Лекции - Основы гидростатики
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 2
Основы гидростатики
Гидростатика изучает условия равновесия покоящейся жидкости. Силы,
действующие в жидкости (в том числе в покоящейся) подразделяются на
объемные (массовые) и поверхностные. Объемные силы обычно относят к
единице массы жидкости, а поверхностные – к единице площади поверхности.
2.1 Дифференциальные уравнения гидростатики Эйлера
Рассмотрим условия равновесия малого кубического объема покоящейся
жидкости (рисунок 2.1).
Рисунок 2. 1- К вопросу о равновесии частицы покоящейся жидкости (показаны силы
давления)
Пусть R – [H/кг] – объемные силы (веса, инерции), отнесенные к единице
массы жидкости, действующие на частицу dm (на рисунке 2.1 не показаны).
Их можно представить проекциями R
x,
,
R
y
, R
z
на координатные оси x,y,z.
9
Например, объемная сила, действующая на массу жидкости dm в направлении
оси x равна
R
x
dm = R
x
dxdydz, [H]
где dx,dy,dz = dV - объем массы жидкости dm =
dV.
Поверхностная сила F [H], действующая на площадку – грань f
i
данного объема может быть разложена на нормальную F
n
и касательную F
составляющие. Однако касательные силы всегда вызывают движение жидкости.
Поэтому в покоящейся жидкости касательные напряжения (в том числе
вязкие ,см. (1.5)) отсутствуют. Нормальные же составляющие создают
напряжения, называемые гидростатическим давлением:
p = lim
f
F
n
[Па H/м
2
]. (2.1)
f0
Давление всегда действует по направлению внутренней нормали к
поверхности жидкости (рисунок 2.1) при любых ее ориентациях.
Действительно, если любой предмет (не обязательно жидкий объем) самой
сложной формы погружен в покоящуюся жидкость, то силы гидростатического
давления сжимают его в любой точке, действуя по направлению внутренней
нормали.
Итак, в покоящейся жидкости возникают только напряжения сжатия
p, одинаковые в каждой точке жидкости по всем направлениям (закон
Паскаля).
Для сохранения сплошности капельной жидкости давление в ней не
может быть ниже значения p
H
- давления паров данной жидкости,
насыщающих пространство при данной температуре (см. таблицу 2.1).
10
Таблица 2.1 - Значения давления p
H
насыщенных паров в зависимости от температуры для воды
Температура, С 0 20 40 60 80 100
p
H
, [кгс/см
3
]
0,006 0,024 0,075 0,200 0,480 1,033
При понижении давления ниже значения p
H
жидкость вскипает (см. раздел о
кавитации). Таким образом, гидростатическое давление – величина всегда
положительная.
Вернемся к рисунку 2.1. На элемент поверхности df
x
= dydz (c
нормалью вдоль оси x) действует сила давления
pdf
x
= pdydz, [H].
Если df
x
– левая грань малого кубического объема dV = dxdydz, то на
противоположную (правую) грань, отстоящую на расстоянии dx, действует
сила давления
– (p +
p
x
dx) dydz,
направленная также по внутренней нормали, противоположно оси x (знак " –
").
Суммируя все силы, направленные вдоль оси x, объемные и
поверхностные, получим условия равновесия сил. действующих на малый
кубический объем по оси x в виде:
R
x
dxdydz = pdydz – (p +
p
x
dx) dydz = 0,
или ( деля на
и на dV = dxdydz) для сил, действующих на единицу массы
в направлении этой оси:
11
R
x
–
1
p
x
= 0.
Аналогично для направлений по осям y и z:
R
R
y
z
1
1
p
y
p
z
0
0
(2.2)
То же самое более кратко можно записать для " i " – ой оси:
*)
R
i
–
1 p
x
i
= 0,
где, i = 1,2,3 i x,y,z.
или (2.2
1
)
x
i
= x
1
; x
2
; x
3
x
i
x,y,z.
То же в векторном виде:
R –
1
p = 0, (2.2
11
)
где
i
x
+ j
y
+ k
z
i
x
+ j
y
+ k
k
(2.3)
– дифференциальный векторный оператор Гамильтона, обозначаемый
греческой буквой – " набла".
12
____________________________
*) Это так называемая тензорная форма записи уравнения.
13
Величина
p gradp i
x
p
+ j
p
y
+ k
p
z
(2.4)
называется градиентом давления. Это векторная величина (равная
"произведению" "вектора" и скаляра p), направленная в пространстве в
сторону наиболее быстрого увеличения p, модуль которой характеризует
быстроту увеличения p от точки к точке в этом направлении.
Уравнения (2.2), (2.2
1
), (2.2
11
) являются разновидностями
дифференциального уравнения гидростатики Л. Эйлера (1755).
Если каждое из уравнений (2.2) умножить соответственно на dx, dy, dz
и сложить, получим еще один вид этого уравнения, содержащий полный
дифференциал гидростатического давления:
R
x
dx + R
y
dy + R
z
dz =
1
dp, (2.2
111
)
где dp =
x
p
dx +
p
y
dy +
p
y
dz.
Уравнения гидростатики Эйлера выражают условие равновесия объемных и
поверхностных сил в покоящейся жидкости.
2.2 Основное уравнение гидростатики (для тяжелой жидкости в поле
сил тяжести).
*)
Рассмотрим равновесие несжимаемой ( = const) жидкости в поле сил
тяжести, когда R
x
= R
y
= 0; R
z
= - g.
_________________________
14
*) Аналогичное уравнение для газа в поле силы тяжести (барометрическая формула)
рассматривается обычно в курсе общей физики. Она выражает закон изотермического
распределения для молекул газа в силовом поле с высотой.
15
Это очень простая формула равновесия (известная из начального курса физики)
может быть выведена из уравнения Эйлера в форме (2.2
111
). В данном случае
оно принимает вид:
– gdz =
1
dp,
или, вводя
= g
, и интегрируя, получим
p = – z + C
Постоянную интегрирования С можно определить из условия на поверхности
жидкости z = z
o
, где давление p = p
0
, откуда C = p
0
+ +z
0.
Если глубину
погружения в жидкость обозначить через h = z
0
– z, то на этой глубине
p = p
o
+ h. (2.5)
Это и есть основное уравнение гидростатики.
В частном случае, если жидкость имеет свободную поверхность, давление
p
o
над которой равно атмосферному, т. е.
p
o
= p
a
при h = 0.
Таким образом, давление на глубине h складывается из давления на
поверхности и давления столба жидкости высотой h - избыточного давления
h
(рисунок 2.2).
P
o
P
h
z
о
z
Рисунок 2.2.Иллюстрация к формуле (2.5)
16
Из уравнения (2.5) следует, что давление может измеряться высотой
столба жидкости h. На этом основано использование сообщающихся сосудов
для измерения давления. Таковы пьезометры, жидкостные барометры и
манометры, микроманометры.
В пьезометре (рисунок 2.3a) давление p внутри сосуда измеряется по
высоте подъема жидкости h в открытой трубке. В данном случае
p
ман
= p
изб
= p – p
a
- манометрическое давление – превышение давления над
атмосферным p
a
(рисунок 2.4). Абсолютное давление p = p
a
+ h.
P
P
P
h
P
P
h
P
P
h
а
P
а
P
а
l = h / S i n
а )
в )
б )
Рисунок 2.3 Схема а)пьезометра; б)микроманометра; в)вакуумметра.
Микроманометр (рисунок 2.3б) – это пьезометр, в котором измерительная
трубка наклонена под небольшим углом к горизонтали; незначительные
изменения давления заметно изменяют длину L столба жидкости в
измерительной трубке микроманометра, что повышает точность измерений.
17
Если в трубке пьезометра уровень жидкости ниже, чем в сосуде,
слагаемое h в уравнении (2.5) имеет знак "минус" и называется вакуумом –
недостатком давления до атмосферного (рисунок 2.4). Пьезометр, измеряющий
глубину вакуума, называется вакуумметром (рисунок 2.3.в).
Помимо жидкостных приборов, для измерения давления используются
механические манометры с упругими чувствительными элементами
(пружинные, мембранные).
у р о в е н ь а т м .
Р
в а к .
Р
Р
а
Р
>
Р
а
Р
и з б .
Р
<
Р
а
Рисунок 2.4 - Схема отсчета избыточного (манометрического)
давления p
изб
и вакуума p
вак
от атмосферного (барометрического) p
a
За единицу давления в Международной системе единиц (СИ) принят
паскаль [Па] – давление, вызываемое силой 1H, равномерно распределенной по
площади 1м
2
. Применяются и укрупненные единицы – килопаскаль [кПа] и
мегопаскаль [МПа].
1Па = 1 H/м
2
= 10
-3
кПа = 10
-6
МПа
2.3 Сила давления капельной (тяжелой) жидкости на стенки
Практический интерес представляет вычисление величины силы
избыточного давления, создаваемого весом столба жидкости над каждым
погружаемым элементом поверхности стенки df (сила барометрического
18