Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
100
Задача 6.3
Построить проекции пинии пересечения трехгранной призмы с тором.
Рис. 6. 9
101
6.3. Способ вспомогательных секущих поверхностей
6.3.1. Способ концентрических сфер
Способ применяется при пересечении поверхностей вращения, если их оси в пространстве пересе-
каются. Концентрические сферы проводятся из точки пересечения осей
поверхностей.
Две поверхности вращения с общей осью
пересекаются по окружностям, количество которых
равно числу точек пересечения главных меридианов
поверхностей (рис.6.10).
Если центр сферы расположен на оси
поверхности вращения, то сфера пересекает данную
поверхность по окружностям, которые проецируются
на плоскость, параллельную оси, в прямые,
перпендикулярные оси поверхности вращения (рис. 6.11).
Пример 6.3
Построить фронтальную проекцию линии пересечения цилиндров, оси которых пересекаются.
Рис. 6.12
Высшая и низшая точки 1 и 2 линии пересечения определены как точки пересечения очерков обоих
цилиндров, поскольку плоскость, проведенная через оси цилиндров, является фронтальной плоскостью
уровня.
Точки 3 и 4 получены с помощью двух вспомогательных концентрических сфер. Центр сфер находится в
точке 0 пересечения осей цилиндров. Точка 3 получена с помощью сферы минимального радиуса R
min
. Она
касается вертикального цилиндра по окружности m и пересекает наклонный цилиндр по окружности n. В
пересечении фронтальных проекций m
2
и n
2
окружностей получена точка 3
2
. Точка 4 получена аналогично с
помощью сферы Θ .
Рис.6.10 Рис. 6.11
102
Задача 6.8
Построить проекции линии пересечения сферы и цилиндра.
Рис. 6.13
103
Задача 6.9
П
остроить проекции линии пересечения цилиндра с закрытым тором.
Рис. 6.14
Задача 6.10
Построить проекции линии пересечения конуса со сферой,
Рис. 6.15
104
6.3.2. Способ эксцентрических сфер
Пример 6.4
Построить проекции линии пересечения тора с конусом, имеющих общую плоскость симметрии,
параллельную П
2
.
Рис. 6.16
Оси конуса и тора-кольца между собой не пересекаются.
Круговые сечения конуса получаются при сечении его горизонтальными плоскостями уровня. Тор имеет
круговые сечения в плоскостях, проходящих через ось тора.
Высшая и низшая точки 1, 2 линии пересечения поверхностей определены как точки пересечения
очерков поверхностей. Затем через ось вращения тора проведена фронтально-проецирующая
плоскость
α
. Она пересекает тор по окружности. Центр O сферы, пересекающей тор по этой окружности,
находится на пересечении перпендикуляра, восстановленного в центре окружности к плоскости
α
, с осью
конуса. Эта вспомогательная сфера пересекает тор и конус по окружностям. В пересечении фронтальных
проекций этих окружностей получена точка 3
2
.
Точка 4 построена аналогично с помощью фронтально-проецирующей плоскости
β
. Вспомогательные
сферы имеют различные центры, находящиеся на оси конуса.
Горизонтальные проекции точек 3, 4 – линии пересечения поверхностей – определены из условия
принадлежности точек поверхности конуса, с помощью горизонтальных проекций параллелей конуса.
105
Задача 6.11
Построить проекции линии пересечений конуса и тора.
Рис. 6.17
106
Задача 6.12
Построить проекции линии пересечения сферы и тора.
Рис. 6.18
107
6.3.3. Способ вспомогательных концентрических цилиндров
Пример 6.5
Построить проекции линии пересечения закрытого тора с цилиндром вращения.
Рис. 6.19
Оси тора и цилиндра между собой не пересекаются. Круговые сечения тора получаются при пересечении
его вспомогательными, соосными тору, цилиндрами.
Точка 1 определена как точка пересечения оснований тора и цилиндра,
Точка 2 получена с помощью вспомогательного цилиндра радиусом R. Вспомогательный цилиндр пе-
ресекает тор по окружности m, а исходный цилиндр по крайней левой образующей п. В пересечении фрон-
тальных проекций m
2
и п
2
получена точка 2
2
.
Точки 3, 5 получены аналогично с помощью вспомогательных цилиндров радиусов R'*и R**.
Точка 4 принадлежит главному меридиану тора.
108
Задача 6.13
Построить проекцию линии пересечения конуса и цилиндра.
Рис. 6.20
Задача 6.14
Построить проекцию линии пересечения конуса и цилиндра.
Рис. 6.21
109
6.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
6.4.1. Теорема Г. Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или
вписаны в неё, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости
которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Пример 6.6
Построить проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных около одной сферы.
Рис. 6.22
Центр сферы, вписанной в конус и цилиндр, находится в точке О пересечения их осей. Конус касается
сферы по окружности, фронтальной проекцией которой является отрезок A
2
– B
2
. Цилиндр касается сферы
по окружности, которая на П
2
проецируется в отрезок C
2
– D
2
. В пересечении (A
2
– B
2
) и (C
2
– D
2
) получена точка
K
2
. В точку K
2
проецируется линия K – K*, которая соединяет точки касания заданных поверхностей.
Линия пересечения поверхностей распадается на два эллипса, которые на фронтальную плоскость
проекций проецируются в прямые, проходящие через точки пересечения очерков конуса и цилиндра –
(2
2
– K
2
– 3
2
) и (4
2
– K
2
– 1
2
).
Горизонтальная проекция линий пересечения конуса и цилиндра построена из условия принадлежности
линий поверхностям. Точки 5, и 6
t
принадлежат очерковым образующим конуса и цилиндра и определяют
границу видимости на П
1
.