Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
171
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
2. Якщо р — ірраціональне, то р+й степінь будь+якого числа має
нескінчену множину значень.
Приклад 3.16. Подати cos
3
M
та sin
3
M
через cos
M
та sin
M
.
Розв’язок.
cos
M
+ і sin
M
= (cos
M
+ і sin
M
)
3
= cos
3
M
+ 3icos
2
M
sin
M
–
– 3cos
M
sin
2
M
– i sin
3
M
= cos
3
M
– 3cos
M
sin
2
M
+ i(3cos
2
M
sin
M
–
– sin
3
M
).
Прирівнюючи відповідні абсциси і ординати, дістаємо:
cos
3
M
= cos
3
M
– 3cos
M
sin
2
M
sin
M
= 3cos
2
M
sin
M
– sin
3
M
.
3. Якщо
1
p
n
, маємо:
(cos sin )
n
ri
M
M
=
n
r
2 2
cos sin
kk
i
nn nn
MS MS
ªº
§·§·
¨¸¨¸
«»
©¹©¹
¬¼
,
k = 0, 1, 2, ..., n–1.
Приклад 3.17. Знайти z =
i
.
Розв’язок. Оскільки r =
22
01
= 1,
2
S
M
, то
z
1
= cos
4
S
+ i sin
4
S
=
2
2
+ i
2
2
;
z
2
= cos(
4
S
+ p) + i sin(
4
S
+ p) = –
2
2
– i
2
2
.
Одержані значення
z
1
і z
2
показані на рис. 3.7.
Рис. 3.7.
Y
X
3.1.6.5. Показникова форма комплексного числа
Формула Ейлера:
i
e
M
= cos
M
+ і sin
M
.
Згідно з цією формулою комплексне число можна подати в по+
казниковій формі:
172
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
3.1.7. Приклади для самостійного розв’язку
Приклад 3.19. При яких значеннях х і у виконується рівність
х(2 – і) + y(2і – 1) = 4 – 5і?
Приклад 3.20. Виконати дії:
а) (2 +
і) + (3 – 6і) – (1 – і);
б)
(
1
2
–
1
4
і) – (
3
5
+
2
3
і) + (
3
4
–
5
6
і);
в)
(0,8 – 0,2і) + (0,1 – 1,3і) – (1,5 + 0,7і) – (2,3 – 0,6і);
г)
(1 – 2і)(5 – і); д) (0,5 + 0,2і)(2 + 3і);
е)
(
2
– і)(
3
+ і
2
); є) (5 + і
3
)(5 – і
3
);
ж)
4
12
i
;з)
52
12
i
i
;і)
73
13
i
i
.
Приклад 3.21. Виконати дії. Знайти Re z та Im z
1) z =
3
23
i
i
;2) z =
23
12 3
i
i
.
Приклад 3.22. Виконати дії:
а)
(5 – 2і)
2
;б) (1 + і)
3
;в) (2 + і
3
)
3
;
z = r
i
e
M
.
Справді, нехай r — модуль комплексного числа z = a + ib , а
M
—
головний аргумент. Тоді:
z = r (cos
M
+ і sin
M
).
Беручи до уваги формулу Ейлера, дістаємо:
z = r
i
e
M
.
Приклад 3.18. Обчислити дійсне значення і
і
.
Розв’язок.
2
222
i
ii
i
ie e e
SSS
§·
¨¸
©¹
.
173
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
г) (3 – і
3
)
3
;д) (
1
2
–
3
2
i
)
3
.
Приклад 3.23. Записати в тригонометричній формі комплексні
числа:
1)
z = –1 – i
3
;2) z = –1 + i
3
;
3)
z = –
3
– i;4) z = –2 + 2i;
5)
z =
3
– i.
Приклад 3.24. Обчислити степені, застосовуючи формулу Муавра:
1)
(1 + і
3
)
5
;2) (–2 + 2і)
6
;
3)
(–1 + і
3
)
60
;4) (–
3
– і)
5
.
Приклад 3.25. Знайти всі значення:
а)
4
1
i
;б)
223i
;
в)
5
22
i
.
Приклад 3.26. Знайти всі корені рівняння:
1)
z
5
– 1 + i
3
= 0; 2) z
5
+
3
+ i = 0;
3)
z
5
– 1 – i = 0; 4) z
5
+
3
– i = 0.
174
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§3.2. Означення функції. Область визначення.
Способи завдання функції. Основні елементарні функції,
які використовуються в економічних дисциплінах
3.2.1. Поняття сталої величини
Сталою величиною називають величину, яка зберігає одне і те ж
значення. Наприклад, відношення довжини кола до його діаметра є
величина стала, що дорівнює числу
S
.
Якщо величина зберігає сталі значення лише в умовах даного
процесу, то в такому випадку вона називається параметром.
Змінною називається величина, яка може приймати різні числові
значення.
3.2.2. Поняття функції
Означення. Відповідність, при якій кожному елементу х множи+
ни
Х (х
Х) відповідає єдиний елемент у множини Y, називається
функцією у = f(x).
При цьому
х називається незалежною змінною (або аргументом),
у — залежною змінною, а буква f позначає закон відповідності.
Множина
Х називається областю визначення (або існування)
функції, а множина Y — областю значень функції.
Під областю визначення функції будемо розуміти сукупність всіх
тих значень аргументів, для яких вираз
y = f(x) має сенс і приводить
до дійсних значень функції.
Способи завдання функції
Аналітичний
Словесний Графічний Табличний
Формулою
Описаний
відповідями
Графіком Таблицею
Графіком функції y = f(x) називається сукупність всіх точок
площини, абсциси яких є значення аргументу, взятих із області виз+
начення функції, а ординати, відповідні значенням аргументу, — зна+
чення функції.
175
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
1. Функція y = f(x) називається
монотонно зростаючою;
строго монотонно зростаючою;
монотонно спадною;
строго монотонно спадною;
якщо для кожної пари х
1
, х
2
Х (х
1
<х
2
)
виконується нерівність
f(x
1
)
d
f(x
2
);
f(x
1
) < f(x
2
);
f(x
1
)
t
f(x
2
);
f(x
1
) > f(x
2
).
2. Ф
у
нкція y = f
(
x
)
називається
парною;
непарною;
загального виду (ні парна,
ні непарна)
якщо для кожного х із Х
() ()
() ()
fx fx
fx fx
½
¾
¿
не виконується жодна
з попередніх властивостей
Приклади.
1. Парність (рис. 3.8). Осьова симетрія.
2. Непарність (рис. 3.9). Симетрія відносно
точки (наприклад, точки
О).
3. Функція загального виду: ні парна, ні не+
парна (рис. 3.10).
Функція
y = f(x) називається періо
дичною
, якщо існує відмінне від нуля чис+
ло
Т, таке, що для всіх значень х з області
визначення
Х виконується рівність:
f(x + T) = f(x).
Число Т називається періодом фун
кції
.
Ілюстрація періодичності — рис. 3.11.
3.2.3. Властивості функції
Ох
у
Ох
у
Рис. 3.9.
176
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
3.2.4. Функція, обернена до даної
Розглянемо взаємно однозначну функцію y = f(x). Це означає,
що кожному
у із множини Y також відповідає одне і тільки одне зна+
чення
х із Х (рис. 3.12).
Функцією, оберненою до функції y = f(x)
(
х
Х, у
Y), називається відповідність між
множинами
Y та Х, при якій кожному еле+
менту з
Y відповідає єдине значення з Х.
Позначення:
f
–1
: Y
o
X;
x = f
–1
(y).
Якщо в рівності x = f
–1
(y) у замінити на х, а х виразити через у,
дістанемо функцію
у = f
–
1
(х). Цю функцію можна також називати
оберненою до утвореної. Функції у = f(х) та у = f
–1
(х) називаються
взаємно оберненими.
Геометрична інтерпретація
Графіки двох взаємно обернених
функцій симетричні відносно бісектриси
квадрантів І та ІІІ (рис. 3.13).
Приклад.
Знайдемо функцію, обернену до
у = –2х + 4 (рис. 3.14).
Замінимо
у на х, а х на у:
–2
у = х – 4,
або
у = –0,5 + 2.
О х
у
Рис. 3.10.
О х
у
Рис. 3.11.
Y
Х
f
Рис. 3.12.
у
у = х
Ох
–1
Рис. 3.13.
177
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
3.2.5. Поняття складної (складеної) функції
Нехай маємо рис. 3.15.
Функція
у = F(u), де u = g(x) є, у
свою чергу, деякою функцією, нази+
вається складною (складеною) фун+
кцією, або суперпозицією (компози+
цією) двох функцій.
(())
Ffgfgx
D
.
Приклади.
1) у = sin
3
x — це композиція двох функцій:
y = F(u) = u
3
i u = sinx;
2)
y = sin x
3
— це композиція двох
функцій:
y = F(u) = sinu i u = x
3
.
X u=g(x) y=F(x)
y=F(g(x))
Рис. 3.15.
3.2.6. Основні елементарні функції
I. Лінійною називається функція виду y = ax + b, де a, b
R.
Властивості
Х Y Парність МонотонA
ність
ПеріодичA
ність
Графік
(;)f f
(;)f f
Загального
виду (ні пар+
на, ні непар+
на), а
z
0;
якщо а=0 –
парна
а>0 – зрос+
таюча;
а<0 – спад+
на;
а=0 – стала
Неперіодич+
на при а
z
0,
а=0 – періо+
дична з будь+
яким пері+
одом
Пряма лінія
х
у
II. Функція у = х
а
, де а — будь+яка дійсна стала, називається
степеневою.
Наведемо властивості степеневої функції, які залежать від показ+
ника
а:
1.
x
0
= 1,
0x z
.
2.
x
a
x
b
= x
a + b
.
3.
x
a
: x
b
= x
a – b
.
4.
b
a
x
= x
ab
.
5. (
xy)
a
= x
a
y
а
.
178
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
n – неп
а
р
не
x
y
n – па
р
не
х
y
ПоказA
ник стеA
пеня
Х Y Парність Монотонність ПеріодиA
чність
Графік
a = n,
n
N
(;)f f
(;)f f
,
якщо n – не+
парне;
(0; )f
, якщо
n – парне;
Непарна,
якщо n – не+
парне; парна,
якщо n – пар+
не
Зростаюча на
(;)f f
, якщо n –
непарне; спадна на
(;0]f
і зростаюча на
[0; )f
, якщо n – пар+
не
Неперіо+
дична
a = –n,
n
N
(;0)f
*
(0; )f
(–f;0)
*
(0; )f
, якщо
n – непарне;
(0; )f
, якщо
n – парне
Непарна,
якщо n – не+
парне; парна,
якщо n – пар+
не
Якщо n – парне, зрос+
таюча на
(;0)f
і
спадна на
(0; )f
; як+
що n – непарне, спадна
на
(;0)f
*
(0; )f
Неперіо+
дична
a = 1/n,
n
N
(0; )f
,
якщо n –
парне;
(;)f f
,
якщо n –
непарне
(0; )f
, якщо
n – парне;
(;)f f
,
якщо n – не+
парне
Непарна,
якщо n – не+
парне; зага+
льного вид
у
(
ні парна, ні
непарна), як+
що n – парне
Зростаюча на
(;)f f
, якщо n –
непарне; зростаюча на
(0; )f
, якщо n – пар+
не
Неперіо+
дична
n – непарне n – парне
х
х
у у
179
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
III. Функція у = а
х
, якщо а>0, а
z
0, називається показниковою
функцією.
Властивості
Основні формули:
1.
a
0
= 1,
0a z
.
2.
a
x
a
y
= a
x+y
.
3.
a
x
: a
y
= a
x–y
.
4.
y
x
a
= a
xy
.
5. (
ab)
x
= a
x
b
x
.
IV. Функція y = log
a
x, якщо a > 0, а
z
1, називається логариф,
мічною функцією
. Логарифмічна та показникові функція взаємо
обернені.
Х Y Парність МонотонA
ність
ПеріодичA
ність
Графік
(–f;+f) (–f;0)
Загально+
го вигля+
ду (ні пар+
на, ні не+
парна)
Якщо а>1 –
зро+стаюча на
(;)f f
;
якщо 0<а<1 –
спадаюча на
(;)f f
Неперіо+
дична
y
x
a>1
0<a<1
1
0
Х Y Парність Монотонність ПеріодичA
ність
Графік
(0;+f
)
(;)f f
Загального
вигляд
у
(
ні
парна, ні
непарна)
Якщо а>1 –
зростаюча на
(0; )f
;якщо
0<а<1 – спа+
даюча на
(0; )f
Неперіо+
дична
y
x
a>1
0<a<1
0
1
Основні формули:
1. log
a
1 = 0, a > 0,
1a z
.
2. log
a
(xy) = log
a
x + log
a
y.
3. log
a
a = 1.
4. log
a
x
y
§·
¨¸
©¹
= log
a
x – log
a
y.
5.
log
r
a
b
p
=
p
r
log
a
b.
180
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
V. Функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x називаються
тригонометричними.
ФункA
ція
Х Y Парність Монотонність ПеріодичA
ність
y=sin x
(;)f f
[2;
2
n
S
S
@
3
2
2
n
S
S
[–1; 1] Непарна Зростаюча на
[0; ]
2
S
; спадна на
2
2
[;
n
S
S
@
3
2
2
n
S
S
Періодична
Т =
2 n
S
;
T
min
=
2
S
y=cos x
(;)f f
[–1; 1] Парна Зростаюча на
[
2 n
SS
;
2 n
S
];
спадна на
[
2 n
S
;
2 n
SS
]
Періодична
Т =
2 n
S
;
T
min
=
2
S
у=tg x
(2;
2
n
S
S
2
2
n
S
S
(;)f f
Непарна Зростаюча Періодична
Т =
n
S
;
T
min
=
S
y=ctg x (
n
S
;
n
SS
)
(;)f f
Непарна Спадна Періодична
Т =
n
S
;
T
min
=
S
Графіки
–
S
–
S
/2 О
S
/2
S
Х
–1
Y
1
y = sin x
–
S
–
S
/2 О
S
/2
S
Х
–1
Y
1
y = cos x
–3
S
/2 –
S
–
S
/2 O
S
/2
S
3
S
/2 X
Y
y = tg xy = ctg x
–
S
–
S
/2 O
S
/2
S
X
Y