Кузнецов В.В. Физика горячей Земли

Подождите немного. Документ загружается.

231

сейсмологии терминами и понятиями, тем не менее, в начале главы рассмотрим некоторые

модели сейсмичности, наиболее популярные среди сейсмологов.

VIII.1. Модели сейсмичности

Модель Барриджа-Кнопова. Модель Барриджа-Кнопова (Б-К) (Burridge, Knopoff, 1967),

высказанная более 30 лет тому назад с целью объяснить появление повторных ударов

землетрясений, в последние годы получила преобладающее над другими идеями развитие.

Сравнительно недавно к этой идее проявили интерес не только геофизики (Ito, Matsuzaki,

1990; Brown, Scholz, 1991; Rundle, 1991; Nielsen et al., 1995), но и физики-теоретики (Bak et

al., 1987; Bak, Tang, 1989; Carlson et al., 1991; Knopoff et al., 1992; Vasconcelos et al., 1991;

Vieira et al., 1993; Olami et al., 1992; Klein, Rundle, 1993; Christensen, 1993; Ding, Lu, 1993;

Sahimi et al., 1993; Carlson et al., 1994). Б-К модель в значительной мере базируется на т.н.

идее “прерывистого скольжения” (stick-slip), высказанной Брайсом и Баерли (Б-Б) (Brace,

Byerlee, 1966) за год до Б-К. Суть Б-К модели ясна из рис. 8-1 (Brown, Scholz, 1991), на

котором показано, что движущаяся плита соединена с неподвижной посредством N-

дискретных элементов (блоков), связанных между собой и плитами посредством “пружин”

(реологических параметров). Идею stick-slip можно пояснить на примере санок, стоящих на

поверхности с трением, которые тянут веревкой с пружиной. В начале натягивается

пружина, а санки стоят, затем, когда усилие становится больше чем сила трения, санки

начинают движение скачком. Если таких “санок” много, как в Б-К модели, то взаимное

влияние дискретных элементов (санки, “прыгая”, дергают за собой другие) может приводить

к тому, что одновременно в spring-block модели могут “прыгнуть” сразу несколько

элементов. Это, по Б-К, и есть “главный удар” землетрясения, в то время как “прыжки”

других блоков, это повторные удары, или афтершоки. Модель Б-К исследовалась в

лаборатории экспериментально и на компьютере, - численно (Burridge, Knopoff, 1967). В

результате было показано, что модель проявляет свойства, присущие экспериментальному

закону повторяемости землетрясений Гутенберга-Рихтера. В экспериментах наблюдалось

подобие главного удара (main shock), форшоков и афтершоков.

Рис. 8-1. Модель сейсмичности Барриджа-Кнопова (Brown, Scholz, 1991).

Уравнение движения дискретных элементов в Б-К модели (Burridge, Knopoff, 1967):

/dt

= T

- T

j-1

+ T

+ F

, j =1, 2, ... , N, (8.1)

где m

- масса дискретного элемента, Т

j =

j+1

- x

) - напряжение в пространстве между

двумя элементами j +1 и j, T

= -λ

- Vt) - сила, вызывающая “прыжок” j-того элемента, V -

его скорость, µ

, λ

и m

- положительные константы, F

- функция скорости dx

/dt, в которую

входят: сила трения, эффекты излучения и вязкости. Предполагается, что:

= - E

(dx

/dt) + F

(dx

/dt), (8.2)

232

где - Е

(dx

/dt) - “отвечает” за излучение, а F

(dx

/dt) - показывает комбинацию эффектов,

связанных с вязкостью и трением.

При экспериментальном изучении поведения образцов горных пород при нагружении

внешним давлением было обнаружено, что действующая на образец сила изменяется в

зависимости от величины регистрируемого изменения длины образца в “виде пилы”. Б-Б

модель нашла геологическое объяснение этим результатам как “прерывистое скольжение”

(stick-slip) двух плит друг по другу вдоль разлома при наличии трения (Brown, Scholz, 1991).

Несмотря на то, что Б-К и Б-Б модели были высказаны еще 30 лет назад, интерес к

ним у ученых возрос лишь в последние годы. Это объясняется тем, что наметились

определенные успехи в физике нелинейных явлений, в частности, в области т.н.

самоорганизующихся систем. Модель Б-К была признана как вполне подходящая основа для

отработки этих идей. Кроме этого, в настоящее время принято считать, что эта модель, из

всех других, наиболее адекватна землетрясению.

Все Б-К модели базируются на фундаментальном экспериментальном законе

Гутенберга-Рихтера, согласно которому число землетрясений N с энергией Е:

(Eo > E)

∼ E

-B

. (8.3)

Модель самоорганизации. Бак, Танг и Везенфилд (БТВ) (Bak et al., 1987) первыми ввели

понятие самоорганизующейся критичности (self-organized criticality, SOC). Суть SOC

состоит в том, что динамические мультисистемы с пространственными степенями свободы

могут достигнуть критического состояния без необходимости тщательной настройки

системных параметров. БТВ показали, что существует некоторый класс систем,

характеризующихся тем, что их временные и пространственные корреляционные функции

подчиняются степенному закону. Так как эти системы, как правило, не имеют внутренней

пространственной длины и временной шкалы, то они являются критическими. Изучение SOC

таких систем основано на использовании ячеистых (sellular) моделей и автоструктур.

Большая часть таких исследований обычно ограничивалась анализом консервативных

(гамильтоновых, бездиссипативных) моделей. Предполагалось, что именно в

консервативных моделях может проявиться SOC. Авторам удалось найти правдоподобное

объяснение одной из классических проблем физики: “вездесущему” явлению фликкер (”1/f”)

шума. В качестве физической модели они рассмотрели самоорганизацию массива маятников,

связанных между собой торсионными пружинами. Механическое возбуждение такой

системы приводит, в конечном счете, к ее самоорганизации и возникновению кластеров -

пространственно компактных объединений маятников, находящихся в локально минимально

стабильном состоянии.

233

Рис. 8-2. Эффект образования кластеров, составленных из групп маятников, связанных

между собой торсионными пружинами, находящихся в стабильном состоянии (Bak et al.,

1987).

Рисунок 8-2 иллюстрирует эффект образования кластеров, составленных из групп

маятников, связанных между собой торсионными пружинами, находящихся в стабильном

состоянии, на “фоне” остальных - нестабильных. Как показали БТВ, такие кластеры

возникают в двумерной матрице, составленной из 100×100 маятников при их внешнем

возмущении. Начальное условие существования такой системы состоит в том, что все

маятники нестабильны. Они будут колебаться до тех пор, пока не достигнут состояния, при

котором силы, действующие на маятники со стороны пружин, у равновесят силы гравитации.

Предположим, что система маятников находится в стабильном состоянии. Слегка ослабим

один маятник, после чего окружающие его маятники окажутся нестабильными, и шум будет

распространяться (явление перколяции) к дальним соседям по цепной реакции. Эта система

оказывается нестабильной к малым возмущениям и не может служить аттрактором. При

самоорганизации система будет развиваться таким образом, чтобы в ней образовывалось все

большее и большее количество более чем минимально стабильных состояний, которые

способны задерживать движение (перколяцию) шума. Когда она достигнет такого состояния,

при котором шумовой сигнал не будет способен распространяться сколь угодно далеко, такая

система (кластер) приобретет свойства, характерные для пространственно-инвариантных

(scaling) структур.

Масштабная (scaling) картина дает начало степенной зависимости частоты от спектра

шума, что, в свою очередь, приводит к возникновению фракталов (структур с дробной

размерностью), которые, собственно, и представляются как минимально-стабильные

состояния, образующиеся в динамических процессах и останавливающиеся в SOC-точке.

Отсутствие характерной длины фрактала равносильно отсутствию характеристического

времени развития флуктуаций t. Распределение времен жизни фрактала D(t) ∼ t

-a

приводит к спектру частот S(ω) ∼ ω

-2+a

234

Рис. 8-3. График распределения количества кластеров определенных размеров (log-log),

образующихся в двумерной решетке маятников.

Для того чтобы наглядно представить физическу ю систему, которая может

обнаружить свойства SOC, БТВ рассматривают кучу песка. Если склон кучи слишком велик,

то куча далека от состояния равновесия и песок будет рушиться до тех пор, пока средний

наклон не достигнет критического значения, когда система почти стабильна по отношению к

малым возмущениям. “1/f”-шум, это динамический отклик кучи песка на малые случайные

возмущения.

Вернемся к модели с маятниками. На рис. 8-2 темные области показывают кластеры,

которые возникают благодаря наличию домино-процесса, начинающегося с перемещения

только одного маятника. На рис. 8-3 показан log-log график распределения количества

кластеров определенных размеров, образующихся в двумерной решетке маятников,

полученный подсчетом площади кластера, равной числу маятников, испытавших влияние

единичного воздействия. Тот факт, что прямая линейна на протяжении двух десятков

отсчётов показывает, что система находится в SOC с scaling-распределением кластеров.

Собственно, после вых о да этой работы, у физиков и геофизиков возник повышенный

интерес к модели БК. Действительно, идея БТВ относительно маятников была

предвосхищена значительно раньше, еще в spring-block модели БК. Двое из БТВ (Бак и Танг),

по-видимому, одними из первых объяснили закон Гутенберга-Рихтера (3) как SOC (Bak,

Tang, 1989). БТ для простой ячеистой stick-slip модели получили зависимость D(E) ≈ E

-τ

, с τ =

1.0 и τ = 1.35 для двумерной и трехмерной матриц, соответственно. В расчетной модели у БТ

возникали явления scaling и cutoff.

Проблемы scaling и cutoff. Идея самоорганизующейся системы получила дальнейшее

развитие в работе (Olami et al., 1992). В отличие от предыдущих моделей, здесь авторы:

Олами, Федер и Кристинсен (OФК) применили ячеистую неконсервативную модель

процессов, что единственно правильно применительно к такой диссипативной системе как

235

Земля. В основу этой двумерной модели, как и во всех других, была положена spring-block

идея Б-К. Авторы определили L×L массив блоков посредством i, j- элементов (в интервале от

1 до L). Смещение каждого блока от его предыдущего положения определяется как dx

i,j

Общая сила, оказывающая влияние со стороны пружин на данный блок (i j) выражается

следующим образом:

= K

[2dx

i,j

- dx

i-1,j

- dx

i+1,j

] + K

[2dx

i.j

- dx

i,j-1

- dx

i,j+1

] + K

, (8.4)

где: K

, K

и K

- упругие константы (см. рис. 8-1).

Когда две жесткие пластины движутся относительно друг друга, общая сила,

действующая на каждый блок, увеличивается (пропорционально K

V, где V- относительная

скорость двух пластин) до тех пор, пока не будет достигнуто пороговое значение и не

начнется процесс релаксации - запуска землетрясения. Авторы показывают, что после

локального скольжения, силы, оказывающие влияние на блок, изменились:

i+1,j

→ F

i+1,j

+ δ F

i+1,j

, (8.5)

i, j+1

→ F

i, j+1

+δ F

i, j+1

i, j

→ 0,

где увеличение сил, действующих на ближайших соседей, равно:

δ F

i+1,j

= [K

/(2K

+ 2K

+ K

)] F

i,j

= α

i,j

(8.6)

δ F

i,,j+ 1

= [K

/(2K

+ 2K

+ K

)] F

i,j

= α

i,j.

Если K

> 0, то система неконсервативна, если К

≠ К

, (α

≠ α

), то модель анизотропна,

если α

≠ 0, α

= 0, - одномерный вариант spring-block модели.

Авторы ограничились рассмотрением изотропного случая:

= К

, (α

= α

= α).

В этом случае: α ≈ 0.2. В результате численного моделирования была получена зависимость

показателя степени “В” в законе Гутенберга-Рихтера от α: при изменении L = 15, 25, 35 и 50

и α = 0.2, величина В ≈ 0.91. Исследование зависимости резкого изменения функции

распределения энергии (“обрезания” - cutoff) как функции размера, показало, что она

определяется размером системы как: ∼ L

2.2

(см. рис. 8-4-а).

Рис. 8-4-а Эффект резкого изменения функции распределения энергии (“обрезания” - cutoff)

в зависимости от размера структуры: ∼ L

2.2

(Olami et al., 1992). – б вероятность D(∆) как

функция размера ∆ для различных значений s (Ding, Lu, 1993).

При α = 0 движение блоков из-за отсутствия взаимодействия будет не связанным.

Следовательно, должен наблюдаться переход системы к локализованному поведению блоков

системы. Это явление действительно наблюдалось при α ≈ 0.05. При исследовании

динамических диапазонов параметров, авторам удалось показать, что в spring-block модели

существует огромное фазовое пространство метастабильных состояний. Эти состояния

теряют стабильность при превышении определенных порогов значений. Этим модель

236

авторов отличается от других аналогичных ей, основанных на диффузионных уравнениях.

Авторы полагают, что им удалось выявить одно из фундаментальных свойств моделирования

землетрясения.

Работа OФК не осталась незамеченной, сразу после ее выхода последовали

комментарии (Klein, Rundle, 1993). Его авторы выразили сомнение в том, что cutoff

(обрезание) энергии землетрясений может иметь зависимость ∼ L

2.2

, а так же в том, что при

граничном размере L = 50, система способна достичь масштабного предела (scaling). На это

замечание Кристенсен (один из авторов OФК) ответил (Christensen, 1993), что он согласен с

тем, что зависимость ∼ L

2.2

не может, по-видимому, распространяться на системы с очень

большим размером L, однако отметив при этом, что главный вывод из их работы (Olami et

al., 1992) состоит в том, что именно неконсервативная spring-block модель описывает

критическое состояние со степенным законом распределения, зависящее от уровня

консервативности, хотя, подчеркивает автор, в модели до сих пор не получено значение

области масштабирования, т.е., иначе, - “scaling”-а.

Исследования, аналогичные OФК, были проведены Дингом и Лу (Ding, Lu, 1993), где

была предпринята попытка аналитически решить задачу spring-block модели. Авторам

удалось вычислить размер области скольжения блока ∆, а так же показать, что существует

пропорциональность между ∆ и его вероятностью D(∆) с универсальным показателем

степени ξ = -3/2:

D(∆) ∼ ∆

exp(-∆/∆

) (8.7)

(см. рис. 8-4-б, на котором параметр s ≈ α, где α - примерно та же величина, что и в OФК-

модели). Размер скольжения, в этой работе, определяется как число блоков, движущихся

(“прыгающих”) одновременно. Основным преимуществом (по мнению авторов) этой

системы является то, что вероятность D(∆) скольжения с размером ∆ может быть точно

вычислена при термодинамическом пределе и масштабирующее соотношение (scaling) может

быть получено аналитически. Сравнивая рис. 8-4-а и -б, видно, что компьютерное

моделирование spring-block модели (Sahimi et al., 1993) качественно соответствует ее

аналитическому решению, полученному в (Carlson et al., 1994). При более внимательном

сравнении этих работ, можно выяснить, что в первой α

= 1/5 (для K

= K

), а во второй,

- α

= 1/2 (для К

= К

, N = 1). Полагая s = 2α

, получим: s = α

. Учитывая полученное,

видно, что эти рисунки практически идентичны. В качестве общих (для обеих работ)

выводов следует отметить: 1) изменение наклона кривой частоты (вероятности) появления

землетрясения с энергией Е от величины этой энергии (cutoff, обрезание и т.п.) определяется

реологией среды: чем меньше α (s), тем на больших энергиях происходит cutoff; 2) это

явление зависит от линейного размера L: cutoff ∼ L

2.2

Землетрясения - фликкер-шум? Постановка такого вопроса вполне правомерна, тем более,

если учесть модель БТВ, очевидную связь ее с Б-К моделью и исследования проведенные

ОФК. Остановимся на статье, озаглавленной так же как этот параграф (Бердыев, Мухамедов,

1987). Её авторы сравнивают физические закономерности, выявленные при

экспериментальном изучении динамических свойств горных пород в трех различных типах

исследований: 1) построение графиков повторяемости при изучении региональной

сейсмичности, 2) изучение неупругих свойств по поглощению сейсмических волн и 3) связь

неупругих свойств с неустановившейся ползучестью. Подобие спектров мощности

флук туаций напряжений для трех различных процессов S(ω) ∼ ω

-α

, α = 1 - 1.5, у казывает на

возможность их принадлежности к единому классу явлений: фликкер-шуму в

неупорядоченных структурах. Авторы предполагают, что такое замечательное свойство

сейсмичности можно использовать при прогнозе землетрясений.

237

Для объяснения природы фликкер-шума предложено несколько теорий (Бердыев,

Мухамедов, 1987), ни одна из которых не получила признания. Наиболее важное и

интересное для нас здесь свойство фликкер-шума состоит в способности его усиливаться во

фрактальных структурах. Эффект усиления связан с приближением системы за счет

перколяционных процессов к порогу устойчивости. Авторы полагают, что переход

устойчивой дискретной среды в неустойчивое состояние должен происходить при более

кооперативном взаимодействии её элементов, чем простой разрыв связей в модели

перколяции. Обсуждая проявление закона S(ω) ∼ ω

-α

в широчайшем интервале масштабов

Земли, они приходят к заключению, что фрактальность является её неотъемлемым

свойством.

Ансамбль излучающих трещин. Идея самоорганизации ансамбля трещин, излучающих

звуковой импульс при их раскрытии, была высказана автором (Кузнецов, 1992), где изложена

только феноменология явления. Ниже рассмотрим теорию самоорганизации ансамбля

раскрывающихся трещин. Суть нашей модели состоит в постулировании возможного

механизма когерентного взаимодействия трещин друг с другом путем обмена излучаемых

ими акустических волн. Как известно, при раскрытии трещины излучается звуковой импульс

акус тической эмиссии (АЭ). Этот импульс “несет” определенную долю энергии и,

дифрагируя на микротрещине, передает ей энергию, “помогая” раскрыться. Трещина

начинает расти и излучает при этом “свой” импульс, который взаимодейству е т со следующей

трещиной и т.д. При этом может наблюдаться эффект лавинного образования трещин,

звуковые импульсы которых когерентно складываются, обеспечивая при этом явление

усиления звуковой волны (Ishido, Nishizawa, 1984) и возникновение фрактальных структур

(рис. 8-5).

Наша модель излучающих трещин строится на аналогии с явлением сверхизлучения,

идеей, высказанной Дике (Dicke, 1954) и реализованной впоследствии в лазерах. Идея

самоорганизации в структурах типа лазера, генерирующих оптическое излучение,

рассмотрена Хакеном (1980). В дальнейшем, при изложении сути нашей модели, будем

придерживаться канвы этой теории. Запишем I

интенсивность λ-ой звуковой волны,

излучаемой µ-ой трещиной:

= 1/τ

∫

dt, (8.8)

где σ

- напряжение в волне, v

- скорость частиц среды, τ - длительность звукового

импульса. С другой стороны, эту величину можно представить аналогично тому, как это

делается в физике лазеров:

I(x, t) = 1/τ

× i∑ 2π hω

× exp(ik

x) × b

. (8.9)

Здесь: hω

- энергия звукового “кванта”, λ - индекс моды звуковых колебаний, k

- волновой

вектор, b

- комплексная амплитуда (безразмерная величина).

238

Рис. 8-5. Распределение гипоцентров акустической эмиссии по мере увеличения сжатия

образцов гранита и возникновение фрактальных структур (d степень фрактальности) (Lei et

al., 1992).

Самоорганизующиеся системы описываются, как правило, с помощью

дифференциальных уравнений Фоккера-Планка (ФП). Покажем, что уравнение ФП может

быть применимо в нашей модели. Выделим двухуровневую систему, примерно так же как это

делается в лазере. В верхнем, энергетически более высоком состоянии, находятся

микротрещины “зародыши” раскрывающихся трещин, которые, в свою очередь, “заполняют”

энергетически более низкий уровень. Раскрытие трещины сопровождается излучением

“кванта” энергии и переходом системы на более низкий уровень. Аналогично тому, как это

делается в физике лазеров, введем понятие об инверсии заселенности ε

и дипольном

моменте трещины α

. Для обозначения α

используем безразмерные единицы, по смыслу: α

∼ l(t)/l, где l(t) - растущая до размера l трещина. Величина ε

равна, примерно, разности в

количестве микротрещин N

и раскрывшихся трещин N: ε

= N

- N.

Воспользуемся известным критерием Гриффитса, согласно которому скорость

раскрытия трещины:

u = dl/dt = B (E/ρ)

1/2

× [1 - (∆γ/∆w)]

1/2

, (8.10)

здесь: В - константа, Е - модуль Юнга, ρ - плотность среды, ∆γ - увеличение поверхностной

энергии среды при росте трещины, ∆w - энергия увеличения ее длины.

Раскрытие λ-ой трещины сопровождается излучением акустической волны,

интенсивностью (напряжением) σ

= iρω

× 2πl

[(ik

x - 1)/4πx

] × exp(ik

x) × cos θ

, (8.11)

здесь ω

∼ 1/τ

“частота” излучаемой волны, τ

= l

- длительность процесса раскрытия

трещины, k

- волновое число, x - расстояние от излучателя (трещины) до точки

наблюдения, θ

- угол распространения волны относительно направления раскрытия

трещины. Амплитуда моды b

= σ

(t)/σ

Как отмечалось, λ-ая акустическая волна оказывает влияние на раскрытие µ-ой

трещины. Волна, распространяясь по среде, в которой находятся микротрещины,

дифрагирует на одной из них и “передает” ей часть энергии dσ/dt, которая способствует ее

раскрытию и дальнейшему росту (Си, Либовиц, 1975):

dσ/dt = 2µ

u/(2πx)

1/2

× (ω/v

)

1/2

× sinθ

/2 × exp[-i(ωt +π/4)], (8.12)

где µ

- модуль сдвига, v

= (µ

/ρ)

1/2

, θ

- угол падения волны на трещину.

Увеличение размера трещины можно выразить через изменение ее дипольного момента

(Хакен, 1980):

239

∂α

/∂t = ( -iω - ζ)α

+∑ g

µλ

+ Г

(t). (8.13)

Здесь: ω - частота, ζ - (по аналогии с оптикой) ширина линии излучения (в нашем случае эти

величины весьма близки), множитель ε

- инверсия, а Г

= Nω; g

= gω; t) -

флуктуирующие силы. Если: ε

∼ ( N

- N) > 0 - происходит усиление звуковой волны, в

обратном случае: ε

< 0, ее поглощение.

В напряженной среде, в стационарном состоянии, выполняется принцип детального

равновесия (макроскопической обратимости):

= N ω; g

= g ω;

здесь ω

∼ 1/τ

, τ

- время “залечивания” (см. рис. 8-6) трещины (обычно, τ

о >>

τ), g и g

постоянные взаимодействия между волной и трещиной (по аналогии с оптикой). Из

формулы следует: ω

<< ω, и N

>> N. Таким образом, в системе трещин может наблюдаться

инверсия ε

: ε

∼ (N

- N) и ее производная:

∂ε

/∂t = ε

γ + iΣ g

µλ

+ Г

(t). (8.14)

Здесь γ - обратное время релаксации инверсии к равновесию, Г

(t) - флуктуирующие силы.

В напряженной среде с явно выраженным характером нагрузки реализуется критерий

разрушения Кулона-Мора (Поль, 1975). Согласно этому критерию, в образце максимальные

величины касательных напряжений возникают в плоскостях, наклоненных под углом β к оси

нагружения, близким к 45°. Однако, этот угол не всегда равен 45°. Его значение

принимается: β = 45° - ϕ/2, где tgϕ = ν, а ν - коэффициент “внутреннего трения”. Величина

угла β не зависит от прочности материала (рис. 8-7).

Суть адиабатического приближения (Хакен, 1980), состоит в том, что время

релаксации отдельной трещины τ

значительно меньше, чем время существования

устойчивой моды системы Т: τ

<< T (τ

= l

/u, а T = L/v

, где L - размер системы). Наличие в

системе обратной связи приводит к тому, что преимущественно раскрываются и растут те

трещины, которые получают “добавку” ∆σ от дифракции на них колебаний устойчивых мод.

Это, в свою очередь, приводит к увеличению плотности потока звука в выделенном

направлении.

“Квант” излучения звуковой волны одной трещины можно считать малым

параметром: е = hω = (σ

/E)l

. Здесь σ - напряжение в среде, Е - модуль Юнга. Акустический

эквивалент “постоянной Планка” равен: h = (σ

/uE)l

. Примем, что в “верхнем”

энергетическом уровне нашей системы находятся микротрещины размером l

≈ 1 микрон , а в

“нижнем” - уже раскрывшиеся трещины, размером l ≈ 100 микрон. Ограничение размера

“сверху” вызвано тем обстоятельством, что трещины большего размера имеют тенденцию к

дальнейшему росту и уже практически не могут “залечиваться” после их раскрытия. Энергия

микротрещины е

= (σ

/E)l

значительно меньше, чем энергия раскрывшейся трещины,

поэтому ее можно не учитывать при оценке величины звукового “кванта”, образующегося

при раскрытии трещины. Если допустить, что σ = 3⋅10

дин/см

, а Е = 10

дин/см

, то е = 1

эрг (для 100-микронной трещины). Если допустить, что величина скорости раскрытия

трещины u порядка 10

см/с, τ = 10

-7

с, а ω =10

1/с, то величина “акустической постоянной

Планка” h = 10

-7

эрг⋅с. (Для сравнения, эта величина примерно на 20 порядков больше, чем

квантовая постоянная Планка h = 6.6⋅10

-27

эрг⋅с).

Возникновение трещины случайный процесс, вероятность его не зависит от

предыстории системы. Такие процессы принято считать марковскими (пуассоновскими).

Вероятность того, что система в момент времени t + ∆t окажется в состоянии с параметром q

в интервале q + dq описывается интегральным уравнением Смолуховского:

240

f(q, t +∆t) =

∫

f(q

, t) g(q

, q - q

, ∆t) dq, (8.15)

где g(q

, q - q

, ∆t) - вероятность перехода системы из точки q

в точку q за время ∆t. После

стандартных преобразований этого уравнения: ∂f(q, t)/∂t = - ∂j/∂q, получаем одномерное

уравнение Фоккера-Планка:

j = d(γqf)/dq + 1/2 Q d

(f)/dq

, (8.16)

где γq = K- коэффициент дрейфа, а Q - коэффициент диффузии. Это уравнение, как известно,

описывает самоорганизацию системы. Физическая суть механизма самоорганизации состоит

во взаимодействии двух механизмов переноса: дрейфа и диффузии (перколяции). В нашей

модели, как мы показали, имеют место оба этих процесса.

При решении уравнения Фоккера-Планка находятся стационарные решения, когда

аргумент не зависит от времени, а так же решения, зависящие от времени, но не зависящие

от координаты. Рассмотрим два известных решения этого уравнения, которые были впервые

предложены Фоккером (совместно с Планком) еще в 1914 г. для описания закономерности

распределения средней энергии вращающегося электрического диполя в поле излучения.

Заметим, что уравнение ФП, в своем первоначальном виде, предназначалось для описания

физики взаимодействия между частицей и излучением (полем). Впоследствии выяснилось,

что это уравнение объясняет широкий спектр различных явлений самоорганизации в

областях физики, химии, биологии, социологии и т.п. (Хакен, 1980).

Стационарное решение уравнения ФП для одномерного случая выглядит следующим

образом (Хакен, 1980):

f(q) = N exp (-2V(q)/Q), (8.17)

где V(q) = -

∫

K(q) dq, имеет смысл потенциала, а N - нормировочный множитель.

Стационарное решение этого уравнения, полученное в (Климонтович, 1983),

несколько отличается от предыдущего:

f(q) = exp [F

- (aq + 1/2bq)/D], (8.18)

где F

- “свободная энергия” - аналог флуктуирующих сил, а - параметр обратной связи (а =

0, означает начало генерации), b - параметр нелинейности, D - интенсивность гауссовского

шума.

Сравнивая решения (17) и (18), видим их общность, которая состоит в том, что

функция плотности вероятности имеет экспоненциальный характер, причем, в показателе

степени экспоненты имеется “силовой” параметр, характеризующий потенциал, энергию и

т.п. Физический смысл решения уравнения ФП состоит в зависимости вероятности

появления функции с определенным потенциалом от величины этого потенциала. Чем выше

потенциал (энергия и т.п.), тем меньше вероятность появления этого решения. По-видимому,

эта особенность является фундаментальным свойством природы.

Рассмотрим нестационарные решения. В простейшем, одномерном виде, решение

нестационарного (зависящего от времени) уравнения Фоккера-Планка имеет вид:

f(q, t) = (πa(t))

-1/2

exp{- (q - b/t))

/a(t), (8.19)

здесь: а(t) = Q/α(1 - exp(-2αt)) + a

exp (- 2αt), b(t) = b

exp (- αt).

При а → 0 (а

= 0), решение сводится к δ-функции. Это решение показывает, что при

выполнении определенных условий, в диссипативной самоорганизующейся системе может

возникнуть нестационарное решение, например (при соответствующем значении входящих в

уравнение ФП параметрах), в ви де “отдельной волны”. Это решение (в виде волны, или δ-

функции ) может, как показано в (Хакен, 1980), при перемещении во времени и в

пространстве постепенно “расплываться” и ослабевать, а может, наоборот, усиливаться и

“сжиматься” в пространстве и во времени. Это решение позволяет, в принципе,