Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Адамова Е.В., Шевченко К.К., Бамбаева Н.Я. Теория вероятностей и математическая статистика
Подождите немного. Документ загружается.
71
Решение. Согласно H
11 0
2
: σσ> стоится правосторонняя критическая область.
По таблице χ
2
- распределения на уровне значимости α = 0,05 и при числе
степеней свободы ν = n - 1 = 6 определяем
χ
кр.
2
= 12,592.
Вычисляем
χν
σ
σ
χν
кк
H
р. р.
(, ; ) (, ; , ,
2
1
0
2
1
2
2
005 6 005 6
002
005
12 592 5 037 = =)=
,
,
=⋅ ⋅ = .
По
χ
к
H
р.
,
2
1
5 037= и числу степеней свободы ν = n - 1 = 6 по таблице χ
2
- рас-
пределения определяем
[]
PU H
H к
22
1
1 0 541>=−=χβ
р.
,.
Пример 3.4. При испытаниях были получены значения максимальной скоро-
сти самолета: 423, 426, 420, 425, 421, 423, 432, 427, 439, 435 м/с. Сделав предположе-
ние, что максимальная скорость самолета есть нормальная случайная величина, про-
верить гипотезу H
0
: µ
0
= 430 м/с при конкурирующей гипотезе H
1
: µ
1
= 420 м/с и вы-
числить мощность критерия при α=0,005.
Решение. По измененным вариантам xx
ii
=−
1
420 определим среднюю
арифметическую
x
и средний квадрат
(
)
x
2
условного ряда распределения:
x ==
71
10
71,;
х
2
859
10
85 9==,.
x
i
1
x
i
x
i
2
423 3 9
426 6 36
420 0 0
425 5 25
421 1 1
423 3 9
432 12 144
427 7 49
430 19 361
435 15 225
∑
71 859
Вычисляем выборочную дисперсию:
()
SS
21
2
2
85 9 71 85 9 50 41 35 49==−=−=,, , , ,;
S ==35 49 5 96,, м/с.
Так как генеральная дисперсия не известна, то при вычислении мощности
критерия используется распределение Стьюдента.
При H
0
: µ
1
< µ
0
строится левосторонняя критическая область. По таблице рас-
пределения Стьюдента по вероятности 2α = 0,01 и ν = n - 1 = 9 определяем
tH
кр.
,
0
1833= .
Вычисляем 1-β по формуле (3.26):
72
Обозначим
tH tH
S
n
ккр. р.
,
,
10
10
1 1833
430 420
596
9=− +
−
−=− +
−
=
µµ
= - 1,833 + 5,034 = 3,201.
По
tH
кр.
,
1
3 201= и ν = n - 1=9 по таблице t - распределения определяем
[]
()
St t H
кр.
,.
1
001= Вычисляем мощность критерия
1 - β =
[]
()
1
1
2
1
1
2
0 01 1 0 005 0 995
1
−=−⋅=−=St t H
кр.
,,,
.
3.7. Гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности
3.7.1. Основные понятия
Проверка гипотез о виде законов распределения генеральной совокупности
осуществляется с помощью критериев согласия.
Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что полученная выборка взята из
генеральной совокупности, значения признака в которой распределены по предла-
гаемому теоретическому закону (нормальному, биноминальному или другому) с па-
раметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными.
Математически, нулевую гипотезу можно записать в следующем виде:
H
m
n
p
m
n
p
m
n
p
0
1
1
1
2
2
2
: , ,...,== =
l
l
l
,
где
i
i
i
p
n
m
~
= - относительная частота (частость, доля) i-го интервала вариацион-
ного ряда или i-го варианта, принимаемого случайной величиной X;
P
i
- вероятность попадания случайной величины в i-й интервал или вероят-
ность того, что дискретная случайная величина примет i-ое значение (X = x
i
);
l,1=i - номер интервала или значения случайной величины;
n - объем выборки.
Критерий состоит в том, что выбранная некоторая случайная величина Y яв-
ляется мерой расхождения (рассогласования) между вариационным рядом и предпо-
лагаемым теоретическим распределением. При проверке нулевой гипотезы заранее
задается уровень значимости α (α = 0,1; 0,05; 0,01; 0,001). Затем на основании закона
распределения случайной величины находится такое значение Y
кр
, что
P(Y>Y
кр
) = α. (3.30)
Критическое значение Y
кр
обычно находят по таблице соответствующей
функции распределения. Далее вычисляется на основании выборки наблюдаемое
значение статистики критерия Y
H
. Наконец, сравниваются два значения: Y
H
и Y
кр
.
Если Y
H
> Y
кр
, то нулевая гипотеза отвергается. Если Y
H
≤ Y
кр
, то нулевая гипотеза
не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического за-
кона считаются незначимыми - данные наблюдений не противоречат гипотезе о виде
закона распределения.
Можно осуществлять проверку гипотезы о виде закона распределения в дру-
гом порядке: по наблюдаемому значению критерия Y
H
определить, пользуясь соот-
ветствующей таблицей, α
H
= P(Y>Y
H
). Если α
H
≤ α, то отклонения значимы и гипоте-
за отвергается; если же α
H
> α, то гипотеза не отвергается.
73
3.7.2. Критерий Пирсона
Критерий Пирсона или критерий χ
2
(хи - квадрат) имеет наибольшее приме-
нение при проверке согласования теоретической и эмпирических кривых распреде-
ления. Наблюдаемое значение критерия ()Y
H
=χ
2
вычисляется по следующей фор-
муле:
(
)
χ
H
эi т i
т i
i
mm
m
2
2
1
=
−
=
∑
l
, (3.31)
где
m
эi
- эмпирическая частота i-го интервала (варианта);
m
т i
- теоретическая частота i-го интервала (варианта);
l - число интервалов (вариантов).
Как известно χ
2
- распределение зависит от числа степеней свободы, это число
находится по формуле
ν=
−
−
lr1, (3.32)
где r - число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных
для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.
По теоретическим соображениям при расчете χ
H
2
не следует исходить из
слишком малых значений
m
т i
. Поэтому рекомендуется объединять соседние интер-
валы (варианты) таким образом, чтобы
m
Ti
> (5
÷
10) для объединенных интерва-
лов. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик (n ≥ 50) и
mm
т i эi
∑∑
= .
В случае нормального закона распределения расчет теоретической кривой
распределения ϕ(x) производится при условии, что статистические характеристики
()
xS; приравниваем числовым характеристикам нормального закона (µ; σ), поэтому r
= 2 и число степеней свободы ν =
l -3.
Вероятности попадания случайной величины X в соответствующие интервалы
вычисляется по интегральной теореме Лапласа
()
[]
pPaxb t t
ii i i i
=<<= −
1
2
21
ΦΦ() (), (3.33)
где
t
ax
S
i
i
1
=
−
; t
bx
S
i
i
2
=
−
.
В случае биномиального закона распределения расчет теоретической кривой
распределения производится при условии, что статистическая доля (частость) при-
равнивается вероятности p появления интересующего нас события А, поэтому r = 1 и
число степеней свободы ν =
l -2.
Вероятность p
i
того, что случайная величина X принимает значение x
i
= m,
где
mon= ,, определяется по формуле Бернулли
()
(
)
pPXx PXmC
ii n
mm nm
===== ⋅−
−
ωω()1 , (3.34)
где
ω=
⋅
=
∑
mx
kn
ii
i
к
1
- средняя частость проявления появления события во всех k вы-
борках;
n - число испытаний в каждой выборке.
74
В случае закона Пуассона расчет теоретической кривой распределения произ-
водится при условии, что средняя интенсивность
λ приравнивается математическо-
му ожиданию M(x), поэтому r = 1 и ν =
l -2.
Вероятность p
i
того, что случайная величина X принимает значение x
i
= m,
определяется по формуле Пуассона
()()
pPXx PXm
m
e
ii
m
=====
−
λ
λ
!
, (3.35)
где
λ=
=
=
∑
∑
mx
m
ii
i
к
i
i
к
0
1
- средняя интенсивность.
m
i
- частота появления значения х
i
; i=1, 2, ... , к.
При проверке гипотез о виде законов распределения могут быть использованы
и другие критерии согласия: Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.
Пример 3.5. По данным примера 1.2 рассчитать теоретические частоты в
предположении нормального закона распределения; результаты вычислений приво-
дятся в следующей таблице.
Интервалы 3,65-3,75 3,75-3,85 3,85-3,95 3,95-4,05 4,05-4,15 4,15-4,25 4,25-4,35
m
эi
1 6 11 15 9 6 2
m
т i
2 5 11 14 11 5 2
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения.
Решение.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия χ
H
2
по формуле (3.31).
Результаты вычислений представим в виде таблицы.
Интервалы
m
эi
m
т i
(
)
mm
эi т i
−
2
()
mm
m
эi т i
т i
−
2
3,65-3,75
3,75-3,85
1
6
2
5
0
0
3,85-3,95 11 11 0 0
3,95-4,05 15 14 1
1
14
0 071= ,
4,05-4,15 9 11 4
4
11
0 364= ,
4,15-4,25
4,25-4,35
6
2
5
2
1
1
7
0143= ,
∑
50 50 -
χ
H
2
= 0,578
По таблице χ
2
- распределения на уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы ν =
l
-3 = 5 - 3 = 2 определим χ
кр
2
= 5,991. Так как χ
H
2
= 0,578 < χ
кр
2
= 5,991,
нулевая гипотеза H
0
не отвергается, т.е. производительность труда для данной сово-
купности подчиняется нормальному закону распределения.
75
Пример 3.6. Даны следующие числа рождения мальчиков у 50 матерей, родивших
четыре раза:
3 1 0 2 1 2 1 3 3 3
2 3 2 2 1 2 1 3 2 3
3 0 1 1 2 2 1 0 3 2
0 2 2 2 3 3 2 4 3 3
2 1 1 2 2 3 3 2 3 4
Проверить на уровне 0,01 гипотезу о биноминальном законе распределения.
Решение. Всего 50 матерей родили N = k⋅n = 50⋅4 = 200 детей. Случайной ве-
личиной X является число мальчиков в семьях из 4 детей. Построим вариационный
ряд:
x
i
0 1 2 3 4
∑
m
эi
4 10 18 16 2 50
Эмпирическими частотами
m
эi
являются числа матерей, родивших опреде-
ленное число мальчиков.
Рассчитаем среднюю частоту рождения мальчика:
ω=
×
=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
==
=
∑
mx
к n
ii
i0
4
04 110 218 316 42
50 4
102
200
051,
.
По формуле (3.34) вычислим вероятности комбинаций рождения мальчика (и
девочки) в семьях из 4 детей:
m = 0;
P
04
44
1 0 49 0 0576
;
(), ,=− = =ω ;
m = 1;
Pn
14
33
1 4 0 51 0 49 0 2401
;
() ,, ,=⋅ − =⋅ ⋅ =ωω ;
m = 2;
P
nn
24
22 32
1
12
1 6 0 51 0 49 0 3747
;
()
() , , ,=
−
⋅
−=⋅ ⋅ =ωω
;
m = 3;
Pn
34
33
1 4 0 51 0 49 0 2600
;
() , , ,=⋅ − =⋅ ⋅ =ωω ;
m = 4;
P
44
44
0 51 0 0676
;
,,== =ω .
Итого: P
mn
m
,
,
=
∑
=
0
4
1000
Теоретические частоты равны
m
т i
= k⋅p
i
.
Рассчитаем наблюдаемое значение критерия χ
H
2
.
По таблице χ
2
- распределения на уровне значимости α = 0,01 и при числе
степеней свободы ν =
l
-2 = 3 - 2 = 1 определяем χ
кр
2
= 6,635.
76
Так как χ
H
2
= 0,370 < χ
кр
2
= 6,635, нулевая гипотеза не отвергается, т.е. число
мальчиков в семье из 4 детей данной совокупности подчиняется биноминальному
закону распределения.
(к примеру 3.6)
x
i
m
эi
m
т i
(
)
mm
эi т i
−
2
()
mm
m
эi т i
т i
−
2
0
1
4
10
3
12
1
1
15
0 067= ,
2 18 19 1
1
19
0 053= ,
3
4
16
2
13
3
1
4
16
0 250= ,
∑
50 50 -
χ
H
2
= 0,370
Пример 3.7. Число рабочих, не выполнивших сменного задания в 100 выбор-
ках по 20 рабочих, приводится в таблице:
Число рабочих x
i
0
1 2 3 4
Число выборок m
i
85 11
3 1 0
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о законе Пуассона.
Решение. Определяем среднюю интенсивность числа рабочих, не выполнив-
ших сменного задания, на одну выборку:
λ= =
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
=
=
∑
∑
mx
m
ii
i
к
i
i
к
0
1
085 111 32 13 40
100
20
100
02,
По таблице
e
−λ
определяем
e
−
=
02
0 8187
,
,
.
По формуле (3.35) вычисляем вероятности:
Pe
0
0
1
1
0 8187 0 8187==⋅=
−
λ
λ
!
,,;
Pe
1
1
1
0 2 0 8187 01637==⋅=
−
λ
λ
!
,, , ;
77
P
2
2
02
2
0 8187 0 02 0 8187 0 0164=⋅ =⋅ =
,
!
,,,,;
P
3
3
02
3
0 8187
0 008
6
0 8187 0 0011=⋅ = ⋅ =
,
!
,
,
,,.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия:
x
i
m
эi
m
т i
(
)
mm
эi т i
−
2
()
mm
m
эi т i
т i
−
2
0 85
82 9
9
82
0108= ,
1 11 16 25
25
16
1563= ,
2
3
3
1
2
0
4
4
2
20= ,
∑
100 100 -
χ
H
2
= 3,671
По таблице χ
2
- распределения на уровне значимости 0,05 и при числе степе-
ней свободы ν =
l -2 = 3 - 2 = 1 определяем χ
кр
2
= 12,706.
Так как χ
H
2
(= 3,671) <
χ
кр
2
(= 12,706), нулевая гипотеза H
0
не отвергается, т.е.
число рабочих, не выполнивших сменного задания, подчиняется закону Пуассона.
78
Таблица 3.1
Основные формулы, используемые при проверке гипотез о значении параметров распределений
№
пп
H
0
Условия
проверки
Используемое
распределение
Формулы для вычисления на-
блюдаемого значения
параметров
H
1
Порядок определени
я
критического значе-
ния критериев
Правила проверки
1 2 3 4 5 6 7 8
σ
2
Ф(t)
t
x
n
H
=
−
µ
σ
0
µ
1
<µ
0
; µ
1>
µ
0
(1-2α)→t
кр
tt Н
H к
>→
р 0
отвергается
известна
µ
1
≠µ
0
(1-α)→t
кр
с вероятностью
ошибки α
1
µ=µ
0
σ
2
не
S(t)
t
x
n
H
=
−
−
µ
σ
0
1
µ
1
<µ
0
; µ
1>
µ
0
2
1
α
ν= −
→
n
t
кр
известна
µ
1
≠µ
0
α
ν= −
→
n
t
к
1
р
σσ
1
2
2
2
и
Ф(t)
µ
x
<µ
y
; µ
x>
µ
y
(1-2α)→t
кр
tt H
H
к
≤→
р 0
2
µ
X
=µ
Y
известны
t
xy
nn
H
=
−
+
σσ
1
2
1
2
2
2
µ
x
≠µ
y
(1-α)→t
кр
не отвергается
σσ
1
2
2
2
и
не
известны,
но
σ
1
2
=
σ
2
2
S(t)
t
xy
nS n S
nn
nn
nn
H
=
−
+
+−
⋅
+
11
2
22
2
12
12
12
2
µ
x
<µ
y
; µ
x>
µ
y
2
2
12
α
ν= + −
→
nn
t
кр
µ
x
≠µ
y
α
ν= + −
→
nn
t
к
12
2
р
σσ
1
2
0
2
<
1
1
2
−
=−
→
α
ν
χ
n
кр
UH
H к
22
0
≥→χ
р
не отвергается
79
3
σσ
1
2
0
2
=
χ
2
U
nS
H
2
2
0
1
=
σ
σσ
1
2
0
2
≠
1
2
1
2
1
2
2
−
=−
→
=−
→
α
ν
χ
α
ν
χ
n
n
клев
кп
р..
р. р.
χχ
клев H к
U
р.. р.пр.
222
≤≤
→ H
0
не отвергается
При
U
H клев
22
≤χ
р..
или
U
H кп
22
>→χ
р. р.
→ H
0
отвергается
σσ
1
2
0
2
>
α
ν
χ
=−
→
n
к
1
2
р
UH
H к
22
0
≤→χ
р
не отвергается
4
σσ
1
2
2
2
=
SS
1
2
2
2
>
F
2
2
2
1
ˆ
ˆ
S
S
F
H
=
σσ
1
2
2
2
>
α
ν
ν
11
22
1
1
=−
=−
→n
n
F
кр
FF H
H
к
≤→
р 0
не отвергается
5
σσ
1
2
2
2
==
n
1
≠ n
2
≠ ...
... ≠ n
l
n
i
> 4
χ
2
−
−
+
−
=
∑
∑
=
=
l
l
l
1
1
22
р
2
11
)1(3
1
1
ˆ
ln
ˆ
ln
i
i
i
ii–
H
SS
U
γγ
γγ
σσ
2
1
2
H >
max
α
χ
l −
→
1
2
кр
UH
H к
22
0
≤→χ
р
не отвергается
...=σ
l
2
n
1
= n
2
= ...
... = n
l
G
∑
=
=
l
1
2
2
max
ˆ
ˆ
i
i
H
S
S
G
σσ
2
1
2
H >
max
α
nG
к
−
→1
l
р
GG H
H
к
≤→
р 0
не отвергается
6 p
1
= p
2
=
... = p
l
n → ∞ χ
2
∑
=
−
−
=
l
1
22
)
~~
(
)
~
1(
~
1
i
iH
n
pp
pp
U
PH P
1
>
max
α
χ
l −
→
1
2
кр
UH
H к
22
0
≤→χ
р
не отвергается
80
Тест
1. Что называют ошибкой первого рода:
а) Гипотеза H
0
верна и ее принимают согласно критерию;
б) Гипотеза H
0
верна и ее отвергают согласно критерию;
в) Гипотеза H
0
не верна и ее отвергают согласно критерию;
г) Гипотеза H
0
не верна и ее принимают согласно критерию;
2. Что называют мощностью критерия:
а) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть
в критическую область, если верна гипотеза H
0
;
б) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть
в критическую область, если верна гипотеза H
1
;
в) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть
в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H
0
;
г) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть
в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H
1
;
3. Когда при проверке гипотезы H
0
: µ = µ
0
против H
1
: µ = µ
1
следует выбрать пра-
востороннюю критическую область
а) H
1
: µ
1
< µ
0
;
б) H
1
: µ
1
> µ
0
;
в) H
1
: µ
1
≠ µ
0
,
г) H
1
: µ
1
= µ
0
,
4. Пусть статистика критерия θ
n
*
имеет нормальное распределение. Какое условие
является исходным для расчета значения
θ
кр
границы правосторонней критической
области.
а)
()
P
n к
θθ α
*
р
<=;
б)
()
P
n к
θθ
α
*
р
>=
2
;
в)
()
P
n к
θθ α
*
р
>=
;
г)
()
P
n к
θθ
α
*
р
<=
2
.
5. Какая статистика используется при проверке гипотезы
H
0
2
0
2
: σσ= :
а)
t
x
n=
−µ
σ
;
б)
t
x
S
n=
−
−
µ
1
;
в)
χ
σ
2
2
2
=
nS
;
г)
2
2
2
1
ˆ
ˆ
S
S
F =
.