Некипелов А. Становление и функционирование экономических институтов

Подождите немного. Документ загружается.

40 Глава 1. Экономика «робинзонады»

порядка относительно х,...,х„, Хи L через

а^,...,а^^

(верхний индекс

М будет означать, что речь идет о максимизирующих целевую

функцию значениях переменных):

х^ {au...,aj

х,,=х^{а,,...,а^) (1.12)

L = L^(^,,...,^„)

Х = Х^(й,,...,й„)

Назовем функции х^ = х^ (Др ..., <2„),..., х„ = х^ {а^,...,

Й„

L = L^4«i,...,

а^^)

функциями востребованности потребитель-

ских благ и свободного времени со стороны Робинзона. Очевид-

но,

что они представляют собой прообраз функций потребитель-

ского спроса в рыночной экономике.

Если мы теперь подставим решения (1.12) в функцию полез-

ности (1.4), то получим так называемую косвенную целевую

функцию и^ = и{а^,...,

<2„).

Эта функция дает максимальные

степени удовлетворения потребностей Робинзона при различ-

ных величинах параметров а^ (трудоемкости). По «лемме об

огибающей» (Envelope theorem)^ в точке максимума скорость

изменения косвенной целевой функции при наличии ограниче-

ний равняется скорости изменения функции Лагранжа (1.6)^:

^jjM Э3(х^ х^ L^ Х^)

= ^ '' "'—'^-^ '- . Дифференцируя функцию Ла-

Э<з,

да^

гранжа в точке максимума по

а^^

получаем:

^ Автор леммы — известный американский экономист Пол Самуэльсон.

Косвенная функция полезности будет иметь в модели без условий связей сле-

дующий вид: и*(а) = и(х*^(а),...,х*^^ (а), а) , где а

—

параметр модели (в нашем

случае

—

трудоемкость). Если теперь продифференцировать эту функцию по а,

то получим: U^ =

•

-^ +...+

U^^-

—-

U^. Но поскольку в условиях макси-

Ъа да

мума и^,...,и^^ = О, постольку (7д = U^. Иными словами, моментная скорость из-

менения косвенной функции полезности и целевой функции совпадают (см.:

Samuelson, Р. Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press,

Cambridge, MA, 1947).

2 См.: Silberberg, E. Op. cit. P. 198-200.

Максимизация полезности Робинзоном 41

-X^.:cf',

(1ЛЗ)

Отсюда видно, что изменение трудоемкости производства

одного

из потребительских благ ведет к изменению в противо-

положную сторону максимальной величины полезности, кото-

рую

может

получить Робинзон (так как и ^^ и х^ положитель-

ны).

При этом абсолютная величина предельного изменения мак-

симального уровня полезности равняется произведению предель-

ной полезности времени на количество соответствующего блага в

точке максимума. Выражение (1.13) получило в экономической

литературе название тождества Руа в честь французского эко-

номиста Рене Руа, который вывел его в 1931 г.^

Повышение максимального уровня полезности в результате

снизившейся трудоемкости производства одного из благ может

произойти разными способами. Более чем вероятно, что Робин-

зон перераспределит часть своего времени в пользу производства

соответствующего блага, поскольку удельная предельная полез-

ность последнего стала выше, чем у остальных благ, включая

свободное время. В данном случае определяющим окажется дей-

ствие эффекта субституции (замещения) и функция востре-

бованности Робинзоном соответствующего блага в зависимости

от трудоемкости окажется убывающей. Но рост производитель-

ности труда даже по одному направлению делает человека в це-

лом богаче, поскольку он теперь способен извлечь ббльшую по-

лезность в течение единичного отрезка времени. Этот эффект

—

назовем его эффектом производительности — действует в той

или иной степени на все блага, причем его действие может быть

разнонаправленным в зависимости от системы преференций Ро-

бинзона. Поэтому теоретически возможен даже случай, когда

снижение трудоемкости производства блага приводит в конеч-

ном счете к снижению его потребления: здесь мы имеем дело с

аналогом ^товара Гиффена^, у которого негативно направлен-

ный эффект производительности (реального дохода) перевеши-

вает эффект субституции. Возникает вопрос: можем ли мы четко

разграничить эти эффекты?

Прежде чем ответить на этот вопрос, предстоит уточнить по-

нятие эффекта производительности. Определить индекс роста об-

^ См.: Roy, R. De PUtilite. Contribution к la Theorie de Choix. Dunod, 1931.

42 Глава 1. Экономика «робинзонады»

щей производительности труда мы можем только в том случае,

если будем взвешивать частные индексы производительности про-

изводства отдельных благ по той или иной структуре выпуска.

Например, если производительность блага х, занимающего в ра-

бочем времени 20%, выросла на 10%, а производительность дру-

гих благ осталась неизменной, то общее повышение производи-

тельности труда можно определить следующим образом:

1,1 -0,2 + 1. 0,8 = 1,02, или 2% прироста.

Обратим внимание на следующее обстоятельство: эффект

был бы тот же самый, если бы при прежней производительно-

сти в производстве обоих благ продолжительность рабочего

времени возросла на 2% и этот прирост целиком был бы исполь-

зован на выпуск блага х. Это наводит на мысль, что изменение

времени, в целом расходуемого на различные виды деятельно-

сти,

может использоваться как характеристика эффекта произ-

водительности.

Здесь, правда, возникает серьезная проблема: продолжитель-

ность единичного отрезка времени (суток, месяца, года) изменить

невозможно; в ее рамках можно лишь варьировать распределение

времени, расходуемое на разные виды деятельности, включая до-

суг. Поэтому для характеристики динамики общей производи-

тельности введем особый показатель — эластичное время

ГГ^).Такого времени в сутках может быть и больше, и меньше

24 часов! Превышение обычного суточного времени временем эла-

стичным будет характеризовать соответственно возросшую об-

щую производительность; в том же случае, когда эластичного вре-

мени в сутках окажется меньше, чем 24 часа, можно говорить о

пропорциональном уменьшении общей производительности. На-

конец, признаем «производительность свободного времени» неиз-

менной и равной единице: в конце концов, час отдыха не может

быть ни больше, ни меньше часа отдыха!

Теперь все готово для того, чтобы применить к анализу ин-

тересующей нас проблемы подход, разработанный Е. Слуцким

применительно к модели потребительского выбора в условиях

рыночной экономики^ Для простоты будем рассматривать мо-

дель с двумя композитными благами — «произведенное благо»

и свободное время. В результате условия (1.5) примут следую-

щий вид:

^ См.: Slutsky, Е. Sulla Teoria del Bilancio del Consumatore // Giornale degli

Economisti. 1915. № 51. P.

19-23.

Максимизация полезности Робинзоном 43

max и

и(х, L)

при ограничении (условии связи)

д = Г-ах-Ь = ^. (1.14)

Функция Лагранжа (1.6) и необходимые условия максимума

(1.7) тоже несколько упростятся:

3 =

и{х, Ь)

Х(Г

-a-x-L).

(1.15)

T'-ax-L.

Решив уравнения (1.16), получим функции востребованности

произведенного блага х = х^(а, Т^) и свободного времени L =

= L^(a, Т^)у а также функцию предельной полезности свободного

и рабочего времени Х^(а, ТО. Подставим эти решения обратно в

систему уравнений (1.16), обеспечивающую соблюдение необхо-

димых условий максимизации полезности\'

3f =U,(X'',L'')-X^ а^О;

3f =UJ^(X^,L'')-X^ ^0; (1.17)

S^ =r -ах-Ь"" ^0.

Теперь продифференцируем эти уравнения по а:

т т

^L, дк - Д/ ^

да ' "'"' да " да

и,^.^

и^,-^-^^0: (1.18)

'•'' да '-'• да да

-a.'-^-x--'J^.O.

да

^ Знак = говорит о том, что левая и правая части тождественно равны друг

другу.

Глава 1. Экономика «робинзонады»

В матричной форме эти уравнения будут иметь следующий вид:

ULL

-1

а -1 О

да

да ,

(1.19)

Решаем эту систему с использованием правила Крамера (D —

определитель матрицы (1.19), D^^ — алгебраические дополнения

элемента, находящегося в г-й строке и /-м столбце соответствую-

щего определителя):

дх^

да

dL^

да

1я^

х^

^..

UL.

-а

U.L

ULL

-1

^м

х^

-а

-1

-а

-1

-\М ^1 , ^Л/ Al

D D

iii

x^.i^. (1.20)

i^ + ;,A^.i^. (1.21)

Определитель D положителен в соответствии с достаточными

условиями максимизации функции полезности. Алгебраическое

дополнение

D^^

из уравнения (1.20) отрицательно, а Dj2 из урав-

нения (1.21) положительно (и равно а). Следовательно, первые

члены в правой части этих уравнений тоже имеют соответствую-

щие знаки. Знак алгебраических дополнений D^^ и D32 из этих

уравнений не может быть определен. Таким образом, нельзя в

точности выяснить направление влияния изменяющейся трудоем-

кости производства на выпуск произведенного блага и величину

свободного времени. Однако мы можем постараться понять эко-

номическую природу как выражений

знак ко-

Максимизация полезности Робинзоном

м ^^

-, знак

торых нам известен, так и выражении х —— и х

которых мы не знаем.

Для этого сформулируем двойственную задачу по отношению

к рассматриваемой нами модели:

mmT"=ax+L (1.22)

при ограничении (условии связи)

и(х, L) = и".

Действуя по уже известному алгоритму, получаем функцию

Лагранжа (1.23), систему уравнений (1.24), обеспечивающих не-

обходимые условия минимизации функции, и решения этой сис-

темы (1.25):

X(U°- U(x, D).

3t = l-X-t/i=0.

x^^ia,U°);

(1.23)

(1.24)

(1.25)

Подставляем эти решения в уравнения первого порядка и

дифференцируем последние по а. Получаем следующее уравне-

ние в матричной форме:

-X^-Uu

-и.

-х'^-и,.

-и,

-UL

'дх^

да

Ъа

дХУ_

. Эй.

'1^

(1.26)

Решая эту систему уравнений с использованием правила Кра-

мера,

получаем:

Глава 1. Экономика «робинзонады»

дх^"

да

Э!^'

да

-1 -Х"-и,,

0 -X''-и,,

0 -{/^

-^"•и,.

-1

-^^''t/i.v 0

-(/,

-f/.

-t/i

-t/.

-t/i

_ я,

_ ^12

(1.27)

(1.28)

Согласно условиям второго порядка для задач на минимум с

условиями связи определитель Н должен быть меньше нуля. Не-

сложно убедиться, что в уравнении (1.27) алгебраическое допол-

нение Я|^ < 0; соответственно < 0. Иными словами, при со-

да

хранении того же уровня полезности изменение трудоемкости

вызывает противоположное по направлению изменение количе-

ства потребляемого блага х (произведенное благо). Анализ ал-

гебраического дополнения

Н^2

свидетельствует, что оно имеет по-

ложительное значение (поскольку сумма номера строк и номера

столбца

—

нечетное число); следовательно, и выражение > 0.

да

Иными словами, при сохранении того

же

уровня полезности из-

менение трудоемкости вызывает такое

же

по направлению из-

менение количества свободного времени (этот вывод верен толь-

ко для двумерной модели).

Отсюда напрашивается вывод, что показатели и яв-

да да

ляются адекватными характеристиками величины эффекта суб-

ституции. Более того, выясняется, что они в точности равны пер-

вым членам правых частей уравнений (1.20) и (1.21). Это связано

с тем\ что Н =

—Х-

D. Соответственно представляется оправ-

данным утверждение, что вторые члены упомянутых уравне-

ний выражают эффект производительности.

Вернемся к модели на максимум с эластичным временем

(1.14).

Продифференцировав уравнения первого порядка (1.16)

^ См.: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 323.

Максимизация полезности Робинзоном 47

Эх* —D

ПО F, МЫ бы обнаружили, что —- равно выражению — из

уравнения (1.20), и, таким образом, последнее можно переписать

в следующем виде:

дх _ дх м ^^ (129)

да да ' дГ '

Итак, применительно к нашей модели мы получили знамени-

тое уравнение Е. Слуцкого, разграничивающее эффекты субсти-

туции и производительности (дохода). «Эластичное время» оказа-

лось полным аналогом денежного дохода в классической модели

потребительского выбора.

И все же нельзя утверждать, что у задачи расчленения на два

составных элемента — эффект субституции и эффект производи-

тельности — общего изменения востребованности благ под влия-

нием изменения удельной трудоемкости производства одного из

них имеется в полном смысле корректное решение. И здесь надо

иметь в виду два обстоятельства.

Первое связано со способом компенсации Робинзону изменения

в удельной трудоемкости производства блага х. Способ, который

был использован нами выше

—

через обеспечение такого изменения

востребованности данного блага, при котором общий уровень удов-

летворения потребностей Робинзона остается неизменным (х = х^

(й,

1г)) — предложен Дж. Р. Хиксом в 1937 г.^ Он, однако, не яв-

ляется единственным. Основоположник метода — Е. Слуцкий —

предлагал компенсировать потребителя иным образом — через та-

кое изменение дохода (в нашем случае — «эластичного времени»),

которое позволяло бы ему потреблять прежний набор благ

(рис.

1.4). Правда, как было показано Дж. Мосаком^, при неболь-

ших изменениях цен (в нашем случае — удельных трудоемкостей)

разница между этими двумя подходами несущественна.

Поэтому важнее второе обстоятельство: пропорция, в которой

общий эффект распадается между упомянутыми элементами, пол-

ностью зависит от того, какой уровень полезности (а следователь-

но,

и соответствующую ему оптимальную структуру распределе-

^ См. Hicks, J.R. Value and Capital, 2nd ed. L. : Oxford University Press,

1946.

^ Mosak, J. On the Interpretation of the Fundamental Equation of Value

Theory // O. Lange et al. (eds.). Studies in Mathematical Economics and Econo-

metrics. Chicago: University of Chicago Press, 1942.

Глава 1. Экономика «робинзонады»

Благо L А

Благо

Рис.

1.4. Различие компенсаций по Слуцкому и Хиксу

До снижения трудоемкости блага х максимально достижимые наборы благ xwy оп-

ределялись прямой LX\, после снижения трудоемкости блага х — прямой LX2. Со-

ответственно оптимальные наборы благ до и после уменьшения трудоемкости про-

изводства блага X представлены точками В^ и ^2. По Слуцкому, после снижения

трудоемкости производства блага х прежнему уровню благосостояния будет соот-

ветствовать точка В^, по Хиксу

—

точка Б//. Слуцкий исходил из того, что сохране-

ние прежнего уровня обеспечивается в том случае, если при новом уровне трудоем-

кости производства блага х потребитель сможет приобретать тот же набор благ; по-

этому он параллельно сдвигал новое ограничение LX2 вниз до тех пор, пока оно,

заняв положение Lf-^X^s, не пересекало точку прежнего оптимума

—

В^. Хикс пола-

гал,

что сохранение уровня благосостояния связано с нахождением потребителя на

той же кривой безразличия, и потому сдвигал новое ограничение LX2 дальше вниз,

чем Слуцкий,

—

до положения Lf-jjXf^u.

ния времени между видами деятельности и досугом) мы возьмем

за базовый (рис. 1.5).

Эти трудности не являются случайными и тем более чисто тех-

ническими. Их причина — в органическом единстве и нераздели-

мости действующих сил (эффектов) субституции и производитель-

ности. Конечно, люди любят выделять вклад различных факторов

в конечный результат, и, кстати говоря, такой образ действий име-

ет большой практический смысл. Но он оказывается полезен толь-

ко потому, что позволяет, пусть и с известной долей погрешности,

решать проблемы, подступиться к которым на основании «теорети-

чески чистых» подходов просто невозможно. Однако, строго гово-

ря,

изучение такого рода «аппроксимирующего поведения» лежит

в сфере интересов «реальной», а не «чистой» науки.

Модель 2. Природные ресурсы неограниченны,

фактор времени принимается в расчет

Проблема учета фактора времени возникает для Робинзона в свя-

зи с возможностью своеобразного «размена» между текущей и бу-

Максимизация полезности Робинзоном 49

Благо L ,

^Н

и,

\^ ^'

^::г=

^Sa^»-^ ^

В,

Благо X

Рис.

1.5. Неоднозначность эффектов субституции и производительности

стандартном случае эффект субституции ассоциируется с переходом из точки В\

в точку Bfj, а эффект производительности

—

из точки В// в точку

В2-

Но не менее

логично считать эффектом производительности сдвиг из Б| в В^, имея в виду что

последняя является точкой касания

и прямой, полученной в результате парал-

лельного сдвига вправо вверх исходного ограничения LX//. Соответственно эф-

фект субституции в этом случае определяется переходом из точки В^ в точку В2-

Очевидно, что оценки одноименных эффектов могут серьезно различаться при

этих двух подходах.

дущей общей полезностью, получаемой им от «жизни». Возмож-

ность же этого «размена», в свою очередь, связана с тем, что часть

времени текущего периода он может посвятить созданию специ-

альных приспособлений — средств труда, которые повысят его

производительность (уменьшат какие-то из а^ в следующем пе-

риоде\ Затраты времени на производство средств труда, отдача

от которых будет получена в будущем периоде, мы назовем тру-

довыми инвестициями.

Итак, условием инвестирования Робинзоном части своего вре-

мени в увеличение полезности в следующий период является его

отказ от части сегодняшнего потребления. В дальнейшем мы уви-

дим, как воздержание от потребления обособится от инвестицион-

ной деятельности и приобретет форму сбережений. Пока же две

эти категории слиты воедино и различие между ними имеет едва

уловимый характер.

Для упрощения модели мы будем далее исходить из того, что

созданные в первом периоде средства труда полностью потребляют-

ся во втором. Здесь важно обратить внимание на то, что второй пе-

^ Идея повышенной отдачи «окольных методов производства» принадлежит

известному австрийскому экономисту конца XIX

—

начала XX в. Е. Бем-Баверку

(см.:

Bohm-Bawerk, Е. Capital and Interest. Translated by William Smart as «The

Positive Theory of Capital». Freeport, N.Y. : Books for Libraries Press, 1971.)