Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1

41

() () ()

yR tT

Tt

Rsds

Tt

sds

t

T

t

T

,,,pp=

-

+

-

òò

11

()

p sds

t

T

ò

é

ë

ê

ù

û

ú

()

PR tT

Ct CT

Rsds

t

T

,,,

exp

p

=-

é

ë

ê

ù

û

ú

ò

1

что и требовалось доказать.

Имеется две полезных интерпретации формулы для цены облигации. Пер-

вая из них показывает, что временная структура в действительности является

суммой реальной временной структуры и временной структуры инфляции.

Подставляя (26) в формулу (3), находим, что

. (27)

Т. е. доходность на интервале времени [t, Т] является суммой реальной доход-

ности и доходности, обязанной инфляции, в течение этого интервала. Мы ви-

дим, что имеется две кривые доходности, одна для R и другая для p . Следо-

вательно, существует две временных структуры. Первая является временной

структурой реальной ставки возмещения капитала, а вторая - временной струк-

турой полных издержек при хранении денег (или возмещения от хранения ма-

териальных товаров).

Вторая полезная интерпретация показывает, что текущая реальная цена

облигации является настоящей стоимостью будущей реальной выручки от об-

лигации. Уровень потребительских цен в момент Т можно найти путем реше-

ния уравнения (16)

С(Т) = С(t) ехр

. (28)

Перемножая выражения (28) и (26) и преобразовывая полученное равенство,

получим

. (29)

Левая часть равенства (29) является текущей реальной ценой облигации, кото-

рая равна реальной выручке 1/С(Т) в момент Т , дисконтированной согласно

реальной процентной ставке.

Пример. Для иллюстрации использования формулы определения цены

облигации рассмотрим в качестве примера дифференциальные уравнения для

R и p :

dR = - а(R - R*) dt (30)

и

dp = - с(p - p*) dt (31)

42

() ( )( ) ()

PR R R R

e

a

e

c

ac

,, exp * * * *pt p t p p

tt

=-+ --

-

--

-

é

ë

ê

ù

û

ú

--

11

() ( ) ()

yR R R R

e

a

e

c

ac

,, * * * *pt

t

ppp

t

tt

=+-

-

++-

-

--

11

¶

¶t

t

y

R

e

a

=

-

>

-

1

0

¶

¶t

t

y

R

e

a

*

=-

-

>

-

1

0

¶

¶p t

t

y

e

c

=

-

>

-

1

0

¶

¶p t

t

y

e

c

*

=-

-

>

-

1

0

Отсюда видно, что a

R

= - а(R - R*) и a

p

= - с(p - p*) . Такие процессы появ-

ляются в модели установления равновесия, когда экономика находится в про-

цессе приближения к устойчивому состоянию, в котором реальная процентная

ставка будет равна R*, а ставка инфляции будет равна p*. (Обычно устано-

вившийся темп инфляции определяется решением руководства денежно-

кредитной системы.) Параметры а и с определяют скорость процесса прибли-

жения к устойчивому состоянию. Решениями уравнений (30) и (31) при R(t) =

R и p(t) = p являются функции

R(s) = R* + (R - R*) ехр[- а(s - t)] (32)

и

p(s) = p* + (p - p*) ехр[- с(s - t)] . (33)

Подстановка выражений (32) и (33) в формулу (26) дает цены дисконтируемых

облигаций как функции R , p и времени до погашения t = Т - t ,

. (34)

Кривая доходности, соответствующая структуре (34) выражается в виде

. (35)

Мы видим, что номинальная доходность равна сумме реальной доходности и

доходности, вызванной инфляцией. Доходность достигает r* = R* + p* при

неограниченном увеличении срока погашения. Это является естественным, так

как с течением времени R приближается к R*, а p приближается к p*.

Кривая доходности этого примера будет полезной при сравнении с соот-

ветствующими примерами кривой доходности в условиях неопределенности,

когда процессы установления являются случайными. Доходности, вычисляе-

мые по формуле (35), для любых сроков погашения являются увеличивающи-

мися функциями от R , R*, p и p*, поскольку

, для всех t > 0;

и

, для всех t > 0.

43

[][]

¶

¶t

t

pp

t

tt tt

y

RR

a

ae e

c

ce e

aa cc

=

-

+-+

-

+-

-- --

**

22

11

Так как ¶у/¶R ¹ ¶у/¶p , если а ¹ с , то увеличение по R и p не гарантирует,

что доходность будет увеличиваться при разных темпах увеличения по R и

увеличения по p . В общем случае кривая доходности может увеличиваться,

уменьшаться или иметь горб при увеличении срока погашения, как это можно

видеть из равенства

.

В определенных случаях временная структура описывается монотонной функ-

цией t . Например, если R > R* и p > p* она является уменьшающейся; если

R = R* и p = p* она оказывается константой; если R < R* и p < p* она ста-

новится увеличивающейся. Временная структура будет немонотонной только в

случаях, когда (R - R*) и (p - p*) имеют разные знаки, а скорости установ-

ления а и с являются различными. Наконец, можно легко проверить, что

мгновенные форвардные ставки равны будущим мгновенным спот ставкам.

41

() ()

TtTtP

tT

Tty <

-

-= ,,ln

1

,

() ()

ytT

Tt

Ftsds

t

T

,,=

-

ò

1

()

()()

[]

FtT

T

TtytT,,=-

¶

2. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ

2.1 МОДЕЛЬ ВАСИЧЕКА

Ввиду своей относительной простоты модель Васичека (Vasiček, 1977) яв-

ляется одной из наиболее популярных моделей определения цены актива.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим рынок, где инвесторы покупают и выпускают для продажи

свободные от неуплаты ценные бумаги на фиксированную сумму денег, кото-

рая должна быть доставлена в заданную дату в будущем. Такие бумаги будем

называть (дисконтируемыми) облигациями. Пусть P(t,Т) обозначает цену, на-

блюдаемую в момент времени t, t £ Т, дисконтированной облигации, пога-

шаемой в момент времени Т , с единичной стоимостью погашения

P(Т, Т) = 1.

Доходность до погашения у(t, Т) является внутренней нормой отдачи в мо-

мент t на облигацию с датой погашения Т :

. (2.1)

Ставки у(t, t+t) , t = Т - t > 0, рассматриваемые как функции t, будут назы-

ваться временной структурой в момент времени t.

Форвардная ставка F(t, s) определяется равенством

. (2.2)

Это уравнение может быть переписано в форме, задающей форвардную ставку

явно:

. (2.3)

Форвардная ставка может быть интерпретирована как предельная доход-

ность (норма отдачи) от инвестиции в облигацию за очень короткий (инфини-

тезимальный) временной интервал, следующий сразу после погашения.

Теперь определим краткосрочную процентную ставку как мгновенную

спот ставку (или ставку непрерывного конвертирования банковского счета):

42

(

)

(

)

(

)

rt ytt ytt== +

®

,lim,

t

0

.

Таким образом, сумма счета V при краткосрочной ставке r(t) будет уве-

личиваться по стоимости посредством приращений

dV = V r(t) dt . (2.4)

Это равенство выполняется с достоверностью. В любой момент времени t те-

кущее значение r(t) краткосрочной ставки является мгновенной ставкой уве-

личения стоимости счета. Однако значения краткосрочной ставки в последова-

тельные интервалы времени не обязательно оказываются вполне определенны-

ми. Мы будем предполагать, что ставка r(t) - это стохастический процесс,

подчиняющийся двум требованиям: во-первых, r(t) является непрерывной

функцией времени, то есть она не изменяется по величине скачкообразно; во-

вторых, предполагается, что она следует марковскому процессу. При этих

предположениях будущее развитие краткосрочной ставки дается ее настоящей

стоимостью и не зависит от прошлого поведения, которое привело ее к на-

стоящему значению. Таким образом, делается следующее предположение:

(А.1). Краткосрочная ставка следует непрерывному марковскому процессу.

Марковское свойство подразумевает то, что будущее развитие процесса

краткосрочной ставки характеризуется скалярной переменной состояния, кото-

рой является ее текущая величина. Таким образом, распределение вероятностей

будущих значений ставки {r(s) , s ³ t} полностью определяется значением

r(t).

Непрерывные марковские процессы обычно называются диффузионными

процессами. Они описываются стохастическими дифференциальными уравне-

ниями вида

dr = m

r

(r, t) dt + s

r

(r, t) dW(t), (2.5)

где dW(t) является приращением стандартного винеровского процесса, имею-

щим нулевое среднее и дисперсию dt. Функции m

r

(r, t) , s

r

(r, t) являются соот-

ветственно мгновенными дрейфом (drift) и волатильностью (volatility) процес-

са r(t).

Естественно ожидать, что цена дисконтированной облигации будет опре-

деляться исключительно краткосрочной процентной ставкой в течение ее срока

действия или, более точно, текущей оценкой будущей траектории краткосроч-

ной ставки в течение срока действия облигации. Никакого конкретного вида

43

() () ()

()

ytT E

T

rd tTrt

t

tT

,,,=

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

ò

1

tt p

.

этой траектории не предполагается. Таким образом, второе предположение

можно сформулировать следующим образом.

(А.2). Цена P(t,Т) дисконтированной облигации в момент t определяется че-

рез оценку будущих значений {r(s), t £ s £ Т} процесса краткосрочной

ставки в течение срока действия облигации.

Можно заметить, что гипотеза ожидания, гипотеза рыночной сегментации и

гипотеза предпочтения ликвидности согласуются с предположением (А.2), так

как все они постулируют, что

с различными определениями функции

p

Наконец, будем предполагать, что справедливо следующее.

(А.3). Рынок является эффективным, т. е. нет никаких расходов на сделки,

информация доступна всем инвесторам одновременно и каждый инве-

стор действует рационально (предпочитает большее богатство мень-

шему и использует всю доступную информацию).

Предположение (А.3) свидетельствует о том, что инвесторы имеют одно-

родные ожидания и что невозможен какой-либо прибыльный безрисковый ар-

битраж (riskless arbitrage).

По предположению (А.1) развитие процесса краткосрочной ставки на ин-

тервале (t, Т), t £ Т , при фиксированном априорном его значении в момент

времени t зависит только от текущего значения r(t). Тогда предположение

(А.2) влечет то, что цена P(t, Т) является также и функцией r(t) :

P(t,Т) = P(t,Т,r(t)) . (2.6)

Таким образом, значение краткосрочной процентной ставки является

единственной переменной состояния для всей временной структуры. Ожида-

ния, образованные знанием всего прошлого развития ставок всех сроков пога-

шения, включая настоящую временную структуру, эквивалентны условным

ожиданиям при фиксированном настоящем значении краткосрочной ставки.

УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ

Из уравнений (2.5), (2.6) по правилу дифференцирования Ито (см. матема-

тическое дополнение) следует, что цена облигации удовлетворяет стохастиче-

скому дифференциальному уравнению

44

()

m

¶

m

¶

s

¶

Prr

tTr

PtTr t r

r

PtTr,,

,,

,,=++

é

ë

ê

ù

û

ú

11

2

()

ss

¶

Pr

tTr

PtTr r

PtTr,,

,,

,,=-

1

dP = P m

Р

(t, Т) dt – P s

Р

(t, Т) dW(t), (2.7)

где параметры m

Р

(t, Т) = m

Р

(t, Т, r(t)) , s

Р

(t, Т) = s

Р

(t, Т , r(t)) задаются форму-

лами

, (2.8)

. (2.9)

Функции m

Р

(t, Т, r) , s

Р

(t, Т, r) соответственно являются дрейфом и вола-

тильностью мгновенной ставки доходности в момент времени t на облигацию

с датой погашения Т при условии, что текущая краткосрочная ставка равна

r(t) = r.

Теперь рассмотрим инвестора, который в момент времени t выпускает в

продажу облигацию на сумму V

1

с датой погашения Т

1

и одновременно по-

купает облигацию на сумму V

2

с датой погашения Т

2

. Таким образом, полная

стоимость сконструированного портфеля V = V

2

– V

1

изменяется согласно

уравнению накопления

dV = (V

2

m

Р

(t, Т

2

) - V

1

m

Р

(t, Т

1

)) dt – (V

2

s

Р

(t, Т

2

) - V

1

s

Р

(t, Т

1

)) dW, (2.10)

которое следует из уравнения (2.7).

Предположим теперь, что суммы V

1

, V

2

выбираются соответственно про-

порциональными s

Р

(t, Т

2

) и s

Р

(t, Т

1

) :

V

1

= V s

Р

(t, Т

2

) / (s

Р

(t, Т

1

) – s

Р

(t, Т

2

)),

V

2

= V s

Р

(t, Т

1

) / (s

Р

(t, Т

1

) – s

Р

(t, Т

2

)).

Тогда второе слагаемое в уравнении (2.10) исчезает и уравнение приобретает

вид

dV = V (

m

Р

(t, Т

2

)s

Р

(t, Т

1

) - m

Р

(t, Т

1

)s

Р

(t, Т

2

))(s

Р

(t, Т

1

) – s

Р

(t, Т

2

))

– 1

dt. (2.11)

Это означает, что стохастической составляющей dW в уравнении уже нет (т. е.

уравнение становится детерминированным) и портфель, составленный из таких

сумм двух облигаций, становится безрисковым. Поэтому он будет реализовы-

вать доход, равный процентам, накапливаемым согласно соотношению (2.4). В

противном случае портфель можно было бы купить и на полученную выручку

выполнить безрисковый арбитраж.

45

()

(

)

()

m

s

m

s

P

tT rt

tT

tT rt

tT

,

1

2

-

=

-

()

l

m

s

tr

tTr r

tTr

P

,

,,

=

-

()

,0

2

1

2

=-+++ rP

r

P

r

P

t

P

rrr

¶

s

¶

lsm

¶

Так как такие арбитражные возможности исключаются предположением

(А.3), сравнение равенств (2.4) и (2.11) дает:

(

m

Р

(t, Т

2

)s

Р

(t, Т

1

) - m

Р

(t, Т

1

)s

Р

(t, Т

2

))(s

Р

(t, Т

1

) – s

Р

(t, Т

2

))

– 1

= r(t),

или

. (2.12)

Так как равенство (2.12) имеет место для произвольных дат погашения Т

1

и

Т

2

, отсюда следует, что отношение (m

Р

(t, Т) - r(t))/s

Р

(t, Т) не зависит от Т.

Пусть значение этого отношения для облигации с любой датой погашения

обозначено через l(t, r) при условии, что текущее значение краткосрочной

ставки равно r(t) = r :

, t £ Т. (2.13)

Величина l(t, r) может быть названа рыночной ценой риска (market price of

risk), так как она определяет увеличение ожидаемой мгновенной ставки доход-

ности облигации на дополнительную единицу риска.

Используем теперь равенство (2.13), чтобы получить уравнение для цены

дисконтированной облигации. Записав (2.13) как

m

Р

(t, Т, r) - r = l(t, r)s

Р

(t, Т, r)

и подставив выражения для m

Р

и s

Р

из равенств (2.8) и (2.9), получим после

некоторого преобразования следующее уравнение:

t £ Т. (2.14)

Уравнение (2.14) является основным уравнением для оценивания дискон-

тированных облигаций на рынке, который характеризуется предположениями

(А.1), (А.2), (А.3). Оно имеет много названий, одно из которых «уравнение вре-

менной структуры» мы будем использовать здесь.

Уравнение временной структуры является дифференциальным уравнением

в частных производных для Р(t, Т, r). Как только характер процесса кратко-

срочной ставки r(t) описан и рыночная цена риска l(t,r) задана, цены облига-

ции получаются решением уравнения (2.14) при граничном условии

Р(Т, Т, r) = 1. (2.15)

46

() ()()

tTtrTtP

tT

Tty >

-

-= ,,,ln

1

,

() () ()

()

PtTE rd rd rdWt

t

T

t

T

t

T

,exp , ,=- - +

æ

è

ç

ö

ø

÷

òò ò

tt lt t t lt t

1

2

() () ()

()

Vu rd rd rdWt

t

u

t

u

t

u

=- - +

æ

è

ç

ö

ø

÷

òò ò

exp , ,tt lt t t lt t

1

2

=++

æ

è

ç

ö

ø

÷

++--

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

V

P

t

P

r

P

r

du V

P

r

dW PV r du

rr r

¶

m

¶

s

¶

sl

1

2

1

2

++ + =PV dW PV du V

P

r

du

r

ll

¶

sl

1

2

()

=++ + -

æ

è

ç

ö

ø

÷

++ =

V

P

t

P

r

P

r

rP du PV dW V

P

r

dW

rr r r

¶

msl

¶

s

¶

l

¶

s

1

2

=+PV dW V

P

r

dW

r

l

¶

s

Временная структура у(t, T) процентных ставок тогда сразу определяется ра-

венством

. (2.16)

СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ

Решение дифференциальных уравнений в частных производных парабо-

лического и эллиптического типа, таких как уравнение (2.14), может быть

представлено в интегральной форме через лежащий в основе стохастический

процесс (см. математическое дополнение). Такое представление для цены об-

лигации, как решения уравнения временной структуры (2.14) при его гранич-

ном условии, имеет вид

, t £ Т. (2.17)

Для доказательства формулы (2.17) определим

и применим правило дифференцирования Ито к процессу P(u, s)V(u) . Тогда

d(PV) = VdP + PdV + dPdV =

с учетом уравнения (2.14). Интегрирование от t до Т и вычисление математи-

ческого ожидания дает

47

() ()

PtT E r d

t

T

,exp=-

æ

è

ç

ö

ø

÷

ò

tt

(

)

()

() ()() ()()()

.,,

2

1

exp

2

÷

ø

ö

ç

è

æ

+--=

òòò

T

t

T

t

T

t

tdWrdrdr

TQ

tQ

ttltttltt

()

PtT E

Qt

QT

t

, =

æ

è

ç

ö

ø

÷

E

t

[P(Т, Т)V(Т) – P(t, Т)V(t)] = 0,

откуда и следует равенство (2.17).

В частном случае, когда ожидаемые мгновенные ставки доходности на об-

лигации для всех сроков погашения являются одинаковыми,

m

Р

(t, Т) = r(t), t £ s,

(это соответствует тому, что l = 0 ), цена облигации дается выражением

.

Выражению (2.17) может быть дана интерпретация в экономических тер-

минах. Составим портфель из долгосрочной облигации (облигации, чей срок

погашения является практически неограниченным) и ссуды или займа при

краткосрочной ставке соответственно в пропорциях q(t) и 1 – q(t), где

q(t) = (m

Р

(t, ¥) - r (t)) / s

Р

2

(t, ¥).

Цена Q(t) такого портфеля определяется уравнением

dQ = qQ(m

Р

(t, ¥) dt – s

Р

(t, ¥) dW) + (1 – q) Qr dt.

Это уравнение можно проинтегрировать оценивая дифференциал от lnQ и за-

мечая, что q(t)s

Р

(t, ¥) = l(t,r(t)). Это дает

d(lnQ) = qm

Р

(t, ¥) dt - qs

Р

(t, ¥) dW + (1 – q) r dt – 0,5q

2

s

Р

2

(t, ¥) dt =

= r dt + 0,5 l

2

dt – ldW,

и, следовательно,

Таким образом, выражение (2.17) можно записать в виде

, t £ Т . (2.18)

Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.