Левин М.Н., Гитлин В.Р., Иванков Ю.В., Иванова О.А. Физика в задачах и ответах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКА В ЗАДАЧАХ И ОТВЕТАХ

(механика, электростатика)

Практикум

специальность

010101(010100) – математика

010701 (010400) – физика

010700 (510400) – физика

ВОРОНЕЖ

2005

2

Утверждено научно – методическим советом физического факультета

15 декабря 2004 г. (протокол № 6)

Составители : Левин М .Н ., Гитлин В .Р ., Иванков Ю .В., Иванова О . А .

Практикум по физике подготовлен на кафедре ядерной физики физического

факультета Воронежского государственного университета в обеспечение

практических занятий по курсу «Физика» . В практикуме представлены задачи

по следующим темам : Законы сохранения энергии и импульса; Релятивистская

кинематика и релятивистская динамика; Вращательное движение; Электро-

статическая сила, электростатика.

Рекомендован для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов 4

курса математического факультета , обучающихся в рамках специальности

010101(010100), и студентов 3 курса физического факультета по специально -

стям 010701 (010400), 010700 (510400).

3

I. Законы сохранения энергии и импульса

● Закон сохранения механической энергии:

constU К

=

+

, К – кинетическая энергия тела,

U – потенциальная энергия тела.

constUKE

N

j

=+=

∑

= 1

– закон сохранения энергии замкнутой системы частиц ,

j =1..N – число частиц в системе.

● Определение импульса силы :

∫

−==

12

PPdtFI

r

.

Импульс силы связан с изменением импульса (количества движения ) тела

P

r

.

● При наличии внешней силы

.внеш

F

r

и трения закон сохранения энергии

принимает вид:

.. внутр

В

А

внеш

UUKSdF ∆+∆+∆=

∫

r

,

где

.внутр

U∆

– приращение тепловой, химической и собственной энергии.

1. Частица с массой m и энергией E налетает на покоящуюся частицу с массой

M. Какая часть энергии теряется при лобовом столкновении?

2. Частица с массой m налетает на покоящуюся частицу той же массы . Найти

угол рассеивания частиц при условии равенства скоростей частиц после столк-

новения .

3. Частица с массой m и энергией E

0

налетает на покоящуюся частицу той же

массы . Две частицы с равными массами и одинаковыми энергиями E

0

сталки-

ваются в лобовом соударении. При каком соотношении энергий E

0

и E резуль-

таты столкновений будут физически эквивалентны ?

4. Частица с массой m налетает на частицу M и рассеивается с углом φ. Как за -

висит потеря ΔΕ энергии от угла φ ?

5. Движущийся со скоростью 72 км /ч автомобиль массой 1,5 т сталкивается с

деревом. За время 0,03 с он полностью останавливается и при этом получает

вмятину глубиной 30 см . Чему равна средняя сила, действующая на автомобиль

в течение этого времени?

6. Какая кинетическая энергия теряется при столкновении грузовика с легко -

вым автомобилем? Скорость грузовика массой m=15 т равна

v

= 100 км /ч, ав-

томобиль массой m=1,5 т имел скорость

v

= –100 км /ч.

7. Во время соударения (см . задачу 5) пассажир с массой m=80 кг удерживает-

ся ремнями безопасности шириной 5 см и толщиной 2 мм. Прочность материа-

ла ремней на разрыв составляет 5ּ10

8

Н /м

2

. Не разорвутся ли ремни при соуда-

рении?

4

8. Сколько пищевых калорий следует потреблять ежедневно для поддержания

жизни ? Одна пищевая калория (1 ккал ) соответствует 4180 Дж химической

энергии.

9. Насколько хватит 450 г жира для поддержания умеренных нагрузок (500

Вт )? Иными словами, сколько времени должен выполнять физические упраж -

нения человек с избытком веса, чтобы избавиться от 450 г жира?

II. Релятивистская кинематика и релятивистская динамика

● Два основных постулата релятивистской механики:

1. Принцип относительности:

законы физики должны быть одинаковы для всех наблюдателей , движущихся с

постоянной скоростью относительно друг друга, независимо от величин и на-

правлений скоростей .

2. Инвариантность скорости света:

скорость света имеет одно и то же значение для всех наблюдателей

смс /10998,2

8

⋅=

.

● Преобразования Лоренца:

tхх

υ

γ

+

=

'

x

c

tt

2

'

υ

γγ += , где

2

1













−

=

c

υ

γ

координаты x и t какого - либо события , измеренные одним наблюдателем, свя -

заны с координатами того же самого события x′ и t′, измеренными другим на-

блюдателем; υ – относительная скорость наблюдателей вдоль оси X.

● Лоренцово сокращение:

.

2

.

1

покдвиж

l

c

l













−=

υ

длина движущегося предмета

.движ

l

короче в

γ

раз длины покоящегося

.пок

l

.

● Относительность одновременности :

2

c

l

t

υ

−=∆

если два события , разделенные расстоянием l по оси x, происходят одновре-

менно по часам одного наблюдателя , то для движущегося наблюдателя они бу-

дут разделены промежутком времени t

∆

.

● Правило релятивистского сложения скоростей :

2

1

'

c

u

x

υ

±

=

5

x

u' ,

x

u – скорости предмета в двух системах отсчета

'

X

и

X

, в системе

'

X

пред -

мет движется со скоростью

υ

.

● Релятивистские масса и импульс:

2

0

1

c

m

υ

−

= ,

2

0

1

c

m

p

υ

−

=

r

,

где m

0

– масса покоя.

● Полная энергия тела:

2

0

2

1

c

cm

mcE

υ

−

==

,

где

2

00

cmE = – энергия покоя.

● Кинетическая энергия движущегося тела имеет вид:













−

=−= 1

1

2

0

2

0

c

cmcmEK

υ

.

● Энергия и импульс связаны между собой соотношением

(

)

2

0

222

cmcpE +=

.

1. Стержень длиной 1 м движется относительно неподвижного наблюдателя со

скоростью 0,6 с. Какую длину стержня измерит наблюдатель?

2. Найти интервал времени , через который наблюдатель увидит вспышки

лампочек на концах стержня .

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростью u

1

= 0,6 c и

u

2

= 0,5 c. С какой скоростью сближаются частицы?

4. Две частицы движутся в противоположные стороны друг от друга со

скоростью u = 0,6 c и v = 0,5 c. С какой скоростью частицы удаляются друг от

друга?

5. Какова скорость релятивистской частицы, если ее кинетическая энергия

равна половине полной энергии?

6. Стержень движется с некоторой постоянной скоростью υ . Его длина в не-

подвижной системе l

1

= 3,0 м, а в системе отсчета , связанной со стержнем , l

2

=

6,0 м. Определить собственную длину стержня и его скорость относительно не-

подвижной системы отсчета .

6

7. Две ракеты удаляются от Земли в прямо противоположные стороны со ско -

ростью 0,8 с относительно Земли. Найти , с какой скоростью движется ракета в

системе отсчета , связанной с другой ракетой.

8. Во сколько раз релятивистская масса электрона, движущегося со скоростью

υ = 0,999 с, больше его массы покоя?

9. Релятивистская масса тела, движущегося с определенной скоростью , воз-

росла по сравнению с его массой покоя на 20%. Во сколько раз при этом

уменьшилась его длина?

10. Электрон движется со скоростью 200,0 Мм/с. Определить кинетическую

энергию по классической и релятивистской формулам . Сравнить результаты .

11. Найти отношение кинетической энергии электрона к его энергии покоя, ес-

ли скорость электрона 150,0 Мм/с. Каков релятивистский импульс электрона?

12. Какому изменению массы соответствует изменение энергии на 1,0 Дж?

13. Полная энергия мезона в 8 раз больше его энергии покоя. Какова скорость

мезона. (Энергия покоя мезона равна 135,0 МэВ ).

14. Релятивистская масса движущегося протона в 10

2

раз больше его массы по-

коя. Найти скорость движущегося протона.

III. Вращательное движение

● Момент импульса prL

r

×= ,

где p

r

– импульс частицы,

r

v

– радиус - вектор, проведенный из начала системы

координат к частице.

● В случае, когда на тело действует центральная сила, вектор

L

r

сохраня -

ется постоянным:

0=

dt

Ld

r

, или

const

L

=

r

.

● Момент силы

T

r

. Если на тело действует сила

F

r

, то по определению со -

ответствующий момент силы можно записать в виде

F

r

T

r

×

=

.

● Результирующий момент силы равен скорости изменения момента им-

пульса:

dt

Ld

T

рез

r

= .

● Согласно закону сохранения момента импульса, векторная сумма момен -

тов импульса всех n частиц замкнутой системы остается неизменной

constL

n

j

=

∑

= 1

r

.

7

● Положение центра масс

∑

=

j

jj

мц

m

rm

R

r

..

.

● Полный импульс системы

.. мцполнполн

vMP

r

= ,

где

dt

Rd

v

мц

..

r

=

– скорость центра масс,

полн

M

– полная масса системы .

● Момент инерции твердого тела дается выражением

∑

∆=

jj

mrI

2

, где

элемент массы

j

m

∆

расположен на расстоянии

j

r от оси вращения .

В случае непрерывного распределения масс

∫

= dmrI

2

.

● Полная кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энер-

гии, измеренной в системе ц.м . (центра масс) и величине 2

2

.. мц

vM :

'

2

1

2

..

KvMK

мцполн

+=

,

где

'

K

– полная кинетическая энергия , измеренная в системе ц.м .

В системе ц.м . твердое тело может обладать лишь вращательной кинетической

энергией . Поэтому можно записать :

вращмцполн

KvMK '

2

1

2

..

+= (для твердых тел),

где

вращ

K ' – вращательная кинетическая энергия , измеренная в системе ц.м .

● Твердое тело , вращающееся с угловой скоростью

ω

, имеет момент им-

пульса

ω

I

L

=

относительно оси вращения .

● Если твердое тело покоится (или вращается вокруг оси с постоянной уг-

ловой скоростью

ω

), то должны выполняться следующие 2 условия :

1.

∑

= 0

j

F

r

,

2.

∑

= 0

j

T

r

.

8

1. Найти момент инерции стержня длиной l относительно оси, проходящей че-

рез ее центр (см . рис.).

2. Найти кинетическую энергию обруча, катящегося по плоскости со скоро -

стью v, радиуса r и массы M.

3. Найти кинетическую энергию диска, катящегося по плоскости со скоростью

v, радиуса r и массы M .

4. Найти кинетическую энергию цилиндрического снаряда, летящего со ско -

ростью v и вращающегося относительно собственной оси с угловой скоростью

ω

. Геометрические размеры считать заданными. Масса снаряда равна M .

5. Пусть человек стоит на диске. Диск вращается с угловой скоростью

1

ω

(см. рис.1). Пусть теперь человек стоит на диске и вращается с угловой скоро

стью

2

ω

(см. рис.2). Найти изменение угловой частоты

2

ω

по отношению к

1

ω

.

рис.1 рис.2

6. Плотность железного маховика

=

ρ

8ּ10

3

кг/м

3

, а маховика из плавленого

кварца

=

ρ

2,4ּ10

3

кг/м

3

. Оба маховика имеют одинаковые пределы прочности

на разрыв и одинаковые массы . Каково отношение максимальных запасов энер -

гии для этих маховиков?

9

7. Обод велосипедного колеса диаметром 0,8 м имеет массу 1,5 кг. Чему равен

момент импульса колеса, если скорость велосипеда 3 м /с? Массой спиц можно

пренебречь .

8. Твердое тело с моментом инерции

I

вращается с угловым ускорением

α

вокруг своей оси и мгновенной угловой скоростью

ω

. Чему равна мощность ,

сообщенная телу?

9. Обруч массой

m

катится по плоскости . Скорость центра обруча равна

v

.

Чему равна кинетическая энергия обруча?

10. Твердый диск массой

m

катится по поверхности . Скорость центра диска

равна

v

. Вычислите кинетическую энергию диска.

11. Твердый шар массой

m

катится по поверхности . Скорость центра шара

равна

v

. Какова его кинетическая энергия ?

IV. Электростатическая сила , электростатика

• Закон Кулона

2

21

0

r

qq

kF = , где

1

q и

2

q – точечные заряды ,

r

– расстояние

между ними,

229

0

/109 Клм Hk ⋅⋅= .

• Напряженность электрического поля – это электрическая сила, дейст-

вующая на единичный электрический заряд, т.е.

q

F

E

r

=

.

• Электрическое поле точечного заряда

Q

на расстоянии

r

от него опреде-

ляется r

r

Q

kE

r

2

0

= , где

r

– единичный вектор, направленный от

Q

к точке .

• Принцип суперпозиции:

Электростатическая сила протяженного тела с равномерным распределением

заряда находится как

∫

= FdF

r

,

где

F

d

r

– сила, действующая со стороны отдельного элемента заряда.

• Напряженность электрического поля , создаваемая элементом объема

dV

с плотностью заряда

ρ

, равна

dVrEd ρ

r

2

0

r

k

=

.

Электрическое поле протяженного тела можно вычислить , интегрируя

E

d

r

по

объему этого тела.

10

• Поток электрического поля равен

SdEd Ф

r

⋅=

.

S

d

r

– элемент поверхности ,

через который проходят силовые линии.

Полный поток через поверхность

S

равен величине

∫

⋅= SdEФ

r

.

• Теорема Остроградского – Гаусса :

Полное число силовых линий , пересекающих замкнутую поверхность , равно

произведению

0

k

π

4

на величину полного заряда внутри этой поверхности :

внутр

QkSdE

0

π 4 =⋅

∫

r

,

внутр

Q

– полный заряд внутри замкнутой поверхности .

• Электрическая потенциальная энергия заряда

q

дается выражением

()

∫

∞

⋅−=

r

SdE

r

qrU

,

причем на бесконечности величина

U

полагается равной нулю .

• Электрический потенциал – это работа , которую необходимо затратить ,

чтобы переместить единичный заряд из бесконечности на расстояние

r

от то -

чечного заряда

Q

.

q

U

=ϕ

.

Потенциал точечного заряда:

r

Qk

0

=ϕ .

• Разность потенциалов между двумя точками представляет собой работу,

которую необходимо затратить для перемещения единичного заряда из одной

точки в другую .

∫

⋅−=−

в

а

ав

SdE

r

ϕϕ

.

1. Найти напряженность электрического поля Е как функцию расстояния x от

прямой бесконечной тонкой нити , вдоль которой равномерно распределен за -

ряд линейной плотностью λ. Зависимость Е ( x) изобразить графически.

2. Найти распределение напряженности электрического поля , создаваемого

равномерно заряженным шаром.

Левин М.Н., Гитлин В.Р., Иванков Ю.В., Иванова О.А. Физика в задачах и ответах

Подождите немного. Документ загружается.