Непейвода Н.Н. Прикладная логика

Подождите немного. Документ загружается.

4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ...

4.2.12. При некоторых отрицательных x f (x) принимает рациональные

значения.

4.2.13. Не все решения уравнения

sin 5x = 0 иррациональны.

4.2.14. Все решения уравнения

= −1 иррациональны.

4.2.15. Некоторые решения уравнения

= −1 комплексны.

4.2.16. Все решения уравнения

+ ax + b = 0 действительны и лежат

в ]0, 1[.

4.2.17. Для делимости целого числа на 8 необходима делимость на 4.

4.2.18. Так как 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6, то 60 делится на любое нату-

ральное число.

4.2.19. Так как 60 делится на 2 и на 3, то 60 делится на некоторые числа,

отличные от 60.

4.2.20. Для любого натурального числа существует большее,делящееся

на

4.2.21. Для любого натурального числа существует большее,делящееся

на 3.

4.2.22. Есть минимальное действительное число, при котором

x + sin x

равно 0.

4.2.23. Нет минимального целого числа, делящегося на 6.

4.2.24. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они одно-

временно пересекают третью либо не пересекают ее.

4.2.25. Волки и люди боятся друг друга.

4.2.26. Некоторые прямые параллельны.

4.2.27. Некоторые парни и девушки влюблены друг в друга.

4.2.28. Все прямые параллельны или пересекаются.

4.2.29. У уравнения

sin x = 0 есть сколько угодно большие решения.

4.2.30.

101 — простое число.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

4.2.31. Есть сколько угодно большие простые числа.

4.2.32. У уравнения x sin

= 0 есть сколько угодно малые по абсолют-

ной величине решения.

4.2.33. Если бы все боялись друг друга, то ни один человек не был бы

счастлив.

4.2.34. Все лягушки, увидев аиста, прыгают и квакают.

4.2.35. Собаки всегда умнее кошек.

4.2.36. Если три прямые попарно пересекаются, то у ниx есть общая

точка.

4.2.37. Числа x, y, z различны тогда и только тогда, когда (x − y) ×

× (y − z)(x − z) 6= 0.

4.2.38. f(x) отрицательна во всех точках множества M и нигде больше.

4.2.39. Все честные ученые уважают друг друга.

4.2.40. Некоторые злые люди обижают добрых.

4.2.41. Минимальное значение f(x) больше максимального значения

g(x).

4.2.42. Если Ромео и Джульетта не любят друг друга, то никто никого

не любит взаимно.

4.2.43. x делится на y.

4.2.44. n — простое число.

4.2.45. a — максимальный элемент множества A.

4.2.46. a — верхняя грань множества A.

4.2.47. a — нижняя грань значений функции f на A.

4.2.48. n есть сумма четырех квадратов натуральных чисел.

4.2.49. n и m — простые числа-близнецы.

4.2.50. Прямые a, b, c пересекаются в одной точке.

4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ...

4.2.51. a — точка, в которой функция f принимает минимальное значе-

ние на M.

4.2.52. 1 — минимальное значение

на

4.2.53. Функция

f ограничена на M сверху и снизу.

4.2.54. Существует наименьшее действительное решение уравнения

sin x + x = 0.

4.2.55. У уравнения

sin x + ax + b = 0

при данных a, b есть ровно один корень.

4.2.56. У уравнения

sin x + ax + b = 0

при данных a, b есть по крайней мере два корня.

4.2.57. Доисторические ящеры при встречах уступали дорогу друг другу.

4.2.58. Все философы занимались тем, что критиковали других фило-

софов.

4.2.59. Все волки, кроме бешеных, боятся людей.

4.2.60. Функция

f может быть равна нулю только в точке a.

Перевести с формального языка на человеческий.

4.2.61. ∀x, y (x ∈ Q & y ∈ Q ⇒ x

∈ Q ∨ y

∈ Q).

4.2.62. ∃x, y



x ∈ Z & y ∈ Z & x

+ y

= a



4.2.63. ∀x, l (x ∈ P & l ∈ L ⇒ xkl ∨ x × l).

4.2.64. ∀x (x ∈ Q & lg x ∈ Q ⇒ x > 1 & x/10 ∈ N).

4.2.65. ∀α, β, γ(α ∈ L & β ∈ L & γ ∈ L & α × β & α × γ ⇒ β × γ).

4.2.66. ∃p (p ∈ P & α ∈ P & β ∈ P & γ ∈ P) (α, β, γ — прямые).

4.2.67. ∀x, y(x > 1 & y > 1 & x = y

⇒ x > y).

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

4.2.68. ∃x, y



x ∈ R & y ∈ R & x = y

& x < y



4.2.69. ∃x, y (x ∈ P & y ∈ P &

xky &

x × y).

4.2.70. ∀x, y(x ∈ P & y ∈ P ⇒ xky ∨ x × y).

4.2.71. ∃n (n ∈ N & x ∙ n = y).

4.2.72. ∃n (n ∈ N & x ∙ n + a = y) & a 6 y & a ∈ N.

4.2.73. ∃n (n ∈ N & x ∙ n + a = y).

4.2.74. ∀x(x ∈ M ⇒ f(x) > f(a)) & a ∈ M.

4.2.75. ∀x(x ∈ M ⇒ f(x) > a).

4.2.76. ∀x(x ∈ M ⇒ f(x) > a) & ∃x (x ∈ M & f (x) = a).

4.2.77. ∃x (x ∈ R & sin x + x = 0 & ∀y(y ∈ R & y < x ⇒ sin y + y 6= 0)).

4.2.78. ∃x (sin x + ax + b = 0 & ∀y (y 6= x ⇒sin y + ay + b 6= 0)).

4.2.79. ∃x ∃y (sin x + ax + b = 0 & sin y + ay + b = 0 & x 6= y).

4.2.80. ∀y



y > 0 ⇒ ∃x



|x| < y & x 6= 0 & sin

= 0



4.2.81. ∀x(x ∈ R ⇒ ∃y (y ∈ R & sin y = 0 & y > x)).

4.2.82. ∀x, y, z(x 6= y & y 6= z & x 6= z ⇒ (x −y) ∙(y −z) ∙(x −z) 6= 0).

4.2.83. ∀x (x ∈ M ⇒ f(x) < 0) & ∀x(x /∈ M ⇒ f (x) ≥ 0).

4.2.84. ∃x (x ∈ N & 2 ∙ x = 60) & ∃x (x ∈ N & 3 ∙ x = 60) &

∃x (x ∈ N & 4 ∙ x = 60) & ∃x (x ∈ N & 5 ∙ x = 60) &

∃x (x ∈ N & 6 ∙ x = 60)

⇒ ∀x (x ∈ N ⇒ ∃y (y ∈ N & x ∙ y = 60)).

4.2.85. ∃x (x ∈ N & 2 ∙ x = 60) & ∃x (x ∈ N & 3 ∙ x = 60) ⇒

∃x (x ∈ N & x 6= 60 & ∃y (y ∈ N & x ∙ y = 60)).

4.2.86. ∀a, b(a ∈ L & b ∈ L ⇒ (akb ⇔ ∀c(c ∈ L ⇒ (c × a ⇔ c × b)))).

4.2.87.

∀a



a ∈ Q ⇒ ∃b



b ∈ Q & a =

√



4.2.88.

∀a, b, c(a ∈ L & b ∈ L & c ∈ L & a × b & b × c ⇒ a × c).

4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ...

4.2.89. ∃x, y (

Ст

(x) &

(y) &

(x, y) &

(y, x)).

Ст

(a) —a является студентом,

(a) —a является преподавателем,

(a, b) — a уважает b.

4.2.90.

∀x(

Ст

(x) ⇒

(x) ∨

Сп

(x)).

Ст

(a) — a является студентом,

(a) — a является отличником,

Сп

(a) — a является спортсменом.

4.2.91.

∃x (

(x) &

Ст

(x) &

От

(x)) & ∃x (

(x) &

Ст

(x) &

От

(x)).

— быть студентом,

Ст

— быть старательным,

От

— быть отлич-

ником.

4.2.92.

∀x(

(x) ∨

(x) ⇒

(x)).

— быть пионером,

— быть комсомольцем,

— работать на

субботнике.

4.2.93.

∃x (

(x) & ∀y(

(y) ⇒

(y, x))).

— быть тигром,

— быть человеком,

(a, b) — a храбрее b.

4.2.94.

∀x(

(x) ⇒ ∀y(

(y) ⇒

(x, y))).

— быть тигром,

— быть обезьяной,

(a, b) — a боится b.

4.2.95.

∀x, y(

(x) &

(y) ⇒

(x, y) &

(y, x)).

— быть тигром,

— быть человеком,

(a, b) — a боится b.

4.2.96.

∀x, y(

(x) &

(y) &

(x, y) ⇒

(x, y) ∨

(y, x)).

— быть акулой,

— встречаться,

(a, b) — a пожирает b.

4.2.97.

∀x, y(

(x) &

(y) &

(x, y) ⇒

(x, y) &

(y, x)).

— быть змеей,

— встречаться,

(a, b) — a съедает b.

4.2.98.

∀x, y(

(x) ⇒ ∃y (

(y) &

(x, y) &

(y, x)).

— быть ханом,

(a, b) — a враждует с b.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

§ 4.3. «ЕСЛИ НА КЛЕТКЕ СЛОНА УВИДИШЬ НАДПИСЬ

“БУЙВОЛ”, НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ»

(КОЗЬМА ПРУТКОВ)

Этот раздел озаглавлен цитатой из классика, поскольку такая неверо-

ятная вещь сплошь и рядом происходит при переводе с естественного

языка на формальный.

Возьмем предложение

Все убывающие и возрастающие функции моно-

тонны.

(4.16)

Пытаясь записать его на формальном языке, например, в виде

∀f(

(f) &

(f) ⇒

(f)),

где

— предикат, означающий, что функция убывающая,

— что она

возрастающая,

— что она монотонна, мы получаем чушь. А именно

получается, что мы утверждаем монотонность лишь тех функций, кото-

рые одновременно и убывающие, и возрастающие, чего просто быть не

может. Эта ошибка еще более коварна потому, что получившаяся фор-

мула формально истинна, и опровергнуть на примере неверную форму-

лировку не удается.

Верная формулировка такова:

∀f(∀x, y(x > y ⇒ f (x) > f (y)) ∨ ∀x, y(x > y ⇒ f(x) 6 f(y))

⇒

(f)). (4.17)

Итак, в естественном языке мы говорили “и”, а переводить должны

“или”!

В естественном языке, как уже говорилось, практически все слова

многозначны. Смысл слова зачастую невозможно понять, вырвав его из

контекста, рассмотрев его вне предложения, в которое оно входит. По-

этому даже при переводе с одного естественного языка на другой нельзя

пытаться сначала найти в словаре значения всех слов,а потом построить

предложение, нужно прежде всего понять смысл переводимого предло-

жения, его структуру, а затем уже подобрать подходящую структуру на

другом языке и заполнить неизвестные слова значениями, найденными

в словаре.

В частности, выражение “

”, особенно при перечислении одно-

родных членов, часто означает совокупность, куда включаются и объ-

екты из A и объекты из B (объединение множеств A и B). Естественно,

4.3. НЕ ВЕРЬ...

что на строгом формальном языке условие принадлежности к этой со-

вокупности должно выражаться через A ∪ B.

В случае (4.17) и аналогичных у нас, правда, есть отговорка, что мы

можем записать иx в виде

∀x(

(x) ⇒

(x)) & ∀x(

(x) ⇒

(x)), (4.18)

где

∨ уже не входит и две части соединены союзом &. Но заметим, что

в (4.18) мы существеннейшим образом перестроили структуру перево-

димого предложения: практически мы заменили простое предложение

(4.17) на сложносочиненное “все убывающие функции монотонны, и

все возрастающие тоже”. А вот ‘и’, стоящее между составными частя-

ми сложносочиненного предложения, практически всегда переводится

на формальный язык &.

Заметим, что в случае, например, предложения «Все делегаты кон-

ференции — профсоюзные и коммунистические активисты» предыду-

щая отговорка уже не подходит. Единственно возможный перевод имеет

форму:

∀x(

Дк

(x) ⇒

Па

(x) ∨

Ка

(x)).

Рассмотрим теперь предложение: «Все доисторические ящеры по-

жирали друг друга». Тут так и напрашивается перевод

∀x, y(

(x) &

(y) ⇒

(x, y) &

(y, x)),

после анализа которого возникает кошмарная картина восставшиx од-

новременно из могил ящеров, сгрудившихся вместе и медленно поедав-

шиx друг друга, начиная с хвостов (чтобы каждый успел откусить по

кусочку ото всех, пока они пожирают его самого)... Конечно же, пра-

вильный перевод

∀x (

(x) ⇒ ∃y (

(y) & (

(x, y) ∨

(y, x)))) . (4.19)

Итак, говорилось ‘все’, а переводить надо ‘существует’, говорилось

“друг друга”, что как будто подразумевает ‘

&’, а писать нужно ‘∨’.

Заметим, что сделанная нами переформулировка основывается на

анализе содержания предложения про ящеров, а не его формы. Пред-

ложения той же формы могут переводиться и по-другому. Например,

предложение

В нашей группе все уважают друг друга

(4.20)

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

переводится

∀x, y(

(x) &

(y) ⇒

(x, y) &

(y, x)) (4.21)

или, эквивалентно, т. к.

x и y — произвольные и могут поменяться ме-

стами и сами, без дополнительного упоминания:

∀x, y(

(x) &

(y) ⇒

(x, y)), (4.22)

а предложение

Все племена кочевников воевали друг с другом

(4.23)

переводится

∀x (

ПК

(x) ⇒ ∃y (

ПК

(y) &

(x, y) &

(y, x))) , (4.24)

где

∀уже заменено на ∃, т. к., во-первых, не все они физически могли до-

браться друг до друга, чтобы повоевать, и во-вторых, они вполне могли

в союзе с одним из соседей воевать против другого. Здесь уже опускать

(y, x) не стоит.

В упражнениях есть еще несколько примеров высказываний такой

же синтаксической формы, где правильный перевод нельзя написать без

учета контекста.

Заметим, что в обыденной жизни слово “все” очень часто означает

“некоторые”, “есть такие”. Например, совершив неблаговидный посту-

пок и пытаясь оправдаться: «Все так делают», мы явно имеем в виду не

всех, а некоторых (преуспевающих). И как последний штрих: русский

язык настолько велик и могуч, что в отдельных случаях высказывания,

имеющие вид ‘

’ и ‘

’, означают одно и то же. Например,

В получку Иванов получил шиш, а его жена — ни

шиша.

(4.25)

После выхода в свет первого издания студенты предложили автору до-

полнение, которое сформулировали в виде следующей побасенки:

Профессор заявил студентам на лекции:

— В естественном языке бывает так, что два или даже

одно отрицание означают утверждение, но уж два утвержде-

ния никогда не означают отрицание.

Студенты промямлили:

— Да, конечно...

4.3. НЕ ВЕРЬ...

Подытожим:

Во многих предложениях корректный перевод на формаль-

ный язык невозможен без учета контекста,особенно без уче-

та тех свойств входящих в предложение отношений, кото-

рые содержательно очевидны.

При учете контекста довольно часто необходимо заменить

на другие связки слова ‘и’,‘если’,‘все’ (последнее особенно

в том случае, когда оно означает квантор сразу по несколь-

ким переменным).

Порою после учета контекста появляется возможность опу-

стить некоторые предикаты в формальном переводе, поско-

льку соответствующие их свойства все равно должны быть

явно сформулированы в корректной формализации, и луч-

ше сделать это в общем виде (в частности, такую роль часто

играет симметричность отношений).

Иногда замена модальности влияет и на выбор формального

перевода, поскольку более мягко сформулированное утвер-

ждение в контексте может пониматься по-другому, чем бо-

лее жесткое.

Упражнения к § 4.3

Переведите утверждения:

4.3.1. Весна, и вы говорите: «Все парни и девушки сейчас влюблены

друг в друга». Что это означает?

4.3.2. Когда Ясон кинул в середину войска, выросшего из зубов драко-

на, камень, все воины передрались и перебили друг друга.

Переведите это утверждение на формальный язык.

4.3.3. Ограниченная сверху и снизу на

[a, b] функция непрерывна на

нем.

4.3.4. Функция

f имеет разрыв 2-го рода в точке 0.

4.3.5. Функция, имеющая точку разрыва, не может быть непрерывной.

4.3.6. Монотонная на

[a, b] функция ограничена снизу на [a, b].

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

4.3.7. Если последовательность ограничена, то она имеет предельную

точку.

4.3.8. Чтобы установить рекорд, необходимо иметь способности, и при-

лежно тренироваться, и найти хорошего тренера.

4.3.9. Чтобы победить, нам необходимы и хорошие нападающие, и хо-

рошие защитники, и хорошие вратари.

4.3.10. Если вчера Петров прогулял два занятия, то сегодня только одно.

4.3.11. Все члены Политбюро, избранного на XIV съезде ВКП(б), нена-

видели друг друга.

4.3.12. Все философы критиковали друг друга.

4.3.13. Все рыцари сражались друг с другом на поединках.

4.3.14. Все начальники подсиживают друг друга.

4.3.15. Все мужчины — подонки, а мой муж — хороший человек.

4.3.16. Сдай экзамен на ‘отлично’, и поступишь в аспирантуру.

§ 4.4. РАВЕНСТВО.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ

Сплошь и рядом встречаются утверждения типа «Я люблю лишь тебя,

одну на целом свете», «Уравнение имеет единственное решение», «У

меня три настоящиx друга», «У задачи не менее четырех различных ре-

шений» и т. п.

Все утверждения подобного рода, где говорится не просто о суще-

ствовании предметов, а об иx количестве, требуют для перевода на фор-

мальный язык иcпользования предиката равенства

Равенство играет в языке математики особую роль. Если в некото-

рой математической теории два объекта объявляются равными, то иx

свойства в данной теории неразличимы. Другими словами, если мы, как

говорят в математике, отождествляем какие-либо объекты, мы одновре-

менно запрещаем себе использовать в нашиx строгиx математическиx

рассужденияx какие-либо свойства, различающие эти объекты.