Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
На рис. 2
x
u
– непрерывный сигнал, который надо преобразовать в
двоичный параллельный код,
& – элемент «И», который срабатывает только тогда, когда на
все его входы подаются отличные от 0 сигналы,
ГПИ – генератор последовательности импульсов,
)2...22(
2
1
3
1
11
2
0
1
1
uuuuu
эoc
– сигнал обратной
связи.
э
u
– эталонное напряжение,
– количество разрядов,
uuu ...,,,
21
– сигналы соответствующих разрядов,
110
2...,,2,2
– весовые коэффициенты разрядов.
ЦАП входит составной частью в АЦП. Для многих цифровых
систем шаг квантования сигнала по уровню является настолько
малым, что эффект квантования по уровню вызывает несущественное
влияние и им часто пренебрегают, однако в высокоточных системах
его приходится учитывать.
2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях
Цифровая САУ получает входную информацию и выдаёт
выходную информацию в дискретные моменты времени. Поэтому при
исследовании цифровых систем рассматривается их поведение только
в дискретные моменты времени
0
nT
, где
0
T
такт счёта,
,...2,1,0n
– номер такта счёта. Для этого вводится понятие
решётчатых функций.
Решётчатой называют функцию, которая существует лишь в
дискретные равноотстоящие друг от друга значения времени и в
промежутках между этими значениями равна нулю.
На рис. 1 сплошными вертикальными линиями показана
решетчатая функция
][
0
nTf
.
Непрерывной функции (пунктирная кривая) соответствует одна
и только одна решётчатая функция, а одной решётчатой функции
соответствует бесконечное количество непрерывных функций.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
53
Рисунок 2.3.1
Часто в цифровых САУ используется безразмерное время.
Пусть безразмерное непрерывное время определено выражением
0
T
t
t
, (2.3.1)
тогда безразмерное дискретное время будет
,...2,1,0,
0
0
nn
T
nT
(2.3.2)
Непрерывные системы обычно описываются
дифференциальными уравнениями. Цифровые системы описываются
разностными уравнениями. Рассмотрим разностные уравнения и их
соотношения с дифференциальными уравнениями. Для операции
дифференцирования можно записать
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
T
Ttftf
T
tfTtf
t
tf
dt
tdf
,
т.е. операции дифференцирования с точностью до коэффициента
0
/1 T
соответствует операция вычитания (разность).
В безразмерном времени разности обозначают так:
nfnfnf 1
– первая прямая разность,
(2.3.3)
1 nfnfnf
– первая обратная разность,
f[nT
0
]
t
1 2 3 4 5
Т
0
6
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
54
где
– оператор «дельта»,
– оператор «набла».
Аналогом второй производной по времени являются вторая
прямая и обратная разности.
],[]1[2]2[][]1[
]1[]2[][]1[][
2
nfnfnfnfnf
nfnfnfnfnf
(2.3.4)
212
2
nfnfnfnf
.
Аналогично можно получить разности более высоких порядков.
Дискретным аналогом интеграла является полная сумма
n
i
ifnf
0
][][
. (2.3.5)
Выше была установлена связь между производной и конечными
разностями и интегралом и суммой. Дифференциалы и интегралы
используются для описания систем в непрерывном времени в виде
дифференциальных и интегральных уравнений. Поведение цифровой
системы в дискретные моменты времени описывается разностными
уравнениями. Разностными уравнениями можно описать и
непрерывную систему, но её поведение будет характеризоваться
только в дискретные моменты времени. Рассмотрим связь между
дифференциальными и разностными уравнениями на примере. Пусть
дано дифференциальное уравнение
)(
21
2
2
0
tfya
dt
dy
a
dt
yd
a
. (2.3.6)
С помощью полученных выше соотношений составляем
разностное уравнение, используя обратные разности
][][][][
21
2
0
nfnyanyanya
(2.3.7)
или
)(1212
210
nfnyanynyanynynya
,
(2.3.8)
или
][]2[]1[][
210
nfnyAnyAnyA
, (2.3.9)
где
021012100
),2(, aAaaAaaaA
. (2.3.10)
Если
0][ nf
, то разностное уравнение называется
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
55
однородным, если
0][ nf
, то разностное уравнение называется
неоднородным.
В общем случае разностное уравнение можно представить в
виде
....1
...1
10
10
rnfBnfBnfB
knyAnyAnyA
r
k
(2.3.11)
(11) – разностное уравнение k-го порядка. Для его решения
необходимо знать начальные условия, т.е. значения
][ny
в
предыдущие моменты времени
]1[],1[],0[ kyyy
.
Для преобразования дифференциального уравнения в
алгебраическое используют оператор дифференцирования
dt
d
p
.
Для решения разностного уравнения путём сведения его к
алгебраическому уравнению используют оператор сдвига
z
, так что
210
2,1,
znynyznynyznyny
и т.д.
(2.3.12)
С помощью оператора сдвига уравнение (11) перепишется в
виде
,)...(
)...(
1
1
0
0
1
1
0
0
nfzBzBzB
nyzAzAzA
r
r
k
k
(2.3.13)
откуда формально можно записать
nfzWny )(
, (2.3.14)
где
][
][
)(
)(
)(
nf
ny
zA
zB
zW
– передаточная функция цифровой
системы. Если в
)(zW
знаменатель приравнять к нулю, то получится
характеристическое уравнение, соответствующее разностному
уравнению (11).
0...)(
1
1
0
0
k
k
zAzAzAzA
. (2.3.15)
2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа)
Выше разностные уравнения были получены из
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
56
дифференциальных уравнений приближённым методом с помощью
конечных разностей. Для получения точных разностных уравнений
используется z-преобразование или дискретное преобразование
Лапласа. Если для непрерывных систем используется обычное
преобразование Лапласа
0
)()( dtetfрF
pt
, (2.4.1)
то дискретное преобразование Лапласа в безразмерном времени имеет
вид
]}[{:][)(
0
nfZznfzF
n
n
. (2.4.2)
В размерном времени
0
00
][]}[{)(
n
n
znTfnTfZzF
. (2.4.3)
Функция
][
0
nTf
называется оригиналом, а
)(zF
– её z-
отображением,
Z
– символ преобразования.
С помощью z-преобразования разностные уравнения приводятся
к алгебраическим уравнениям, которые решаются гораздо легче, чем
разностные, а затем к полученным решениям применяют обратное z-
преобразование, которое обозначается так:
]}[{][
1
0
zFZnTf
, (2.4.4)
в результате чего получаем разностные уравнения.
Найдём z-преобразования простейших функций времени.
1) единичная ступенчатая функция
.
1
...11)(
],[1][),(1)(
0
21
00
n
n
z
z
zzzzF
nTnTfttf
Последнее выражение представляет собой геометрическую
прогрессию.
2) линейная функция времени
.
)1(
...32()(
,][,)(
0
2
0
321
00
00
n
n
z
zT
zzzTznTzF
nTnTfttf
Аналогичным образом можно найти z-отображения и других
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
57
функций времени.
Для решения разностных уравнений надо находить z-
отображения не только для функций времени, стоящих в правой части
уравнения, а и для искомых функций, которые обычно записываются
в левой части разностного уравнения.
Для их преобразования используют ряд свойств. Рассмотрим
некоторые из них.
Некоторые основные свойства z-преобразования.
1) свойство линейности.
)}({)}({)}()({
22112211
tfZatfZatfatfaZ
. (2.4.5)
2) теорема сдвига.
Если временное запаздывание
равно целому числу
m
тактов
счёта
0
T
, то
формула сдвига вправо
]}[{)(),(}][{]}[{
00
nTfZzFzFzTmnfZtfZ
m
,
(2.4.6)
формула сдвига влево
]][)([}][{]}[{
1
0
00
r
m
r
m
zrTfzFzTmnfZtfZ
. (2.4.7)
3) изображение прямых и обратных разностей.
],[)(
1
]}[{
0
1
0
TfzzF
z
z
nTfZ
(2.4.8)
].0[)()1(]}[{
0
zfzFznTfZ
(2.4.9)
4) теорема о начальном и конечном значении оригинала.
)(lim]0[ zFf
z
, (2.4.10)
)(
1
lim][
1
zF
z
z
f
z
. (2.4.11)
5) теорема свёртки.
]})[(][{)()(
02
0
0121
TknfkTfZzFzF
n
k
, (2.4.12)
где
]}[{)(]},[{)(
022011
nTfZzFnTfZzF
. (2.4.13)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
58
6) обратное z-преобразование.
Обратное z-преобразование позволяет найти оригинал
][
0
nTy
по его z-отображению
)(zY
. Это преобразование обозначается так:
)}({][
1
0
zYZnTy
. (2.4.14)
Существует несколько методов обратного z-преобразования:
а) метод неопределённых коэффициентов.
Пусть
)(zY
найдено в виде
l
ll
k
kk
azaza
bzbzb
zY
...
...
)(
1
10
1
10
. (2.4.15)
Пусть знаменатель в (15) имеет
l
простых корней
l
zzz ...,,,
21
, тогда его можно представить в виде
))...()((
210 l
zzzzzza
, (2.4.16)
т.е. выражение (15) можно представить в виде
)),(...)()((
1
)...(
1
)(
21
0
2
2
1
1
0
zWzWzW
a
zz
N
zz
N
zz
N
a
zY
l
l
l
(2.4.17)
где
l
NNN ...,,,
21
– неопределённые коэффициенты. Эти
коэффициенты определяются следующим образом. Выражение (17)
приводится к общему знаменателю. Затем выражения (15) и (17)
приравниваются друг другу. В полученном выражении
приравниваются числители. В полученном равенстве приравниваются
коэффициенты при одинаковых степенях
z
. Из полученной системы
уравнений находятся неизвестные коэффициенты
l
NNN ...,,,
21
. В
результате вместо сложного выражения (15) получается выражение
(17), состоящее из суммы элементарных функций.
б) с использованием ряда Лорана.
Решение алгебраического уравнения, полученного с помощью z-
преобразования, можно представить в виде
l
ll
k
kk
AzAzA
BzBzB
zY
...
...
)(
1
10
1
10
. (2.4.18)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
59
Будем отыскивать разложение этого выражения в виде ряда
Лорана
0
2
2
1
10
...)(
i
i
i
zCzCzCCzY
, (2.4.19)
где
,...,
10
CC
– неизвестные коэффициенты. Для нахождения
,...,
10
CC
приравняем выражения (18) и (19), приведём полученное
равенство к общему знаменателю и в числителях правых и левых
частей приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
z
. В
результате получим систему алгебраических уравнений для
определения неизвестных коэффициентов
i
C
. Сравнивая выражение
(19) с выражением z-преобразования (20)
0
][)(
i
i
ziyzY
, (2.4.20)
получим
][iyC
i
или
],...2[],[],0[
02010
TyCTyCyC
.
i
C
являются значениями искомой функции в различные моменты
времени.
2.5 Решение линейных разностных уравнений
Пусть дано линейное разностное уравнение порядка
m
].[...]1[][
][...]1[][
10
10
lnxbnxbnxb
mnyanyanya
l
m
(2.5.1)
Пусть начальные условия для простоты равны 0. Применим к
левой и правой частям уравнения (1) теорему сдвига вправо, получим
)()...()()...(
1
1
0
0
1
1
0
0
zXzbzbzbzYzazaza
l
l
m
m
.
(2.5.2)
Из (2) получим
)()()( zXzWzY
, (2.5.3)
)(
)(
...
...
)(
1
1
0
0
1
1
0
0
zX
zY
zazaza
zbzbzb
zW
m
m
l
l
, (2.5.4)
где
)(zW
– дискретная передаточная функция. Она равна
отношению z-преобразованных выходного и входного сигналов при
нулевых начальных условиях.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
60
Для нахождения решения
][ny
надо к выражению (3)
применить обратное z-преобразование, т.е.
))((][
1
zYZny
. (2.5.5)
2.6 Передаточные функции цифровых систем управления
Структурную схему системы управления с ЦВМ укрупненно
можно представить в виде
Рисунок 2.6.1 – Гибридная схема управления САУ с ЦВМ
На рис. 1
)(zD
– дискретная передаточная функция счётно-
решающего прибора;
)( pW
– непрерывная передаточная функция
непрерывного объекта.
Система является непрерывно-цифровой (гибридной). Хорошо
разработаны методы исследования или непрерывных, или цифровых
систем, поэтому для исследования этой системы её надо привести к
одному из перечисленных видов. Если такт счёта достаточно мал, то в
дискретной части разности можно приближенно заменить
производными, а суммы на интегралы (приближённо). В результате
получится непрерывная система. Это неточный метод.
Другим подходом является замена непрерывной передаточной
функции
)( pW
на соответствующую дискретную передаточную
функцию. Это можно осуществить аналогично получению
непрерывной передаточной функции по весовой функции
)(tw
с
помощью преобразования Лапласа
0
)()( dtetwpW
pt
. (2.6.1)
В цифровых системах дискретная передаточная функция
)(zW
получается аналогично (1) как z-преобразование весовой
W(p)
g(t)
у(t)
D(z)
x
u
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
61
функции
0
00
][]}[{)(
n
n
znTwnTwZzW
. (2.6.2)
Таким образом, для одного и того же звена существуют 2
передаточные функции: непрерывная
)( pW
и дискретная
)(zW
.
Это соответствие обозначается так:
)}({)()},({)(
1
zWZpWpWZzW
. (2.6.3)
Здесь символ
Z
служит только для обозначения соответствия
передаточных функций и не является символом z-преобразования.
Полностью цифровая система представлена на рис. 2. Для ее
исследования можно применить методы, разработанные для
цифровых систем. Ее поведение в точности соответствует поведению
системы рис. 1 только в дискретные моменты времени. Недостатком
данного перехода является то, что нет никакой информации о
поведении системы на рис. 1 между этими моментами.
Рисунок 2.6.2 – Дискретная структурная схема САУ с ЦВМ
Рассмотрим связь дискретных и непрерывных передаточных
функций при параллельном и последовательном соединении звеньев.
Пусть дано параллельное соединение непрерывных звеньев с
ключом
0
T
, изображенное на рис. 3.
Рисунок 2.6.3 – Параллельное соединение звеньев
g[nT
0
]
у[nT
0
]
x[nT
0
]
u[nT
0
]
W(z)D(z)
–
W
1
(p)
W
2
(p)
x(t)
T
0
y
1
(t)
y
2
(t)
y(t)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
62