Кобляков А.И. (ред.) Лабораторный практикум по текстильному материаловедению

Подождите немного. Документ загружается.

деления шкалы прибора, т. е. значению одного наименьшего

деления шкалы, выраженного в единицах измерения.

Если при испытании получится результат, резко отличаю-

щийся от остальных, его обязательно записывают и выделяют,

чтобы затем проверить анормальность этого результата и оста-

вить или отбросить его как выскакивающий.

Первичные результаты являются приближенными числами, и

в них необходимо различать верные и неверные, значащие и

незначащие цифры.

Верными называют цифры тех разрядов, которых нет в

ошибке выборки или в абсолютной погрешности приближенного

числа, а также цифры разрядов, записанных в ошибке нулями

слева. Остальные цифры будут неверными. Например, в ре-

зультатах 1,973 ± 0,004, 1002 ± 5 и 0,068 ± 0,001 по три верные

цифры и по одной неверной, а в приближенном числе 15,48 ±

± 0,32 две верные и две неверные цифры. Неверную цифру выс-

шего разряда иногда называют сомнительной.

Значащими называют все цифры, кроме нулей, записан-

ных подряд слева. Нули, записанные подряд справа, могут быть

значащими или незначащими. Последними считают нули,

записанные в погрешности подряд справа. Например, в резуль-

тате 2900+ 10 незначащим является один последний нуль

справа.

В первичных результатах число неверных цифр равно числу

разрядов (начиная с наивысшего значащего) абсолютной по-

грешности измерений или цены одного деления шкалы прибора.

Запись промежуточных и итоговых результатов. В промежу-

точных результатах, используемых в последующих вычислениях,

отбрасывают все лишние цифры и оставляют после округления

две неверные цифры. Вторую неверную цифру отбрасывают уже

в окончательном результате. Таким образом, итоговый резуль-

тат должен иметь все верные цифры, за исключением одной по-

следней (сомнительной) в низшем разряде. Если окончательный

результат приводят вместе с абсолютной погрешностью или

ошибкой выборки, то их также округляют до разряда последней

оставленной цифры итогового результата. Например, 12,47 ±

± 0,63 « 12,5 ± 0,6; 1028 ± 17 « 1030 ± 20.

Правила округления. Когда отбрасываемая при округлении

цифра меньше 5, цифру в сохраняемом смежном разряде не из-

меняют. Если отбрасываемая цифра больше 5, сохраняемую

цифру увеличивают на единицу. Наконец, когда отбрасываемая

цифра равна 5, сохраняемую цифру либо увеличивают на еди-

ницу, если она нечетная, либо не изменяют, если она четная или

нуль. В том случае, когда вместе с цифрой 5 отбрасывают и

другие цифры (помимо нулей), сохраняемую цифру увеличивают

на единицу. Если же отбрасываемая цифра 5 получилась в ре-

зультате округления с дополнением, сохраняемую цифру не из-

меняют. Например, 84,6512 « 84,7; 2,346 « 2,35 « 2,3.

Предельная ошибка одного округления равна 0,5 единицы

сохраняемого разряда. Ее величина не должна быть больше

суммарной ошибки измерения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОДНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИИ (П < 50)

Выборочное среднее определяют по формуле

x=YjXi/n, (1.5)

t-i

,где п — число измерений (объем выборки); Xi — отдельные результаты изме-

рений.

Если х используют для других расчетов, его обычно записы-

вают на один разряд ниже низшего разряда в отдельных изме-

рениях. Если х характеризует итоговый результат испытаний,

его округляют до низшего разряда первичных данных.

Среднее квадратическое отклонение может

быть смещенным (5) и несмещенным (5). Усредненные смещен-

ные значения S в малых выборках занижены по сравнению со

средним квадратическим отклонением а для всей партии ма-

териала.

При неизвестной средней величине а для всей партии мате-

риала S подсчитывают по формуле

Х)

1(п- 1),

a S — по формуле

S = M

(1.6)

(1.7)

где Mk — коэффициент, значения которого приведены в табл. 1.2 (k — п—1,

если а неизвестно, и k = п, если а известно; п — число измерений).

Таблица 1.2

1,253

1,042 14

1,018

1,008

1,128

1,036

1,017 35

1,007

1,085

1,032

1,013

1,006

1,064 9

1,028

1,013

1,005

1,051

1,025

1,010 60

1,004

Примечание. При п>60 М^—1.

Усредненные для многих выборок значения S соответствуют

ориентировочно ст. Определенная по формуле (1.6) выборочная

дисперсия S

является несмещенной оценкой и в среднем соот-

ветствует по уровню дисперсии о

для всей партии материала.

Коэффициенты вариации также могут быть смещен-

ными (С) и несмещенными (С). Их определяют в процентах по

следующим формулам:

C=100S/x; (1.8)

C=mSjx. (1.9)

Размах варьирования R определяют для m выборок

по п ^ 10 в каждой:

R — x

тах

Xmin- (1.10)

Неравномерность материала оценивают по среднему раз-

маху

*=£/?//«. (1.11)

где Ri — значение размаха в i-й выборке.

Несмещенная оценка S

среднего квадратического отклоне-

ния а для всей партии материала определяется также по сред-

нему размаху

= a

R, (1.12)

где а

— коэффициенты, определяемые в зависимости от объема выборки по

ГОСТ 11.004—74 (СТ СЭВ 876—78) П.9]:

п 23456789 10

0,8862 0,5908 0,4857 0,4299 0,3946 0,3698 0,3512 0,3367 0,3249

Выборку большого объема следует разделить случайным ме-

тодом на т равных групп (объемом п каждая) и по формулам

(1.10) —(1.12) определить R, R и S

. Например, для выборочных

данных табл. 1.3, которая приведена ниже, #=(14 + 41+ ...

... +25+ 43)/10 = 27,2 сН, a = 0,3249-27,2 = 8,84 сН.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОДНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ОДНОСТУПЕНЧАТОЙ ВЫБОРКИ ПРИ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ

ИЗМЕРЕНИИ (П>50)

При дробных значениях измеряемых величин xi и х, а также

большом числе испытаний вычисление сводных характеристик,

особенно S и S

, затруднительно и трудоемко. Поэтому в данном

случае применяют предварительную группировку первичных

данных по классам и определяют отклонения не от выборочного

среднего х, а от условного центра х

Рассмотрим на примере обработку методом произведений

результатов 100 измерений разрывной нагрузки нити в санти-

ньютонах (табл. 1.3).

Прежде всего в табл. 1.3 находят максимальное и минималь-

ное значения (x

mzx

— 139,

JCmin

= 92). Затем все результаты рас-

пределяют в табл. 1.4 по п

классам с одинаковым интервалом

Таблица 1.3

Первичные результаты

Размах

112 104 109 113

110

108

113

111

102 99 14

127 110 102

109

105

95 136 129

110

126 41

111 123

120 101 111 115 109

112

120 119 22

112

108 115

98 112

107 111

112

101 120 22 :

118

104 116 114

96 121 116

114

108

95 26

109

115

98 111

113

103 110 111 117

97 20

101

112 111

108

113

114 112 121

2613

112 105 112

125 111 116 106

115 103 92

105 105

98 105

123

121 104

101 111

120 112 120

109

139 109 96

113

112

43fi

k. Число классов зависит от объема выборки: 7 ^ ti

^ 20.

Классовый интервал k, или разницу между нижними (верхними)

пределами смежных классов, определяют по формуле k =

(хтях

— x

n)/n

. Желательно, чтобы величина k была крат-

ной 5 или 10, так как тогда облегчается разноска первичных

данных из табл. 1.3 в расчетную табл. 1.4. Для данных табл. 1.3

при п

= 10 классовый интервал £ = (139 — 92)/10 = 4,7. Вели-

чину k округляем, т. е. принимаем кратной 5 (k = 5).

Таблица /Л

Границы

классов

Отметки числа результатов

8 границах классов

Часто-

та и

ос

UoС

их

1 г

ч 5 ti

135-139

г/

+ 5

10 50

130-

125-123

////

+ 3 12

120-т

UJJLLLJ

ьо

115-119

UJJ UJJ

110-№

LLU LLL1UJJUJJ LLU'UM II

105-109

LLULLULLLIII

-1

-17

100-10

UJJ UJJ !

11 -2

-22

95-99

UJJ UJJ HI

1i -

-3 -39

90-94

-Ч -<t

100

-30

330

В верхней строке графы 1 табл. 1.4 слева записывают наи-

больший результат Ятах, округленный в меньшую сторону с точ-

ностью k (xmax = 139 » 135). Каждое число, записываемое сле-

ва в следующих строках графы 1, определяют последовательным

вычитанием интервала k до получения минимального результата

из табл. 1.3 (*min = 92) или числа, меньщего его. Таким образом

находят все нижние границы классов. Вёрхние границы классов

определяют, прибавляя к нижним границам интервал k и вы-

читая величину низшего разряда г первичных результатов. Для

нашего примера k = 5 и г — 1; поэтому верхние границы клас-

сов больше нижних на k — г — 4. Верхние границы записывают

в графе 1 справа, отделяя их от нижних чертой.

В графе 2 черточками отмечают подряд каждый результат

из табл. 1.3 в строке того класса, в границах которого он нахо-

дится. Первые четыре результата удобно отмечать наклонными

или вертикальными черточками, а пятый — соединяющей их го-

ризонтальной чертой. По сумме отметок определяют частоту и,

которую фиксируют в графе 3.

Условный центр х

намечают примерно против одной из наи-

больших частот или в интервале, где ожидается среднее значе-

ние. Центру соответствует условное отклонение а «= 0, фикси-

руемое в графе 4. В ней же записывают для каждой строки по-

следовательно изменяющиеся на единицу отклонения а: вверх

от нуля — положительные, вниз — отрицательные. Затем для

всех классов вычисляют произведения иа и на

, которые запи-

сывают соответственно в графах 5 и 6. Далее подсчитывают

суммы Еиа, Еыа

и условные моменты т\ — Ъиа/п, mi =

= Sua

/"-

Определив значение х

как среднее границ класса с a = О,

вычисляют выборочное среднее х, среднее квадратическое откло-

нение S и коэффициент вариации С [последний по формуле

где k

•—

классовый интервал; п = 2« — общее число измерений.

Пример 1.3. Для данных табл. 1.4 получаем: k = 135—130 == 5;

*„ = 0,5(110+ 114)_= 112; т

= —30/100 = —0,3; т

= 330/100 = 3,3. Тре-

буется определить х, S, R, S

, С.

Пользуясь формулами (1.8), (1.11) — (1,14), высчитываем: х = 112—5

•

0,3=

= 110,5 сН; S = 5 У(3,3 -0,3

) 100/(100 - 1) = 9 сН; С= 100

•

9/110,5 = 8,1%;

R = (14 + 41 + ... + 43)/10 = 27,2 сН; S

= 0,3249-27,2 = 8,83 сН;- С =»

= 100-8,83/110,5 = 8 %.

Для выборок объемом 3 < п < 50 по ГОСТ 11.006—74 (СТ СЭВ

1190—78) [1.10] допускается применять критерий W с целью

проверки согласия опытного распределения с нормальным или

логарифмически нормальным распределением.

Результаты измерений ранжируют в порядке их возрастания:

х\ ^ х

^ ... ^ Xi ^ ... ^ х

. Далее в графу 1 табл. 1.5

записывают значения порядкового индекса г=1, 2, ..., п, а

в графу 2 — соответствующие ранжированные значения х,-

0-8)]:

+ krriu

(1.13)

(1.14)

ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ

Таблица 1.3

"n-t+1

"я-Ж (**-/+-*/)

1 2

3 4 5

6 7

900

2 34

1156

3 41

1681

2116

2209

2209 5 0,0399 47 —

47 = 0 0

2304 4

0,1224 48- 46 = 2

0,2448

2401

0,2141

49- 41 =8

1,7128

2704

2 0,3291 52-

34= 18

5,9238

3364 1

0,5739 58-

30 = 28

16,0692

452 21044 23,9506

(в табл. 1.5 для примера приведены ранжированные результаты

п — 10 измерений линейной плотности нити).

В графу 3 записывают значения х\, а в графу 4 значения

порядкового индекса /=1,2, ..., е, начиная с последней строки

и в обратном порядке по сравнению с записью значений ин-

декса i. При этом е — 0,5п, если п четное число, и е = 0,5 (п — 1),

если п нечетное число.

В графу 5 записывают соответствующие индексу / значения

коэффициента а„_ж> которые определяют для данного числа из-

мерений п и каждого индекса / ^е по табл. 1.6.

В графу 6 табл. 1.5 записывают вычисленные разности

—

Xj,

начиная со строки j = е (или i — n — / + 1) и ниже.

Например, для последней строки / = 1 определяют по табл. 1.5

дГю—1+i

—

Хю

— х, — 58 — 30 = 28. В графу 7 записывают

значения произведений a„-/+i (*«-ж — */). т. е. произведений ве-

личин граф 5 и 6. Данные граф 2, 3 и 7 суммируют и записы-

вают в последней строке таблицы.

Затем вычисляют значения ф

и б

s (1-15)

= • (1.16)

Критерий согласия определяют по формуле

W = W (1.17)

и сравнивают с табличным значением Т^ода, рассчитанным в за-

висимости от объема выборки:

п 3 4 5 10 20 >25 30 40 50

1^0,05 0,767 0,748 0,762 0,842 0,905 0,918 0,927 0,940 0,947

Таблица 1.6

Значения 10

га

3 4

40 50

/ \

7071

6872

6646

5739

4734 4450 4254 3964

3751

1677

2413 3291

3211

3069 2944 2737

2574

3 2141

2565 2543 2487 2368

2260

4 1224

2085

2148 2148

2096 2032

5 0399 1686

1822

1870 1878

1847

1334 1539 1630 1691

1691

1013 1283

1415

1526 1554

0711 1046

1219 1376 1430

0422 0823

1036

1237 1317

10 0140 0610 0862 1108 1212

11 0403

0697 0996

1113

12 0200 0537 0870 1020

0381

0759 0932

0227 0651 0846

0076 0546 0764

0444

0685

17 0343

0608

0244 0532

0146

0459

0049

0386

21 0314

0244

0174

0104

0035

Если W Wo,o5f вероятность того, что исследуемая выборка

взята из генеральной совокупности, распределенной нормально,

не превышает 0,05 и гипотеза о нормальном распределении ис-

следуемого признака отвергается. Например, для данных

табл. 1.5 получаем: ф

= 21044 — 452

/10 = 613,6, Ь

= 23,9506

= 573,6 и W = 573,6/613,6 = 0,935. Поскольку W = 0,935 >

> Wo,о5 = 0,842, гипотеза о нормальном распределении резуль-

татов табл. 1.5 не отвергается.

При числе испытаний п ^ 100 проверка соответствия факти-

ческого распределения любому теоретическому осуществляется

с помощью критерия х

, а для распределения непрерывных слу-

чайных величин используют критерий № или со

по ГОСТ

11.006—74* (СТ СЭВ 1190—78) [1.10] или другим данным [1.8].

ОЦЕНКА АНОРМАЛЬНОСТИ ОТДЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИСПЫТАНИИ

Анормальным (выскакивающим) называется результат, резко

отличающийся от остальных. Поэтому, принимая решение об

исключении или сохранении резко отличающихся результатов

измерений, надо проявлять осторожность и внимательно анали-

зировать условия, в которых получился анормальный результат,

особенно при малых выборках (см. с. 11).

В соответствии с ГОСТ 11.002—73 (СТ СЭВ 545—77) [1.11]

для оценки анормальности отдельных результатов их ранжируют

в порядке возрастания: х\ ^

Хч

^ ... ^ Xi ^ ... ^ х

. Затем

по формулам (1.5) и (1.6) подсчитывают значения х и S, опре-

деляют отношение и

= (х

— х) /S или и\=(х — х{) /S и срав-

нивают с величиной р

, определяемой в зависимости от объема

выборки, при уровне значимости q = 0,05:

п 3 4 5 6 8 10 12 15 18 20

Ро.о5 1,15 1,46 1,67 1,82 2,03 2,18 2,29 2,41 2,50 2,56

Если и

^ ро,о5 или ui ^ Ро,о5. подозреваемый в анормаль-

ности результат х

или х\ не следует включать в подсчет свод-

ных выборочных характеристик. Вероятность ошибочного ре-

шения при этом, т. е. уровень значимости, q = 0,05.

Весьма простой является проверка анормальности выскаки-

вающих результатов с использованием размаха варьирования R,

определяемого по формуле (1.10). Если из п ранжированных ре-

зультатов результат х

или х\ вызывает сомнение, то, исключив

или Х\ из оставшихся п —

результатов, подсчитывают сред-

нее х. Если х

> х -j- Rz или х\~^х — Rz, результат х

или х\

считают анормальным. Величину z выбирают в зависимости от

объема выборки:

п 5 6 7 8-9 10-11 12-15 16-22 23-25 26-63 64-150

г 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОДНЫХ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДЛЯ ПАРТИИ МАТЕРИАЛА

При распространении сводных характеристик, подсчитанных для

одной выборки, на всю партию материала необходимо опре-

делять нижнюю и верхнюю односторонние или двусторонние гра-

ницы вероятного нахождения генеральных сводных характери-

стик [1.12].

Доверительные границы генерального среднего а *. Эти гра-

ницы при неизвестной генеральной дисперсии определяют по

ГОСТ 11.004—74 (СТ СЭВ 876—78) [1.9] для нормального

распределения результатов следующим образом.

Для выборки объемом п подсчитывают по формулам (1.5) и

(1.6) или (1.13) и (1.14) выборочные значения 1и5. Нижнюю

одностороннюю границу генеральной средней а высчитывают

по формуле

a„i=*— hS/л/п, (1.18)

* В ГОСТ 11.004—74* (СТ СЭВ 876—78) для генерального среднего и

его доверительных границ вместо обозначения а используется обозначение т.

а верхнюю — по формуле

i = x + tiS/-\Jn,

(1.19)

где <i — квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности

Yi = 0,95, определяемый по табл. 1.7.

Таблица 1.7

ДЛЯ

Yi =0,95

для

Y=0,95

к=п — 1

ДЛЯ

Y,=0,95

для

Y= 0,95

ДЛЯ

Yi =0,95

для

Y=0,95

для Y

! = 0,95

к=п — 1

ДЛЯ

Y,=0,95

для

Y= 0,95

Для Y[ =0,95

2,920

4,303

0,578 4,42 29 1,699 2,045

0,825

1,28

2,353

3,182 0,620 2,92 40 1,684 2,021

0,847

1,23

2,132 2,776

0,649 2,37 50 1,676 2,009 0,861 1,20

1,833 2,262

0,729 1,65 100

1,660 1,984 0,897

1,13

1,729 2,093

0,794 1,37

00 1,645

1,960

1,000 1,00

Примечание. Для промежуточных

линейным интерполированием.

значений k=ti

— 1

квантил

ti определяют

Вероятность нахождения генеральной средней а в пределах

односторонних доверительных границ (а

ь <х>) и (—оо, а

в!

)

определяется по формулам

P(a>a

) =

; (1-20)

P(a<a

i) = Yi- (1.21)

Если в формулы (1.18) и (1.19) подставить из табл. 1.7

вместо t

значение t, то в формулах (1.20) и (1.21) доверитель-

ная вероятность yi = 0,5(1 + у) = 0,5(1 + 0,95) = 0,975.

Нижнюю и верхнюю границы двустороннего доверительного

интервала анг и а

2 находят по формулам

= x-tSj-\jn\ (1.22)

в2

= х + «/Уп, (1.23)

где t — квантиль распределения при доверительной вероятности у = 0,95, оп-

ределяемый по табл. 1.7; tSf^/n — величина, называемая также ошибкой вы-

борки среднего.

Вероятность нахождения генеральной средней в пределах

двусторонних границ определяется по формуле

P(a

<a<a

) = у. (1.24)

Если в формулы (1.22) и (1.23) подставить из табл. 1.7 вме-

сто t значения U, то в формуле (1.24) доверительная вероят-

ность у — 27! —

= 2• 0,095 —

= 0,90.

Доверительные границы среднего квадратического отклонения

а. Если генеральная средняя а неизвестна, то, вычислив по фор-

муле (1.6) или (1.14) выборочную характеристику S, задаются

доверительной вероятностью и по табл. 1.7 находят при

п 100 значения z

и z

. Их значения для промежуточных зна-

чений k определяют линейным интерполированием. При k =

= п—

> 100 значения z

и z

вычисляют по формулам

= VW(V2fe - 1 + "v.); (!-25)

= y2£/(V2£ - 1 - u

), (1.26)

где u

= t

при я = оо берут по табл. 1.7.

Нижнюю одностороннюю доверительную границу находят по

формуле

<T„i

= z

S, (1-27)

а верхнюю одностороннюю доверительную границу — по фор-

муле

= Z

S. (1.28)

По аналогии с формулами (1.20), (1.21) и (1.24) имеем сле-

дующие вероятностные определения доверительных границ:

Р(о>а

н1

) = у(1.29)

Р(<т<а

в1

) = Yi; (1-30)

P(o

= (1-31)

Значения двусторонних доверительных границ 0

2 и 0

в2

опре-

деляют по формулам (1.27) и (1.28), беря значения г

и z

при

71=0,975. В этом случае в формуле (1.31) доверительная ве-

роятность 7 = 271— 1=2-0,975—1 =0,95. Значениям z„ и z

из табл. 1.7 при 71=0,95 соответствует двусторонняя довери-

тельная вероятность 7 = 0,90.

Доверительные границы коэффициента вариации. Односторон-

ние доверительные границы коэффициента вариации V для гене-

ральной совокупности приближенно определяют при га ^ 30 и

С < 25 % по PC 2049—69, используя следующие формулы:

Vm = К„С; (1.32)

C, (1.33)

где С — выборочный коэффициент вариации, определяемый по формуле (1.8);

значения К« и Кв для односторонней доверительной вероятности Yi = 0,95

определяют в зависимости от объема выборки (табл. 1.8).

Таблица 1.8

100

200

300

500

1000

1,27

1,20 1,13 1,10

1,07

1,06

1,04

0,83

0,86

0,90

0,92

' 0,94

0,95

0,97