Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
41
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
123
23
3
31
0,
22
02,
003 3.
xxx
xx
x
°
°
®
°
°
¯
Звідси випливає, що х
1
= 1, х
2
= –1, х
3
= 1.
1.5.3. Приклади для самостійного розв’язку
Приклад 1.52. Розв’язати системи лінійних рівнянь трьома ме+
тодами: методом Крамера, матричним методом та методом Гауса.
1.
123
123
123
55,
3,
23 0.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
2.
123
123
12 3
34 4,
23 1,
23.
xxx
xxx
xx x
°
®
°
¯
3.
12 3
123
123
321,
21,
23 2.
xx x
xxx
xxx
°
®
°
¯
4.
12 3
123
123
537,
25,
232 4.
xx x
xxx
xxx
°
®
°
¯
5.
12 3
12 3
123
233,
22,
0.
xx x
xx x
xxx
°
®
°
¯
6.
123
12 3
123
432 1,
231,
23.
xxx
xx x
xxx
°
®
°
¯
7.
12 3
123
12 3
235,
2217,
34.
xx x
xxx
xx x
°
®
°
¯
42
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.5.4. Система m лінійних рівнянь з n невідомими
Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
...................................
...
nn
nn
mm mnnm
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
°
°
®
°
°
¯
. (1.13)
Теорема Кронекера–Капеллі. Для того, щоб система лінійних
рівнянь (1.13.) була сумісною, необхідно і досить, щоб ранг матриці
системи
А =
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
aa a
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
дорівнював рангу розширеної матриці
А* =
11 12 1 1
21 22 2 2
12
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
mm mnm
aa ab
aa ab
aa ab
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
тобто
r(A) = r(A*).
При цьому:
1) Якщо ранг матриці системи r(A) дорівнює числу невідомих і
'
= |А|
z
0, то система має єдиний розв’язок;
2) Якщо ранг матриці системи менший числа невідомих і систе+
ма сумісна, то вона має безліч розв’язків.
43
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.5.5. Розв’язання прикладів
Приклад 1.53. Чи сумісна система
12 3
12 3
123
123
31,
221,
3,
231.
xx x
xx x
xxx
xxx
°
°
®
°
°
¯
Розв’язок. Ранг матриці системи
А =
11 3
21 2
11 1
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
не може бути більшим 3.
Перетворимо матрицю А, помноживши елементи останнього ряд+
ка відповідно на –1, –2, –1 і додавши їх до елементів першого, дру+
гого і третього рядків:
А ~
010
034
014
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Обчислимо мінор третього порядку
034
014
12 3
= 8
z
0.
Отже, r(А) = 3.
Обчислимо ранг розширеної матриці:
44
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
А* =
1131
21 2 1
11 1 3
12 3 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
~
010 2
034 4
0142
12 31
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
~
0580
034 1
07120
1110
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Обчислимо мінор четвертого порядку, розклавши його по елемен+
там першого стовпчика, а мінор третього порядку — по елементам
третього стовпчика.
0580
034 1
07120
1110
= –
580
34 1
712 0
=
58
712
z
0.
Отже, r(A*) = 4.
Ранги матриць А і А* не співпадають, досліджувана система не
сумісна.
Приклад 1.54. Дослідити систему і розв’язати її, якщо вона сумісна.
123
123
123
23,
31,
34 5.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
Розв’язок.
А =
121
13 1
34 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
~
121
210
420
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
121
210
420
=
21
42
= 0,
12
21
= 5
z
0.
Отже, r(А) = 2.
45
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
А* =
1213
13 11
34 15
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Легко переконатися, що r(А*) = 2.
За теоремою Кронекера–Капеллі система сумісна і містить два
незалежних рівняння. За ці два рівняння можна прийняти перші два
рівняння системи, оскільки
12
13
z
0.
Тоді
12 3
12 3
23
31
xx x
xx x
®
¯
23
13
2
(1)
5
1
(11 )
5
xx
xx
.
Система має безліч розв’язків.
Відповідь: (
1
5
(11 – х
3
);
2
5
(х
3
– 1); х
3
).
Приклад 1.55. Чи сумісна система?
12 3
12 3
123
123
31,
221,
3,
231.
xx x
xx x
xxx
xxx
°
°
®
°
°
¯
Розв’язок. Ранг матриці системи
А =
11 3
21 2
11 1
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
не може бути більшим 3.
46
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Перетворимо матрицю А, помноживши елементи останнього ряд+
ка відповідно на (–1), (–2), (–1) і додамо їх до елементів першого,
другого і третього рядка.
А
010
034
014
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
034
014
12 3
= –8
z
0.
Отже, r(А) = 3.
Обчислимо ранг розширеної матриці.
А* =
11 3 1
21 2 1
11 1 3
12 3 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
010 2
034 4
0142
12 31
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
0581
034 1
07120
1110
=
580
34 1
712 0
=
58
712
z
0.
Отже, r(А*) = 4.
Ранги матриць А і А* різні, тому досліджувана система не сумісна.
Приклад 1.56. Розв’язати однорідну систему, використовуючи
метод Гауса:
123
123
123
23 0,
0,
322 0.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
47
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Розв’язок. Випишемо матрицю системи і будемо виконувати еле+
ментарні перетворення рядків матриці.
А =
231
111
322
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
111
231
322
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
r(А) = 2 < n = 3, n — число невідомих. Система має нетривіальний
розв’язок. Ставимо у відповідність матриці спрощену систему:
123
23
0,
50,
xxx
xx
®
¯
де х
1
, х
2
— основні елементи (базисні), х
3
— вільна змінна.
Тоді,
12 3
23
,
5,
x
xx
xx
®
¯
3
13 3
3
2
4
,
55
.
5
x
x
xx
x
x
°
°
®
°
°
¯
Загальний розв’язок:
х
1
= –
4
5
х
3
; х
2
= –
3
5
x
; х
3
R.
Якщо перепозначити вільну змінну х
3
= С, отримаємо загальний
розв’язок у вигляді.
х
1
= –
4
5
С; х
2
= –
5
C
;
С
R.
Підставивши отриманий розв’язок у систему переконаємось у
правильності одержаного розв’язку.
48
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.5.6. Завдання для самостійної роботи.
Використовуючи теорему Кронекера–Капеллі, встановити чи
сумісна система і, якщо сумісна, — розв’язати.
1.57.
1234
123 4
123 4
4224 2,
221,
4223 3.
xxxx
xxx x
xxx x
°
®
°
¯
1.58.
12
12
12
73 2,
23,
4911.
xx
xx
xx
°
®
°
¯
1.59.
12 34
12 3 4
1234
52 7,
2421,
3650.
xx xx
xx x x
xxxx
°
®
°
¯
1.60.
12
12
12
83,
21,
47 4.
xx
xx
xx
°
®
°
¯
1.61.
12 345
12345
123 4 5
21,
598 0,
3434.
xx xxx
xxxxx
xxx x x
°
®
°
¯
1.62.
12
12
12
21,
34,
21.
xx
xx
xx
°
®
°
¯
1.63.
1234
12 3 4
12 3 4
1234
23 5 0,
3270,
4360,
2470.
xxxx
xx x x
xx x x
xxxx
°
°
®
°
°
¯
1.64.
123
123
123
123
74 14,
25,
23,
36.
xxx
xxx
xxx
xxx
°
°
®
°
°
¯
1.65.
12 34
1234
1234
231,
4253 3,
4235 5.
xx xx
xxx x
xxxx
°
®
°
¯
1.66.
123
123
12 3
123
6,
23,
25,
365 6.
xxx
xxx
xx x
xxx
°
°
®
°
°
¯
1.67.
12 3
12 3
123
432,
323,
22 1.
xx x
xx x
xxx
°
®
°
¯
1.68.
123
123
123
423 5,
342 1,
1.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
49
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.69.
12 3
123
12 3
223,
32,
323.
xx x
xxx
xx x
°
®
°
¯
1.70.
123
123
123
23 5,
23 1,
322 4.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
1.71.
123
123
123
212,
211,
315.
xxx
xxx
xxx
°
®
°
¯
1.72. Знайти розв’язок однорідної системи лінійних рівнянь:
а)
123
123
12
834 0,
0,
40.
xxx
xxx
xx
°
®
°
¯
б)
1234
1234
123 4
12 3 4
2430,
3564 0,
4523 0,
3 8 24 19 0.
xxxx
xxxx
xxx x
xx x x
°
°
®
°
°
¯
50
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§1.6. Вектори
1.6.1. Теоретичні відомості
Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка
вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.
Два вектора називаються рівними між собою, якщо кожний із них
можна дістати паралельним перенесенням іншого.
Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той
самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора
a
називається
абсолютною величиною або модулем вектора і позначається
a
.
Вектор називається нульовим (нуль,вектором), якщо він має
нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.
Щоб знайти суму двох векторів
a
і
b
, сумістимо початок векто+
ра
b
з кінцем вектора
a
.
Сумою
a
+
b
векторів
a
та
b
називається вектор, початок
якого збігається з початком вектора
a
, а кінець – з кінцем вектора
b
(рис. 1.1).
Для додавання векторів мають місце такі закони:
1) переставний (комутативний)
a
+
b
=
b
+
a
;
b
b
a
+
b
b
b
a
+
b
Правило трикутника
Рис. 1.1.
Правило паралелограма