149
возросла с того момента, когда в начале ХХ века оно стало одним из основных, лежащих в
основе теории относительности.
Наконец, третье направление связано с продолжением и развитием собственно
алгебры, то есть с теорией чисел и с вопросами решения алгебраических уравнений. Это
направление, начиная с середины XIX века, сыграло большую роль в аксиоматическом
обосновании теории чисел, к чему мы вернемся ниже.
Наряду с развитием геометрии и алгебры, рассматриваемый период характеризуется
дальнейшими открытиями в области математического анализа и примыкающих к нему
математических дисциплин, таких, как вариационное исчисление, теория
дифференциальных уравнений, теория поля, математическая физика в целом и т.п. Это
направление возникло в результате расширения языка математического моделирования,
связанного с дальнейшим развитием физики, что составило содержание так называемой
«математической физики». На основе нового языка удалось построить ряд физических
теорий, описывающих собранные к тому времени новые физические факты, а также
наблюдаемые на опытах физические явления.
Появление этих разделов математики с целым набором новых математических понятий
позволило полностью перейти от словесных физических моделей к математическим
моделям физических явлений. Более того, возникновение новых математических
дисциплин часто вызывалось необходимостью построения математических моделей для
описания физических явлений. В качестве одного из многих примеров можно привести
появление математической теории поля, которая необходима для построения физической
теории поля при описании физических явлений. Основной математический аппарат в этом
случае состоял из дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве
другого примера можно взять возникновение теории относительности, которая могла
появиться на свет только потому, что в необходимый период была, в частности, готова к
применению новая область математических исследований, получившая название
«тензорный анализ». Другими словами, математическое описание физических явлений
стало нормой, и с этого времени физика полностью отказалась от словесных моделей.
Успехи применения математики в физике были настолько велики, что в сознании
подавляющего большинства ученых укрепилась уверенность: с помощью
математического языка можно адекватно описать все физические процессы, протекающие
в природе. Эта уверенность и позволила А. Эйнштейну сказать следующее:
«Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является
осуществлением того, что математически проще всего себе представить. Я убежден, что чисто
математическое построение позволяет найти те понятия и те закономерные связи между ними,
которые дают ключ к пониманию явлений природы» (А. Эйнштейн, 2).
Как мы уже говорили выше, к началу XIX века в математическом анализе назрела
острая необходимость уточнить все основные определения, а также «закрыть дыры» и
исправить ошибки в доказательствах основных его теорем. Первым, кто серьезно начал
эту работу, и труды которого оказали большое влияние на последующие поколения
математиков, был О. Коши, который написал три учебника по математическому анализу.
Хотя Коши заявил в последнем своем учебнике, что достиг мыслимых пределов
строгости, он допустил немало ошибок, впрочем, вполне объяснимых, если учесть
тонкость затронутых им понятий. Приведенные им определения функции, предела,
непрерывности и производной были, по существу, правильными, но язык, которым он
пользовался, не отличался ни ясностью, ни точностью. Коши был убежден, например, что
из непрерывности следует дифференцируемость, и сформулировал множество теорем, в
условиях которых предполагал только непрерывность, хотя в доказательствах неявно
использовал дифференцируемость функций. Можно привести и другие примеры