Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

503

502

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðà-

âèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé

(çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿ-

åòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì).

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû  ýòî ñóììà ïëî-

ùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü

ïðèçìû  ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùà-

äåé åå îñíîâàíèé.

Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå

îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùà-

äè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ S

ñå÷

íà áîêîâîå ðåá-

ðî l:

;ShV =

(1)

V = S

ñå÷

l. (2)

cos ==

=-=-

=j 1

cos2cos

Èòàê,

arccos

-=j

310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàí-

íèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî  ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè,

ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëü-

íûå ãðàíè  ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé

(ðèñ. 287). Â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ

ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è

ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè

ABCDE

11111

EDCBA

íàçû-

âàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû

ÀÀ

Â, ÂÂ

Ñ è ò. ä.  áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îò-

ðåçêè ÀÀ

, ÂÂ

è ò. ä.  áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñî-

òîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâ-

íèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå

ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíà-

ëüþ ïðèçìû.

Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå-

÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðè-

íàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287  ýòî ïàðàëëå-

ëîãðàìì

DDAA

Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâà-

åòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó

(íà ðèñ. 287  ýòî ìíîãîóãîëüíèê

EDCBA

¢¢¢¢¢

Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû

îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâ-

íîì ñëó÷àå  íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåí-

äèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñî-

âïàäàåò ñ íèì).

Ðèñ. 286 Ðèñ. 287

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

503

502

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðà-

âèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé

(çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿ-

åòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì).

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû  ýòî ñóììà ïëî-

ùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü

ïðèçìû  ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùà-

äåé åå îñíîâàíèé.

Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå

îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùà-

äè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ S

ñå÷

íà áîêîâîå ðåá-

ðî l:

;ShV =

(1)

V = S

ñå÷

l. (2)

cos ==

=-=-

=j 1

cos2cos

Èòàê,

arccos

-=j

310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàí-

íèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî  ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè,

ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëü-

íûå ãðàíè  ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé

(ðèñ. 287). Â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ

ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è

ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè

ABCDE

11111

EDCBA

íàçû-

âàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû

ÀÀ

Â, ÂÂ

Ñ è ò. ä.  áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îò-

ðåçêè ÀÀ

, ÂÂ

è ò. ä.  áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñî-

òîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâ-

íèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå

ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíà-

ëüþ ïðèçìû.

Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå-

÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðè-

íàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287  ýòî ïàðàëëå-

ëîãðàìì

DDAA

Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâà-

åòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó

(íà ðèñ. 287  ýòî ìíîãîóãîëüíèê

EDCBA

¢¢¢¢¢

Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû

îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâ-

íîì ñëó÷àå  íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåí-

äèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñî-

âïàäàåò ñ íèì).

Ðèñ. 286 Ðèñ. 287

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

505

504

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîã-

ðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðà-

çîì, ïàðàëëåëåïèïåä  ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè

êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç

ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïè-

ïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþò-

ñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì.

Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäè-

êóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ

ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïè-

ïåäà  ïðÿìîóãîëüíèêè.

Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä  ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé

ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé

ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1)  (4),

÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëå-

ëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ

,,, cba

ðàâåí

àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ

âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).

Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïå-

äà  ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì

. Ïëîùàäè

äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì

. Íàéòè îáúåì

è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà.

q Èìååì

,50hV =

ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê

ABCD

 ðîìá (ðèñ. 288), òî

.5,050 BDAC ××=

Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

,40,30 =×=× hBDhAC

íàõî-

äèì

AC ==

Îòñþäà ïîëó÷àåì

=100

4030

×=

ò. å.

3212 ==h

(ñì). Çíà÷èò,

3100=

(ñì

). Äàëåå, èç

CODD

ñëåäóåò, ÷òî

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ

ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ð

ñå÷

íà áî-

êîâîå ðåáðî l:

áîê

= Ð

ñå÷

l. (3)

Â ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû

ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âû-

ñîòó ïðèçìû h:

áîê

= Ðh. (4)

Ï ð è ì å ð 1. Â íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå

ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14

è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ

ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû.

q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîð-

ìóëå (3): S

áîê

= Ð

ñå÷

l, ãäå Ð

ñå÷

=13 + 14 + 15 = 42 (ñì),

l = 5 ñì. Çíà÷èò, S

áîê

= 210 ñì

. ×òîáû íàéòè îáúåì,

âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = S

ñå÷

l, ãäå, ñîãëàñíî

ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì S

ñå÷

8467821 =×××=

(ñì

Èòàê, V = 420 (ñì

). n

Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû 

ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàí-

íîé îêðóæíîñòè ðàâåí

.32

Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4.

q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ:

3Ra =

(ñì. ï. 293),

ò. å.

.6332 =×=a

Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñ-

íî ôîðìóëå (4), S

áîê

= 6 · 4 = 24 (ñì

). Äàëåå, â ñèëó

ôîðìóëû (1) èìååì

3364

336

=×

== ShV

(ñì

). n

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

505

504

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîã-

ðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðà-

çîì, ïàðàëëåëåïèïåä  ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè

êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç

ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïè-

ïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþò-

ñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì.

Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäè-

êóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ

ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïè-

ïåäà  ïðÿìîóãîëüíèêè.

Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä  ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé

ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé

ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1)  (4),

÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëå-

ëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ

,,, cba

ðàâåí

àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ

âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).

Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïå-

äà  ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì

. Ïëîùàäè

äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì

. Íàéòè îáúåì

è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà.

q Èìååì

,50hV =

ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê

ABCD

 ðîìá (ðèñ. 288), òî

.5,050 BDAC ××=

Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

,40,30 =×=× hBDhAC

íàõî-

äèì

AC ==

Îòñþäà ïîëó÷àåì

=100

4030

×=

ò. å.

3212 ==h

(ñì). Çíà÷èò,

3100=

(ñì

). Äàëåå, èç

CODD

ñëåäóåò, ÷òî

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ

ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ð

ñå÷

íà áî-

êîâîå ðåáðî l:

áîê

= Ð

ñå÷

l. (3)

Â ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû

ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âû-

ñîòó ïðèçìû h:

áîê

= Ðh. (4)

Ï ð è ì å ð 1. Â íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå

ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14

è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ

ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû.

q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîð-

ìóëå (3): S

áîê

= Ð

ñå÷

l, ãäå Ð

ñå÷

=13 + 14 + 15 = 42 (ñì),

l = 5 ñì. Çíà÷èò, S

áîê

= 210 ñì

. ×òîáû íàéòè îáúåì,

âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = S

ñå÷

l, ãäå, ñîãëàñíî

ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì S

ñå÷

8467821 =×××=

(ñì

Èòàê, V = 420 (ñì

). n

Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû 

ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàí-

íîé îêðóæíîñòè ðàâåí

.32

Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4.

q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ:

3Ra =

(ñì. ï. 293),

ò. å.

.6332 =×=a

Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñ-

íî ôîðìóëå (4), S

áîê

= 6 · 4 = 24 (ñì

). Äàëåå, â ñèëó

ôîðìóëû (1) èìååì

3364

336

=×

== ShV

(ñì

). n

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

507

506

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ

óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè.

q Ïóñòü à, b, c  èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à

gba ,,

 óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî

ðåáðàìè. Òîãäà

g=b=a= cos,cos,cos dcdbda

(ðèñ. 289). Íî

2222

dcba =++

îòêóäà +a

(cos

,)coscos

222

d=g+b+

èëè

=g+b+a

222

coscoscos

.1=

Òàê êàê

,sin1cos,sin1cos

2222

b-=ba-=a

,sin1cos

g-=g

òî

,1sinsinsin3

222

=g-b-a-

ò. å.

.2sinsinsin

222

=g+b+a

Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí

ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé:

.abcV =

(5)

Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòî-

ðîãî  êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà

ðàâíû.

Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å.

aV =

(6)

Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿ-

íèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé

ðåáðà ðàâíî d.

q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ

äî äèàãîíàëè B

D ðàâ-

íî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ

ò. å. äëèíå îòðåçêà À

Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à  ðåáðî

êóáà; òîãäà èç

EDAD

ñëåäóåò, ÷òî

ad =

îòêó-

äà

.2da =

Èòàê,

.22

daV ==

316

4030

BDAC

2500

ò. å.

(ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó-

÷èì S

áîê

10032

504

4 =×

=×

hCD

(ñì

). n

Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî 

ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òà-

êèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà

âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè.

Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿ-

ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èç-

ìåðåíèÿìè.

Ò.11.3. Â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò

äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èç-

ìåðåíèé à, b è ñ, ò .å.

2222

cbad ++=

Ðèñ. 288 Ðèñ. 289

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

507

506

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ

óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè.

q Ïóñòü à, b, c  èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à

gba ,,

 óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî

ðåáðàìè. Òîãäà

g=b=a= cos,cos,cos dcdbda

(ðèñ. 289). Íî

2222

dcba =++

îòêóäà +a

(cos

,)coscos

222

d=g+b+

èëè

=g+b+a

222

coscoscos

.1=

Òàê êàê

,sin1cos,sin1cos

2222

b-=ba-=a

,sin1cos

g-=g

òî

,1sinsinsin3

222

=g-b-a-

ò. å.

.2sinsinsin

222

=g+b+a

Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí

ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé:

.abcV =

(5)

Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòî-

ðîãî  êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà

ðàâíû.

Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å.

aV =

(6)

Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿ-

íèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé

ðåáðà ðàâíî d.

q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ

äî äèàãîíàëè B

D ðàâ-

íî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ

ò. å. äëèíå îòðåçêà À

Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à  ðåáðî

êóáà; òîãäà èç

EDAD

ñëåäóåò, ÷òî

ad =

îòêó-

äà

.2da =

Èòàê,

.22

daV ==

316

4030

BDAC

2500

ò. å.

(ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó-

÷èì S

áîê

10032

504

4 =×

=×

hCD

(ñì

). n

Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî 

ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òà-

êèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà

âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè.

Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿ-

ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èç-

ìåðåíèÿìè.

Ò.11.3. Â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò

äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èç-

ìåðåíèé à, b è ñ, ò .å.

2222

cbad ++=

Ðèñ. 288 Ðèñ. 289

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

509

508

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåð-

øèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñ-

êèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíî-

âàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíî-

âàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè

è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè

îñíîâàíèè.

Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåò-

ðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíî-

âàíèå.

Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð,

îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291

îòðåçîê FH  âûñîòà ïèðàìèäû).

Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíî-

âàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà

ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì,

÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðà-

ýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.

Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå:

. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.

. Âñå áîêîâûå ãðàíè  ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâ-

íîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè.

. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.

. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.

. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.

. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.

Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íà-

çûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.

Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäå-

íèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h:

ShV =

(1)

311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì

ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷-

êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó

F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé

ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ.

291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE)

íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëü-

íèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé)  áîêîâû-

ìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðà-

ìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä.  áîêîâûìè ðåáðà-

ìè. Â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà,

ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåó-

ãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïè-

ðàìèäû.

Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1

ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå

ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè

è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåò-

ñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí-

Ðèñ. 290 Ðèñ. 291

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

509

508

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåð-

øèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñ-

êèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíî-

âàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíî-

âàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè

è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè

îñíîâàíèè.

Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåò-

ðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíî-

âàíèå.

Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð,

îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291

îòðåçîê FH  âûñîòà ïèðàìèäû).

Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíî-

âàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà

ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì,

÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðà-

ýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.

Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå:

. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.

. Âñå áîêîâûå ãðàíè  ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâ-

íîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè.

. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.

. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.

. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.

. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.

Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íà-

çûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.

Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäå-

íèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h:

ShV =

(1)

311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì

ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷-

êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó

F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé

ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ.

291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE)

íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëü-

íèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé)  áîêîâû-

ìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðà-

ìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä.  áîêîâûìè ðåáðà-

ìè. Â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà,

ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåó-

ãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïè-

ðàìèäû.

Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1

ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå

ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè

è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåò-

ñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí-

Ðèñ. 290 Ðèñ. 291

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

511

510

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ðîãî ðàâíà

,32

à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí

60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ

îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü ïèðàìèäû.

q Ïî óñëîâèþ,

°=Ð= 60,32 AOBBD

(ðèñ. 292);

òîãäà

.3,3,30 ==°=Ð ADABBDA

Çíà÷èò,

.33=×= ADAB

Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ

ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî

óòâåðæäåíèþ 1

, FO  âûñîòà ïèðàìèäû è

.3== AOFO

Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì

.3333

=××== ShV

Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó

FM â

FDCD

è èç

FOMD

ïîëó÷èì FM =

.215,025,23

=+=+= OMFO

Èòàê,

áîê

.21)33( +

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âû-

ñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâ-

íà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20.

q Ïóñòü à  ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà

ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ  åãî âûñîòà, FO  âûñîòà ïèðà-

ìèäû, FM  àïîôåìà. Èìååì

CM =

îòêó-

äà

.320

Òàê êàê Î  öåíòð

,ABCD

òî

Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ

ba,

ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìå-

øàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâ-

íà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ

íà àïîôåìó m:

áîê

= 0,5Pm. (2)

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû

îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàí-

íûå óãëû

òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü S

áîê

è ïëîùàäü

îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

áîê

cos

(3)

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñ-

òî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëî-

âèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêî-

ñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ

áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðî-

åöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñ-

íîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïå-

ðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì

îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû).

. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëî-

âèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíè-

åì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðà-

ìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåò-

ñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðà-

ìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèñ-

ñåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû).

Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé

ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

511

510

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ðîãî ðàâíà

,32

à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí

60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ

îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü ïèðàìèäû.

q Ïî óñëîâèþ,

°=Ð= 60,32 AOBBD

(ðèñ. 292);

òîãäà

.3,3,30 ==°=Ð ADABBDA

Çíà÷èò,

.33=×= ADAB

Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ

ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî

óòâåðæäåíèþ 1

, FO  âûñîòà ïèðàìèäû è

.3== AOFO

Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì

.3333

=××== ShV

Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó

FM â

FDCD

è èç

FOMD

ïîëó÷èì FM =

.215,025,23

=+=+= OMFO

Èòàê,

áîê

.21)33( +

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-

íîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âû-

ñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâ-

íà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20.

q Ïóñòü à  ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà

ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ  åãî âûñîòà, FO  âûñîòà ïèðà-

ìèäû, FM  àïîôåìà. Èìååì

CM =

îòêó-

äà

.320

Òàê êàê Î  öåíòð

,ABCD

òî

Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ

ba,

ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìå-

øàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâ-

íà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ

íà àïîôåìó m:

áîê

= 0,5Pm. (2)

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû

îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàí-

íûå óãëû

òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü S

áîê

è ïëîùàäü

îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

áîê

cos

(3)

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñ-

òî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëî-

âèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêî-

ñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ

áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðî-

åöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñ-

íîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïå-

ðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì

îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû).

. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëî-

âèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíè-

åì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðà-

ìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåò-

ñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðà-

ìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèñ-

ñåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû).

Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé

ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-