Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Адамова Е.В., Шевченко К.К., Бамбаева Н.Я. Теория вероятностей и математическая статистика

Подождите немного. Документ загружается.

()

(

)

()

MY X Z X

MX Y Z Y

yz yxz xz

xz xyz yz

// ;

// /

−= −

µβ µ

(4.14.)

Коэффициенты частной регрессии рассчитывают в соответствии с формулами:

βρ

ββ

βρ

βββ

ββ

yx z xy z

yx yz zx

xz zx

xy z xy z

xy xz zy

yz zy

;

−

(4.15.)

причем

ρββ

xy z xy z yx z///

;

для расчета условных средних квадратических отклонений используют формулы:

σσ ρσ ρ

yzx yz xyz yx yzx

xyz xz xyz xy xzy

// // /

;

=−=−

(4.16.)

Условное распределение при фиксировании величины (Х, У) будет одномер-

ным Z/(X,Y), которое характеризуется условным математическим ожиданием

()

(

)

(

)

MXYMZXyMZYx

/, / / / /==

и условной дисперсией

()

Dz X Y

zxy

=σ

Плоскость регрессии Z на (Х, У) будет получена при изменении точки (Х, У):

(

)

(

)

MZ X Y X Y

zzxy x zyx y

/( , )

−= − + −µβ µ β µ

Остаточная дисперсия относительно плоскости регрессии рассчитывается в

соответствии с формулой

(

)

(

)

σσ ρ σ ρ

zxy zy zxy zx yzx// // /

22 2 2 2

11=−=−

Для оценки девяти параметров трехмерной корреляционной модели используют сле-

дующие формулы:

()

µσ ρ

xxxy

yyxz

zzyz

Sx x r

xy x y

Sy y r

xz x z

Sz z r

xz x z

→= → = − → =

−⋅

→= → = − → =

−⋅

→= → = − → =

−⋅

∑

;; ;

Оценки условных средних квадратических отклонений при фиксировании од-

ной переменной, частных коэффициентов корреляции, условных средних квадрати-

ческих отклонений при двух фиксированных переменных и множественных коэффи-

циентов корреляции рассчитываются в соответствии со следующими формулами:

()()

SS r S r S r

rrr

SS r S

xyxxy xxz yyz

yx y xy z xz z yz

xy z

xy xz yz

xz yz

xz y

xz xy yz

xy yz

yz x

yz xy xz

xy xz

xyz xy xzy yz

// / /

;;;

;

=− =− =−

−⋅

−−

−⋅

−−

−⋅

−−

=− =−

111

222

S S

x/z y/z

z/x z/y

y/zx

rSr

yx z z x yz x

xyz

yxz

zxy

///

;;

111

r r

z/xy

y/xz

z/xy

=−

=− =− =−

Для проверки значимости параметров связи трехмерной корреляционной мо-

дели формулируется нулевая гипотеза о равенстве нулю проверяемого параметра.

Если на уровне значимости α гипотеза отвергается, то с надежностью γ=1-α можно

утверждать, что параметр значимо отличается от нуля. Если же гипотеза принимает-

ся, то параметр связи незначим.

В трехмерном корреляционном анализе проверяется значимость только част-

ных и множественных коэффициентов корреляции или коэффициентов детермина-

ции. Коэффициенты регрессии одновременно равны нулю или отличны от нуля вме-

сте с соответствующими коэффициентами корреляции (детерминации).

Проверка значимости парных коэффициентов корреляции для трехмерной мо-

дели обычно не проводится. Чтобы установить значимость частного коэффициента

корреляции, необходимо на выбранном уровне значимости α проверить гипотезу Н

частн

=0. В основе критерия используемого для проверки этой гипотезы, лежит стати-

стика

−

которая при справедливости нулевой гипотезы подчиняется распределению Стью-

дента с числом степеней свободы ν=n-3. Для упрощения процедуры проверки значи-

мости разработаны таблицы, где табулирован r

табл

(α, ν=n-3) в соответствии с пере-

численными условиями. Если |r

частн

|>r

табл

(α, ν), то ρ

частн

считается значимым на уров-

не α. В противоположном случае , когда Н

: ρ

частн

=0 не отвергнется, следует считать,

что между соответствующими признаками связь отсутствует, либо провести анализ

на основе другой выборки.

Основу критерия оценки значимости множественного коэффициента детер-

минации, а также и корреляции r

мн

составляет статистика

()

наб л

мн

−−

которая при справедливости нулевой гипотезы Н

: R

=0 имеет распределение Фише-

ра. По таблице распределения Фишера определяют F

табл

(α; ν

=2; ν

=n-3) и сравнива-

ют с F

набл

. Если F

набл

> F

табл

то гипотеза отвергается и, следовательно, R

значимо от-

личается от нуля.

Осуществляя проверку значимости коэффициентов связи трехмерной корре-

ляционной модели, следует учитывать , что если, например, R

незначим, то коэффи-

циенты ρ

zx/y

и ρ

zy/x

становятся незначимыми. Или, если ρ

zx/y

незначим, то множест-

венный коэффициент корреляции незначимо отличается от абсолютной величины

парного коэффициента корреляции R

=|ρ

Для значимых множественных коэффициентов корреляции можно получить

оценки уравнения регрессии. Для значимого R

оценкой соответствующего уравне-

ния регрессии будет

()

(

)

(

)

zxy zb xx b yy

zx y xy z

−= − + − ,

где

zx y zx y

zy x

== и b

zy/x

частные коэффициенты регрессии.

Для значимых параметров связи имеет смысл определить границы довери-

тельного интервала с надежностью

γ=1-α. Исходным равенством интервального оце-

нивания

частн

служит

P(r

частн min

≤

частн

≤

частн max

)=γ

Для получения более точных значений доверительного интервала в данном случае

используется z-преобразование Фишера, так как статистика

−

ln имеет при-

близительно нормальный закон распределения с параметрами

≈

−

≅

−

. Поэтому первоначально определяют границы доверительного интервала

для M

исходя из равенства

()

tФ

tZM

tZт

) (rzrчастн

=γ=













−

+≤≤

−

γγ

частн

где Z определяется по таблице z - преобразования Фишера для рассчитанного r

частн

находится по таблице интегральной функции Лапласа для заданного значе-

ния

γ.

Зная границы интервальной оценки для M

по таблице преобразования Фише-

ра получают доверительные границы для

частн.

Для значимых частных и множественных коэффициентов детерминации су-

ществуют более предпочтительные точечные оценки, чем выборочно коэффициен-

ты:

()

1r2n

частн

−

−−

- оценка для ρ

частн

;

()nr

мн

−−

−

- оценка для ρ

мн

Интервальные оценки для коэффициента плоскости регрессии можно найти

решением относительно оцениваемого коэффициента регрессии неравенства |t|

≤

t(α;

ν=n-3),

где

(

)

()

bSn

zx y x y

zy zxy

zyx zyx yx

zx zyx

zx y

−−

−

−−

−

///

- статистики, подчиняющиеся распределению Стьюдента с числом степеней свободы

ν=n-3;

t(α; ν=n-3) - определяют по таблице Стьюдента.

Пример 4.2

С целью изучения эффективности производства продукции была отобрана группа 25

однотипных предприятий. На основании полученной выборки для трех показателей

(Х - производительность труда, У - фондоотдача, Z - материалоемкость продукции)

были вычислены величины:

=6,06

у =2,052

z =24,32

=0,7782

=0,9016392 r

=-0,8770319 r

=-0,8899999 S

=0,7925

=3,7086

Требуется рассчитать оценки частных и множественных коэффициентов кор-

реляции, проверить на уровне α=0,05 их значимость, для значимых частных коэффи-

циентов корреляции рассчитать интервальные оценки с надежностью γ=0,95

Решение. Для расчета частных коэффициентов корреляции воспользуемся

формулами

rчастн

()()

rrr

xy z

xy xz yz

xz yz

xz y

xz xy yz

xy yz

yz x

yz xy xz

xy xz

,,,

−

−−

−⋅

⋅

−

−−

=−

−

−−

=−

0 9016392 0 8770319 0 8899999

0 203078 0 2079002

0 5526811

0 3782736

0 4775473

Множественные коэффициенты корреляции можно вычислить по формулам

через парные коэффициенты, например

()

rr rrr

xyz

xy xz xy xz yz

,,=

+−

−

0 9163587 или через коэффициенты

детерминации в соответствии с формулами:

xyz

yxz

zxy

0 0970695

0 6056

0 8397136

0 9163588

0 9249889

0 9065585

=− =− =

где

xyz/

рассчитана в соответствии с формулами (1.28).

Проверку значимости множественных коэффициентов корреляции сделаем с помо-

щью статистики:

()

xyz

yxz

yzz

zxy

−−

⋅

−−

⋅

−−

0 8397136 22

2 0 1602864

57 627157

0 8556046 22

2 0 1443954

651797121

50 745165

Сравнивая F

набл

с F

кр

(0,05; 2; 22)=3,44, найденым по таблице распределения Фишера

для α=0,05, ν

=2; ν

=n-3=22, делаем вывод, что все множественные коэффициенты

корреляции r

x/yz

, r

y/xz

, r

z/xy

генеральной совокупности значимо отличаются от нуля.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции по таблице

Фишера-Иейтсa находим r

кр

(0,05; 25)=0,381 и r

кр

(0,05; 20)=0,423, тогда с помощью

линейной интерполяции рассчитаем

набл (х)

набл

(у)

набл

(

)

кр

(0,05; 22)=

()

0 381

0 423 0 381

25 20

25 22 0 4062,

,.+

−

⋅− =

Так как наблюдаемые значения |r

xy/z

| и |r

yz/x

| больше, чем r

кр

(0,05; 22), то с ве-

роятностью ошибки 0,05 гипотеза о равенстве нулю генеральных частных коэффици-

ентов корреляции ρ

xy/z

и ρ

yz/x

отвергается. Для частного коэффициента корреляции

xz/y

гипотеза Н: ρ

xz/y

=0 не отвергается, т.к. r

xz/y

=0,381 меньше r

кр

(0,05; 22)=0,4062.

Для значимых частных коэффициентов корреляции ρ

xy/z

и ρ

yz/x

с надежностью γ=0,95

найдем интервальные оценки с помощью z - преобразования Фишера. По таблице

значений статистики

−

находим для r

xy/z

=0,55 соответствующее ему

=0,6184, тогда

Mz t

yz x

0 6184

0 523

095,,,,

−

≤≤−+

−













γγ

где t

=1,96 найдено по таблице значений интегральной функции Лапласа для

Ф(t

)=0,95;

0 4277

n −

==,

следовательно,

11907 1 0461

0 9507 0 0953

≤

−≤ ≤−

xy z

yz x

По таблице z - преобразования совершим переход к интервальным оценкам ρ:

019 078

01 074

≤

−≤ ≤

xy z

yz x

На основании полученных расчетов можно сделать вывод, что существует тесная

взаимосвязь каждого из исследуемых показателей эффективности работы с другими,

т.е. все множественные коэффициенты детерминации значимы и превышают 0,8.

Особенно тесная связь между фондоотдачей и двумя остальными показателя-

ми. Изменение фондоотдачи в среднем на 85,6% объясняется изменением произво-

дительности труда и материалоемкости. При увеличении производительности труда

на 1 тыс. руб. фондоотдача увеличивается в среднем на 0,55 руб на рубль основных

производственных фондов; при уменьшении материалоемкости на 1% фондоотдача

увеличивается в среднем на 0,48 руб.

Взаимосвязь между материалоемкостью и производительностью труда не до-

казана (без учета фондоотдачи). Однако можно сказать, что фондоотдача усиливает

связь между материалоемкостью и производительностью труда, т.к. |r

|>|r

xz/y

4.4. Методы оценки корреляционных моделей.

Для оценки параметров корреляционных моделей в основном используют три

метода: моментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов.

Метод моментов был предложен К.Пирсоном. В соответствии с ним первые q

моментов случайной величины Х приравниваются q выборочным моментам , полу-

ченным по экспериментальным данным. Теоретическим обоснованием метода мо-

ментов служит закон больших чисел, согласно которому для рассматриваемого слу-

чая при большом объеме выборки выборочные моменты близки к моментам гене-

ральной совокупности.

Для двумерной корреляционной модели согласно методу моментов неизвест-

ное ожидание оценивается средним арифметическим (выборочным начальным мо-

ментом первого порядка), а дисперсия - выборочной дисперсией (выборочным цен-

тральным моментом второго порядка). Коэффициент корреляции ρ оценивается вы-

борочным коэффициентом r, который является функцией выборочных начальных

моментов первого порядка самих случайных величин и их произведения.

Метод моментов дает возможность получать состоятельные оценки, т.е. на-

дежность выводов, сделанных при его использовании, зависит от количества наблю-

дений. Использование метода моментов на практике приводит к сравнительно про-

стым вычислениям.

Метод максимального правдоподобия, предложенный английским математи-

ком Р.А.Фишером, часто приводит к более сложным вычислениям, чем метод момен-

тов, однако оценки, получаемые с его помощью, как правило, оказываются более на-

дежными и особенно предпочтительными в случае малого числа наблюдений.

Метод максимального правдоподобия для оценки математического ожидания

предполагает использование средней арифметической, которая обладает свойствами

несмещенности, состоятельности и эффективности.

Дисперсию генеральной совокупности согласно методу максимального прав-

доподобия рекомендуется оценивать выборочной дисперсией, которая удовлетворя-

ют лишь условию состоятельности. Использование исправленной дисперсии позво-

ляет иметь оценку дисперсии, удовлетворяющую условиям несмещенности и состоя-

тельности.

Применение метода максимального правдоподобия часто приводит к реше-

нию сложных систем уравнений, поэтому метод наименьших квадратов, использо-

вание которого связано с более простыми выкладками, имеет большое практическое

применение. Основоположниками этого метода являются Лекандр, Р.Андрейн, Гаусс.

Основная идея метода наименьших квадратов сводится к тому, чтобы в каче-

стве оценки неизвестного параметра принимать значение, которое минимизируют

сумму квадратов отклонений между оценкой и параметром для всех наблюдений.

Так как нормальный закон распределения генеральной совокупности является

исходной предпосылкой построения корреляционных моделей, метод наименьших

квадратов и метод максимального правдоподобия дают одинаковые результаты.

В анализе двумерной корреляционной модели обычно оценку уравнения рег-

рессии производят с помощью метода наименьших квадратов.

4.5. Ранговая корреляция.

Для изучения взаимосвязи признаков, не поддающихся количественному из-

мерению, используются различные показатели ранговой корреляции. В этой случае

элементы совокупности располагают в определенном порядке в соответствии с неко-

торыми признаками (качественным и количественным) , т.е. производят ранжирова-

ние. При этом каждому объекту присваивается порядковый номер, называемый ран-

гом. Например, элементу с наименьшим значением признака присваивается ранг 1,

следующему за ним элементу - ранг 2 и т.д. Элементы можно располагать также в

порядке убывания значений признака. Если объекты ранжированы по двум призна-

кам, то можно изменить силу связи между признаками, основываясь на значениях

рангов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна является парным, и его исполь-

зование не связано с предпосылкой нормальности распределения исходных данных

()

=−

−

∑

где d - разность значений рангов, расположенных в двух рядах у одного и того же

объекта.

Величина r

для двух рядов, состоящих из n рангов, зависит только от Σd

. Ес-

ли два ряда полностью совпадают, то Σd

=0 и, следовательно r

=1, т.е. при полной

прямой связи r

=1. При полной обратной связи, когда ранги двух рядов расположены

в обратном порядке, r

=-1. При отсутствии корреляции между рангами r

=0.

Пример 4.3. При ранжировании оценок на вступительных экзаменах и сред-

них баллов за первую экзаменационную сессию одних и тех же лиц получены сле-

дующие ранги:

Таблица 4.3

Ранг студент А Б В Г Д Е Ж З И К

вступит. эк-

замен

2 5 6 1 4 10 7 8 3 9

экзамен.

сессия

3 6 4 1 2 7 8 10 5 9

d -1 -1 2 0 2 3 -1 -2 -2 0

1 1 4 0 4 9 1 4 4 0

Из данных таблицы 4.3 следует: Σd

=28; r

=1-

()

628

10 10 1

⋅

−

=0,83,

что свидетельствует о достаточно высокой связи между изучаемыми признаками.

Для измерения тесноты связи между признаками, не поддающимися точной

количественной оценке, используются и другие коэффициенты, например коэффици-

ент Кэндела, конкордации, ассоциации, контингенции и др.

4.6. Нелинейная парная корреляция

Для изучения связи между признаками, которая выражается нелинейной

функцией, используется более общий, чем коэффициент корреляции, показатель тес-

ноты связи - корреляционное отношение.

Нелинейная (или криволинейная) связь между двумя величинами - это такая

связь , при которой равномерным изменениям одной величины соответствует нерав-

номерные изменения другой, причем эта неравномерность имеет определенный зако-

номерный характер.

Использование корреляционного отношения основано на разложении общей

дисперсии зависимой переменной на составляющие: дисперсию, характеризующую

влияние объясняющей переменной, и дисперсию, характеризующую влияние неуч-

тенных и случайных факторов:

SS S

yyxос

22 2

где

- общая дисперсия зависимой переменной, т.е. дисперсия относительно

среднего значения;

у/х

- дисперсия функции регрессии относительно среднего значения зависи-

мой переменной, характеризующая влияние объясняющей переменной;

ост

- дисперсия зависимой переменной у относительно функции регрессии,

т.е. остаточная дисперсия.

Корреляционной отношение выборочных данных определяется по формуле

()

∑

−

−=

1η

или

ост

=−1

Влияние корреляционного отношения заключено в пределах

≤

Если дисперсия S

y/x

, обусловленная зависимостью величины у от объясняю-

щей переменной х, равно общей дисперсии S

(а это возможно лишь при наличие

функциональной связи), то η

=1. Если же остаточная (т.е. необъясненная) дисперсия

ост

равна общей дисперсии S

, то η

=0, т.е. корреляционная связь отсутствует.

В предыдущей главе было отмечено, что линейный коэффициент парной

корреляции является симметричной функцией относительно х и у. Следует подчерк-

нуть, что этим свойством не обладают корреляционное отношение, т.е. η

xу

≠η

. Для

линейной связи η

=η

Поэтому величину η

-r

можно использовать для характе-

ристики нелинейности связи между переменными.

В качестве одного из самых простых критериев оценки нелинейности связи

можно использовать следующий:

н yx yx

=⋅−

0 67449

Если значение К

>2,5, то корреляционную связь можно считать нелинейной.

Проверка и построение доверительных интервалов для корреляционного от-

ношения генеральной совокупности осуществляются так же, как аналогичные проце-

дуры для линейного коэффициента парной корреляции:

−

η1

;

кр

находится по таблице распределения Стьюдента из условия

ν= −







→

доверительный интервал имеет вид

ηη

γγ

−

≤≤+

−

100

где t

находится по таблице интегральной функции Лапласа с учетом уровня довери-

тельной вероятности γ.

Следует обратить внимание на то, что использование корреляционного отно-

шения η имеет смысл только для функций криволинейных, но линейных относи-

тельно параметров. Для функций, нелинейных относительно параметров [типа

()

yfx

= ], корреляционное отношение не может служить точным измерителем тесно-

ты связи.

Тест

1. В каких пределах изменяется парный коэффициент корреляции?

а) 0 ≤ ρ

≤1

б) -1 ≤ ρ

≤ 1

в) -∞ ≤ ρ

≤ +∞

г) 0 ≤ ρ

≤ ∞

2. В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции?

а) 0 ≤ ρ

y/xz

≤ 1

б) -1 ≤ ρ

y/xz

≤ 1

в) -∞ ≤ ρ

y/xz

≤+∞

г) 0 ≤ ρ

y/xz

≤ ∞

3. Если парный коэффициент корреляции по модулю больше модуля соответствую-

щего частного (например | ρ

|>| ρ

xy/z

|) и коэффициенты не имеют разных знаков, то

это означает, что:

а) фиксируемая переменная z ослабляет корреляционную связь;

б) фиксируемая переменная усиливает связь между х и у;

в) фиксируемая переменная не связана с факторами х и у;

г) возможен любой из первых трех исходов.

4. Коэффициент детерминации между х и у характеризует:

а) долю дисперсии у, обусловленную влиянием не входящих в модель факто-

ров;

б) долю дисперсии у, обусловленную влиянием х;

в) долю дисперсии х, обусловленную влиянием не входящих в модель факто-

ров;

г)направление зависимости между х и у.

5. Парный коэффициент корреляции между факторами равен 1. Это означает:

а) наличие нелинейной функциональной связи;

б) отсутствие связи;

в) наличие функциональной связи;

г) отрицательную линейную связь.