Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

пессимистические стратегии, стратегии нейтралитета или

уравновешенного типа.

Изучение методов получения оценок (на

основе методов системного анализа) и методов обработки оценок

(м яет сформировать

необ мы .

я

ог

р ен у

пределенная технология принятия решений. Для

повы

ой

опре

в

тивной неопределенности предлагает

адекв

ых системах позволяет принимать

реше к м

о с

д

й принцип

не в

в

етодов принятия решений) позвол

ходи е методы

1. Основные принципы и определени . В различных

областях науки и техники существуют ситуации, к да необходимо

принимать еш ия в условиях неопределенности, т.е. в словиях

неполного знания о параметрах. В связи с этим, а также в связи с

весомостью последствий от принятия тех или иных решений

требуется о

шения надежности принятия правильного решения следует

сформулировать ряд принципов, которыми целесообразно

пользоваться:

–

принцип формализации в условиях полн

деленности

на основе экстремальных методо системного

анализа предполагает строгую формулировку целей, условий и

ограниченный экстремальных задач при принятии решений.

Адекватная формализация определяющим фактором при решении

детерминированных прикладных задач.

–

принцип объек

атное описание совокупности неизвестных факторов,

образующих

класс неопределенности. Определение класса

неопределенности в сложн

ние на основе аде ватных методов и алгорит ов для

заданного класса неопределенности, тличающих я от

«субъективно эффективных мето ов и алгоритмов».

–

принцип руководящих критериев позволяет осознанно

решать проблему принятия решений. Практически данны

исключает принятие решений на осно е интуиции

проектиро щика или исследователя.

-

«принцип формализации в условиях неопределенности»

основан на методах и алгоритмах принятия решений в различных

141

условиях на основе адекватного описания неполной информации о

классе неопределенности в рамках обобщения логических

заключений о критериях выбора решения на основе

формализо нной постановки задачи инятия решений в условиях

объективно существую

ва пр

щей неопределенности.

к

и

е

дифференцированные

риска является одним из методов принятия решений.

бен о н зов

п

ра принятия решений. В

соотв с

о ь

П

н

–

принцип минимизации риска применительно проблеме

принятия решений предполагает минимизацию опасности, угрозы,

связанных с принятием решений. Первоначально термин «риск»

использовался в коммерции, и с ними связывалась неудача в каком-

либо предпр ятии и величина потерь или выигрыша. Постепенно,

по мере психологической готовности, поняти риска стало

привычным и получило объективные количественные

характеристики, для каждой из задач.

Минимизация

Многие прикладные задачи (осо н еформали анные)

имеют много факторов, расстановка которых первоначально не

является однозначной. Руководствуясь перечисленными

принципами, можно в первом приближении

E

осознанно одойти к

постановке задачи принятия решений.

2. Основная формальная структу

i

ет твии формулировкой основных принципов принятия

решений м жно дат ряд определений, способствующих

адекватной формализации.

Определение 1. од принятием решений будем понимать

выбор од ого варианта

i

Е

из некоторого множества вариантов

{

}

i

Е

E= . Далее буде полагать, что имеется конечное число

вариантов

м

н яс

бор не может быть выполнен

корр

1

,..., ,...,

im

EEE

.

Понятия варианта обыч о интуитивно но. Однако дадим

строгое определение, без которого вы

ектно.

142

Определение 2. Вариантом

i

E

будем называть одним из

способо построения систем или выбора стратегии, допускающие

получение результата с оценко

i

e

. Другими словами, вариантом

i

E

связана соответствующая ему оценка

i

e

.

В рассматриваемой ситуации име

в ы

й с

ется одномерная

совок

упность вариантов и соответствующих оценок, а выбор

оптимального варианта производится по критерию

000 0 0

{| ^( max)}

ii i i

i

EEEEe e=∈=

, (1.а)

где целевые условия сформулированы как стремление достижения

максимума оценок. Это правило выбора читается следующим

образом: множество

0

E

оптимальных вариантов состоит из тех

вариантов

0i

E

, которые принадлежат множеству вариантов

E

, и

оцен

х в и ц фор

ус р

вариантов

ка

0i

E

, которая максимальна среди всех оценок

i

E

(логический

знак «

∧

» читается как «И»). Здесь учитывается факт наличия

нескольки ариантов. Есл елевые условия мулируются как

достижение минимума оценок, то выбор оптимального варианта

производится на основе критерия

000 0 0

{| ^( min)}

ii i i

i

EEEEe e=∈=

, (1.б)

Процедура выбора ложняется, когда п инятие решений

происходит на множестве многих

i

Е

, соответствующих

различным условиям (состояниям)

j

F , что соответствует двумерной

совокупности вариантов-у овий и соответствующих им оценок. В

туации совокуп ость оценок образует матрицу системных

оценок, пос

сл

этой си н

кольку принятие решений происходит в

пространстве

«варианты-условия».

Термин «системны оценки» отражает факт

рассмотрения всей совокупности вариантов и условий, в которых

прои

дем называть матрицу, приведенную в табл. 3.1,

е

сходит процесс принятия решений.

Определение 3. Матрицей системных оценок (матрицей

решений) бу

143

Таблица 3.1. Матрица си т мных оценок

ВАРИАНТЫ У С Л О В И Я

с е

⋅

⋅⋅

j

F

⋅⋅⋅

n

F

n

F

1

F

2

F

1

E

11

e

12

e

⋅

⋅⋅

1

j

e

⋅⋅⋅

1n

e

2

E

⋅

⋅⋅

2

j

e

2n

e

21

e

22

e

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

i

E

1i

e

2i

e

⋅

⋅⋅

ij

e

⋅⋅⋅

in

e

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

m

E

1m

e

2m

e

⋅

⋅⋅

mj

e

⋅⋅⋅

mn

e

описывающую эксп ртные оценки вариа тов в пространстве

«варианты-условия».

Таким разом,

алгоритм принятия решений позволяет

выбрать пару оценок

е н

об

(

)

**

,

ij

E

F

, котора является

предпоч ительной по выбранному критерию оптимальности,

рациональности, полезности. Варианты критериев являются

основой для алгоритмов принятия решений, аргументирующих

позицию

«лица принимающего

я

т

» (ЛПР). Введение

исход позволяет рейти к рассмотрению

элемен инятия решений

обраб

а

с

рии выбора. Введение

оцен ти

решение

пе

процесс пр

ных определений

тов, характеризующих на основе

отки оценок

ij

e

.

Для принятия решений в рамках метод матриц системных

оценок необходима формулировка о новных алгоритмов обработки

таблиц. Введем дополнительные понятия

оценочной функции. В

соответствии с понятиями оценочной функции сформулируем

правила принятия решений с помощью оценочной функции и

простейших критериев. Матрица системных оценок характеризует

набор вариантов решений. Для однозначного принятия решений

необходимо сформулировать

крите

очных (целевых) функций вариантов – первый этап на пу

к однозначному и к наилучшему варианту решения.

144

Определен ариантам

со азличные услови

ие 4. Пусть различным в

i

E

ответствуют р я

j

F , порождающие матрицу

оценок см. табл. 3.1.). Оцено ной й будем называть

функцию соответствующую варианту

характеризующую в целом все п следст ия выбора этого варианта

(решения)

Другими словами, оценочна функция должна

характеризовать

прави о «свертки» о условиям

и

ij

e

,

ir

e

i

E

( ч фу

каждому

нкцие

о в

.

я

л п

j

F

може

. После

введения оценочной функции варианта процедура выбора

ения

ия велич , т быть

разли

ерии и оц оч

й

о в

о , я

а о

ог ке принятия решений примет следующий вид

ir

e

ины

i

E

которое

сводится к применению критерия (1). Важное знач приобретает

правило формирован

ir

e

чным в зависимости от позиции ЛПР.

3. Классические крит ен ные функции для

принятия решени

. Рассмотрим комплекс оценочных функций и

алгоритмов обработки таблиц ценок в пространстве « арианты-

условия».

1). Д пустим что последстви каждого из альтернативных

решений х рактеризуются суммой ег наибольшей и наименьшей

оценок. Тогда алгоритм формирования оценочной функции в

рассматриваемой л и

min max .

ir ij ij

j

eee=+

(2)

Объединение критериев (1) и (2) дает наилучший результат с

оценкой:

max max(min max ).

ir ij ij

j

ii j

eee

=

+

(3)

Формирование результата в соответствии с алгоритмом (3)

имеет содер тельный смысл: ринятое решение соответствует

«

стратегии компромисса между оптимистическим и

пессимистическим подходами». В этом случае вел

жа п

ичина

min

ij

j

e

145

соотв –

х

ск н

алгоритму:

етствуют «

стратегии пессимизма», а величина

max

j

«стратегии оптимизма», сумма эти величин в (2) дае оценку

компромисса.

2).

«Последовательная оптимистиче ая страт » а

этапах «свертывания» оценок варианта

i

E

и при выборе варианта

приводит к

ij

e

т

егия

max max(max

ir ij

iij

ee).

=

(4)

В этом случае из матриц решений ( л. 3.1) выбирается

максимальный элемент. Стратегия выбора (4) – это

«стратегия

азартного игрока».

3). Следующей стратегией выбора явл

нейт л

ы таб

яется

« стратегия

ра итета»:

1

max max

n

ir ij

ii

j

ee

n

=

⎛⎞

=

⎜⎟

⎝⎠

∑

, (5)

котор

«пессимистическая стратегия» или «стратегия »

лица го решение, хар тер

крите

ой соответствует логическое обоснование: все встречающиеся

отклонения от среднего допустимы и выбор параметров с этой

точки зрения - оптимальный.

4). После приведенных ранее рассуждений

пессимизма

, принимающе ак изуется следующим

рием:

max max(min )

ir ij

j

ii

ee

=

. (6)

5). Промежуто щ решение, чная стратегия лица, принимаю его в

частности,

«стратегия относительного »,

соотв

пессимизма

етствует критерию

max in max( x ).

ir ij ij

i

ij

eeem ma

j

=

−

(

В этом случае решение, оценивает потери по сравнению

7)

с

146

определенным по каждому варианту наилучшим резул а

затем из совокупности

наилучший результат согласно представленной оценочной функции

варианта.

ьтатом,

наихудших результатов выбирает

ческое объяснение мотивов, которыми

руко а, принимающие решения о

перейти ю обобщенных классически в

прин

.

очную функцию (1.б), соответствующую

пессимистической позиции:

3. Обобщенные критерии принятия решений. Приведенные

простейшие критерии и стратегии принятия решений (1) – (5)

имеют ясное и логи

водствуются лиц . Далее можн

к рассмотрени х критерие

ятия решений. К ним относятся минимаксный критерий,

критерий Байеса-Лапласа, критерии Сэвиджа, а также другие

обобщения.

Минимаксный критерий Минимаксный критерий

использует оцен

max

mm ir

i

Z

e

=

,

где

(8.а)

min .

ir ij

i

е e

=

(8.б)

Справедливо соотношение

000 0

{| ^( maxmin)}

ii i ij

j

i

EEEEe e=∈=

, (9)

причем

mm

Z

в соотношениях (8) – оценочная функция

минимаксного критерия.

шения в соответствии

крите

строки. При принятии решения следует

выбр ы

Правило выбора ре с минимаксным

рием интерпретируется следующим образом. Матрица

решений

{}e

дополняется еще одним столбцом из наименьших

результатов

ir

e

каждой

ij

0i

E

ать такие вариант , строки которых с о т

наибольшим значениям этого столбца. Выбранные таким

образ цо,

о тветствую

ir

ом варианты полностью исключают риск, поскольку ли

e

147

принятие решение, ориентировано на пессимистическую позицию,

что не озв ляет получить дший результат. Вне зави мости от

условий

п о ху си

j

F результат выбора не может оказаться ниже

mm

Z

.

Минимаксный критерий относит к числу фундаментальны ,

поско

о с

х

льку используется весьма часто. Применение минимаксного

критерия оправдано в ситуациях:

1). О возм жности появления внешних состояний (у ловий)

j

F

ничего неизвестно (например, неизвестны вероятности появления

состояний

j

F );

2). Приходится считаться с появлением различных внешних

состояний

j

F ;

од

бх

начения

3). Решение реализуется только ин раз;

4). Нео одимо исключить всякий риск (недопустимо

получение результата ниже з

mm

Z

).

пласа. Для

функ критерии

рма о вероятностях

Критерий Байеса–Ла построения оценочной

ции при данном используется априорная

j

q появления внешних условий

j

F . Тем

я

инфо ция

самы вероятностной

твий. Итак, пусть

м в рамках простейшей модели учитываетс

едскаждое из возможных посл

j

q –

появления внешнего состояния (условия)

вероятность

j

F . для

Байе

Тогда критерия

са-Лапласа

max

BL ir

i

Z

e

=

, (10)

где

1

n

ij j

j

eeq

=

⎛⎞

=

⎜⎟

⎝⎠

∑

, (11)

что соответствует множеству

000 0

11

{| max ^ 1)}

nn

ii i ijj j

i

jj

EEEE eq q

==

ir

^(e

=

∈= =

∑∑

. (12)

148

Фактически в данном критерии в качестве оценочной функции

выбирается математическое ожидание оценки, соответствующей

j

-му варианту, причем усреднение прои ходит по множ

условий

с еству

j

F .

Правило принятия решений (10) – (12) имеет вероятностную

интерпретацию. При этом ситуация, в которой принимаются

решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

- вероятности появления состояний (условий)

j

F известны и

не зависят от времени;

числа реализаций решения допускается

некот

я

на, ем по минимаксному

e

(14)

– решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

– для малого

орый риск.

Позиция лица, принимающего решени на основе критерия

Байеса-Лапласа, более оптимистич ч

критерию.

Критерий Сэвиджа. Этот критерий основывается на

предварительном преобразовании матрицы системных оценок в

соответствии с соотношениями:

(max ).

ij ij ij ij

i

ea ee→= −

(13)

Оценочная функция имеет вид:

max max(max ),

ir ij ij ij

i

ea e== −

ij

min min[max max ].

s

ir ij ij

ii

ji

Z

ee== −

e

(15)

вариантов я

оотношением

.

(16)

итерия (15) становится ясным после

соотношений (13) – (16).

Множество оптимальных решения определяетс

с

00

{EE=

0 0

| ^( min)}

ii i ir

i

EEe e∈=

Смысл кр анализа

149

Величины

(max )

ij ij ij

i

aee=−

, вычисляемые в соответствии (13),

можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш,

торый достигается, если в состоянии ко

j

F вместо варианта

i

E

выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния

Вели

.

чины

(max )

ij ij ij

i

aee=−

можно также интерпретировать и как

потери (штрафы), возникающие в состоянии

j

F при замене

опти

(11), пр собой –

интер

внеш м

,

при

мального для него варианта

i

E

. Тогда еличина

ir

e

в

определенная равенством едставляет

претации

ij

a как потерь – максимально возможные (по всем

ни состоянием

j

F ) потери в случа выбора арианта

i

е в

E

.

Согласно соотношениям (14), (16) жные потери

мини

риско с о

ный критерий. Этот критерий

использ доли вероятностно

неоп дположим, что для каждого из х

максимально возмо

мизируются за счет выбора

i

E

.

С точки зрения матрицы

{}

ij

e

критерий Сэвиджа связан с

м, однако позиции матрицы

{}

ij

a

он т риска свободен,

поскольку использует стратегию минимаксного критерия.

Расширенный минимакс

ует расширение заданной

ределенности. Пре возможны

внешних состояний

j

F определена вероятность его появления

Введем вероятность

1

1, 1

j j

j

q q

=

< =

∑

:0 .

n

j

q<

i

P

п име р нения i -го

варианта решения

i

E

и будем предполагать возможность реализации

Тогда среднее значение

, (17)

n

.

ии вектор неизвестен. В этом с

ориентируясь на наименее выгодное распределение состояний

.

m вариантов решения

11ij==

где

1

( ,..., )

m

PP P=

(,)

mn

ij j i

ePq eqP=

∑∑

1

, ( ,..., )qq q=

В реальной ситуац лучае,

q

j

F

ра

,

можн о добиться максимального увеличения (,)ePq за счет выбо

150

Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

Подождите немного. Документ загружается.