Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

§ 47. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

К термоэлектрическим явлениям относятся три эффекта: эффект

VCKCI, эффект Пельтье и эффект Томсона. Рассмотрим качественно

эти явления.

1 Явление Зеебека, или термоэлектрический

(Ьфект. Пусть, имеются два образца У и 2 различных веществ,

сходящихся в контакте (рис. 72). Если температура контактов

оазлична

—

T + dT η Τ, то в замкнутой цепи возникает ток,, кото-

рый носит название термоэлектрического. Если цепь разорвать

в произвольном месте, το на концах разомкнутой цепи появляется

разность потенциалов, носящая название термоэлектродвижущей

силы (термо- э. д. е.). Зеебек, открывший это явление, установил,

что разность потенциалов d&

в разомкнутой цепи зависит от раз-

ности температур и вида материалов:

d<o

и —^udT.

(47.1)

T+dT

(и α

) принято считать положительной вели-

чиной,

если^

потенциал «горячего» контакта выше

потенциала «.холодного» контакта, как это изобра-

жено на рис. 72. Кроме того,d$

= — d$

, или

= — α

. Согласно рис. 72, если d<o

> 0, то

ток течет по часовой стрелке; если dS

< 0, то

ток течет против часовой стрелки. Другими сло-

вами, ά<ο

>0 означает переход положительного

заряда от 1 к 2 в «горячем» контакте, a d#

<0—

в «холодном» контакте. Величина а

характери-

зует пару веществ, она называется дифференциаль-

ной термо-э. д. с. Зависеть а

может от температуры 7

, поэтому

термо- э. д. е., возникающая в цепи, контакты в которой имеют

конечную разность температур Т

—

равна

Рис. 72. Схема на-

блюдения термо-

электрического эф-

• фекта

?ΐ2= К ΛΤ)άΤ.

(47.2)

Рассмотрим картину возникновения термо-э. д. с. на контакте

металлов. Как известно, в любой системе, находящейся в состоянии

термодинамического равновесия, электрохимический потенциал (уро-

вень Ферми) один и тот же в любой части системы. Если приведены

β контакт два металла, то их уровни Ферми должны совпасть,

"о если контактирующие металлы имеют различную концентрацию

электронов, то энергии Ферми, отсчитанные от дна зоны проводи-

мости в каждом металле, будут различны, и тем самым Е

с1

не сов-

Дет с £

с2>

поскольку энергии Ферми разны. Разность Ε

с2

—Ε

с1

доставляет собой потенциальный барьер, возникающий на контак-

•

1е

· она получила название внутренней контактной разности потен-

10»

291

циалов U*. Определяется U' разностью энергий Ферми в исходнь

металлах: ·

ιχ

(473)

На контакте тем самым существует электрическое поле,

локалц.

зованное в тонком приконтактном слое.

Если составить замкнутую

цепь из двух металлов, то U' возни-

кает на обоих контактах.

Очевидно, что электрическое поле будет направлено одинаковым

образом в обоих контактах

—

от большего F к меньшему. Это

значит, что если совершить обход по замкнутому контуру, то в одном

контакте обход будет происходить по полю, а в другом

—

против

поля. Циркуляция вектора Ε тем самым будет равна нулю.

Предположим теперь, что температура одного из контактов

изме-

нилась на dT. Так как энергия Ферми зависит от температуры, U

изменится.

Но если изменилась внутренняя контактная разность потенциа-

лов, то изменилось электрическое поле в одном из контактов, и

поэтому циркуляция вектора Ε будет отлична от нуля, т. е. появ-

ляется э. д. с. в замкнутой цепи.

2. Явление Пельтье, или электротермический

эффект Пельтье. Если через контакт двух веществ пропустить

электрический ток, то в контакте происходит или выделение, или

поглощение тепла в зависимости от направления тока. Это явление

называют явлением Пельтье. Если изменить направление тока, то

меняется знак эффекта. Величина выделяемого тепла и его знак

зависят от вида контактирующих веществ, силы тока и времени

прохождения тока, т. е. количество выделяемого тепла пропорцио-

нально количеству прошедшего через контакт заряда dq = Idt:

dQu = П

/ dt. (47.4)

dQu (и П

) означает, что ток идет от первого вещества ко второму,

в то время как dQ

(и П

) относится к случаю противополож-

ному—ток идет от второго к первому веществу. Очевидно,

dQn = П

/ dt = — dQ

= — П

/ dt. (47.5)

Если теплота выделяется, то она считается больше нуля. Таким

образом, Π

ί7

>0, если при прохождении тока из i образца в I

теплота выделяется.

Было найдено, что если внешний ток совпадает по направленut°

с термотоком, который возникает при нагревании данного контакт

то этот контакт охлаждается. Это легко понять на основе закон^

сохранения.энергии. Если нагревать некоторый контакт, что npj

дит к возникновению термотока, то его направление должно бы?

таким, чтобы подводимая теплота в нем поглощалась. Поэтому

есЛ

внешний ток имеет такое же направление, что и термоток, то

контакт должен охлаждаться.

292

Причину возникновения явления Пельтье легко понять, если

обратиться к рис. 73, на котором изображена энергетическая кар-

тина контакта металла и полупроводника. Как известно, в металле

проводимость осуществляется электронами с энергией вблизи уровня

Ферми. В полупроводнике (в данном случае электронном) ток пере-

носится электронами зоны проводимости. Из рис. 73 видно, что

средняя энергия электронов проводимости в полупроводнике больше,

чем в металле, на величину не меньшую, чем E

—

F. Чтобы элект-

роны из металла могли перейти в полупроводник, они должны пре-

одолеть потенциальный барьер высотой по крайней мере E

—

для этого они должны получить энергию от решетки, что. приводит

к охлаждению металла в области контакта. Ясно, что количество

необходимой энергии зависит от числа проходимых через контакт

электронов, т. е. от прошедшего заряда. Если изменить направле-

ние тока, то теперь электроны, переходя из

полупроводника в металл, будут иметь избыток

энергии по сравнению с электронами проводи-

мости металла. Приходя в равновесие с ними,

электроны, прошедшие через контакт, отдадут

избыток энергии (не менее E

—

F) решетке, что

и приведет к выделению тепла на контакте.

Из механизма возникновения эффекта Пельтье

следует, что для контакта металл

—

металл ко-

рис 73 Эне гетичес

эффициенты Пельтье должны иметь значительно

кС

ма

Не

ко

нтак

та

меньшую величину, чем на контакте металла металла с электрон-

и полупроводника или двух полупроводников, ним полупроводником

Можно подойти к пониманию явления Р

авк

™и работами

Пельтье несколько иначе. На контакте двух выхода;

веществ имеется внутреннее контактное поле.

Если через контакт идет ток, то контактное поле будет либо спо-

собствовать прохождению тока, либо препятствовать. Если ток идет

против контактного поля, то внешний источник должен затратить

дополнительную энергию, которая выделяется в контакте, что при-

ведет к его нагреву. Если же ток идет по направлению контактного

поля, то он может поддерживаться этим полем, которое и совер-

шает работу по перемещению зарядов. Необходимая для этого энер-

гия отбирается у вещества, что приводит к охлаждению его в месте

контакта.

Эффекты Зеебека и Пельтье являются не только контактными

явлениями, но и объемными. Они могут наблюдаться в объеме неод-

нородного полупроводника.

3. Явление Томсона, или электротермический

эффект Томсона. Если полупроводник нагрет неравномерно, то

концентрация носителей заряда в нем будет больше там, где выше

температура, поэтому градиент температуры приводит к градиенту

концентрации, вследствие чего возникает диффузионный поток носи-

телей заряда. Это нарушает электронейтральность. Разделение заря-

дов порождает электрическое поле, препятствующее разделению.

293

Таким образом, если в полупроводнике имеется градиент темперу

туры, то в нем имеется объемное электрическое поле Е*.

Предположим теперь, что через такой образец пропускается

электрический ток под действием внешнего электрического поля £

Если ток идет против внутреннего поля Е', то внешнее поле должно

совершать дополнительную работу при перемещении зарядов отно-

сительно поля Е', что приведет к выделению тепла, дополнитель-

ного к ленц-джоулевым потерям. Если ток (или внешнее поле Е)

направлен по Е', то. Е' само совершает работу по перемещению

зарядов для создания тока. В этом случае внешний источник тратит

энергию для поддержания тока меньшую, чем в том случае-, когда

внутреннего поля Е' нет. Работа поля Е' может совершаться только

за счет тепловой энергии самого проводника, поэтому он охлаж-

дается. Явление выделения или поглощения тепла в проводнике, обус-

ловленное градиентом температуры, при; прохождении тока носит

название эффекта Томсона. Таким образом, вещество нагревается,

когда поля Ε и Е

противоположно направлены, и охлаждается,

когда их направления совпадают. Томсон нашел, что выделение тепла

в объеме dV определяется соотношением

= — τ (Vrj) dt dV\ dV = Sdl, (47.6)

τ называют коэффициентом Томсона.

Между коэффициентами а

, П

и τ существует определенная

связь, которую можно установить на основе законов термодинамики.

Термоэлектрические явления лежат в основе работы термогенерато-

ров, термопар и других приборов: Они играют роль при любых

измерениях в физике полупроводников. Если при измерениях кон-

такты измерительной цепи будут находиться при различной темпе-

ратуре, то термо-э. д. с. может существенно исказить результаты

измерений.

Перейдем к теоретическому описанию термоэлектрических явле-

ний на основе· кинетического уравнения. Запишем выражения для

тока и потока тепла в общем случае, но без магнитного поля: В = 0

j = е

/СцЕ

—

еКцТЧ γ

—

βΚζι

~γ~ >

' (47.7)

W = e/C

iE K21TV γ

—

Кзг -γ-< - (47.8)

Выразим поле Ε из (47.7) и подставим в (47.8):

E==

^hi

eKnTV

+еКп

_ _J |_

ур

/47.9)

—

в®/Сц

^ β ^ еК

' * ^ .

Поле Ε состоит из трех частей: первый член обусловлен током l·

m. е, омическим падением напряжения, второй член связан с неодн

294

родностью вещества и третий —с неизотермичностыо. Найдем W,

подставив (47.9) в (47.8):

^^i-

K31

TKn

Kil vr

(47Л0)

Выражение (47.10) показывает, что энергия переносится в резуль-

тате направленного движения носителей заряда,, приводящего к воз-

никновению тока j, и хаотического движения носителей заряда,

обусловливающего теплопроводность к

/ (47.11)

Вернемся к выражению для поля Е. Если в веществе тока нет

(j-Ο), то

Е = 1 VF^^j^VT. (47.12)

Поле, обусловленное градиентом температуры, носит название

термоэлектрического;

Е« ~ VT aVT. (47.13)

el Дц

Величину α называют абсолютной дифференциальной термоэлект-

родвижущей силой, она равна

Введем абсолютную интегральную термо-э. д. с. У τ условием

, V

=l α(ξ)άξ, (47.14)

зависит от координаты, поскольку от координаты зависит тем-

пература. Найдем градиент Vf.

VVt==

Τ = α(Τ) νΓ=Ε

. (47.15)

Следовательно, V

есть потенциал данной точки, взятый с обрат-

ным знаком:

У τ (Τ (г)) = — φ (Г (г)). (47.16)

Определяя разность потенциалов между точками / и 2 обычным

соотношением

Φι

= φ(1)-φ(2), (47.17)

можем записать

'<Pi2 ^

τ (2) —

(О* (

47J8

295

Поскольку электрическое поле Е

определяется через градиец^

некоторой функции, т. е. является потенциальным, то циркуляции

по замкнутому контуру должна быть равна нулю:

= — φ dl) = 0, (47.19)

т. е. э. д. с. # равна нулю. Отсюда следует невозможность определи

ния абсолютной термоэлектродвижущей силы а или W. Определен-

ное соотношением (47.12) поле Е

не может привести к возникновению

э. д. с. и тока в замкнутой цепи, образованной одним и тем оке

веществом. Однако если цепь составлена из двух или более различ-

ных веществ, то циркуляция Е

может быть отлична от нуля, и

тем самым в замкнутой цепи может течь ток. Рассмотрим с этой

целью цепь, состоящую из двух различных веществ 1 и 2 (рис. 72),

Вычислим циркуляцию вектора Е

в А

ё = = _& (Е

dl) = -

(Е

dl)!

— $

(Е

dl)

А В

В В

Τ (В) Τ (В)

= — \a

(Vrdl)+ 5a

(V7dl)= $ (а

-аdT = $ a

dT. (47.20)

Α Α

Τ (А)

. Τ (А)

Выражени е (47.20) совпадает с (47.2). Отсюда следует, что отно-

сительная дифференциальная термо-э. д. с. а

представляет собой

разность абсолютных дифференциальных термо-э. 'д. е.:

= α

—а

. (47.21)

В вырожденных полупроводниках и металлах K

I = FKII, поэтому

а = 0. Чтобы получить отличные от нуля значения, необходимо

учесть в разложении /

(£) последующие члены. Расчет дает в этом

случае

_ π

т δ[\ησ(Ε)]

- 3 дΕ

где

[1η

σ (£)]

(47.22)

дЕ

так что

а я

(47.23)

№Т

3 eF

(47.24)

При Τ ^ 300 К и F ^ 10 эВ a m 10~

В/град. Такбго же порядка

должна быть и относительная термо-э. д. с. Выражение (47.24)

вытекает из температурной зависимости энергии Ферми. Действ^'

тельно, если учесть, что 0, и определить α соотношением

1 \dF Kn-FKu

(47.25)

~e[dT^ ΤΚη J

1 Κ

то при K

i = FKn получим

1_dF_

_ J* (47.26)

^ dT

296

Рассмотрим теперь невырожденный полупроводник. Так как

согласно (46.28) = <£» то

(F-E

)]. (47.27)

α =

еГ

(τ)

В выражении (47.27) вместо Ζ

мы подставили F

—

поскольку

энергия отсчитывается от дна зоны проводимости (или потолка

валентной зоны для дырок). Если рассеяние определяется каким-

либо одним механизмом, то согласно (46.31)

Мы видим, что α сложным образом зависит от состава и темпе-

ратуры полупроводника. Так как n<iN

то выражение в скобках

больше нуля и знак а определяется знаком носителя заряда.

Оценим величину а, используя соотношение (47.28). Полагая,

что F находится в середине между Е

и £

, и считая, что

я^0,05 эВ, а эВ (что соответствует Τ ^60 К), получим

5 I k k

а^— + α^ 9 — при ρ = 3/2. Учитывая, что — =

Θ J Е Β

= 8,62-10~

В/град = 86,2 мкВ/град, получим ая^0,7 мВ/град, что

почти на три порядка превосходит термо-э. д. с. в металлах.

Выражение (47.28) не применимо при очень низких температу-

рах, поскольку а->оо при Τ->· 0, в то время как при Т-+0 согласно

термодинамике α должна также стремиться к нулю.

Перейдем теперь к более высоким температурам, соответствующим

области истощения, в которой Ν

>Ν

и В этой области

температур

т. е. α растет с ростом температуры.

При контакте полупроводника и металла относительная термо-

· Д. с. будет равна фактически термо-э. д. с. полупроводника.

Если определять α соотношением (47.25), то выражения для

термо-э. д. с. в вышеразобранных случаях будут несколько иными.

На совпадении знака α со знаком носителя заряда основан про-

стейший способ определения типа проводимости, или знака носителя

<*ряда

методом термозонда. На металлической пластине распола-

гается исследуемый материал, к которому прижимается нагретый

°нд, соединенный с пластиной через гальванометр. В контакте

онда с образцом температура повышается, концентрация носителей

заряда возрастает, они диффундируют в глубь образца. Возникает

электрическое поле, зонд заряжается знаком неосновных носителей

297

заряда— в материале η-типа он заряжается положительно по οχ

Ηο

шению к пластине, в образце р-типа

—

отрицательно. В цепи вознц

кает ток* направление которого определяется гальванометром. У

СТа

новив заранее связь между типом носителей заряда и направление^

отклонения стрелки гальванометра, можно легко определить зна^

носителей заряда.

Чтобы найти значение а, соответствующее переходу от истощен^

примеси к собственной концентрации, необходимо помнить, ч

То

в области собственной концентрации мы имеем дело с носителями

заряда двух типов, и поэтому выражение, полученное для примес-

ного полупроводника, необходимо обобщить на случай собственной

проводимости* что будет сделано ниже.

Чтобы получить описание эффектов Пельтье и Томсона, необхо-

димо рассмотреть баланс энергии в полупроводнике. Прежде всего

отметим, что с точки зрения механизма выделения или поглощения

тепла эффекты Пельтье и Томсона не отличаются друг от друга.

И в том, и в другом случае энергия выделяется в результате работы

внутренних полей при перемещении заряда. При этом эффект Том-

сона представляет собой выделение энергии в термоэлектрическом

поле Ε

= aV7\ а эффект Пельтье— выделение энергии в поле Е

= —- VF, обусловленном неоднородностью вещества.

Итак, пусть в веществе имеется VF и создан градиент темпера-

туры , что приведет к возникновению термоэлектрического поля ΕΛ

Пусть в веществе идет ток с плотностью j\ В единице объема в еди-

ницу времени будет выделяться энергия <?, обусловленная работой

внешних и внутренних сил при перемещении заряда. Кроме того,

необходимо учесть расходимость теплового потока W в каждой точке,

поэтому

Q = _divW + A ' (47.30)

Для того чтобы найти Л, необходимо учесть следующее. Ток вызы-

вается внешним источником, который создает в веществе'

внешнее

поле; Е

ст

°р. В каждой точке полное поле Ε равно сумме

внутренних

полей Е' = — yVF + aVT и поля Е

СТО

Р:

Ε = Е

ст

°Р -f Ε'. (47.31)

Ток j в каждой точке должен быть равен

j = a (Е

ст

°р + Е0 = е*Ки (Е

сто

р + Ε0. (47.32)

Выделяемая в единичном объеме мощность А равна .

А = (Ej) = a (Е

ст

°р + Ε'*)

= a (Е

ст

°р)

+ σΕ

+ 2σ (Е'Е

ст

°р). (47.33)

Внешний же источник .затрачивает энергию

(j Естор)

(Естор

f σ

["Естор Efy =

(Е

ст

°Р)

+ Σ (Е'Е

СТ

°Р). (47.34)

Величина σΕ'

(ΕΈ

0Τ

°Ρ) представляет собой работу в единйИ)

времени внутренних сил по перемещению заряда при прохожде*

111

298

тока. Эта работа может совершаться только за счет тепловой энер-

гии тела. Если эта работа положительна, то тело должно охлаж-

даться, а если отрицательна, то тело должно нагреваться.

Все эти процессы должны описываться кинетическим уравнением.

Найдем величину Q. Так как

А = ( Ej), (47.35)

то, учитывая выражение (47.7) для j и (47.9) для Е, можем записать

; ^ ^ =

> = I^R + I

V/7

+^Й^

= | + |(jVF) + a(j vr). (47.36)

Из (47.36,) мы видим, что выделяемая энергия обусловлена ленц-

джоулевым теплом ^ и работой сил, определяемых градиентом

уровня Ферми и температуры. Учитывая, что

Г7 Π I ^21 — ^11 Ρ 1 ^21 _ ψ fy F

/С

^ TK

r7"

У Τ Κ

Τ) -

_ 7-V (

K21

) = - TeVa, (47.37)

получим для А:

Α = (j, TVa) (47.38)

Q = ^ + divx,VT-(j, TV a). (47.39)

Обозначим теплоту Томсона Q

соотношением

jvr). . (47.40)

Сравнивая (47.40) и (47-39), можем записать

vr = rv a. (47.41)

Так как

Vr, —

'дТ

Va = * (47.42)

то

ГГ Ί

дТ

или • · .

, (47.43)

Сι(Τ)=^

-ψ-άΙ, ' (47.44)

Таким образом, выражение (47.44), полученное на основе кине-

тического уравнения, связывает α с τ.

299

Вернемся к коэффициенту Пельтье, который определили, исходя

из уравнения

W = nj-x,V7\ (47.45)

В феноменологической теории явлений переноса принято вводить

коэффициент Пельтье π соотношением

W = ^ + (47.46)

где μ

—

электрохимический потенциал:

μ =

-f-£(p, (47.47)

j = — 1 σνμ - aaVT. (47.48)

Сравнивая (47.46) и (47.45), можно записать

Π = π + £ + φ. (47.49)

Мы видим, что π определяет поток кинетической энергии, в то

время как Π определяет поток полной энергии, включая электрохи-

мический потенциал каждого заряда.

Положим φ = 0, в этом случае для π имеем

(

Учитывая (47.13), можем записать

π = α Т. (47.51)

Рассмотрим теплоту Пельтье. Поскольку

Q = — divW + Л, ' (47.52)

а работа внешних и внутренних сил должна компенсироваться

в объеме тела только расходимостью теплового потока (в стационар-

ных условиях), то рассмотрим divW:

div W = div nj - div x

V7\ (47.53)

Так как нас интересует теплота, обусловленная потоком Пельтье,

то

div nj = (Vn, j) - Π div j = (j, VII); div j = 0. (47.54)

Найдем

.νΠ = ν(π + £) = ν(α.Τ + ^) = Τν

α + α

νΓ + 1ν/=· =

= xVT + ctVr + VF. ' (47.55)

300