and their

applications. New York: McGraw

Hill, 1960. Имеется перевод на русск. яз.:

Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения

пер. В. В. Калашников, Ю. В. Крутовский, М. С. Эпельман, ред. А. Н. Ширяев.

М.: Наука, 1969.

[B] Billingsley, P. Statistical inference for Markov processes. Chicago: University of

Chicago Press, 1961.

[CMR] Cappé, O., Moulines, E., and Ryden, T. Inference in hidden Markov models.

New York: Springer, 2005.

[DG] Daley, D.J., Gani, J. Epidemic modelling: an introduction. Cambridge: Cam

bridge University Press, 1999.

[DZ] Dembo, A., Zeitouni, O. Large deviations techniques and applications. New

York: Springer, 1998.

[D] Doob J. Stochastic processes. NY: Wiley, 1953. Имеется русский перевод: Дуб

Дж.Л. Вероятностные процессы. Москва: ИЛ, 1956.

[DRKM] Durbin, R., Eddy, S., Krogh, A., Mitchison, G. Biological sequence analy-

sis. Probabilistic models of proteins and nucleic acids. Cambridge: Cambridge

University Press, 1998.

[Du] Durrett, R. Essentials of stochastic processes. New York: Springer, 1999.

[DS] Deuschel, J.D., Stroock, D.W. Large deviations. Boston: Academic Press, 1989.

[D1] Дынкин, Е.Б. Основания теории марковских процессов. Москва: Физматгиз,

1959.

[D2] Дынкин, Е.Б. Марковские процессы. Москва: Физматгиз, 1963.

[D3] Dynkin E.B. Markov Process and Related Problems of Analysis. Cambridge:

Cambridge University Press, 1982

[DU] Дынкин, Е.Б. и Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова.

Москва: Наука, 1967

[F] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. Москва:

Мир, 1964. Том 2. Москва: Мир, 1967.

586 Список литературы

[GS1] Grimmett, G., and Stirzaker, D. Probability and stochastic processes. Oxford:

Clarendon Press, 3rd Edition; 2001.

[GS2] Grimmett, G., and Stirzaker, D. Probability and random processes: problems

and solutions. Oxford: Clarendon Press, 1992.

[K] Karlin, S. A ﬁrst course in stochastic processes. New York: Academic Press,

1966. Имеется перевод на русск. яз.: Карлин С. Основы теории случайных

процессов

Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

[KT] Karlin S., and Taylor, H.M. A second course in stochastic processes. New

York: Academic Press, 1981. См. также: Карлин С. Основы теории случайных

процессов

Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

[Ke] Kelly, F.P.K. Reversibility and stochastic networks. New York: Johns Wiley, 1979.

[Ko] Koski, T. Hidden Markov models for bioinformatics. Dordrecht: Kluwer, 2001.

[Ki] Kingman, J.F.C. Poisson processes. Oxford: Oxford University Presss, 1993.

Имеется перевод на русск. яз.: Кингман Дж. Пуассоновские процессы. М.:

МЦНМО, 2007.

[Ku] Kullback, S. Information theory and statistics. New York: Wiley, 1959

[Позднейшее издание: Mineola, N.Y.: Dover; London: Constable, 1997]. Имеется

перевод на русск. яз.: Кульбак C. Теория инфомациии и статистика. М.:

Физматгиз, 1967.

[L] Lehmann, E. L. Testing statistical hypotheses. New York: Wiley; London: Chap

man and Hall, 1959 [Позднейшее издание: Lehmann, E. L., Romano, E.P.

Testing statistical hypotheses. New York: Springer, 2005].[Русский перевод:

Леман Э. Проверка статистических гипотез. Москва, Наука, 1979].

[McDZ] MacDonald, I.L., and Zucchini, W. Hidden Markov and other models for

discrete

valued time series. London: Chapman and Hall, 1997.

[M] Martin, J.J. Bayesian decision problems and Markov chains. New York: Wiley,

1967.

[McLK] McLachlan, G.J., Krishnan, T. The EM algorithm and extensions. New York:

Wiley, 1997.

[N] Norris, J.R. Markov chains. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

[O] Ostrowski, A.M. Solution of equations and systems of equations. New York:

Academic Press, 1960 [Latest Edition: 1973].

[RJ] Rabiner, L.R., Juang, B.H. Fundamentals of speech recognition. Englewood

Cliﬀs, NJ: Prentice Hall, 1993.

[R] Ross, S.M. Stochastic processes. New York: John Wiley, 1983 [2nd Edition: New

York: Wiley, 1996].

[SW] Shwartz, A. Weiss, A. Large deviations for performance analysis. Queues,

communications, and computing. London: Chapman and Hall, 1995.

[S] Stirzaker, D. Stochastic Processes and Models. Oxford: Oxford University Press,

2005.

[St1] Stroock, D.W. An introduction to Markov processes. Berlin: Springer, 2005.

[St2] Stroock, D.W. An introduction to the theory of large deviations. New York:

Springer, 1984.

[Z] Zangwill, W.I. Nonlinear programming: a uniﬁed approach. Englewood Cliﬀs, NJ:

Список литературы 587

Prentice Hall, 1969.

Кельберт Марк Яковлевич

Сухов Юрий Михайлович

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Том II. Марковские цепи как отправная точка теории

случайных процессов и их приложения

Подписано в печать 05.05.2009 г. Формат 60

. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 26. Тираж 1000 экз. Заказ №

Издательство Московского центра непрерывного математического образования

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241

83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП

Типография “Наука”

121099, Москва, Шубинский пер., 6

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине

Математическая книга

Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241

–

85. E

mail: biblio@mccme.ru

http:

biblio.mccme.ru