Орленок В.В. Основы геофизики

Подождите немного. Документ загружается.

что для различных форм намагниченных тел коэффициент k сильно

различается:

– для монополя k = 0,859;

– для цилиндра k = 0,650;

– для уступа k = 0,318 и т.д.

Формула (VII.48) получается из выражения (Гладкий, 1967):

∆

max

, (VII.49)

где ∆H

max

находится при помощи касательной (рис. 53).

∆

max

−

. (VII.50)

Подставляя это значение в

равенство (VII.49), полу-

чим (VII.48).

Более точный вариант

способа касательных раз-

работан В. К. Пятницким,

показавшим необходимость

учета изменения мощности

и глубины кромки.

В способе Пятницкого

аномалия аппроксимирует-

ся пятью касательными.

Проекции отрезков лома-

ной линии касательных на

ось x и x´ связаны с глуби-

ной и относительной мощ-

ностью магнитовозмущающих тел следующими соотношениями:

()( )

()

;''

000

xxm

xxxxa

−=

−−−=

(VII.51)

Вычисление глубины h и средней намагниченности I

ср.

производится

по формулам:

Рис. 53. К определению горизонтальной

производной по вертикальной

составляющей ∆Z













; I













. (VII.52)

Коэффициенты K

и K

находятся из таблицы, рассчитанной для иде-

альных аномалий.

Таблица VII.1

Коэффициенты для определения глубины и намагниченности

возмущающих тел способом В. К. Пятницкого

0 3,14 6,28 4,0 2,01 3,45

0,5 2,90 5,70 4,5 1,94 3,23

1,0 2,70 5,32 5,0 1,87 2,94

1,5 2,54 4,94 5,5 1,81 2,62

2,0 2,40 4,54 6,0 1,75 2,28

2,5 2,28 4,32 6,5 1,70 2,04

3,0 2,18 3,90 7,0 1,64 1,77

3,5 2,08 3,70 7,5 1,60 1,52

Определение глубины залегания нижних кромок намагниченных

тел

. Расчет глубины залегания нижних кромок намагниченных тел по-

зволяет в ряде случаев судить о тепловом режиме верхней мантии и

земной коры океанических областей, так как намагничивание не может

происходить при температуре выше точки Кюри, т.е. порядка 600°С.

Вместе с тем методика определения глубины залегания нижних кромок

разработана еще недостаточно.

Для вертикальных пластов ограниченной мощности используется

эмпирическая формула Л. В. Булиной, предложенная в 1961 году:

(

)

hx lh

218=−+

min

, , (VII.53)

где h

– глубина до верхней кромки, рассчитываемая по одной из фор-

мул, рассмотренных выше; h

– глубина до нижней кромки; l – полу-

мощность вертикального пласта; x

min

– абсцисса точки, где ∆z = ∆z

min

Смысл этих величин хорошо виден из приведенного ниже рисунка

198

(рис. 54). Формула верна для 05 20

,,≤≤

. Для

наклонных пластов и косого намагничивания

формула Булиной дает большие ошибки.

Показателем влияния нижней границы на-

магниченных тел является наличие у аномалии

∆z (∆Т) краевых минимумов, расстояние между

которыми зависит от глубины залегания нижней

кромки магнитовозмущающих тел. Именно этот

физический смысл и заложен в способе Були-

ной.

Рассмотренные аналитические и графиче-

ские методы интерпретации магнитных анома-

лий ∆z и ∆H пригодны также и для интерпрета-

ции кривых ∆Т. При обработке магнитометриче-

ских материалов необходимо учитывать вариа-

ции геомагнитного поля.

§8. Связь гравитационного и магнитного потенциалов

Представляет интерес сопоставить гравитационные и магнитные

поля, создаваемые одними и теми же геологическими объектами, и вы-

яснить имеется ли между ними какая-либо связь.

Сопоставим между собой гравитационный (V) и магнитный потен-

циалы (U):

∫

; (VII.54)

Idm

cosΘ. (VII.55)

Дифференцируя (VII.54), получим:

dV G

, (VII.56)

откуда:

. (VII.57)

Рис. 54. К определе-

нию глубины зале-

гания нижних кро-

мок намагниченных

тел методом

Л.В. Булиной

199

Из выражения (VII.55) имеем:

rdU

Idm

=⋅1 (VII.58)

(так как cosΘ = 1 при Θ = 0, считаем намагниченность пород верти-

кальной, т.е. приведенной к магнитному полюсу). Здесь ++=

222

yxr

+ z

Найдем частные производные от правой части выражения (VII.57):

()

∂

∂ρ

∂

xyz

222

∫∫

; (VII.59)

(так как

∫

, что следует из (VII.54)).

∂

∂ρ

∂

∫

; (VII.60)

∂

∂ρ

∂

∫

. (VII.61)

Подставим (VII.59, VII.60, VII.61) в (VII.58):

rdU

=++













∂

. (VII.59)

Введем единичный вектор

t , совпадающий с вектором намагниченно-

сти

=++

∂

. (VII.62)

Тогда выражение (VII.59) можно переписать в виде:

∂

. (VII.63)

Это выражение называется уравнением Пуассона. Оно устанавливает

связь между гравитационным и магнитным потенциалами. В частно-

сти, из соотношения (VII.63) следует, что магнитный потенциал равен

произведению гравитационного потенциала, умноженного на коэффи-

200

циент

, который для каждой данной аномалии будет величиной

постоянной, т.е.

∂

const . (VII.64)

§9. Трансформации потенциальных полей

При геофизических, гравимагнитных исследованиях, например в

океане, измерительный комплекс аппаратуры помещается либо на ко-

рабле, либо в приповерхностном слое воды. Аномалиеобразующие те-

ла залегают в толще земной коры на различных уровнях подо дном

океана. Поэтому все измерения, производимые фактически с поверх-

ности воды, как бы удалены от объектов в верхнее полупространство

на расстояние, равное глубине океана в точке наблюдения. Аналогич-

ная ситуация возникает при наблюдениях на суше, когда поверхность

кристаллического фундамента, где сосредоточены основные анома-

лиеобразующие массы, отделена от поверхности наблюдения осадоч-

ной толщей. Такое удаление от источников аномалий, конечно, ослаб-

ляет наблюдаемые на поверхности потенциальные поля и ухудшает их

разрешающую способность.

Попытки улучшить информацию путем наблюдений с приборов,

буксируемых вблизи поверхности дна, хотя и дают положительные ре-

зультаты, однако ввиду сложности и высокой стоимостью техническо-

го исполнения не выходят за рамки экспериментов. К настоящему вре-

мени разработан целый арсенал методов, позволяющих решить этот

вопрос аналитически, используя лишь наблюденные значения ∆z (∆T)

или ∆g. Наиболее употребительными методами преобразования потен-

циальных полей являются осреднение, аналитическое продолжение

(трансформация) поля в верхнее или нижнее полупространство, вы-

числение высших производных потенциала.

Поле аномалий ∆g и ∆T, взятое, например, вдоль некоторого про-

филя, представляет чаще всего довольно сложную кривую. Она отра-

жает суперпозицию взаимного влияния различных тел, расположенных

на разных уровнях в земной коре.

Удаляясь или приближаясь к аномальным массам, мы будем тем

самым ослаблять или усиливать те или иные аномалии, потому как в

201

общем виде величина потенциала обратно пропорциональна расстоя-

нию до возмущающего объекта:

= .

Гравитационный и магнитный потенциалы являются гармониче-

скими функциями, т.е. слабо меняющимися при малых приращениях

аргумента и дважды дифференцируемые. Однако, строго говоря, маг-

нитный потенциал не вполне отвечает этому требованию, так как в

знаменателе имеет квадрат расстояния (r

), а не первую степень (r), как

у гравитационного потенциала.

Согласно теореме Гаусса о среднем значении гармонической

функции, она обладает важным свойством: будучи заданной на плос-

кости и на сфере, гармоническая функция может быть определена в

любой точке пространства. Иными словами, значение гармонической

функции, например, в центре круга равно интегральному среднему ее

значения на окружности (плоская задача).

При этом оказывается, что при пересчете поля в верхнее и нижнее

полупространства наиболее сильно изменяется поле от небольших по

размерам объектов, расположенных близко к поверхности. Поле от

глубоко расположенных крупных геологических объектов мало под-

вержено изменению при трансформациях. Пересчитывая поле ∆g или

∆T вверх, мы в значительной степени исключаем влияние локальных

структур и подчеркиваем поле, вызванное действием крупных регио-

нальных объектов.

С другой стороны, пересчитывая наблюденное поле в нижнее по-

лупространство, например на уровень кристаллического фундамента,

мы в значительной мере усиливаем интенсивность локальных анома-

лий, вызванных близко расположенными к поверхности небольшими

объектами.

Таким образом, операция трансформации аналогична фильтрации:

при пересчете вверх подавляются высокочастотные составляющие

кривых ∆g или ∆T и выделяются низкочастотные, при пересчете вниз,

наоборот, происходит усиление высокочастотного фона аномалий и

относительное уменьшение низкочастотных составляющих. Аналогич-

ный пересчету в верхнее полупространство эффект производит осред-

нение поля по площадям. Вычисление высших производных ∆g или

∆T, так же как и пересчет в нижнее полупространство, усиливает высо-

кочастотные составляющие поля.

202

Расчет поля в верхнее полупространство можно производить с по-

мощью интеграла Пуассона:

()

(

)

Vx h

dx0

−=

−∞

∞

∫

. (VII.65)

Применение этого интеграла обусловлено важным свойством гармони-

ческих функций, которые, будучи заданными на сфере или плоскости,

могут быть определены в любой точке пространства.

Таким образом, зная распределение ∆g или ∆T на поверхности во-

ды или Земли, можно рассчитать их значение выше или ниже этой по-

верхности. Эта операция и выполняется с помощью интеграла (VII.65).

Для вычисления выражения (VII.65) введем новые переменные:

= arctg

;

Получим

()

Vh V d0

,,−=

−

∫

ϕϕ

, (VII.66)

или, полагая

∆

, где n – целое число, получим приближенную

формулу для численного интегрирования:

()

,−≈

∑

, (VII.67)

где

- среднее значение функции ∆g на i-м интервале профиля, кото-

рый виден из точки (0, -h) под углом ∆ϕ.

Вычисление V (0, -h) выполняется с помощью палетки, для по-

строения которой нужно из точки (x = 0, z = -h) провести вниз лучи под

углом

∆

. Высота пересчета определяется расстоянием линии -h

до оси x в горизонтальном масштабе кривой ∆g(x).

В основе пересчета потенциальных полей в нижнее полупростран-

ство лежит следующее свойство потенциальных функций: значение

203

функции в центре окружности

(плоская задача) равно ее сред-

нему значению по окружности

(рис. 55). Используя это свой-

ство, наблюденное значение

функции ∆g(x) или ∆T в произ-

вольной точке (0, 0) профиля

можно рассматривать как зна-

чение в центре круга.

На этом основании для вы-

числения значений ∆g и ∆T в

точке (0, -h) нижнего полупро-

странства можно положить

значение функции в центре

приблизительно равным сред-

нему арифметическому в четы-

рех равноотстоящих на окруж-

ности точках с радиусом h, т.е.

() ()

(

)

(

)

(

)

[

]

VhV Vh VhVh0400 00 0,,,,,−= − − + −+

(VII.68)

Таким образом, для определения V (0, -h) по формуле (VII.68) нужно

предварительно найти рассмотренным выше способом значения функ-

ции в точке (0, h).

Имеются и другие формулы для пересчета полей, которые исполь-

зуют только значение поля на уровне съемки, например формула

В.Н. Страхова:

[

]

[][ ]

[][]

[]

.)0,9()0,9(0030,0

)0,6()0,6(0411,0)0,3()0,3(0178,0

)0,2()0,2(1931,0)0,()0,(5683,0

)0,5,0()0,5,0(3258,2)0,0(3029,7),0(

hUhU

hUhUhUhU

hUhUUhU

−+−

−−+−−++

+−+−−+−

−

Следует отметить, что при пересчете в нижнее полупространство

сильно возрастают влияния ошибок измерений. Поэтому для их

уменьшения производят предварительно на каждом уровне пересчета

сглаживание кривой ∆g или ∆T. Разумеется, что эти операции ведут и к

искажению первичной информации, появлению ложных аномалий или,

наоборот, затушевыванию существующих аномалий. Поэтому прове-

Рис. 55. К расчету трансформации

потенциальных полей в нижнее

полупространство

204

дение операций трансформации требует выполнения высокоточных

наблюдений.

Глава VIII. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ

§1. Деформации и напряжения в горных породах.

Закон Гука

Горные породы, слагающие земную кору, являются продуктами

дезинтеграции и переотложения преимущественно магматических по-

род, вынесенных на поверхность вулканизмом. Наряду с неизменен-

ными магмами низы земной коры состоят преимущественно из мета-

морфических пород. Верхнюю часть разреза повсеместно, кроме до-

кембрийских щитов, слагают осадочные породы различной мощности

и происхождения. Средняя толщина земной коры составляет около

33 км. Под подошвой коры залегает малоизмененное первичное пла-

нетное вещество мантии – так называемое протовещество.

Породы, слагающие земную кору, и вещество глубоких недр пла-

неты обладают различными упругими свойствами, обусловленными их

различным петрографическим составом и термодинамическими усло-

виями залегания. Под упругими свойствами понимается сопротивле-

ние среды изменению объема и формы пород под действием внешней

силы.

Деформация породы происходит вследствие смещения атомов, мо-

лекул или ионов узлов кристаллической решетки вещества (жидкого,

твердого или газообразного) от положения их равновесия. Внутренние

силы взаимодействия между указанными компонентами вещества пре-

пятствуют этой деформации и стремятся вернуть смещенные атомы,

молекулы или ионы в положение равновесия. В результате этого в по-

роде возникают колебания частиц. Эти колебания распространяются на

соседние объемы пород и таким образом происходит образование и

распространение упругих колебаний (сейсмических волн) во все сто-

роны от приложенной силы. В качестве таковой может выступать зем-

летрясение, ядерные или обычные (тротиловые) взрывы и тому подоб-

ное. Способность пород передавать на большие расстояния с опреде-

ленной скоростью упругие деформации определяет основы сейсмомет-

рии земной коры и глубоких недр планеты, недоступных прямым на-

блюдениям.

205

Рассмотрим воздействие внешних сил на горную породу. Обозна-

чим через

напряжение, т.е. поверхностную плотность силы, возни-

кающую в некотором элементарном объеме тела.

В твердой, лишенной пор породе напряжение определяется выра-

жением:

= F/S, (VIII.1)

где S – площадь, на которую воздействует сила F. В обычной пористой

породе площадь S состоит из площади контакта S

минеральных зерен

и S

– площади пор:

S = S

+ S

. (VIII.2)

В поровом пространстве напряжений нет, т.е. напряжение возника-

ет только на контактах минеральных зерен:

σ′

= F/S

. (VIII.3)

Поскольку S

< S, то с увеличением пористости напряжение

σ′

возрас-

тает.

Под воздействием внешних сил F горная порода испытывает изме-

нение объема, линейных размеров и формы. Все эти изменения назы-

ваются деформацией.

Возникновение той или иной деформации зависит от величины

внешней нагрузки или характера внутренних связей между частицами

породы. Если тело испытывает продольное напряжение (сжатие или

растяжение), например, вдоль одной оси x:

= F/x,

то ему соответствует относительная деформация

. Тогда

= F/x, или

= E

. (VIII.4)

Это закон Гука, согласно которому малым напряжениям в среде

соответствуют малые деформации, или гармонические колебания. В

дифференциальной форме закон Гука будет иметь вид:

= E(∂U/

∂

x). (VIII.5)

Здесь Е – модуль упругости (модуль Юнга). В сейсмике он представ-

ляет собой физическую константу среды:

E =

, (VIII.6)