Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
533
532
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
òîâ; øàð âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèà-
ìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò
òåëàìè âðàùåíèÿ.
Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàí-
íîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè-
÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèè
),(xfy =
ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâó-
ìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîð-
ìóëîé
V = p
] y
2
dx. (1)
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû
(2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî V
ñåãì
)
,3
(
3
1
2
hRh -p=
ãäå R
ðàäèóñ øàðà, à h âûñîòà ñåãìåíòà.äà FO
1
= FO R. Â
1
FKOD
èìååì -=
2
1
2
1
FOKO
,
2
FK-
èëè
,
3
)(
2
22
a
RFOR --=
îòêóäà
-=
3
2
2
2
a
R
,
33
62
3
2
a
R
aR
-+-
ò. å.
.
62
a
R
=
Èòàê, S
øàðà
.
6
4
2
2
a
R
p
=p=
n
315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ.
Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ
âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé (öèëèíäð âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîê-
ðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ âðàùåíèåì ïðÿìî-
óãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå-
Ðèñ. 308 Ðèñ. 309
Ðèñ. 310
a
b
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
533
532
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
òîâ; øàð âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèà-
ìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò
òåëàìè âðàùåíèÿ.
Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàí-
íîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè-
÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèè
),(xfy =
ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâó-
ìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîð-
ìóëîé
V = p
] y
2
dx. (1)
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû
(2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî V
ñåãì
)
,3
(
3
1
2
hRh -p=
ãäå R
ðàäèóñ øàðà, à h âûñîòà ñåãìåíòà.äà FO
1
= FO R. Â
1
FKOD
èìååì -=
2
1
2
1
FOKO
,
2
FK-
èëè
,
3
)(
2
22
a
RFOR --=
îòêóäà
-=
3
2
2
2
a
R
,
33
62
3
2
a
R
aR
-+-
ò. å.
.
62
a
R
=
Èòàê, S
øàðà
.
6
4
2
2
a
R
p
=p=
n
315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ.
Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ
âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé (öèëèíäð âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîê-
ðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ âðàùåíèåì ïðÿìî-
óãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå-
Ðèñ. 308 Ðèñ. 309
Ðèñ. 310
a
b
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
534
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî,
ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàí-
íîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ
îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êî-
òîðîé èìååò âèä õ
2
+ ó
2
= R
2
(ñì. ï. 284), à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
(1), íàõîäèì
V
ñåãì
=
ò
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-p=-p=
-
R
hR
hR
R
x
xRdxxR
3
)
(
3
222
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+---p=
3
)(
)(
3
3
2
3
3
hR
hRR
R
R
)
.3
(
3
1
2
hRh -p=
n
]
R h
R
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
534
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî,
ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàí-
íîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ
îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êî-
òîðîé èìååò âèä õ
2
+ ó
2
= R
2
(ñì. ï. 284), à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
(1), íàõîäèì
V
ñåãì
=
ò
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-p=-p=
-
R
hR
hR
R
x
xRdxxR
3
)
(
3
222
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+---p=
3
)(
)(
3
3
2
3
3
hR
hRR
R
R
)
.3
(
3
1
2
hRh -p=
n
]
R h
R
535
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
ÀËÃÅÁÐÀ
1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b , ñ ñïðàâåä-
ëèâû ðàâåíñòâà:
abba +=+
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
)()( cbacba ++=++
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëî-
æåíèÿ).
a + 0 = à.
.0)( =-+ aa
baab =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
)()( bcacab =
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
acabcba +=+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óì-
íîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
.1 aa =×
,1
1
=×
a
a
ãäå
.0¹a
2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðà-
âåäëèâû ñâîéñòâà:
Åñëè
,ba >
òî
.ab <
Åñëè
ba >
è
,cb >
òî
ca >
(ñâîéñòâî òðàíçèòèâ-
íîñòè).
Åñëè
,ba >
òî
.cbca +>+
535
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
ÀËÃÅÁÐÀ
1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b , ñ ñïðàâåä-
ëèâû ðàâåíñòâà:
abba +=+
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
)()( cbacba ++=++
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëî-
æåíèÿ).
a + 0 = à.
.0)( =-+ aa
baab =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
)()( bcacab =
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
acabcba +=+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óì-
íîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
.1 aa =×
,1
1
=×
a
a
ãäå
.0¹a
2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðà-
âåäëèâû ñâîéñòâà:
Åñëè
,ba >
òî
.ab <
Åñëè
ba >
è
,cb >
òî
ca >
(ñâîéñòâî òðàíçèòèâ-
íîñòè).
Åñëè
,ba >
òî
.cbca +>+
537
536
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:
åñëè
0³a
è
,NÎn
òî
xa
n
=
îçíà÷àåò:
1)
;0³x
2)
.
2
ax =
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
0³a
è
0³b
ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
.
nnn
baab
=
,
n
n
n
b
a
b
a
=
ãäå
.0¹b
.
n
k
k
n
aa
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
.
nk
n
k
aa
=
.
n
k
nm
km
aa
=
.
2
aa =
5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçà-
òåëåì:
.,....
1
aaaaaa
n
n
=×=
"!"
ìíîæèòåëåé
Åñëè
ba >
è
,0>c
òî
.bcac >
Åñëè
ba >
è
,0<c
òî
.bcac <
Åñëè
ba >
è
,dc >
òî
.dbca +>+
Åñëè
,0>a
,0,0,0 >>> dcb
ïðè÷åì
ba >
è
,dc >
òî
.bdac >
Åñëè
ba >
è
,dc <
òî
.dbca ->-
Åñëè
,0>> ba
òî
.
11
ba
<
Åñëè
0
>> ba
è
,n NÎ
òî
.
nn
ba
>
3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
î
í
ì
-
=
,
,
a
a
a
åñëè
,0³a
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëè-
âû ñâîéñòâà:
.0³a
.aa -=
.baab =
,
b
a
b
a
=
ãäå
.0¹b
.
2
2
aa =
, a
1
= a.
åñëè a < 0.
537
536
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:
åñëè
0³a
è
,NÎn
òî
xa
n
=
îçíà÷àåò:
1)
;0³x
2)
.
2
ax =
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
0³a
è
0³b
ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
.
nnn
baab
=
,
n
n
n
b
a
b
a
=
ãäå
.0¹b
.
n
k
k
n
aa
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
.
nk
n
k
aa
=
.
n
k
nm
km
aa
=
.
2
aa =
5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçà-
òåëåì:
.,....
1
aaaaaa
n
n
=×=
"!"
ìíîæèòåëåé
Åñëè
ba >
è
,0>c
òî
.bcac >
Åñëè
ba >
è
,0<c
òî
.bcac <
Åñëè
ba >
è
,dc >
òî
.dbca +>+
Åñëè
,0>a
,0,0,0 >>> dcb
ïðè÷åì
ba >
è
,dc >
òî
.bdac >
Åñëè
ba >
è
,dc <
òî
.dbca ->-
Åñëè
,0>> ba
òî
.
11
ba
<
Åñëè
0
>> ba
è
,n NÎ
òî
.
nn
ba
>
3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
î
í
ì
-
=
,
,
a
a
a
åñëè
,0³a
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëè-
âû ñâîéñòâà:
.0³a
.aa -=
.baab =
,
b
a
b
a
=
ãäå
.0¹b
.
2
2
aa =
, a
1
= a.
åñëè a < 0.
539
538
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì
ïîêàçàòåëåì:
,
q
p
q
p
aa
=
ãäå
.0³a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:
,1
0
=a
ãäå
.0¹a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëü-
íûì ïîêàçàòåëåì:
,
1
r
r
aa
=
-
ãäå
.0>a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçà-
òåëåì:
à) åñëè à = 1 è
,IÎa
òî
;11 Î
a
á) åñëè à > 1 è
,IÎa
òî ïîä
a
a
ïîíèìàþò ÷èñëî,
çàêëþ÷åííîå ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëü-
íûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî r
1
< a, a r
2
> a;
â) åñëè 0 < a < 1 è
,IÎa
òî ïîä
a
a
ïîíèìàþò
÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó
2
r
a
è
1
r
a
äëÿ ëþáûõ ðà-
öèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî
.
21
rr <a<
Äëÿ ëþáûõ
0,0 >> ba
è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
.
yxy
x
aaa
+
=×
.)(
xxx
abba
=×
.:
yxy
x
aaa
-
=
Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëü-
íîãî ÷èñëà:
à = à
1
× 10
n
, ãäå 1 £ à
1
< 10, n Î Z.
6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
,);( biabaz +==
ãäå
az =Re
äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b
ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
),;();( dcba =
åñëè
î
í
ì
=
=
.
,
dc
ba
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
:biaz +=
.
22
barz +==
Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû:
.,,,1,
4342414
Nniiiiiii
nnnn
Î=-=-==
+++
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z= r (cos j + i sin j),
ãäå r ìîäóëü, à
j ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà
),( p£j<p-
ïðè÷åì
.sin,cos
2222
ba
b
ba
a
+
=j
+
=j
=
N
.)(
xyy
x
aa
=
.
x
x
x
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
539
538
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì
ïîêàçàòåëåì:
,
q
p
q
p
aa
=
ãäå
.0³a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:
,1
0
=a
ãäå
.0¹a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëü-
íûì ïîêàçàòåëåì:
,
1
r
r
aa
=
-
ãäå
.0>a
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçà-
òåëåì:
à) åñëè à = 1 è
,IÎa
òî
;11 Î
a
á) åñëè à > 1 è
,IÎa
òî ïîä
a
a
ïîíèìàþò ÷èñëî,
çàêëþ÷åííîå ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëü-
íûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî r
1
< a, a r
2
> a;
â) åñëè 0 < a < 1 è
,IÎa
òî ïîä
a
a
ïîíèìàþò
÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó
2
r
a
è
1
r
a
äëÿ ëþáûõ ðà-
öèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî
.
21
rr <a<
Äëÿ ëþáûõ
0,0 >> ba
è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
.
yxy
x
aaa
+
=×
.)(
xxx
abba
=×
.:
yxy
x
aaa
-
=
Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëü-
íîãî ÷èñëà:
à = à
1
× 10
n
, ãäå 1 £ à
1
< 10, n Î Z.
6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
,);( biabaz +==
ãäå
az =Re
äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b
ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
),;();( dcba =
åñëè
î
í
ì
=
=
.
,
dc
ba
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
:biaz +=
.
22
barz +==
Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû:
.,,,1,
4342414
Nniiiiiii
nnnn
Î=-=-==
+++
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z= r (cos j + i sin j),
ãäå r ìîäóëü, à
j ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà
),( p£j<p-
ïðè÷åì
.sin,cos
2222
ba
b
ba
a
+
=j
+
=j
=
N
.)(
xyy
x
aa
=
.
x
x
x
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=