Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
10-38
а
10-44
10-5
14
3
Флукmуационно-индуцированные
силы
Т=З00К
т=
З0К
т=зк
105
VJ
[Гц]
,
"'
I
т=
300
К
'1
т=
30К
т=зк
1015 10-6 10-4 10-2
1О()
VJ
[Гц]
423
6 1
"
~\
Рис
149.
Зависимость
нормированной
спектральной
плотности
коэффициента
релаксации
от
угловой
частоты
VJ
при
температурах
Т
= 3
К,
Т
= 30
К,
Т
= 300
К,
10
=
а;!
/
z~,
где
(J
(радиус
частицы)
и
Zo
(расстояние
между
зондом
и
образцом)
заданы
в
нанометрах
а
-
Подложка
и
частица
изготовлены
из
металла
(Ag);
б
-
положка
и
частица
изготовлены
из
диэлектрика
(Si0
2
)
Заимствовано
из
[17]
играют
незначительную
роль.
Большое
значение
имеет
и
то
обстоятельство,
что
тепловые
флуктуации
значительны
в
низкочастотном
диапазоне
от
О
до
100
Гц.
Таблица
14.1
Нормированный
коэффициент
релаксации
10//0
сферической
частицы,
рас-
считанный
при
различных
температурах
Подложка
Частица
10//0
(кг/с)
3К
30
К
300
К
Серебро
Серебро
3,28
х
10-30
3,28
Х
10-28
3,28
Х
1O-
2fi
Стекло
Стекло
4,65
х
10-8 4,65
Х
10-7
4,65
Х
10-6
На
первый
взгляд,
разница
на
19
порядков
величины
в
случае
для
стекла
и
серебра
весьма
удивительна.
Однако
ее
можно
качественно
объяснить
следую
щим
образом.
Флуктуации
тока
в
частице
и
подложке
порождают
флуктуирующее
электромагнитное
поле.
Это
поле
поляризует
частицу
и
наводит
электрический
дипольный
момент
вместе
с
соответствующим
диполем-изображением
под
поверх
ностью
подложки.
Движение
частицы
приводит
к
движению
диполя-изображения.
Связанные
с
движением
диполя-изображения
джоулевы
потери
растут по
мере
роста
сопротивления
подложки.
Следовательно,
коэффициент
релаксации
также
растет.
По
мере
роста
сопротивления
нужно
совершать
большую
работу
для
перемещения
диполя
под
поверхностью,
и,
следовательно,
коэффициент
релаксации
увеличивается.
В
пределе
идеального
диэлектрика
индуцированный
диполь
нельзя
сместить,
и
зату
хание
становится
бесконечно
большим.
С
одной
стороны,
удивительно
обнаружить
такой
результат
в
идеальном
(без
потерь)
диэлектрике,
поскольку
в
нем
отсутствует
диссипация.
С
другой
стороны,
с
точки
зрения
принципа
причинности
(соотношения
Крамерса-Кронига),
а
также
флуктуационно-диссипационной
теоремы
(флуктуации
влекут
за
собой
диссипацию)
диэлектрик
без
потерь
не
может
существовать.
Тем
не
менее
в
пределе
при
Т
-+
О
постоянная
релаксации
становится
равной
нулю
даже
для
идеального
диэлектрика.
Отметим,
что
поскольку
1'0
гораздо
слабее
в
металлах,
в
локальных
измерениях
трения
металлы
оказываются
прозрачными,
и
тем
самым
выявляются
скрытые
диэлектрические
структуры.
Это
свойство
можно
использовать
для визуализации
подповерхностных
структур
в
металле
и
для
выявления
дефектов
424
Гл
14
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
14.4.
ВЫВОДЫ
В
этой
главе
мы
вывели
флуктуационно-диссипационную
теорему
и
обсудили
соответствующие
явления.
Полученная
теорема
является
фундаментальным
резуль
татом
и
чрезвычайно
важна
во
множестве
областей
науки
и
технологий.
Например,
теорема
объясняет
броуновское
движение
в
жидкостях
и
белый
шум
в
электриче
ских
резисторах.
В
приложении
к
электромагнитным
полям
и
источникам
теорема
объясняет
появление
спектра
излучения
черного
тела,
перенос
тепла
излучением
и
предсказывает
спектр
электромагнитного
излучения
вблизи
поверхностей
веще
ства.
Мы
применили
теорему
для вывода
дисперсионной
силы,
действующей
между
отдельными
объектами,
и
обнаружили,
что
для
малых
тел
силу
можно
предста
вить
потенциалом
Казимира-Полдера.
В
случае
тел,
находящихся
в
относительном
движении,
тепловые
флуктуации
порождают
диссипативные
силы
взаимодействия
(трение)
даже
в
отсутствие
механического
контакта
между
телами.
Поразительно,
что
флуктуационно-диссипационная
теорема
имеет
отношение
к
такому
множеству
очевидно
различных
физических
явлений.
Однако
следует
иметь
в
виду,
что
теоре
ма
становится
неудовлетворительной
для
систем,
находящихся
вдали
от
состояния
равновесия.
В
этом
случае
отклик
системы
зависит
от
конкретной
динамики
ее
составных
частей
Задачи
14.1.
Выведите
равенство
(14.10)
с
помощью
разложения
функции
распределения
в
ряд
(14.9).
14.2
Равенство
(14.47)
задает
спектральную
плотность
энергии
W'"
как
функцию
диэлектрической
проницаемости
e(r,w).
Выведите
аналогичное
равенство
для
системы,
состоящей
из
N
частиц
с
координатами
г
n
и
поляризуемостью
an(w).
Указание:
примените
флуктуационно-диссипационную
теорему
(14.19).
143
Определите
спектральную
плотность
энергии
И'""
излучаемой
в
результате
флуктуаций
источников
малой
частицы
(диаметр
которой
«:
л)
с
поляризуе
мостью
о.
Покажите,
что
плотности
электрической
и
магнитной
энергий
равны
и
что
вклад
ближнего
поля
при
этом
отсутствует.
Указание:
воспользуйтесь
функциями
Грина,
заданными
равенствами
(8.55)
и
(8.57).
144.
Поляризуемость
алюминиевого
кластера
можно
аппроксимировать
квазистати
ческой
формулой
)
_
e(W)
- 1
a(w
-3е
о
V
ое
(w)+2'
(14.84)
где
Vo
-
объем
кластера,
а
е
-
диэлектрическая
проницаемость
алюминия.
Последняя
описывается
моделью
Друде:
2
e(w) = 1 - 2 W
p
,
W + Z"(W
(14.85)
где
wl'
и
"(
-
плазменная
частота
и
коэффициент
релаксации
соответственно.
Хорошее
соответствие
имеет
место
при
nW
p
= 15,565
эВ
и
n'У
= 0,608
эВ.
Рассчитайте
средний
квадрат
флуктуаций
дипольного
момента
в
частотном
диапазоне
w
...
w +
dw
и
постройте
зависимость
этой
величины
от
частоты
для
температур
kT
«:
nW
p
•
Определите
полную
излученную
мощность.
14.5.
Выведите
выражение
для
силы
(14.60),
начав
с
(14.54)
и
следуя
схеме,
описан
ной
в
разд.
14.3.
14.4
Список
литературы
425
14.6.
Поляризуемость
атома
гелия
можно
аппроксимировать
лоренцевским
контуром
следующим
образом:
a(w) =
(e
2
/me)fo
2 2 '
""'о
- w -
1W
l'o
где
резонансная
частота
Wo
соответствует
всем
переходам
18
---->
1
РО
Коэф
фициент
упругости
осциллятора
соответствует
статической
ПОJlяризуемости
10
= a(0)w5(rn
e
/e
2
),
а
'Уо
-
эффективная
ширина
линии.
1.
Выведите
a(ir,)
и
покажите,
что
эта
величина
вещественная.
Используйте
приближение
'Уо
«
wo·
2.
Потенциал
Ван-дер-Ваальса
между
двумя
атомами
гелия
можно
представить
равенством
U
у
=
-с
6
/
R6.
Рассчитайте
коэффициент
С
6
и
выразите
его
в
тер
минах
а(О) и
1iы
o
.
Итоговое
выражение
известно
как
эмпирическая
формула
Лондона.
х
Указание:
J 1 dx =
~
(А
2
+
х
2
)2
2А
3
'
-х
3.
Определите
расстояние
Ro,
для
которого
U
у
равен
потенциалу
Казимира
(Uс).
Считайте
..\
=
2rrC/WO
~
58
нм.
4.
Статическая
поляризуемость
задана
равенством
а(О)
=
2,280·10-41
см
2
•
в-
1
И
Wo
дается
..\0
~
58
нм.
Постройте
зависимость
потенциала
Казимира-Полдера
от
расстояния
R.
Рассмотрите
графики
функций
U
у
и
U
с
и
обсудите
справед
ливость
этих
приближений.
Рассчитайте
значение
U
ср
на
расстоянии
П{).
Список
литературы
1.
Callen
Н.
В,
Welton
Т.
А
Irreversibility and generalized noise / / Phys Rev
1951
V 83
Р
34-40.
2 Chandler
D.
Introduction to Modern Statistical Mechanics - New
York
Oxford University
Press. - 1987.
3
Mandel L., Wolf
Е
Optical Coherence and Quantum Optics - New
York
Cambridge
University
Press - 1995
[Русск.
пер
..
Мандель
л.,
Вольф
Э
Оптическая
когерентность
и
квантовая
оптика
-
М
Наука,
Физматлит,
2000. - 896
с
]
4. Agarwal
а.
S Quantum
electгodynamics
in the presence of
dielectгics
and conductors
1 Electromagnetic-field response functions and
bIack-Ьоdу
fluctuations
in
finite geometries / /
Phys Rev
А
1975 V
11
Р
230-242
5 Henkel
С,
10ulain
К.
Mulet
1.-Р,
and
Greffet
1.-1
Radiation forces
оп
small
paгticles
in thermal fields / / J. Opt.
А
Риге
Appl. Opt. 2002. V 4
Р.
S
109-S
114.
6.
Rytov
S.M
. Kravtsov
Уи
А
. and Tatarskii V
1.
Principles
of
Statistical Radiophysics.
Vol.
3 Elements of Random Fields -
Вегliп:
Springer-Verlag. - 1987
[Русск пер
Кравцов
Ю.
А
.
Рытов
С.
М
.
Татарский
В.
И
Введение
в
статистическую
радиофизику
Случайные
поля.
-
М·
Наука,
1978
Г.,
2
т.
- 463
с]
7.
Shchegrov
А
V
..
10ulain
К.
Carminati R
..
and Greffet 1
-1
Near-field spectral effects due
to electromagnetic surface excitations / /
Phys Rev Lett. 2000 V 85
Р
1548-1551
8
Dung
Н
Т.
Кnбll
L ,
and
Welsch D.-G Three-dimensional quantization
of
the electromag-
пеНс
field in dispersive and absorbing inhomogeneous dielectrics / / Phys Rev
А
1998
V 57
Р
3931-3942.
9
Stefano
О
D , Savasta S ,
and
Girlanda R Three-dimensional electromagnetic
field
quan-
tization in absorbing and dispersive bounded dielectrics / / Phys
Rev
А
2000 V
61
Р
023803
10
Eckhardt W. First and second fluctuation-dissipation theorem
in
electromagnetic fluctuation
theory / /
Opt
Сотт
1982.
У.41
Р.305-308
426
Гл
14
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
11
Mulet 1
Р,
loulain
К.,
Carminati
R,
and Grettet 1.1. Nanoscale radiative heat transfer
between
а
small particle and
а
plane surface / /
Аррl
Phys. Lett.
2001
V
78.
Р.2931-2933
12
Carminati R and Grettet 1.-1. Near-field effects
in
spatial coherence of thermal sources
//
Phys Rev Lett
1999.
V.82
Р.
1660-1663.
13
Cratg D
Р
and Thirunamachandran
Т
Molecular Quantum Electrodynamics, Mineola. -
NY
Ооуег
Publications, Inc. -
1998.
14
Casimir
Н
В
G
Оп
the attraction between two perfectly conducting plates / /
Ргос
Коп
Ned
Akad Wetenschap
1948
V 51.
Р.793-795.
15
Воуег
Т
Н
Derivation
of
the blackbody radiation spectrum without quantum assumptions
//
Phys Rev
1969
V
182
Р
1374-1383
16
Mkrtchian
V,
Parsegian V.A., Podgornik R., and Saslow W
М
Universal thermal radia-
tion drag
оп
neutral objects / / Phys. Rev Lett 2003 V
91
Р
220801.
17
Zurita-Sanchez 1
R,
Grettet 1 -1., and Novotny L Near-field friction due to fluctuating
fields / /
Phys Rev
А
2004. V.69.
Р
02290.
18
Volokttin
А
1 and Persson
В
N 1. Dissipative
уап
der Waals interaction between
а
small
particle and
а
metal surface
//
Phys. Rev
В
2002. V
65
Р
115419
19
Tomassone
М
S and Widom
А.
Electronic friction forces
оп
molecules moving
пеаг
metals / / Phys Rev
В
1997.
V
56.
Р
4938-4943.
Глава
15
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
В
НАНООПТИКЕ
Основная
задача
нанооптики
состоит
в
установлении
распределения
электро
магнитного
поля
вблизи
наноразмерных
структур
и
в
описании
их
излучательных
свойств.
Глубокое
теоретическое
понимание
распределения
поля
обещает
новые,
оптимизированные
разработки
оптических
устройств
ближнего
поля,
в
частности
за
счет
использования
эффектов
усиления
поля
и
создания
подходящих
схем
регистра
ции.
Расчеты
распределения
поля
также
необходимы
для
задач
реконструкции
изоб
ражений.
Поле
вблизи
наноразмерных
структур
зачастую
можно
реконструировать
по
экспериментально
доступным
данным
дальнего
поля.
Однако
чаще
всего
обратная
задача
рассеяния
неразрешима
единственным
образом
и
для
расчета
распределения
поля
необходимо
обладать
предварительными
сведениями
об
источнике
и
рассеиваю
щих
объектах,
а
также
необходимо
ограничить
множество
возможных
решений.
Аналитические
решения
уравнений
Максвелла
весьма
способствуют
пониманию
физических
явлений,
но
такие
решения
имеют
место
только
в
случае
простых
задач.
Остальные
задачи
приходится
сильно
упрощать.
Численные
решения
позволяют
рассматривать
сложные
задачи
путем
дискретизации
пространства
и
времени,
но
вычислительные
требования
(задаваемые
обычно
частотой
процессора
и
оперативной
памятью)
ограничивают
размерность
задачи,
а
точность
полученных
таким
образом
результатов
зачастую
неизвестна.
Преимущество
таких
чисто
численных
методов,
как
метод
конечных
разностей
во
временной
области
или
метод
конечных
элементов,
заключается
в
простоте
их
применения.
Мы
не
будем
рассматривать
эти
методы,
поскольку
они
хорошо
описаны
в
литературе.
Вместо
этого
рассмотрим
два
обычно
используемых
в
нанооптике
nолуаналuтuческuх
подхода:
метод
множественных
мультиполей
и
метод
объемных
интегральных
уравнений.
Последний
находит
при
менение
в
таких
приложениях,
как
задачи
дискретной
дипольной
аппроксимации
и
диполь-дипольного
приближения.
Метод
множественных
мультиполей
и
метод
объемного
интеграла
являются
полуаналитическими,
поскольку
они
позволяют
чис
ленным
образом
получить
аналитическое
разложение
электромагнитного
поля.
15.1.
Метод
множественных
мулътиполей
Метод
множественных
мультиполей
(МММ)
представляет
собой
компромисс
между
аналитическим
и
численным
методами
решения
уравнений
и
является
хорошо
разработанной
техникой
решения
уравнений
Максвелла
в
изотропной
линейной
кусочно-однородной
среде
произвольной
формы
[1].
Указанный
метод
удобен
для
анализа
протяженных
структур,
поскольку
в
этом
случае
необходимо
дискретизиро
вать
только
границы
между
средами,
а
не
сами
среды,
как
это
делается
в
рамках
метода
конечных
элементов
и
конечных
разностей.
Техника
МММ
предлагает
ана
литическое
выражение
для
электромагнитного
поля,
а
также
обеспечивает
надежную
проверку
результатов,
поскольку
погрешности
можно
рассчитать
в
явном
виде
В
про
шлом
это
метод
применялся
для
решения
задач
в
таких
областях,
как
разработка
антенн,
электромагнитная
совместимость,
биоэлектромагнетизм,
теория
волноводов
и,
разумеется,
оптика.
428
Гл.
15
Теоретические
методы
в
нанооnтике
В
рамках
подхода
МММ
электромагнитное
поле
F
Е
{Е,
Н}
в
отдельных
обла
стях
среды
D,
представляет
собой
разложение
в
ряд
по
аналитическим
решениям
уравнений
Максвелла:
J
Базисные
функции
F
j
(парциальные
поля)
-
любые
известные
решения
векторно
го
уравнения
Гельмгольца,
такие
как
плоские
волны,
мультипольное
разложение,
волновые
моды
и
др.
Разложения
поля
в
разных
подобластях,
составляющих
среду,
в
которой
это
поле
распространяется,
численно
должны
совпадать
на
границах
раз-
дела
между
этими
областями,
т.
е.
коэффициенты
разложения
в
ряд
A)t)
следуют
из
численного
соответствия
граничных
условий.
Следовательно,
уравнения
Максвелла
полностью
удовлетворяются внутри
каждой
подобласти,
но
аппроксимируются
на
границах.
Существует
множество
методов,
аналогичных
технике
МММ,
которые
основаны
на
воображаемых
источниках.
В
линейной
изотропной
однородной
среде
электрическое
поле
Е
и
магнитное
поле
Н
должны
удовлетворять
однородному
векторному
уравнению
Гельмгольца
(15.1 )
Поля
предполагаются
зависящими
от
времени
по
гармоническому
закону,
но
мно
житель
('хр(
-1,VJt)
мы
не
будем
явно
указывать.
Значение
k
дается
дисперсионным
соотношением
k
2
=
(VJ/c)2J1-Е:,
где
VJ,
с
и
Е:
-
это
угловая
частота,
скорость
света
в
вакууме
и
диэлектрическая
проницаемость
соответственно.
Общее
решение
(15.1)
можно
сконструировать
из
скалярной
функции
f,
которая
удовлетворяет
скалярному
уравнению
Гельмгольца
( 15.2)
Решение
уравнения
(15.1)
обычно
дается
двумя
независимыми
взаимно
перпендику
лярными
векторными
полями
[2]:
M(r)
=
V'
х
cf(r),
1
N(r)
=
"kV'
х
M(r),
(15.3)
(15.4)
которые
называются
векторными
гармониками.
Вообще,
с
-
произвольный
посто
янный
вектор,
однако
можно
показать,
что с
можно
также
представить
радиусом
вектором
R
в
сферической
системе
координат.
Чтобы
доказать.
что
М
и
N
дей
ствительно
являются
решениями
векторного
уравнения
Гельмгольца,
их
можно
под
ставить
в
(15.1).
Затем
с
помощью
векторных
тождеств
можно
показать,
что
(15.1)
сводится
к
(15.2).
Таким
образом, задача
поиска
решений
полевых
уравнений
сво
дится
к
более
простой
задаче
поиска
решений
скалярного
уравнения
Гельмгольца.
Векторные
гармоники
М
и
N
представляют
собой
поперечные
или
соленоидальные
решения:
V'.
M(r)
=
о,
V'.
N(r)
=
о.
(15.5)
Поля.
удовлетворяющие
векторному
волновому
уравнению,
не
необязательно
облада
ют
нулевой
расходимостью,
поэтому
можно
определить
дополнительное
продольное
решение
L(r) =
V'
f(r),
(15.6)
которое
удовлетворяет
равенству
V'
х
L(r) =
о.
(15.7)
15
1
Метод
множественных
мультunолей
429
В
электродинамике
дивергенция
электрического
и
магнитного
полей
в
безграничной
линейной
изотропной
однородной
среде
в
отсутствие
источников
всегда
равна
нулю.
В
этом
случае
векторная
гармоника
L
должна
быть
исключена
из
разложения
[4]
и
электромагнитное
поле
можно
полностью
разложить
по
гармоникам
М
и
N.
В
рамках
техники
МММ
бесконечное
пространство
разделяется
на
подобла
сти
D
i
.
Границы
раздела
между
отдельными
подобластями
обычно
соответствуют
реальным
границам
вещества
с
конкретными
материальными
свойствами,
но
тем
же
образом
можно
определить
и
воображаемые
границы.
В
каждой
области
D;
скалярное
поле
f
можно
аппроксимировать рядом
(15.8)
j
где
базисные
функции
f
J
охватывают
все
известные
аналитические
решения
уравне
ния
Гельмгольца
(15.2).
Чтобы
не
перегружать
обозначения,
в
дальнейшем
индекс
(-,)
опустим.
Особую
значимость
дЛЯ
МММ
имеют
решения
в
сферической
системе
координат.
В
сферической
системе
координат
r = (R,
{),
<р)
решение
уравнения
(152)
можно
переписать
в
хорошо
знакомой
форме
(15.9)
где
уn
т
-
сферическая
гармоника,
а Ь
n
Е
Ьn,
Уn,
h~I),
h~)J
-
сферические
функции
Бесселя,
из
которых
только
две
являются
линейно
независимыми.
Решения
радиаль
ного
уравнения,
представленные
функциями
Бесселя
первого
рода
и,,),
называются
нормальным
разложением,
тогда
как
решения,
представленные
тремя
остальными
радиальными
функциями,
называются
мульmиnолями.
Аналогичные
соотношения
имеют
место
для
цилиндрических
решений,
соответствующих
двумерным
задачам.
Мультиполи,
представленные
функцией
Ханкеля
первого
рода
(lt~,I))
(излучающие
мультиполи),
особенно
привлекательны,
поскольку
представляют
собой
расходящи
еся
волны,
удовлетворяющие
на
бесконечности
условию
излучения
30ммерфельда
В
силу
того
что эти
функции
имеют
особенность
в
начале
координат,
их
следует
при
менять для
описания
поля
вне
порождающей
это
поле
области.
Напротив,
нор
мальное
разложение
остается
ограниченным
в
конечной
области,
но
не
удовлетворяет
условию
излучения,
поэтому
его
следует
использовать
внутри
ограниченных
областей.
Чтобы
получить
выражения
для
векторных
гармоник
М
и
N,
предпочтительно
положить
вектор
с
в
(15.3)
равным
радиусу-вектору
R
в
сферической
системе
коор
динат
[3].
Первоначально
требовалось,
чтобы
вектор
с
был
постоянным,
но
в
случае
с
= R
этого не
требуется.
Однако
в
сферической
системе
координат
фактически
можно
показать,
что
используя
радиус-вектор
можно
получить
два
независимых
решения
[3].
Выбирая
с
=
R,
получаем
решение
М,
тангенциальное
любой
сферической
по
верхности
R =
сопst:
M(r)
= (\7
х
R)f(r)
=
[Sin-
I
~aja<P]
f(r),
-aja{)
(15.10)
где
М
=
[MR,
Mt},
м",].
Оператор
(\7
х
R)
совпадает,
за
исключением
множителя
i'"
с
квантово-механическим
оператором
углового
момента.
Векторное
поле
N
можно
получить
из
(15.4)
и
(15.10).
Есть
много
способов
связать
векторные
гармоники
М
и
N
с
электрическим
и
магнитным
полями.
Поскольку
электромагнитное
поле
в
линейной
однородной
430
Гл.
15.
Теоретические
методы
в
нанооnтике
изотропной
среде
в
отсутствие
источников
полностью
определяется
двумя
скаляр
ными
полями
(потенциалами),
которые
удовлетворяют
уравнению
Гельмгольца
и
граничным
условиям
[5,
6],
можно
ввести
два
потенциала,
с
помощью
которых
можно
получить
все
остальные векторные
поля.
В
теории
рассеяния
Ми
эти
потенциалы
обычно
выбираются
в
соответствии
с
потенциалами
Дебая
[7].
Техника
МММ
следует
аналогичному,
но
в
чем-то
более
простому
приближению,
которое
было
предложено
Баукампом
и
Казимиром
[5]
а
также
используется
в
книге
Джексона
[8].
Два
потенциала
связаны
с
электрическим
и
магнитным
полями
согласно
равенствам
f
"(
)
АС
R
Ее
r
=n(n+1)
. ,
(15.11)
Г"
(г)
=
А
rn
R .
Н
1II
,
n(n+
1)
(15.12)
и
оба
в
явном
виде
даются
равенством
(15.9).
Множитель
п(n
+
1)
введен
для
удобства
дальнейшего
изложения;
амплитуды
А
е
и
АII1
необходимы
для
сохране
ния
безразмерности
потенциалов;
fe
И
1'''
определяют
два
независимых
решения,
[Е",
Н"]
и
[Е
111
,
Н'/].
с
помощью
уравнений
Максвелла
и
векторных
тождеств
можно
показать,
что
поле,
которое
определяется
потенциалом
fC,
соответствует
равенствам
Н'(г)
=
-iшЕоЕАС(\7
х
R)fC(r)
=
-iwЕоЕАСМ(г),
(15.13)
Е"(г)
=
___
1_\7
х
Н('(г)
=
kA"N(r).
(15.14)
1wEoE
Поскольку
радиальная
компонента
магнитного
поля
равна
нулю,
это
решение
на
зывается
nоnереЧНblМ
магнитным
(ТМ).
Аналогично,
потенциал
1'''
определяет
поперечное
электрическое
решение
(ТЕ)
E
III
(r)
=/шрорА
II1
(\7
х
R)fm(r)
=
ZwllopAТI1M(r),
(15.15)
H
III
(r) =
_1_\7
х
Е
II1
(г)
= kAIIIN(r). (15.16)
IwJ
1
0/1
Общее
решение
представляет
собой
сумму
решений
ТЕ-
и
ТМ-типов.
Полное
разло
жение
по
мультиполям
порядка
N,
т. е.
в
ряд,
в
котором
индексы
т
и
n
пробегают
значения
от
О
до
N
(ср.
(15.9)),
содержит
N(N
+
2)
пара
метров
как
дЛЯ
ТЕ-,
так
и
для
ТМ-случаев.
В
рамках
техники
МММ
эти
пара
метры
следует
определить
из
граничных
условий
Вблизи
источника
мультипольная
функция
зависит
от
расстояния
как
p-(n+I)
и
поэтому
влияет,
главным
образом,
на
непосредственное
окружение.
Этот
факт
под
сказывает
идею
использовать
несколько
источников
для
разложения
по
мультиполям.
Такой
подход,
основанный
на
множествеННblХ
мультиnолях,
обеспечивает
лучшую
сходимость
потенциала
на
границах,
значительно
отличающихся
от
сферических
поверхностей
Обычно
на
границе
подобласти
выстраивают
несколько
мультиполей,
по
которым
и
будет
разложено
поле
(см.
рис.
15.1).
Во
избежание
зависимости
друг
от
друга
источники
следует
разнести
на
достаточное
расстояние.
Наивысшая
степень
и
порядок
отдельного
мультиполя
ограничены
критерием
пространственной
выборки,
который
зависит
от
разбиения
границ
и
от
близости
мультиполя
К
границе
[1].
На
рис.
15.2
показано
моделирование
методом
множественных
мультиполей
уеди
ненного
рассеивателя
в
свободном
пространстве.
Внутреннее
поле
рассеивателя
пол
ностью
разложено
по
мультиполям,
хотя
для
описания
мультиполей
во
внутренней
области
можно
использовать
нормальное
разложение.
Чтобы
удовлетворить
условию
излучения
на
бесконечности,
для
внешних
полей
можно
использовать
только
мульти
поли
С Ь
"
=
II~,I)
Отметим,
что
для
бесконечных
разложений
при
т,
n
--->
00
поля
от-
15.1.
Метод
м-ножественных
м-ультunолей
431
D;
х
/
Разложение
по
мультиполям
в
домене
Dj
\
Разложение
по
мультиполям
вдоменеD,
х
Рис.
15
1
Принципиальная
схема
метода
множественных
мультиполей
Мультипольное
раз
ложение
в
подобласти
D
j
аппроксимирует
электромагнитное
поле
внутри
подобласти
D"
и
наоборот
По
обе
стороны
от
границы
aD
ij
,
вблизи
границы
раздела
поле
определяется
преимущественно
ближайшим
мультиполем
(обозначено
секторами
для
поля
в
области
D,)
дельных
мультиполей
являются
линейно
зависимыми.
Таким
образом,
использование
нескольких
источников
дает
возможность
значительно
сократить
вычислительные
издержки.
а
Рис.
15.2
Моделирование
одиночного
рассеивателя
методом
множественных
мультиполей
а
Мультиполи
для
внешней
области,
б
-
мультиполи
для
внутренней
области
Окружности
указывают
область
наибольшего
влияния
Границы
дискретизированы,
и
для
каждой
точки
сшивания
решений
указан
вектор
нормали
Неизвестные
пара
метры
aj~)
в
(15.8)
следует
определить
из
граничных
условий
для
электрического
и
магнитного
полей,
что
можно
сделать,
сшивая
разложения
в
смежных
доменах
D;
и
D
j
в
дискретных
точках
rk
на
границе
раздела
DD'1
согласно
равенствам
n(rk)
х
[Ei(rk) -
Ej(rk)]
=
О,
n(rk)
х
[Hi(rk) -
Hj(rk)]
=
О,
n(rk)·
[ci(rk)Et(rk) -
cj(rk)Ej(rk)]
=
О,
n(rk)
.
[1L~(rk)Hi(rk)
-
Щ(Гk)Нj(Гk)]
=
О,
(15.17)
(15
18)
(15.19)
(15.20)
где
n(rk)
-
вектор
нормали
к
границе
раздела
сред
8D
zз
в
точке
r~.
Если
условия
(15.17)
и
(15.18)
полностью
удовлетворены
всюду
на
границе
(аналитическое
реше
ние),
то
условия
(15.19)
и
(15.20)
удовлетворяются
автоматически.
Чтобы
ошибки
432
Гл
15.
Теоретические
.методы
в
нанооnтике
были
более
сбалансированными,
в
МММ
рассматриваются
все
граничные
условия.
Проблемы
с
числовыми
зависимостями
можно
уменьшить,
используя
переопределен
ную
систему
уравнений
(уравнений
больше,
чем
неизвестных),
которая
решается
в
среднеквадратичном
смысле,
т.
е.
путем
минимизации
квадратичных
ошибок
(воз
можно,
с
некоторыми
весами)
в
соответствующих
точках.
Эта
процедура
приводит
к
более
сглаженному
распределению
ошибок
вдоль
границ,
чем
обычное
сшивание
в
конечном
числе
точек.
Вдобавок
в
каждой
соответствующей
точке
можно
рассчи
тать
погрешность
и
определить
точность
результата.
Если
результат
недостаточно
точен,
следует
включить
в
разложение
(15.8)
дополнительные
базисные
функции
или
про
извести
замену
на
более
подходящие.
Выбор
оптимального
набора
базисных
функций
-
наиболее
сложная
часть
МММ,
поскольку
оптимум
для
каждой
кон
кретной
задачи
заранее
неизвестен.
Поэтому
полезно
иметь
предварительные
знания
о
системе,
которые
позволяют
определить
предпочтительные
базисные
функции.
На
пример,
цилиндрические
структуры
следует
раскладывать
по
цилиндрическим
вол
новодным
модам,
а
не
по
мультиполям.
Обычно
решение
этой
задачи
осуществляется
более
эффективно
с
использованием
итеративной
и
интерактивной
процедур.
Раз
работаны
основанные
на
простых
правилах
алгоритмы
размещения
мультипольных
источников
и
алгоритмы
определения
максимально
допустимых
порядков
и
степеней
разложения
функций.
Как
только
решена
система
уравнений
и
определены
искомые
коэффициенты,
можно
рассчитывать
электромагнитное
поле
в
любой
точке
пространства,
поскольку
решение
дано
в
аналитической
форме
(15.8).
Отметим,
что
уравнения
Максвелла
удовлетворяются
внутри
отдельных
подобластей
точно,
тогда
как
на
границах
-
лишь
приближенно.
Точность
аппроксимации
зависит
от
выбора
базисных
функций
и
от
алгоритма,
который
используется
для
поиска
неизвестных
коэффициентов.
Система
уравнений
приводит
к
плотной
матрице
1I!
х
N,
которая
обычно
разре
шается
с
помощью
процедуры
Гивенса
(Givens)
[9J.
Время
расчета
пропорционально
Л!
N
2
,
где
1I! -
число
уравнений,
а
N -
число
неизвестных.
Симметрия
задачи
позволяет
значительно
снизить
затраты
на
вычисления.
,
1
._В
_д
_д
Домены:
1
<:=1
2,4
<:=2,25
'_'
В
--~
3
<:
=
-34,5
+ 8,5i
5
<:=
-9
+
O,3i
4
Рис
153
МММ-модель
двумерного
оптического
микроскопа
ближнего
поля
апертурного
типа
Расположение
мулыипольных
источников
для
соответствующих
затемненных
областей
указано
крестиками
Структура
состоит
из
вакуумного
зазора
1,
усеченного
стеклянного
клина
2,
внедренного
в
алюминиевый
экран
3,
плоской
прозрачной
стеклянной
подложки
4,
на
которой
расположена
цилиндрическая
серебряная
частица
5.
Поля
в
области
5
представлено
нормальным
разложением
В
качестве
примера
приведем
рис.
15.3,
на
котором
показана
МММ-модель
двумерного
апертурного
оптического
микроскопа
ближнего
поля
в
области
зонд-