Орленок В.В. Основы геофизики

Подождите немного. Документ загружается.

206

где

– плотность, г/см

, с – скорость упругих волн м/с. Величина

∂

〉0, когда под влиянием внешней силы

частицы среды сбли-

жаются, т.е. происходит сжатие среды. При

∂

〉0 частицы среды

отходят друг от друга и возникает растяжение.

Поскольку величина

представляет собой давление Р, то закон

Гука позволяет рассчитать акустическое давление в любой точке сре-

ды.

Рис. 56. Деформации объема среды при движении P-волн (а); деформации

сдвига при движении S-волн (б)

Если деформация вызывает касательное напряжение (см. рис. 56),

то она определяется углом сдвига α или деформацией сдвига

, где

= tg

, или

∆d

G . (VIII.7)

Здесь G – модуль сдвига. Это закон Гука для сдвиговых деформаций,

или деформаций формы.

Закон Гука в своей линейной части (см. рис. 57) характеризует об-

ласть упругой деформации, происходящей в малом отрезке времени

(доли секунды). Однако упругое тело Гука в геологическом масштабе

времени (тысячи, миллионы лет) может вести себя как пластичное те-

207

ло, т.е. подчиняться нелиней-

ным законам Максвелла. Та-

кую среду называют телом

Максвелла. В общем случае

деформация в твердых поро-

дах слагается из упругой f

(

)

и пластичной f

(

,t), т.е.:

∆U = f

(

) + f

(

,t). (VIII.8)

Таким образом, горные

породы в разных временных

масштабах могут одновремен-

но рассматриваться и как уп-

ругие тела Гука, и как пла-

стичные тела Максвелла. Если

величина деформации превы-

шает пределы прочности по-

род, то наступает их разруше-

ние. Величина таких деформаций слишком велика и выходит далеко за

пределы условий возбуждения малых (гармонических) колебаний. По-

этому мы их здесь не будем рассматривать.

Модуль Юнга Е и модуль сдвига G являются основными упругими

характеристиками среды. Их размерность – кг/см

или н/м

(СИ). Для

оценки отношения между продольными (∆U/U) и поперечными (∆d/d)

деформациями вводится коэффициент Пуассона (безразмерная вели-

чина):

−

. (VIII.9)

Весьма важно отметить, что через модуль Юнга и модуль сдвига

можно определить скорость распространения упругих волн – объем-

ных, называемых продольными волнами с

– и сдвиговых волн, назы-

ваемых поперечными волнами – с

= (м/с);

= (м/с), (VIII.10)

где

– плотность среды.

Существует весьма важное соотношение скорости продольных

волн к скорости поперечных – с

/с

, которое является, по существу,

функцией коэффициента Пуассона:

Рис. 57. К иллюстрации закона Гука:

ОА – область упругой деформации;

АВ –область пластичной деформации

208

−

. (VIII.11)

Для осадочных пород, вследствие низкого сопротивления сдвигу рых-

лых отложений, величина с

/с

может достигать больших значений:

/с

= 1,4 ÷ 14 и более.

Для кристаллических магматических и метаморфических пород это

соотношение лежит в более узких пределах:

/с

= 1,7 ÷ 1,9.

Из приведенного видно, что скорость упругих волн в породах за-

висит главным образом от их плотности и практически не зависит от

частоты колебаний. Последняя оказывает сильное влияние на погло-

щение волн.

§2. Волновое уравнение

Если к горной породе приложить внешнюю силу, вызывающую

напряжение (взрыв), то, как было показано выше, произойдет дефор-

мация, смещение частиц породы на расстояние x в направлении дейст-

вия силы F(

). Так как частицы пород жестко связаны между собой

таким образом, что смещение одной частицы вызывает смещение дру-

гой и т.д. (принцип домино), произойдет распространение упругой

гармонической деформации с некоторой скоростью. Найдем уравнение

возникающих при этом гармонических колебаний частиц. Для просто-

ты ограничимся вначале случаем, когда напряжение действует вдоль

одной координаты x. Согласно второму закону Ньютона,

ma=F, (VIII.12)

где а – ускорение, m – масса частицы,

∂

= . (VIII.13)

Величина U = x характеризует смещение частиц от некоего положения

равновесия. Обозначим массу частицы как произведение объема V на

плотность

m = V·ρ = ∆x∆y∆z·ρ. (VIII.14)

209

Перепишем выражение (VIII.13) с учетом (VIII.14) и (VIII.15):

zyx

∂

∆∆∆== . (VIII.15)

Если силы действуют вдоль одной оси x, то сумма всех сил F будет

равна сумме напряжений

, действующих на соответствующую пло-

щадь (объем) S:

∑

∂

, (VIII.16)

где S = ∆x∆y∆z.

Подставим (VIII.16) в левую часть уравнения (VIII.15) и после со-

кращения получим:

).(

∂

∂σ

∂

(VIII.17)

Теперь воспользуемся законом Гука (VIII.4):

.; где

∂

εσ

(VIII.18)

В итоге получаем волновое уравнение вида:

∂













. (VIII.19)

Здесь коэффициент

есть не что иное, как квадрат скорости распро-

странения продольной волны в породе с

, (VIII.20)

или

∂

= . (VIII.21)

210

Это и есть уравнение распространения упругих гармонических коле-

баний части среды вдоль координаты x, фронт которых имеет вид

плоскости. Отсюда название – уравнение плоских волн.

Для полного определения распространения колебаний необходимо

задать начальные и граничные условия. Начальные условия характери-

зуют состояние колеблющегося источника в начальный момент време-

ни, т.е. при t = 0.

(,) ()0 = – смещение частиц среды,

∂

x= ()

– скорость смещения в начальный момент времени t.

Граничные условия показывают характер волнового колебания на

границах вдоль оси x, т.е. при x = 0 и x = l:

Ult t

(,)

(,) ()

00=







Совокупность начальных и граничных условий называется также крае-

выми условиями. Уравнение (VIII.21) представляет собой линейное

дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его общее решение имеет

вид:

, sincos

sincos





































−+













−=

tiB

tiA

tAU

ωω

(VIII.22)

где A и B – постоянные интегрирования, зависящие от краевых усло-

вий. Первые два слагаемых в правой части уравнения (VIII.22) выра-

жают плоскую волну, распространяющуюся в положительном направ-

лении оси x, вторые два выражают обратную, т.е. отраженную от гра-

ницы l, волну, возвращающуюся к источнику (рис. 58). В безграничной

среде отраженной волны не будет, т.е. уравнение примет вид:

UA t

=−













cos

, (VIII.23)

где А характеризует амплитуду смещения U в точке x = 0, т.е. ампли-

туду источника возбуждения. Колебания частиц среды вдоль оси x

создаются движением бесконечной плоскости, перпендикулярной на-

правлению распространения волны.

211

Рис. 58. Образование прямой и отраженной волн в океане:

– отраженная от дна; U

– отраженная от поверхности акустического

фундамента; U

– двухкратно отраженная от дна волна

§3. Акустическое давление и колебательная

скорость плоской волны

Введение понятия звукового потенциала U позволяет определить

ряд важных параметров плоской волны. Потенциал U в безграничной

среде определяется выражением:

UA t

=−













cos .

(VIII.24)

Производная потенциала U по времени, умноженная на плотность

среды ρ, характеризует акустическое давление P плоской волны:

212













−=−=

ωρω

∂

sin

. (VIII.25)

Амплитуда акустического давления P

равна:

ρω

. (VIII.26)

Производная потенциала U по направлению x определяет колеба-

тельную скорость плоской волны:

=− = −













∂

sin . (VIII.27)

Амплитуда колебательной скорости V

равна:

. (VIII.28)

Величина

k= называется волновым числом, показывающим, сколь-

ко длин волн

укладывается на расстоянии x = 2

, т.е.

== =

. (VIII.29)

Сравнивая выражения (VIII.25) и (VIII.27), видим, что под знаком

синуса стоит одно и то же выражение

−













. Это значит, что в пло-

ской волне акустическое давление P и колебательная скорость V рас-

пространяются синфазно.

Взяв отношение

, получим:

ρω

; таким образом,

ργ

. (VIII.30)

Полученное выражение называется акустическим сопротивлением

(импедансом) среды.

Интенсивность I акустических колебаний плоской волны опреде-

ляется из соотношения:

IPV A

== =

ρω

, т.е. IkA=

ρω

. (VIII.31)

213

Выражения (VIII.26), (VIII.28) и (VIII.31) показывают, что амплитуды

акустического давления, колебательной скорости и интенсивности

плоской волны не зависят от расстояния x, т.е. плоская волна в одно-

родной непоглощающей среде распространяется без потерь. Это объ-

ясняется тем, что при постоянной скорости и бесконечной длине фрон-

та волновые поверхности при удалении от источника колебаний не

увеличиваются.

В реальных средах при возбуждении упругих колебаний в воде

или в твердых породах интенсивность акустических колебаний по мере

удаления от источника возбуждения уменьшается. Это ослабление ин-

тенсивности вызвано главным образом геометрическим расхождением,

т.е. увеличением фронта волновой поверхности при удалении от ис-

точника и рассеянием энергии ударного импульса на мелкомасштаб-

ных, соизмеримых с длиной волны неоднородностях среды. При нали-

чии границ раздела энергия уменьшается также за счет частичного от-

ражения волн от этих границ.

Рассеяние энергии акустического излучения за счет превращения

ее в тепло обычно не принимается в расчет ввиду слабого влияния это-

го фактора на величину поглощения. Таким образом, движение аку-

стической волны в реальных средах рассматривается как адиабатиче-

ский процесс, т.е. процесс, не сопровождающийся теплопередачей.

Уравнение плоской волны с учетом поглощения морской воды

имеет вид:

∂∂

∂

⋅⋅+= . (VIII.32)

Здесь

– коэффициент сдвиговой вязкости, зависящий от температуры

и солености морской воды. Он уменьшается с увеличением температу-

ры и увеличивается с увеличением солености. Последний член в пра-

вой части уравнения (VIII.32) и определяет поглощающие свойства

среды.

Вещественная часть этого уравнения имеет вид:

UAe t

=−













−

cos , (VIII.33)

где А – амплитуда колебаний источника в начальный период времени

t=0, α – коэффициент поглощения, измеряемый в неперах, или в об-

ратных единицах длины, или в децибелах и имеющий размерность

(см

-1

). При этом

214

1нп/см = 8,686 дб/км. (VIII.34).

Согласно Стоксу, коэффициент поглощения по амплитуде равен:

πµ

Af . (VIII.35)

Отсюда видно, что поглощение пропорционально квадрату частоты и

коэффициенту вязкости среды

. Последний измеряется в пуазах и

имеет размерность г/см⋅с.

Из формулы (VIII.33) можно заключить, что амплитуда акустиче-

ских колебаний плоской волны уменьшается с расстоянием x по экспо-

ненциальному закону e

x−

В соответствии с полученным выражением (VIII.33) формулы для

амплитуд акустического давления, колебательной скорости и интен-

сивности для поглощающей среды примут вид:

PAe

IkAe











−

ρω

, (VIII.36)

Таким образом, плоская волна в поглощающей среде будет характери-

зоваться затуханием пропорционально члену e

x−

Анализ формулы Стокса (VIII.35) показывает, что поглощение

увеличивается с увеличением частоты колебаний. В сейсмическом

диапазоне частот, т.е. при f = 5÷1000 гц, коэффициент поглощения в

морской воде близок к нулю.

В твердых средах он зависит от плотности, пористости и размеров

зерен породы. Например, в осадочных породах α выше, чем в кристал-

лических (базальтовых, гранитных). При этом величина коэффициента

поглощения на высоких частотах обусловлена главным образом тек-

стурными неоднородностями пород (пористостью, размером зерен,

тонкой слоистостью и т.д.). На низких частотах α зависит от крупно-

масштабных неоднородностей разреза.

В морской воде поглощение наиболее ощутимо для высокочастот-

ных колебаний (порядка десятка килогерц). Оно обусловлено вязко-

стью воды, а также насыщенностью воды микроэлементами органиче-

215

ского и неорганического происхождения (фито- и зоопланктон, взвесь,

пузырьки воздуха и т.д.).

Теоретический коэффициент поглощения для чистой пресной воды

в децибелах на км равен:

α = 7,4 ⋅ 10

-11

, (VIII.37)

т.е. коэффициент поглощения растет пропорционально квадрату часто-

ты. Это весьма важный вывод, на котором основан выбор частоты из-

мерения гидроакустических систем.

На основе изучения распространения волн от атомных взрывов для

частот от 16 Гц до 60 кГц для коэффициента поглощения в морской

воде получена следующая эмпирическая формула:

кмдБf /036,0

, (VIII.38)

где f – частота в кГц.

С учетом поглощения интенсивность акустических колебаний в

морской воде определяется из следующего выражения:

1,0

−

⋅= , (VIII.39)

где I

– интенсивность в источнике, I – интенсивность на расстоянии x

от источника.

§4. Акустическое давление и колебательная

скорость сферической волны

Колебательная скорость и акустическое давление сферической

волны определяются так же, как и для плоской волны.

Найдем колебательную скорость прямой волны:

.cossinsin

coscos













−−













−=













−+













−−=

























−==

ωω

∂

(VIII.40)

Полученное выражение показывает, что амплитуда колебательной ско-

рости в сферической волне в отличие от плоской волны имеет две со-

ставляющие –

, первая из которых убывает обратно пропор-