Лебедев С.А. Основы философии науки

Подождите немного. Документ загружается.

Тема 4

дом»? Если рассматривать процесс формирования тео-

ретических конструктов чисто абстрактно, то такой пе-

реход как будто действительно имеет место. Но если

подойти к делу с точки зрения реального функциониро-

вания научного знания, то можно обнаружить несколь-

ко иную картину. Выше обращалось внимание на то, что

различные предметы шарообразной формы в разной

степени приближаются к «идеальному шару»: одни из

них лишь грубо и приближенно можно принять за гео-

метрическую фигуру, другие же соответствуют ей с

гораздо большей точностью. Пользуясь возможностями

современной техники, мы можем значительно увели-

чить желаемую точность. Воспроизведенная в матери-

але геометрическая фигура может настолько точно со-

ответствовать своему идеальному образу, что даже весь-

ма тщательные измерения, проводимые на данной

фигуре, не позволяют обнаружить погрешности мате-

риальной конструкции. Здесь наблюдается, таким обра-

зом, полное совпадение (в пределах ошибки измерения)

данных эксперимента и теоретических предсказаний.

Какой же эмпирический смысл (т. е. смысл, ото-

бражающий эмпирически обнаруживаемые познава-

тельные ситуации) вкладывается в тезис, когда утвер-

ждается, что никакая материальная конструкция ни-

когда не может приблизиться к идеально точному

математическому объекту? На практике это может оз-

начать, что какого бы полного согласия на опыте меж-

ду математической абстракцией и конкретной фигурой

мы ни имели, всякий раз может случиться, что повы-

шение точности наших средств измерения приведет к

обнаружению расхождения между свойствами реаль-

ной модели и ее идеального образца. Однако, повысив

качество обработки материала, мы можем ликвидиро-

вать это расхождение. Это тем не менее не меняет си-

туации в принципе, а лишь подвигает на один шаг про-

блему дальше, ведь повысив точность измерения, мы

вновь обнаружим указанное расхождение. Принципи-

ально важным является то, что существует абсолютный

предел (обусловленный законами природы) приближе-

ния любой материальной модели к ее идеальному об-

202 Р

аз

ЧУ- Ведь даже траектория светового луча не может

представлять собой идеальную прямую, ибо свет есть

поток квантов, а движение кванта, как учит квантовая

механика, не может быть соотнесено с какой-то опре-

деленной, классически понимаемой траекторией.

Вот тут-то и происходит, согласно традиционной

концепции, скачок мысли, скачок к абсолютно точному

конструкту. Любая точка, которую мы достигаем на прак-

тике, ничто по сравнению с точностью мысленной кон-

струкции, ибо их разделяет бесконечность. Для чего нуж-

на такая не встречающаяся на практике точность мате-

матических объектов? «Всякое соотношение между

математическими символами, —писал П.Л. Чебышев, —

отображает соответствующее соотношение между реаль-

ными вещами; математическое рассуждение равнознач-

но эксперименту безукоризненной точности, повторен-

ному неограниченное число раз, и должно приводить к

логически и материально безошибочным выводам»

Бесконечная точность нужна математике для того,

чтобы не зависеть в процессе рассуждений от возмож-

ных погрешностей опыта. Эта точность, однако, поку-

пается дорогой ценой: она является точностью фор-

мальной, точностью «по определению», лишенной вся-

кого эмпирического содержания. Какую бы высокую

точность мы ни предъявляли к эмпирии (к инженер-

ным расчетам, допускам и т. п.), математика гаранти-

рует нам, что ее точность заведомо выше. Но что это

значит? Всего-навсего лишь то, что, манипулируя ма-

тематическими соотношениями, в которые входят эм-

пирически заданные величины, мы можем быть увере-

ны в том, что достигнутая на опыте точность будет

полностью сохранена. При всей своей бесконечной

точности математика ни на йоту не может повысить

точность эмпирически поставленной задачи, но она

гарантирует полное сохранение исходной эмпиричес-

кой точности в процессе математических манипуляций

с заданными величинами.

Таким образом, никакого предельного перехода от

конечного к бесконечному в прямом смысле этого сло-

ва нет. Перед нами просто два ряда объектов — реаль-

Цит. по статье Берштейна СИ. Чебышев, его влияние на раз-

витие математики. Уч. зап. МГУ, 1947. Вып. 91. Т. 1, кн. первая. С. 37.

203

Тема 4

методы научного исследования

ных и формальных. Свойства одних заданы эмпири-

чески «природой вещей», свойства других заданы

нами, т. е. чисто формально, их точность абсолютна, но

она не имеет никакого реального метрического смыс-

ла. Их конечная цель — служить средством описания

эмпирических объектов. Наука (особенно современная)

демонстрирует нам многочисленные примеры, когда

вначале создается теоретическая конструкция, а уж

затем удается подыскать соответствующий ей класс

реальных объектов или процессов.

Тезис, согласно которому денотатами понятий-иде-

ализаций (таких, как точка в геометрии или идеальный

газ в физике) является «пустой класс», представляется,

однако, спорным. Он затушевывает как раз то, что пред-

ставляет наибольший интерес с гносеологической точ-

ки зрения, а именно, какую гносеологическую функцию

выполняет идеализация в конкретных познавательных

ситуациях. В связи с этим можно вспомнить спор меж-

ду Пуанкаре и Эйнштейном о природе математических

идеализации. Точка зрения первого заключалась в том,

что понятия об идеальных математических объектах

«извлечены нами из недр нашего духа»

и что им нич-

то непосредственно не соответствует в физическом

мире. Но Эйнштейн дает характерный ответ: «Что каса-

ется возражения, что в природе нет абсолютно твердых

тел и что приписываемые им свойства не соответству-

ют физической реальности, то оно никоим образом не

является столь серьезным, каким оно может показаться

на первый взгляд. В самом деле, нетрудно задать состо-

яние измерительного тела достаточно точно, чтобы его

поведение по отношению к другим измерительным те-

лам было настолько определенным, что им можно было

бы пользоваться как «твердым» телом»

Формализация

204

Научная теория представляет собой определенную

систему взаимосвязанных понятий и высказываний об

Пуанкаре А. Наука и гипотеза. М, 1904. С. 83.

Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. Т. 2. С. 86-87.

Подробнее см.: Кураев В.И., Лазарев Ф.В. Точность, истина и

рост знания. М: Наука, 1988.

объектах, изучаемых в данной теории. На определен-

ном уровне развития познания сами научные теории

становятся объектами исследования. В одних случаях

необходимо представить в явном виде их логическую

структуру, в других— проанализировать механизм

развертывания теории из некоторых положений, при-

нимаемых за исходные, в-третьих — выяснить, какую

роль в теории играет то или иное положение или до-

пущение и т. д. В зависимости от цели изучения тео-

рии, можно ограничиться простым описанием или на-

учным анализом ее структуры в форме опять-таки со-

держательного описания. Но иногда оказывается

необходимым подвергнуть ее строгому логическому

анализу. Чтобы его осуществить, теорию необходимо

формализовать.

Формализация начинается с вскрытия дедуктив-

ных взаимосвязей между высказываниями теории.

В выявлении дедуктивных взаимосвязей наиболее эф-

фективен аксиоматический метод. Под аксиомами в

настоящее время понимают положения, которые при-

нимаются в теории без доказательства. В аксиомах

перечисляются все те свойства исходных понятий,

которые существенны для вывода теорем данной тео-

рии. Поэтому аксиомы часто называют неявными оп-

ределениями исходных понятий теории. Далее, при

формализации должно быть выявлено и учтено все, что

так или иначе используетоя при выводе из исходных

положений (аксиом) теории других ее утверждений.

Поэтому необходимо в явной форме сформулировать —

или при помощи соответствующих логических аксиом,

или при помощи логических правил вывода — все те

логические средства, которые используются в процес-

се развертывания теории, и присоединить их к приня-

той системе исходных ее утверждений.

В результате аксиоматизации теории и точного

установления необходимых ДАЯ ее развертывания ло-

гических средств научная теория может быть представ-

лена в таком виде, что любое ее доказуемое утвержде-

ние представляет собой либо одно из исходных ее ут-

верждений (аксиому), либо результат применения к

ним четко фиксированного множества логических

205

•• .

Тема 4

Методы научного исследования

206

правил вывода. Если же наряду с аксиоматизацией и

точным установлением логических средств понятия и

выражения данной теории заменяются некоторыми

символическими обозначениями, научная теория пре-

вращается в формальную систему. Обычные содержа-

тельно-интуитивные рассуждения заменены в ней

выводом (из некоторых выражений, принятых за ис-

ходные) по явно установленным и четко фиксирован-

ным правилам. Для их осуществления нет необходи-

мости принимать во внимание значение или смысл

выражений теории. Такая теория называется форма-

лизованной: она может рассматриваться как система

материальных объектов определенного рода (симво-

лов), с которыми можно обращаться как с конкретны-

ми физическими объектами.

Различают два типа формализованных теорий:

полностью формализованные, в полном объеме реали-

зующие перечисленные требования (построенные в

аксиоматически-дедуктивной форме с явным указани-

ем используемых логических средств), и частично

формализованные, когда язык и логические средства,

используемые при развитии данной науки, явным об-

разом не фиксируются. Именно частичная формализа-

ция типична для всех тех отраслей знания, формализа-

ция которых стала делом развития науки в первой

половине XX в. (лингвистика, некоторые физические

теории, различные разделы биологии и т.д.). Да и в

самой математике математические теории выступают

в основном как частично формализованные. Только в

современной формальной логике, в методологических,

метанаучных исследованиях полная формализация

имеет существенно важное значение.

Несмотря на то, что при частичной формализации

ученые основываются на интуитивно понимаемой ло-

гике, такие теории могут рассматриваться как разно-

видность формализованных, поскольку, во-первых

(если в этом появится необходимость), можно явно

задать систему используемых логических средств и

присоединить ее к аксиоматике частично формализо-

ванной теории, во-вторых, в этом случае содержание

специфичных для данной теории понятий (например,

математических) должно быть выражено с помощью

системы аксиом столь полным образом, чтобы не было

необходимости при развертывании теории обращать-

ся к каким бы то ни было свойствам объектов, о ко-

торых идет речь в теории, помимо тех, что зафикси-

рованы в исходных утверждениях. Примером может

служить аксиоматизация геометрии Евклида Д. Гиль-

бертом.

Таким образом, формализация представляет собой

совокупность познавательных операций, обеспечива-

ющих отвлечение от значения понятий теории с целью

исследования ее логических особенностей. Она позво-

ляет превратить содержательно построенную теорию

в систему материальных объектов определенного рода

(символов), а развертывание теории свести к манипу-

лированию этими объектами в соответствии с некото-

рой совокупностью правил, принимающих во внима-

ние только и исключительно вид и порядок символов,

и тем самым абстрагироваться от того познавательно-

го содержания, которое выражается научной теорией,

подвергшейся формализации.

В этом смысле можно сказать, что формализация

теории сводит развитие теории к форме и правилу.

Такая формализация не только предполагает аксиома-

тизацию теории, но и требует еще точного установле-

ния логических средств, необходимых в процессе ее

развертывания. Поэтому формализация теории стала

возможной лишь после того, как теория вывода и акси-

оматический метод получили необходимое развитие.

Обычно выделяют три качественно различных

этапа или стадии развития представлений о существе

аксиоматического метода. Первый — этап содержа-

тельных аксиоматик, длившийся с появления «Начал»

Евклида и до работ Н.И. Лобачевского по неевклидо-

вым геометриям. Второй — этап становления абстрак-

тных (или, по другой терминологии, формальных) ак-

сиоматик, начавшийся с появления неевклидовых гео-

метрий и кончившийся с работами Д. Гильберта по

основаниям математики (1900—1914 гг.). Третий —

этап формализованных аксиоматик, начавшийся с по-

явлением первых работ Гильберта по основаниям ма-

207

шяшт • Тема 4

тематики и продолжающийся до сих пор. С наи-

большей полнотой как достоинства, так и недостатки

первоначальной стадии развития аксиоматического

метода выражены в знаменитых «Началах» Евклида

(III в. до н. э.).

Изложение геометрии Евклид начинает с перечис-

ления некоторых исходных положений, а все осталь-

ные стремится так или иначе вывести из них. Далее,

среди множества всех геометрических понятий, упот-

ребляемых им, он выделяет такие, которые считает за

исходные, а все остальные стремится определить че-

рез них. Класс исходных положений (аксиом и посту-

латов) и класс исходных геометрических понятий Ев-

клид рассматривает в качестве интуитивно ясных, са-

моочевидных — таков тот важнейший критерий, по

которому происходит разбиение всего множества гео-

метрических понятий и положений на исходные и

производные. Все другие утверждения теории Евклид

выводит логическим путем из аксиом и постулатов.

В качестве отличительных черт той системы акси-

ом, на основе которой Евклид развертывает геометрию,

можно назвать следующие: во-первых, под аксиомами

понимаются интуитивно истинные высказывания, у

которых предполагается некоторое вполне определен-

ное содержание, характеризующее свойства окружаю-

щего пространства; во-вторых, не была указана явным

образом логика (т. е. правила вывода), опираясь на ко-

торую Евклид строит геометрию. В ней интуиция и де-

дукция шли рядом: недостаток дедукции восполняется

наглядным примером — чертежом или построением

циркулем и линейкой. Более того, необходимость исполь-

зования циркуля и линейки просто постулировалась.

Конкретный, содержательный характер аксиома-

тики Евклида обусловил и весьма существенные недо-

статки, присущие первой стадии развития аксиомати-

ческого метода. Раз предполагалось, что аксиомы гео-

метрии описывают интуитивно очевидные свойства

пространства и логика не была строго очерчена, то

оставались широкие возможности при дедукции из

аксиом других геометрических утверждений вводить

£||о дополнительные (помимо принятой системы аксиом)

Мктоды научного исследования

интуитивно очевидные допущения как геометрическо-

го, так и логического характера. Тем самым, по суще-

ству, оказывалось невозможным провести строго ло-

гическое развертывание геометрии.

Тем не менее построение геометрии Евклидом

служило образцом логической точности и строгости не

только для математики, но и для всего научного знания

на протяжении многих веков. Однако постепенно, на-

чиная примерно с XVIII в., наблюдается эволюция стан-

дартов строгости и точности построения теории, что

необходимо порождало критическое отношение к соб-

ственно евклидовой традиции.

В формировании новых представлений о существе

аксиоматического метода особенно большое значение

имело создание неевклидовых геометрий. Открытие

неевклидовых геометрий привело к существенному

изменению взглядов не только на геометрию Евклида,

но и на вопрос о природе и критериях математической

строгости и точности вообще. Введя в систему аксиом

новый постулат о параллельных прямых, противоре-

чивший интуитивному представлению о свойствах

окружающего пространства, стало невозможно полу-

чать выводы, опираясь на очевидные, наглядные допу-

щения. Новый взгляд на место и роль интуитивно оче-

видных соображений в построении и развертывании

геометрии заставлял более строго отнестись к харак-

теристике допустимых логических средств вывода с

целью исключения интуитивных допущений как гео-

метрического, так и логического характера.

Здесь важно подчеркнуть и то обстоятельство, что

исследования неевклидовой геометрии поставили в центр

внимания понятие структуры; от проверки и доказатель-

ства истинности отдельных (часто связанных между со-

бой лишь благодаря обращению к интуиции) предложе-

ний перешли к рассмотрению внутренней связанности

(совместимости) системы предложений в целом, к трак-

товке истинности (и точности) как свойства системы,

независимо оттого, располагаем ли мы средствами про-

верки каждого предложения системы или нет.

Математические теории, построенные в соответ-

ствии с теми представлениями о математической и

209

Тема 4

Методы научного исследования

210

логической строгости, которые сформировались на

протяжении первых двух третей XIX в., были значи-

тельно ближе к идеалу строго аксиоматического пост-

роения теории. Однако и в них этот идеал — исключи-

тельно логического выведения всех положений теории

из небольшого числа исходных утверждений — не был

реализован полностью. Во-первых, при развертывании

теории из принятой системы аксиом продолжали опи-

раться на интуитивно понимаемую логику, без явного

указания всех тех логических средств, с использова-

нием которых связан вывод из аксиом доказуемых

положений. Во-вторых, создание неевклидовых геомет-

рий, резко расходящихся с геометрической интуици-

ей, остро поставило вопрос об основаниях приемлемо-

сти подобного рода теоретических построений. Эта

задача решалась путем нахождения способа относи-

тельного доказательства непротиворечивости неевкли-

довых геометрий. Суть этого метода состоит в том, что

для доказательства непротиворечивости неевклидовой

геометрии подыскивается такая интерпретация ее ак-

сиом, которая приводит к некоторой другой теории, в

силу тех или иных оснований уже признанной непро-

тиворечивой. До тех пор, пока система аксиом не на-

ходила такой интерпретации, вопрос о ее непротиво-

речивости, естественно, оставался открытым. К тому же

на рубеже XIX— XX вв. выяснилось, что теория мно-

жеств, из которой в конечном счете черпались интер-

претации всех других математических систем, далеко

не безупречна в логическом отношении. В ней были

открыты различные противоречия (парадоксы), грозив-

шие разрушить величественное здание математики.

Все это указывало на необходимость разработки

некоторого другого способа доказательства непротиво-

речивости аксиоматически построенных теорий. С его

разработкой в трудах Г. Фреге и Д. Гильберта оконча-

тельно сформировался современный взгляд на аксио-

матический метод.

Обращаясь к проблеме непротиворечивости акси-

оматически построенных теорий, Д. Гильберт пытался

решить задачу следующим образом: показать относи-

тельно некоторой заданной системы аксиом (той или

иной рассматриваемой математической теории), что

применение определенного, строго фиксированного

множества правил вывода никогда не сможет привес-

ти к появлению внутри данной теории противоречия.

Доказательство непротиворечивости,той или иной си-

стемы аксиом, таким образом, связывалось уже не с

наличием некоторой другой непротиворечивой теории,

могущей служить интерпретацией данной системы

аксиом, а 1) с возможностью описать все способы

вывода, используемые при логическом развертывании

данной теории, и 2) с обоснованием логической безуп-

речности самих используемых средств вывода. Для

осуществления этой программы надо было формали-

зовать сам процесс логического рассуждения.

Возможность формализации процесса рассужде-

ния была подготовлена всем предшествующим разви-

тием формальной логики. Особо важное значение в

деле подготовки возможности формализации некото-

рых сторон процесса логического рассуждения имело

обнаружение того факта, что дедуктивные рассужде-

ния можно описывать через их форму, отвлекаясь от

конкретного содержания понятий, входящих в состав

посылок.

Первоначальный этап развития теории формаль-

ного вывода связан с именем Аристотеля. Он впервые

ввел в логику переменные вместо конкретных терми-

нов, и это позволило отделить логические формы рас-

суждения от их конкретного содержания. С середины

XIX в. был сделан решительный шаг к замене содер-

жательного рассуждения логическим исчислением, а

тем самым — к формальному представлению процес-

са рассуждения. В работах Г. Фреге логика строится в

виде аксиоматической теории, что позволяет достичь

значительно большей строгости логических рассужде-

ний. В исчислениях современной формальной логики

метод формального рассмотрения процесса рассужде-

ния получает свое дальнейшее развитие.

Таким образом, возможность формализации отдель-

ных отраслей научного знания подготовлена длитель-

ным историческим развитием науки. Потребовалось

более чем две тысячи лет для того, чтобы оказалось

211

Тема 4

Методы научного исследования

212

возможным представить некоторые научные теории в

виде формальных систем, в которых (если в этом воз-

никла потребность) дедукция может совершаться без

какой-либо ссылки на смысл выражений или значение

понятий формализуемой теории. Сама же потребность

в формализации возникает перед той или иной наукой

на достаточно высоком уровне ее развития, когда зада-

ча логической систематизации и организации налич-

ного знания приобретает первостепенное значение, а

возможность реализации этой потребности предпола-

гает огромную предварительную работу мышления,

совершаемую на предшествующих формализации эта-

пах развития научной теории. Именно эта огромная

содержательная работа мышления, предваряющая

формализацию, делает возможной и плодотворной за-

мену содержательного движения от одних утвержде-

ний теории к другим операциям с символами.

Формальные системы, получающиеся в результа-

те формализации теорий, характеризуются наличием

алфавита, правил образования и правил преобразова-

ния. В алфавите перечисляются исходные символы

системы. Требования, налагаемые на эти исходные

символы, таковы: они, во-первых, должны быть конст-

руктивно жесткими, чтобы мы всегда умели эти сим-

волы как отождествлять, так и различать; во-вторых,

список исходных символов должен быть задан так,

чтобы всегда можно было решить, является ли данный

символ исходным.

Далее, как в содержательной теории ее производ-

ные понятия определяются через исходные, так и в

формальной системе ее производные объекты конст-

руируются из исходных символов. Эти производные

объекты в формальной системе носят название фор-

мул и задаются при помощи правил образования. Как

и к исходным символам, к правилам образования

предъявляется определенное требование: они должны

быть заданы так, чтобы всегда можно было решить,

служит ли данная последовательность символов фор-

мулой.

Правилами преобразования задаются аксиомы

формальной системы и правила вывода. Аксиомы и

правила вывода составляют теоретическую часть фор-

мальной системы. Список аксиом, как и список ис-

ходных символов, может быть как конечным, так и бес-

конечным, но в том и другом случае задание аксиом

должно быть таково, чтобы мы всегда могли решить,

является ли данная формула аксиомой. Правила вывода

задаются для того, чтобы, опираясь на аксиомы, полу-

чать новые утверждения в формальной системе. Такие

доказуемые утверждения носят название теорем

Все. что было перечислено выше, относится к ис-

ходному базису формальной системы. Для его задания

необходим какой-то язык, в терминах которого можно

было бы задать алфавит и сформулировать правила

образования и преобразования формул формальной

системы. Во всех тех случаях, когда один язык упот-

ребляется для того, чтобы с его помощью говорить о

другом, первый язык называется метаязыком, а вто-

рой — языком-объектом. В качестве метаязыка обычно

употребляется соответственным образом выбранная

часть естественного, например русского, языка. Если

в качестве метаязыка выступает какая-либо научная

теория (обычно называемая интуитивной или содержа-

тельной), то конкретная формальная система, получа-

ющаяся в результате ее формализации, называется

предметной теорией, а метаязык, с помощью которого

и в котором изучаются свойства языка-объекта (а со-

ответственно и выраженной с помощью этого языка

теории), называется метатеорией. В метатеории исполь-

зуются обычные содержательно-интуитивные рассуж-

дения, они опираются на значение и смысл и выража-

ются в естественном языке.

Конечная цепь формул такая, что каждая из этих формул

есть либо аксиома, либо выражение, непосредственно выводимое

из предшествующих формул по правилам вывода, называется до-

казательством в формальной системе. Последняя формула дока-

зательства есть теорема. К понятию доказательства также

предъявляется требование, чтобы мы могли относительно любой

конечной последовательности формул решить, является ли она

Доказательством. К понятию теоремы такого требования не

предъявляется, хотя и существуют формальные системы, в кото-

рых оно выполняется.

213

Тема 4

214

В метатеоретическом исследовании выделяются

два основных аспекта изучения свойств и возможнос-

тей предметных теорий (формальных систем) —-син-

таксический и семантический. Та часть метатеории,

которая изучает предметную теорию в отвлечении от

того, что обозначают ее выражения, называется син-

таксисом. При синтаксическом исследовании имеют

дело с преобразованиями формул по строго установ-

ленным правилам, без учета того, что они обозначают,

каково их отношение к конкретному содержанию тео-

рий, какой смысл имеют правила, по которым осуще-

ствляется переход от одних формул к другим. Исполь-

зуемые при этом методы называются формальными,

поскольку они опираются исключительно на вид и

порядок символов, из которых образовано то или иное

выражение. Именно эти методы представляют наивыс-

ший на сегодняшний день стандарт логико-математи-

ческой точности.

Вместе с тем построение формальных систем, в

которых вместо содержательных выводов имеют дело

с преобразованиями формул по строго установленным

правилам и отвлекаются от того, что обозначают сим-

волы и их комбинации, — только одна сторона метода

формализации. Формальные системы обычно строят-

ся для представления научной теории, построенной

содержательно-интуитивно, в виде таким образом упо-

рядоченной системы утверждений об области объек-

тов, изучаемой с ее помощью, чтобы класс истинных

ее предложений отобразить в класс выводимых в фор-

мальной системе формул. Насколько достижима эта

цель возможно ответить лишь после того, как формаль-

ная система получит интерпретацию. Грубо говоря,

интерпретация заключается в приписывании выраже-

ниям формальной системы некоторого значения, в

результате чего они превращаются в нечто такое, что

может быть либо истинным, либо ложным.

Операции и методы, с помощью которых задает-

ся интерпретация формальной системы, называют-

ся семантическими. Если при синтаксическом иссле-

довании имеют дело с преобразованиями формул по

Методы научного исследования

строго установленным правилам, без учета того, что

обозначают формулы, то в семантике, напротив, ха-

рактеризуются отношения между элементами из пред-

метной области той содержательной теории, для фор-

мализации которой предназначается данная формаль-

ная система с ее формулами (и их соотношениями).

Поэтому семантические понятия, операции и методы

в отличие от синтаксических, строго формальных ме-

тодов и средств исследования называют содержатель-

ными.

В результате последовательной формализации те-

ории то, что раньше воспринималось как некое еди-

ное нерасчлененное целое, теперь благодаря методу

формализации обнаружило сложную и вместе с тем

ясную архитектонику. Это четкое расчленение фор-

мального и содержательного компонентов знания,

это «раздвоение единого» явились одним из фунда-

ментальных шагов в понимании природы научного

знания.

Математическое моделирование

Математическая модель представляет собой абст-

рактную систему, состоящую из набора математичес-

ких объектов. В самом общем виде под математически-

ми объектами современная философия математики

подразумевает множества и отношения между множе-

ствами и их элементами. Различия между отдельными

объектами главным образом определяются тем, каки-

ми дополнительными свойствами (т. е. какой структу-

рой) обладают рассматриваемые множества и соответ-

ствующие отношения.

В простейшем случае в качестве модели выступа-

ет отдельный математический объект, т. е. такая фор-

мальная структура, с помощью которой можно от эм-

пирически полученных значений одних параметров

исследуемого материального объекта переходить к

значению других без обращения к эксперименту. На-

пример, измерив окружность шарообразного предме-

та, по формуле объема шара вычисляют объем данно-

го предмета.

215

Тема 4

—

216

Очевидно, ценность математической модели для

конкретных наук и технических приложений состоит в

том, что благодаря восполнению ее конкретно-физи-

ческим или каким-либо другим предметным содержа-

нием она может быть применена к реальности в каче-

стве средства получения информации. С другой сторо-

ны, только благодаря тому, что нам удается подбирать

такие объекты (процессы, явления), которые обладают

способностью служить восполнением модели, мы мо-

жем посредством данной модели получить о них по-

лезную информацию.

Как отмечают Холл и Фейджин, для того, чтобы

объект можно было достаточно успешно изучать с по-

мощью математических методов, он должен обладать

рядом специальных свойств. Во-первых, должны быть

хорошо известны имеющиеся в нем отношения, во-

вторых, должны быть количественно определены су-

щественные для объекта свойства (причем их число не

должно быть слишком большим), и в-третьих, в зави-

симости от цели исследования должны быть известны

при заданном множестве отношений формы поведения

объекта (которые определяются законами, например

физическими, биологическими, социальными).

По существу, любая математическая структура

(или абстрактная система) приобретает статус модели

только тогда, когда удается констатировать факт опре-

деленной аналогии структурного, субстратного или

функционального характера между нею и исследуемым

объектом (или системой). Другими словами, должна

существовать известная согласованность, получаемая

в результате подбора и «взаимной подгонки» модели и

соответствующего «фрагментареальности». Указанная

согласованность существует лишь в рамках определен-

ного интервала абстракции. В большинстве случаев

аналогия между абстрактной и реальной системой

связана с отношением изоморфизма между ними, оп-

ределенным в рамках фиксированного интервала аб-

стракции.

Для того, чтобы исследовать реальную систему, мы

замещаем ее (с точностью до изоморфизма) абстракт-

ной системой с теми же отношениями; таким образом

щы научного исследования

задача становится чисто математической. Например,

чертеж может служить моделью для отображения гео-

метрических свойств моста, а совокупность формул,

положенных в основу расчета размеров моста, его

прочности, возникающих в нем напряжений и т.д.,

может служить моделью для отображения физических

свойств моста.

Что же представляют собой в гносеологическом

смысле математические модели, т. е. математические

структуры (по выражению Н. Бурбаки), по отношению

к реальности независимо от их конкретной интерпре-

тации?

Версия номинализма, согласно которой математи-

ка есть просто язык, сам по себе не имеющий никако-

го онтологического содержания, кажется, дает слиш-

ком легкое решение вопроса. Если математические

уравнения, которые мы накладываем на определенную

экспериментально фиксируемую область с целью упо-

рядочения фактуальной информации и перевода ее на

точный количественный язык, — если эти уравнения

есть лишь чисто ментальная конструкция ума, то чем

объяснить их поразительную «предопределенность»,

приспособленность к фактическим ситуациям? Если об

абстрактных объектах ничего не известно, кроме соот-

ношений, которые существуют между ними в рамках

формальной системы и, следовательно, их природа не

дает указаний на какую бы то ни было связь с внеязы-

ковой реальностью, если их единственная специфика-

ция состоит в том, что они согласуются со структурой

системы, определяемой исходными аксиомами, то все

же остается вопрос: «Что побуждает нас принять за

основу определенную избранную нами систему акси-

ом? Непротиворечивость для этого необходима, но не

Достаточна».

То, что математика есть некий особый язык, ис-

пользуемый человеком в процессе познания, это оче-

видно. Поэтому уже один только перевод какой-либо

качественной задачи на четкий, однозначный и бога-

тый по своим возможностям язык математики позволя-

т увидеть задачу в новом свете, прояснить ее содер-

жание.

217

. ..

•

Тема 4

Однако математика дает и нечто большее. Харак-

терным для математического способа познания явля-

ется использование «дедуктивного звена», т. е. мани-

пулирование с объектами по определенным правилам

и получение таким путем новых результатов. И нако-

нец, любая нетривиальная система математических

объектов заключает в себе явно или неявно некоторую

исходную семантику, некоторый способ «видения

мира». Именно этим в первую очередь определяется

ценность математического моделирования реальности.

Два типа математических моделей: модели опи-

сания и модели объяснения. Обращение к истории

науки позволяет выделить два типа теоретических схем,

основанных на двух видах математических моделей,

применяемых в конкретных науках и технических при-

ложениях, — моделях описания и моделях объяснения.

В истории науки примером модели первого вида мо-

жет служить схема эксцентрических кругов и эпицик-

лов Птолемея. Математический формализм ньютонов-

ской теории тяготения является соответствующим при-

мером модели второго вида.

Модель описания не предполагает каких бы то ни

было содержательных утверждений о сущности изуча-

емого круга явлений. Известно, что птолемеевская

модель обеспечивала в течение почти двух тысяч лет

возможность поразительно точного вычисления буду-

щих наблюдений астрономических объектов. Ошибоч-

ность птолемеевской системы заключалась вовсе не в

самой математической модели, а в том, что с использу-

емой моделью связывались физические гипотезы, и к

тому же такие, которые лишены научного содержания

(в частности, тезис о «совершенном» характере дви-

жения небесных тел).

Для моделей описания характерно то, что здесь

соответствие между формальной и физической струк-

турой не обусловлено какой-либо закономерностью и

носит характер единичного факта. Отсюда глубина

восполнения модели описания для каждого объекта или

системы различна и не может быть предсказана тео-

ретически. Задача определения глубины восполнения

решается поэтому всегда эмпирически.

Методы научного исследования

Применимо ли понятие истины и лжи для моделей

описания? В строгом смысле, по-видимому, нет. К ним

применим скорее критерий полезности, чем истинно-

сти. Модели описания бывают «хорошими» и «плохи-

ми»- «Плохая» модель — это либо слишком элементар-

ная модель (в этом случае она тривиальна), либо слиш-

ком сложная (и тогда она малоэффективна ввиду своей

громоздкости). «Хорошая» модель — это модель, сочета-

ющая в себе достаточную простоту и достаточную

эффективность.

Модели объяснения представляют собой каче-

ственно иной вид познавательных моделей. Речь

идет о тех случаях, когда структура объекта (или

система) находит себе соответствие в математичес-

ком образе в силу внутренней необходимости. Здесь

модель есть уже нечто большее, чем простая эмпи-

рическая подгонка, ибо она обладает способностью

объяснения. Если математический формализм адек-

ватно выражает физическое содержание теории и

выступает моделью объяснения, то он становится не

только орудием вычисления и решения задач в уже

известной области опыта, но и средством генериро-

вания новых физических представлений, средством

обобщения и предсказания. Например, из уравне-

ний Ньютона можно вывести закон сохранения

импульса, из уравнений Максвелла — идею о физи-

ческом родстве электромагнитных и оптических

явлений, из уравнений Дирака— существование

позитрона и т. д.

Рассмотрим характерные гносеологические свой-

ства моделей объяснения.

1. Способность к кумулятивному обобщению. Хотя

любая модель в своем становлении в качестве

объясняющей теории имеет вначале весьма ог-

раниченную эмпирическую базу, ее гносеологи-

ческая ценность обнаруживается в том, что она

способна к экстенсивному расширению, к экст-

раполяции на новые области фактов. Механизм

обобщения при этом не предполагает изменения

исходной семантики теории или порождения но-

вой семантики.

219

—

Тема 4 MRioAbi научного исследования

220

2. Способность к предсказанию. В отличие от моде-

лей описания (которые способны лишь к количе-

ственному предсказанию), объясняющие модели

способны к предсказанию принципиально новых

качественных эффектов, сторон, элементов. Благо-

даря тому, что модель представляет собой целост-

ную концептуальную систему, она заключает в

себе всю полноту своих элементов, сторон, отно-

шений. Поскольку, с другой стороны, наш опыт

всегда неполон, незакончен, то модель оказывает-

ся «богаче», чем имеющийся в нашем распоряже-

нии эмпирический материал. Иначе говоря, кон-

цептуальная система в своей внутренней структуре

может содержать такие элементы, стороны, связи,

которые еще не обнаружил опыт. Модель, таким

образом, позволяет предвосхитить новые факты.

Известно, например, что в конце прошлого века

Г.С. Федоров на основе исследования полной сим-

метрии кристаллов предсказал существование

новых кристаллических форм. Более того, кристал-

лическая модель оказалась орудием установления

множества всех возможных в природе кристаллов.

Поскольку было установлено, что множество всех

мыслимых кристаллов должно подчиняться опре-

деленным математическим соотношением, то кри-

сталлография оказалась способной к точному про-

гнозированию того, какого рода кристаллы могут

быть созданы в том или ином случае. Эшби под-

черкивает: «Когда мы определяем кристалл как

нечто, обладающее определенными свойствами

симметрии, то, по сути дела, утверждаем, что кри-

сталл должен иметь некоторые другие свойства

симметрии, что последнее необходимо вытекает из

первых, иначе говоря, что они суть те же свойства,

но рассматриваемые с другой точки зрения.

Таким образом, математическая кристаллография

образует своего рода основу или структуру, более

емкую и богатую, чем эмпирический материал...»

3. Способность к адаптации. Это свойство модели

проявляется в том, что Пуанкаре назвал «гибкос-

тью» теории. Истинная теория должна заключать

в себе возможность видоизменяться и совершен-

ствоваться под влиянием новых эксперименталь-

ных фактов. Если форма модели настолько жестка,

что не поддается никаким модификациям, то это

есть признак ее малой жизнеспособности. Модели

описания, как правило, являются жесткими. На-

против, модель, претендующая на объяснение,

путем отдельных видоизменений может сохранять

свою силу, несмотря на возражения и контрпри-

меры. «Возражения, —констатирует Пуанкаре, —

скорее идут на пользу теории, чем во вред ей, по-

тому что позволяют раскрыть всю внутреннюю ис-

тину, заложенную в теории».

4. Способность к трансформационному обобщению.

Модель объяснения, как правило, может быть под-

вергнута обобщению с изменением исходной се-

мантики обобщаемой теории. Формализм более

общей теории может иметь законченное выраже-

ние независимо от менее общей, но он должен

содержать формализм старой теории в качестве

предельного случая. Так, в волновой оптике элек-

тромагнитные волны описываются векторами

электрического и магнитного полей, удовлетворя-

ющими определенной системе линейных диф-

ференциальных уравнений (уравнений Максвел-

ла). Предельный переход от волновой оптики к

геометрической соответствует тем случаям, когда

мы имеем малую длину волн, что математически

выражается большой величиной изменения фазы

на малых расстояниях.

Анализ показывает, что глубина восполнения мо-

дели описания может быть установлена только эмпи-

рически для каждого отдельного случая. Что касается

модели объяснения, то при ее трансформационном

обобщении глубина восполнения исходной модели

Может быть строго установлена теоретически. Этот факт

имеет фундаментальное гносеологическое значение.

В одной из основных статей В. Гейзенберг обраща-

ет внимание на то, что в истории естествознания встре-

чаются два типа теорий. К первому типу относится так

Называемые «феноменологические» теории. Для них

221