Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

При этом равенство ие должно быть понимаемо в смысле конгру-

энции, т.е. наложимости. Наложимость - это только следствие равенства,

устанавливаемое аксиомой: "Равные объекты при наложении совпадают

своими частями".

Равные - это во всех отношениях, кроме положения, одинако-

вые. Мы говорим, что А А'В'С' равен Д ABC, если это та же фигура, но

только в другом месте.

Определение это резко отличается от того, которым пользуется ев-

клидова геометрия. В последней объест определяется только конечным

числом признаков а, Ь, с.

У Евклида наличность а, Ь, с определенно решает то, что данный

объект - Р. У Лейбница же определение таково, что нельзя выверить, есть

ли данный объект - Р, но ряд признаков а, Ь, с бесконечен и он ие может

быть исчерпан. При выводах же, бесконечное множество а, Ь, с заменяется

таким же конечным, но это делается без доказательств. Так, в треугольни-

ке берутся только углы А, В, С и стороны а, Ь, с.

Правда, число признаков, по которому можем судить о равенстве,

понижается с помощью теорем, которые доказываются, исхода из общего

принципа, выше нами формулированного. Термин "одинаковые" может

быть истолкован различно: в смысле Евклида это будут построения только

с помощью циркуля и линейки, с точки зрения Лежандра

это какие угод-

но операции, с помощью которых по данным строится новый объект.

Чтобы показать, каким образом прилагается общий принцип к

выводу теорем, возьмем типичный пример.

Почему

двух равных треугольниках медианы равных углов равны?

По Евклиду, следует поступать

так:

доказывать, что Д АМС =

А'М' С', ибо-

ZA = ZA', АВ = А'В'иАМ = А'М'всилу равенства A ABC и Д А'В'С'.

Рационалистическая геометрия отвечает: потому, что все построения для по-

лучения медиан AM и А'М' в одинаковых треугольниках одинаковы

Более сложный пример: в треугольники вписаны круги, центры их

соединены с пересечением медиан прямыми ОЕ и О'Е' - если треугольни-

ки ABC и А'В'С равны, то ОЕ = О'Е"

Почему? Согласно Евклиду, пришлось бы устанавливать рад пар

равных треугольников. Но можно сказать: потом)', что все построения оди-

наковы.

Подобие.

Совершенно таким же образом рассматривается подобие, которое следует

рассматривать, как одинаковость формы при различных размерах.

X. Вольф определяет подобие так: "Подобие есть тождество тех

признаков, которыми вещи друг от друга отличаются". В схолии Вольф

182

дает пояснения: "Возьми, говорит он, две вещи А и В, направь свое внима-

ние на признаки, которые могут наблюдаться в А, и наблюдение запиши. С

равным вниманием отметь и признаки В, которые в ней можем распоз-

нать. Если теперь окажутся все признаки, отмеченные в А и В, одинаковы-

ми,

то вещи А и В окажутся подобными". Но при этом исключен quantitas

(размер), который нельзя формулировать в словах. Приведенный общий

принцип равенства заменяется у Лейбница следующим:

Два объекта Р и Q подобны, если получены подобным построени-

ем над подобными объектами.

Это определение содержится в аксиоме Вольфа"

"Если две фигу-

ры или линии одинаковым путем производятся, и при том, те элементы, с

помощью которых они глюизводятся, подобны, то подобны также эти ли-

нии".

Необходимо пояснить, что у Вольфа для общих фигур предполагает-

ся по одному элементу, подвергающемуся одинаковым операциям.

Эта вольфианская аксиома может лечь в основание теорем подо-

бия,

если только признать подобие некоторых геометрических объектов,

например, прямолинейных отрезков. Следует заметить, что углы следова-

ло бы считать также подобными объектами.

Но Вольф не признает углы за элементы, а представляет только опе-

рациями над отрезками. Тогда в силу подобия отрезков прямых, принимае-

мых за радиусы двух кругов С, и С и вследствие тождественных действий

при описании этих кругов и, следовательно, подобия С

(

и С

, треугольники

А, и А

с парой соответственно равных углов Z A, -Z A

,ZB, =ZB

должны быть признаны подобными, ибо оба производятся с помощью пост-

роения в конце отрезков а

(

и а

соответственно равных углов

По этой же причине подобны два отрезка с отлоясенными на их

концах равными углами.

Если пересечь две пересекающиеся прямые двумя параллельны-

ми,

то пары отрезков (a, b), (а', Ь'),

получаемых на сторонах, следует счи-

тать,

на основании аксиомы Вольфа, подобными, вследствие чего все при-

знаки эти, как и, следовательно, их взаимные зависимости, в частном слу-

чае те, которые получаются при их количественном сравнении, одинаковы:

а' = b

Отсюда выводится пропорциональность сторон в подобных треу-

гольниках.

Чтобы показать, какое значение имеет аксиома Вольфа, приводим

пример.

Взяв два подобных треугольника ABC и А'В'С и вписав в них кру-

ги,

соединяем точки касания со сторонами. Полученные таким образом

треугольники EFQ и E'F'Q' подобны. Почему? Потому, что операции в

обоих случаях подобны. А именно производится:

1) деление углов треугольника,

183

2) опускание из точки пересечения перпендикуляров на стороны,

разлагаемые на элементарные подобные операции,

3) соединение оснований перпендикуляров прямыми

§ 6. Постулат дс Левека.

Бесспорно, что X. Вольф имел влияние и на французскую методическую

литературу. В тех ранних французских учебниках начала XIX столетия, в

которых отклоняются от лежандрова типа, можно усмотреть влияние X.

Вольфа. Это влияние можно отметить, например, в книге Сюзанна".

Следует обратить внимание на доказательства равновеликое™ пи-

рам ид с равновеликими основаниями и равными высотами. В методичес-

ком отношении теоремы эти представляют большой интерес.

Деном и Каганом доказана невозможность вывода этой теоремы

методом разложения на равновеликие части. Отсюда вытекает необходи-

мость применения метода исчисления бесконечно малых (методы исчер-

пывания „чертовой лестницы" или принципа Кавальери). Сюзанн находит

особый путь, обходящий "чертову лестницу", по которому идет Лежандр. В

основе своего доказательства он ставит постулат де Левека. По всей веро-

ятности, эта аксиома пускает свои корни в вольфианские идеи. То, что де

Левек и Сюзанн называют операциями, определяемыми только формой, а

ие размерами. Вольф) называет короче: одинаковыми операциями.

Согласно его аксиоме, если подобны Q и Q', Р и Р', то подобны

также и пары (Р, Q) и (Р', Q') и потому отношения P:Q и P':Q' одинаковы.

Постулат де Левека можно обобщенно сформулировать таким образом: если

мы имеем две подобные фигуры S и S' и с помощью одинаковых постро-

ений получаем из них (отрезки, площади, объемы) Р и Р\ а затем одина-

ковыми построениями

—

О и О', то:

P:Q = P':Q'.

§ 7. Общее определение изогенности.

Основное свойство, присущее не только евклидову пространству, но и про-

странству Лобачевского и Римана, может быть выражено в следующих сло-

вах:

"Пространство здесь таково же, как там, т.е. не существует в про-

странстве какой-либо абсолютной точки, с удалением от которой свойства

пространства подвергаются изменению".

Если теорема Пифагора верна здесь, на этом столе, на котором я

пишу, то она остается справедливой и в другой комнате, и в другом доме, и

в Берлине и, наконец, на Марсе. Это свойство будем называть изогеннос-

тыо

пространства. Можно утверждать, что существуют такие изогенные

пространства, в которых сумма углов треугольника не равна двум прямым,

184

но в шогенных пространствах эта сумма зависит не от положения треу-

гольника, а только от его формы и размера, она - функция длины сторон,

но вовсе не координат определяющих положение вершин. Среди неизоген-

ных пространств следует выделить изотропные пространства, каковым,

конечно, является евклидово.

§ 8. Ж Кертран об изогеиности пространства

Изогенность ггоостранства впервые выдвигается Л. Бертраном

Его „охотник", путем опыта вскрывающий одну за другой основ-

ные геометрические истины, отмечает прежде всего наиболее характер-

ное,

так сказать бросающееся в глаза, свойство нашего пространства: его

изогенность, тождественность его свойств в различных частях: ,Насть про-

странства, говорит Бертран, которое заняло бы тело в одном месте, не от-

личается от того, которое оно заняло бы в другом, к чему мы еще приба-

вим,

что пространство около всякого тела то же, что пространство около

того же тела, помещенного в другом месте".

В высокой степени интересно, как Бертран устанавливает понятие

о плоскости и прямой.

Изогенность пространства - это первое, что дается наблюдением.

Второе, это возможность деления пространства на две изогенные относи-

тельно границы части. „Пространство можно разделить на две части та-

кие, что нельзя будет ничего сказать об одной, что равным образом нельзя

сказать о другой, и более того, - таких, что их общая граница будет иметь с

каждой из них те же отношения в целом и частях".

Такая граница и определяется Бертраном как плоскость. Точно

таким же образом прямая определяется, как граница, разделяющая плос-

кость на изогенные части.

Следует, однако, заметить, что аксиома об изогенности простран-

ства и определение плоскости и прямой (или аксиомы о плоскости и пря-

мой),

как изогенных границ, не представляют у Бертрана рабочих аксиом.

В теоремах они забываются. Бертран много ближе

Евклиду, чем это мож-

но было бы ожидать. Между тем эти аксиомы он мог бы широко использо-

вать.

Отчего окружность делится диаметром пополам? Потому, что обе

полуокрулсности совершенно одинаково получаются с помощью диамет-

ров.

В обоих случаях центр, из которого описывается дуга, берется в одной

и той же точке на диаметре, радиус один и тот же и границы те же на

диаметре, но все это вполне определяет окружность.

Отчего равноудаленные от перпендикуляра наклонные равны? По-

тому, что для получения их в изогенных частях, на которые делит плос-

кость прямая, перпендикулярная данной, производятся одни и те же опера-

ции,

вполне определяющие эти наклонные

; восстанавливается перпен-

J85

дикуляр из одной и той же точки на прямую, откладываются на них одина-

ковые отрезки DB и DA, и соединяются концы их с той же точкой пря-

мой

Но если взять изотропное, но не изогенное пространство, то ука-

заннное свойство будет наверняка иметь место только для случая прохож-

дения перпендикуляра CD через центр изотропности О. Но если этот пер-

пендикуляр CD не пройдет через О, то при СА=СВ, DA вообще окажется

не равным DB. Если длина отрезка убывает при вращении его около не-

подвюкного конца с удалением другого от О, то DB<DA.

Отчего биссектриса двух прямых - геометрическое место точек,

равноудаленных от этих прямых? Потому, что обе прямые одинаково рас-

положены относительно биссектрисы и построения для получения перпен-

дикуляров, измеряющих расстояние, одинаковы в изогенных частях плос-

кости.

В случае неизогенного пространства, но только изотропного, тео-

рема верна, если прямые пересекаются в точке О - центре изотропности.

Из общей аксиомы об изогешюсти вытекает возможность постро-

ения симметричных фигур (относительно плоскости в пространстве и пря-

мой на плоскости), но это положение уже, чем приведенная аксиома.

§ 9. Гомогенность пространства.

Другое общее основное свойство евклидова пространства - его гомоген-

ность

. Оно остается неизменным и при изменении масштаба. Если все

геометрические объекты уменьшить или увеличить в одной и той же про-

порции, то свойства их остаются те же.

Валлис

доказывал постулат о параллельных, устанавливая ак-

сиому о возможности построения треугольника, подобного данному (или

точнее, имеющего углы, равные углам данного). Но аксиома о возмояснос-

ти построения подобных фигур - это уже аксиома о гомогенности. Это

свойство вскользь отмечается Лапласом

, который говорит: „Восприятие

пространства заключает в себе особенное свойство, которое само по себе

очевидно и без которого нельзя строго обосновать свойство параллельных

линий. Представление об ограниченном протяжении, например о круге, не

содержит в себе ничего, что зависело бы от его абсолютной величины. Но

если мы мысленно уменьшим его радиус, то мы непреодолимо должны

будем уменьшить в том же отношении его окруясность и стороны вписан-

ных фигур. Эта пропорциональность представляется мне постулатом бо-

лее естественным, нежели евклидов"

. Вполне определенно и ясно гомо-

генность пространства выдвигается бельгийским философом Дельбефом

Для него,

как

для крайнего сенсуалиста, математическое пространство пред-

ставляет близкое к истинному пространство, данное опытом с некоторой

небольшой погрешностью. Для него истинное пространство совпадает с

186

эмпирическим, а математическое коренным образом отличается от эмпи-

рического.

В то время, как эмпирическое пространство не изогенно - ибо

нельзя сказать, что мир небесных тел таков же, как мир инфузорий - мате-

матическое пространство и изогенно, и гомогенно (т.е. фигуры его сохра-

няют свои свойства при всяком уменьшении масштаба). Математическое

пространство по Дельбефу-это схема эмпирического пространства, в кото-

ром последнее является упрощенным и, благодаря этому упрощению, -

способным подвергнуться математической обработке. Интересно сравнить

определение Л. Бертрана прямой линии, с определением Дельбефа, в об-

щем приближающееся к евклидову

', "Прямая линия - это линия одно-

родная (гомогенная), т.е. такая, части которой, безразлично как взятые,

подобны между собой или различаются только по длине". На это можно

возразить, что то же свойство однородности присуще и кругу, но если вник-

нуть в выражение: "различаются только по длине" (или, что то же, только

по величине), и принять в соображение, что Дельбеф выдвигает три эле-

мента, по которым части линии различаются - форму, величину и направ-

ление, то возражение это отпадает, ибо у прямой формы и направление в

различных точках одно и то же, части прямой различаются поэтому толь-

ко величиной.

Основной операцией при разрешении Дельбефом постулатов (т.е.

вывод постулатов евклидовой геометрии из свойств изогенности и гомо-

генности пространства) является увеличение или уменьшение фигуры при

сохранении ее формы, что мы будем называть преобразованием подобия.

Доказательство Дельбефа того, что прямая определяется двумя точками из

гомогенности пространства, можно представить в следующей форме:

В силу гомогенности прямой, всякий отрезок получается через

подобное преобразование отрезка АВ так, что форма всякого отрезка опре-

деляется формой АВ и направление-направлением АВ. Совокупность все-

возможных отрезков прямой, иначе говоря, сама прямая, определится, та-

ким образом, отрезком.

Но такого рода преобразование достигается движением А или В

по одному направлению, так что преобразование подобия сводится к впол-

не определенному движению точек А и В (раздвнжению или сближению

концов, по выражению самого Дельбефа) и поэтому задание А и В вполне

определяет бесконечную совокупность отрезков, т.е. всю прямую. Опреде-

ляя параллельные, как прямые одного направления, Дельбеф легко выво-

дит равенство соответственных углов при пересечении двух параллельных

третьей. Но ему приходится доказывать эквивалентность этого определе-

ния обычному евклидову. А именно, что:

1) две параллельные (в смысле Дельбефа) прямые не могут пере-

сечься, как далеко мы их ни продолжили бы;

187

две прямые не параллельные (в смысле Дельбефа), т.е. имею-

щие различные направления, встречаются.

С первой частью Дельбеф легко справляется, замечая, что в про-

тивном случае эти прямые образовали бы различные направления. Вторая

лее часть устанавливается с помощью преобразования

подобия. О

Пусть OR, PQ - различные направления, че-

рез точку р проводим pq того же иапрааления, что и

заставляет возрастать фигуру Opq, Тогда, вследствие

сохранения Opq формы, Ор будет возрастать, pq - со-

хранять направление. В результате pq обратится в PQ,

причем точка пересечения pq и Ор, сохраняясь при пре-

образовании, останется и тогда pq обратится в PQ, т.

е. PQ пересечет OR в некоторой точке R (черт. 1). Черт 1

§10. Пространства пеизогенно-гомогешше и

негомогепно-изогепн ыс.

В противоположность евклидову пространству, пространства Лобачевско-

го и Римана не гомогенны (изогеннс—негомогенные), сумма углов в треу-

гольнике зависит не только от формы треугольника, но и от его размеров.

Чем меньше треугольник, тем сумма эта ближе к 2d.

Но может ли быть пространство гомогенным, но не изогенным?

Таким пространством является зрительное пространство, в котором рас-

стояние между точками определяется углом зрения. В движении от глаза

расстояние между концами неизменяющегося отрезка будет убывать, при

движении к глазу будет возрастать. Но такое пространство не будет зави-

сеть от абсолютной длины (параметра), как пространство Лобачевского, и

уменьшение и увеличение геометрической фигуры не будет влиять на его

свойства, если только ко всякой фигуре будет присоединяться центр изот-

ропности (в настоящем случае глаз), так что ABC всегда будет рассматри-

ваться как часть • ABCD.

Пространство париосвязно

, если оно характеризуется взаимоот-

ношением двух точек (аксиомой расстояния Рассела). В изогенном про-

странстве есть такие передвижения этих точек, при которых это взаимоот-

ношение остается неизменным.

Пространство арифмепшзировапо, если всякое такое отношение

выражается числом. Это число получается операцией над расстоянием

и каким-то другим расстоянием AB=d. В пространстве гомогенном и изо-

генном нет абсолютного d; А и В берутся произвольно. В пространстве

изотропном, но гомогенном, абсолютной меры тоже нет

. В пространстве

неизогенном, в указанном выше смысле, парно связности быть не может,

взаимоотношение всегда рассматривается, как отношение трех точек и цен-

тра пространства О. Здесь следует отметить, что изотропность можно по-

нимать еще в ином смысле, чем в § 7. Расстояние обращается в 4-членное

отношение (М, М

OS). (О и S); при такого рода изотропности (относитель-

но прямой) иет гомогенности и за абсолютную меру можно принять OS.

11.

Теория параллельности Лейбница.

Против евклидова определения параллельности как прямых, не пересека-

ющихся при своем продолжении, выступал еще в XII векеРамус

. Он под-

черкивал полное несоответствие этого определения общему понятию па-

раллельности каких угодно линий, которые, оставаясь параллельными,

могут вместе с тем и пересекаться

Он определяет параллельные (и при этом не только прямые, но и

какие угодно линии), как равноотстоящие. При этом, расстояние между

двумя линиями им мыслится по прямой перпендикулярной (мы скажем

теперь: по нормали к двум линиям). При таком рамическом определении

параллельных нам иет необходимости вводить 11 евклидову аксиому.

Все свойства параллельных выводятся просто из этого определе-

ния.

Но определение это именно предполагает эквивалентную аксиому о

том,

что геометрическое место точек, равностоящих от прямой, представ-

ляет прямую. Как известно, в геометрии Лобачевского это геометрическое

место, кривая - гиперцикл. Лейбницианское

определение, конечно, пред-

полагает такую скрытую аксиому. д В Q М

"Параллельные,

—

говорит

Лей-

бниц,

- это те, которые везде нахо-

дятся взаимно в том же отношении'".

„ParaIclIae possuiil definiri

rectae qualinvicem ubicunque habent P T

eodemmodo". lepr.

Лейбницианское определение предполагает, что не только опера-

ции восстановления перпендикуляров в различных точках прямой и откла-

дывание равных отрезков дают параллельную прямую, но и что вообще

одинаковые построения, производимые над прямой в различных точках,

дают также параллельную упрямую.

Так, например, если мы в одном месте отложим отрезок АВ и в

другом месте такой лее отрезок QM и построим па них равносторонние

треугольники, то вес вершины этих треугольников окажутся на параллель-

нон прямой (черт. 2).

Вместо этого построения можно взять и другое. Можно строить

равные параллелограммы ABDE, LMNP и брать точки пересечения их ди-

агоналей Т и Q.

То,

что существует такое геометрическое место, такое, что каждое

из построений, возможное в одном месте, возможно и в другом, - это

189

выводится из изогенности пространства, из того, что пространство здесь

таково же, как там. Но из изогенности пространства, как это кажется Лей-

бницу, вовсе не вытекает то, что это геометрическое место - прямая.

По Лейбницу, из того, что геометрическое место находится в том

же отношении

прямой, вытекает ее од-

нородность, но только ие в смысле го-

могенности, а в смысле изогенности -

одинаковые построения в различных

местах должны давать те лее результа-

ты.

Но подобные построения могут да-

вать различные результаты.

Если на концах отрезка AD построить перпендикуляры AB=DC, то

в силу изогенности пространства, следует ожидать, что углы В и С будут

равны. Но равенство углов В и А,

D и С отсюда не вытекает, оно вытекает из гомогенности простран-

ства.

Дальше Лейбницу следовало бы так рассуждать:

Если вместо AD взять A'D' и на нем построить четырехугольник

A'D'B'C с прямыми углами при основании и с равными боковыми сторо-

нами, то должны получить угол В' равный В.

Уменьшая A'D', мы должны бу-

дем признать, что и в том случае, когда

A'D'

обратить в точку а, В'С пойдет по

AD,

углы, смежные углам В', С, окажут-

ся равными углам, смежными с А' н D'.

Как и при доказательстве Валлиса, соб-

ственно одной гомогенности простран-

ства оказывается недостаточно. Необхо- Черт. 4.

димо еще применить общий принцип пределов: то, что остается неизмен-

ным при изменении переменных X, Y, Z..., остается верным и в пределе.

Это Лейбницем высказано в форме очень общего положения, имевшего у

него более метафизический, чем математический характер

. По суще-

ству оно совпадает с первой половиной принципа непрерывности Понслэ:

если какое-нибудь положение доказано при ограничении так, что неко-

торые величины а, Ь, с... не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность и

не принимают мнимых значений, то оно остается верно и тогда, когда

эти ограничения, сняты.

Но Лейбниц сам к этому принципу не прибегает. Он говорит, что в

виду того, что смежные углы при А равны, нет основания чтобы они при В

оказались неравными. Это довольно темно и требует разъяснения. Лейб-

ницу представляется почему-то очевидным, что

У Р

—может зависеть только от — и если

= а, то обязательно у = 5.

Ь а

А' О

190

§ 12 Валлис.

Принцип изогенности пространства, конечно, шире, чем принцип § 4, а

гомогенности - чем принцип § 5.

Аксиома § 4 вовсе не постулирует существование где угодно объек-

тов,

равных данным, а только указывает условие равенства уже данных,

она вовсе не постулирует возможность производства какой-либо операции

где угодно. Аксиома § 5 вовсе не постулирует возможности уменьшения в

какой угодно мере с сохранением формы.

Но молено сказать, что возмолшость передвижения и возмоленость

уменьшения объекта - пололсения тоже более узкие, чем принципы изоген-

ности и гомогенности тел, когда это передвижение указывается в опреде-

ленном направлении или уменьшение в определенных размерах.

Теорема параллельных Валлиса постулирует возможность постро-

ения на каком угодно отрезке треугольника, подобного данному, но он мо-

жет требовать и меньшего, - только возможности построения такого на

продолжении стороны, и при этом только прямоугольного.

Чтобы доказать, что наклонная BQ пере-

секается с перпендикуляром АР, Валлис строит с

тем же углом прямоугольный треугольник

АЬС

так,

чтобы он пересек перпендикуляр. Затем на АВ

строит прямоугольный треугольник, существование

которого доказывает пересекаемость BQ и АР в

силу того, что BQ пойдет вдоль ЬС.

При этом и здесь неизбежно применяется

общий принцип теории пределов. Возможность

пересечения ЬС с АР доказывается тем, что если бы это не было возможно

ни при каком Ab, сколь мало оно ни было, оно было бы невозможно и при

АЬ=0,

т.е. когда ВС проходит через А.