Прохоров С.А. Лабораторный практикум. Моделирование и анализ случайных процессов
Подождите немного. Документ загружается.
180
ских моделей и ортогональных функций Лагерра, позволяют лучше понять особенно-
сти аппроксимативного подхода при решении разнообразных прикладных задач.
Лабораторная работа 14 позволяет ознакомиться с методикой аппроксиматив-
ного подхода при обработке экспериментальных данных, полученных в ходе выпол-
нения того или иного физического эксперимента. В этом случае априори не известны
аналитические модели данных, и
их предварительно необходимо определить.
Результаты моделирования и обработки данных могут быть запомнены в соот-
ветствующих базах данных, что позволяет объединить ряд лабораторных работ, на-
пример:
• первую работу - с пятой;
• третью – с шестой и седьмой;
• четвертую – с десятой и одиннадцатой.
В этом случае один исследователь генерирует временные ряды
с заданными ве-
роятностными характеристиками, запоминает и передает их другому исследователю,
который осуществляет первичную и вторичную обработку и определяет их аналити-
ческие модели. Затем полученные в первом и втором случае результаты сравниваются
и обсуждаются в ходе дискуссии между собой двумя исследователями, что позволяет
сделать более точные выводы.
181
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Автоматизированные системы научных исследований /Прохоров С.А., Фур-
сов В.А., Кривошеев А.О., и др.: НПЦ «Авиатор», Самара, 1995. - 137 с.
2. Автоматизированная учебно-исследовательская система аппроксимативного
корреляционно-спектрального анализа/Прохоров С.А., Кудрина М.А., Новиченкова
И.Ю., Шевченко Д.В.//Перспективные информационные технологии в научных
ис-
следованиях, проектировании и обучении. – Самара, СГАУ, 2001. – С. 142-156.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
4. Козлов А.Н. Автоматизированная информационная система аппроксима-
тивного анализа законов распределения случайных процессов. Дипломная работа,
каф. ИСТ, СГАУ, научный руководитель Прохоров С.А., 2000.- 94 с.
5. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля
характеристик
погрешностей средств статистических измерений. РТМ 25 139-
74//Минприбор. – 1974. – 76 с.
6. Перспективные средства вычислительной техники и автоматизации для соз-
дания интеллектуальных АСНИ /Прохоров С.А., Дерябкин В.П., Кривошеев А.О. и
др.: НПЦ «Авиатор». Самара, 1994. - 99 с.
7. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов. – 2-е изд.,
перераб. и доп./СНЦ РАН, 2001. - 380 с
., ил.
8. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов/Самар. гос.
аэрокосм. ун-т. – Уральск, 2001. - 329 с., ил.
9. Прохоров С.А., Дегтярева О.А. Подсистема генерирования псевдослучай-
ных последовательностей автоматизированной системы аппроксимативного анализа
законов распределения//Вестник СГАУ. Серия: актуальные проблемы радиоэлектро-
ники. – Самара, СГАУ, 2001. – С. 100-110.
10. Прохоров С.А., Иващенко
А.В. Автоматизированная информационная сис-
тема для аппроксимативного анализа взаимных корреляционно-спектральных харак-
теристик// Перспективные информационные технологии в научных исследованиях,
проектировании и обучении. – Самара, СГАУ, 2001. – С. 135-141.
11. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных про-
цессов/Самар. гос. аэрокосм. ун-т. – Уральск, 2001. - 209 с., ил.
12. Прохоров С.А. Моделирование и
анализ случайных процессов. Лаборатор-
ный практикум/Самар. гос. аэрокосм. ун-т, Уральск, 2001 .- 191 с., ил.
13. Прохоров С.А. Прикладной анализ неэквидистантных временных ря-
дов/Самар. гос. аэрокосм. ун-т. – Уральск, 2001.- 375 с., ил.
1. Романенко А.Ф., Сергеев Г.А. Вопросы прикладного анализа случайных
процессов. - М.: Сов. радио,1968 .- 256 с.
14. Учеватов
С.В. Автоматизированная информационная система аппроксима-
тивного анализа законов распределения случайных процессов. Дипломная работа,
каф. ИСТ, СГАУ, научный руководитель Прохоров С.А., 2000. - 69 с.
15. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений.-2-е изд., перераб. и
доп. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отделение, 1982. - 256 с.
182
Приложение 1
Типовые законы распределения
№ Название закона
(
)
xf
x
()
xF
x
1
Равномерный
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<
−
<<∞−
;xb,0
;bxa,
ab
1
;ax,0
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<
−
−
<<∞−
;xb,0
;bxa,
ab
ax
;ax,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
()
2/ba +
()
12/ab
2
−
;0
;0
(
)
;2,1
;80/ab
4
−
−
;3b
;3a
21
21
μ+α=
μ−α=
2
Симпсона
()
()
()
()
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<+
−
−
+<<
−
−
<<∞−
;xb,0
;bx2/)ba(,
ab
xb4
);2/ba(xa,
ab
ax4
;ax,0
2
2
(
)
()
()
()
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<+
−
−
−
+<<
−
−
<<∞−
;xb,0
;bx2/)ba(,
ab
xb2
1
);2/ba(xa,
ab
ax2
;ax,0
2
2
2
2
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
()
2/ba +
()
24/ab
2
−
;0
;0
(
)
;6,0
;240/ab
4
−
−
;6b
;6a
21
21
μ+α=
μ−α=
3
Арксинуса
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<−
−π
−<<∞−
,xa,0
,axa,
xa
1
,ax,0
22
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<−
π
+
−<<
∞
−
,xa,1
,axa,
a
x
arcsin
1
2
1
,ax,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
0
2/a
2
;0
;0
;5,1
;8/a3
4
−
2
2a μ=
4
Коши
()
[
]
2
2
ax
a
+μ−π
2
1
a
x
arctg
1
+
μ−
π
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Начальных и центральных моментов не существует, так как соответствующие
интегралы расходятся
183
Продолжение приложения 1
№ Название закона
(
)
xf
x
()
xF
x
5
Лапласа
μ−λ−
λ
x
e
2
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<μ−
μ<<∞−
μ−λ−
μ−λ
,x,e
2
1
1
,x,e
2
1
x
x
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
μ
2
/2 λ
;1,2
;/6
3
≈
λ
;3
;/24
4
λ
;/2
;
2
1
μ=λ
α=μ
6
Вейбулла
(
)
()
⎩
⎨
⎧
β−αβ
<<∞−
α−α
;
xexpx
;0x,0
1
0,0 >
β
>
α
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<β−−
<<−∞
α
)x0(,xexp1
),0x(,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
()
α−
βα+
/1
/11Г
()
[
)
()
]
α−
β×
×α+−
−α+
/2
2
/11Г
/21Г
(
)
[
()
()
()
]
;/
;
/11Г2
/21Г
/11Г3
/31Г
2/3
23
/3
3
μμ
β×
×α++
+α+×
×α+−
−
α
+
α−
()
[
()
()
()
()
()
]
;
/11Г3
/11Г
/21Г6
/11Г
/31Г4
/41Г
/4
4
2
α−
β×
×α+−
−α+×
×α++
+α+×
×α+−
−
α+
;3/
2
24
−μμ
7
Рэлея
()
()
∞<<
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
<<∞−
xo,
2
x
exp
x
;0x,0
2
2
2
(
)
()
∞<<
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−−
<<∞−
xo,
2
x
exp1
;0x,0
2
2
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
σ≈
πσ
25,1
2
2
2
43,0
2
4
σ≈
≈σ
π−
(
)
;63,0
;2
2
3
3
≈
σ×
×
π−π
;3,0
;
4
332
4
2
−≈
σ
π−
1
8,0
α
≈σ
8
Экспоненциаль-
ный
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∞<<α
<<∞−
α−
x0,e
;0x,0
x
()
()
⎩
⎨
⎧
∞<<−
<<∞−
α−
x0,e1
;0x,0
x
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
α/1
2
/1 α
;2
;/2
3
α
;6
;/9
4
α
1
/1
α
=α
184
Продолжение приложения 1
№ Название закона
(
)
xf
x
()
xF
x
9
xhsec
2
axhsec
2
a
2
thax
2
1
2
1
+
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
0
2
2
a12
π
;0
;0
;2,4
;
a240
7
4
4
π
2
32
a
μ
π
=
10
Нормальный
()
(
)
2
2
2/axexp
2
1
σ−−
σπ
()
()
dt2/atexp
2
1
x
2
2
∫
∞
−
σ−−
σπ
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
a
2
σ
;0
;0
;0
;3
4
σ
;
;a
2
1
μ=σ
α=
11
Односторонний
нормальный
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>σ−
πσ
<∞−
0x,2/xexp
2
;0x,,0
22
2
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>σ−
πσ
<∞−
∫
x
0
22
2
0x,dt2/texp
2
;0x,,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
σ≈ 8,0
2
36,0 σ≈
;1
;22,0
3
≈
σ≈
;85,0
;54,0
4
≈
σ≈
1
25,1
α
=σ
12
Пирсона
()
()
()
...,2,1n2/n
;ex
Г
;0x,0
x1
==λ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
λ
α
<<∞−
α−−λ
λ
(
)
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
λ
αλ
<∞−
x0,
Г
x,Г
;0x,,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
αλ /
2
/ αλ
;/2
;/2
3
λ
αλ
(
)
;/6
;/23
4
λ
α+λλ
;/
;/
2
2
1
21
μα=λ
μ
α=α
185
Продолжение приложения 1
№ Название закона
(
)
xf
x
()
xF
x
13
Распределение мо-
дуля нормальной
случайной величи-
ны
()
() ()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<≤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
σπ
<<∞−
σ
+
−
σ
−
−
)x0(
;ee
2
1
;0x,0
2
2
2
2
2
ax
2
ax
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
<<∞−
x0,
2
n
Г
2
x
,
2
n
Г
0x,0
2
2
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
()
()
()
()
()
1k2n
;
2/nГ
!
2
1n
2
k2n
;
2/nГ2
!!1n2
2/n
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
πσ
=
−πσ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎢
⎢
⎣
⎡
−σ
2
n
Г
2
1n
Г
2
n
2
2
2
()
;
2
n
Г
2
1n
Г
4
2
n
Г
2
1n
Г
n212
3
3
3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
×
⎢
⎢
⎣
⎡
×−σ
;/
2/3
23
μμ
()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+σ
2
n
Г
2
1n
Г
3
2
n
Г
2
1n
Г
2n
1
2
n
2
n
4
4
4
2
2
4
;3/
2
24
−μμ
14
Усечённый
нормальный
()
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
≤<
σπ
≤
<
∞−
σ
−
−
;xxx,0
;xxx,e
2
A
;xx,0
21
21
2
ax
1
2
() ()
[]
()
∫
σ
−
−
=
−
π
=
ax
0
2
u
i
12
i
2
duexB
,
xBxB
2
1
1
A
(
)
() ( )
() ()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
≤<
−
−
≤<∞−
;xxx,0
;xxx,
xBxB
xBxB
;xx,0
21
21
12
1
1
1
α
2
μ
() ()
()
() ( )
() ()
;
xBxB
xCxC
E
;
2
xD
expxC;
ax
xD
;Ea
12
21
2
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
σ
−
=
σ+
()()
[
()()
]
⎭
⎬
⎫
−
⎩
⎨
⎧
−
π
−−σ
11
22
22
xCxD
xCxD
2
A
E1
186
Продолжение приложения 1
№ Название закона
(
)
xf
x
()
xF
x
15
Эрланга
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
−α
β
<
<
∞−
β−
−αα
x0,e
!1
x
;0x,0
x
1
(
)
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
β
−
<<
∞
−
∑
−α
=
β−
x0
,
!k
xe
1
;0x,0
1
0k
k
x
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
βα /
2
/ βα
;/2
;/2
3
α
βα
(
)
;/23
4
β+αα
;/6
α
;/
2
2
1
μα=α
;/
21
μ
α=β
16
«Гамма-
распределение»
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>β−>α
∞<<
+αβ
<<∞−
β
−
α
+α
0,1
,x0,ex
1Г
1
;0x,0
x
1
(
)
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
+α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
β
+α
<<∞−
x0,
1Г
x
;1Г
;0x,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
()
β+α 1
()
2
1 β+α
(
)
;12
3
β+α
;1
2
+α
(
)
(
)
133
4
β+α+α
;
1
6
+α
;
;1
1
2
2
2
1
α
μ
=β
−
μ
α
=α
17
Показательно-
степенной
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<∞−
−
x0,e
!m
x
;0x,0
x
m
(
)
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
+
+
<<∞−
x0,
1mГ
x,1mГ
;0x,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
1
m
+ 1
m
+
)1m(2
+
;
;
1m
2
+
(
)
);1m(3m3 +
+
;
1m
6
+
1m
1
−
α
=
18
Максвелла
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
σπ
<<∞−
σ
−
2
2
2
x
2
2/3
2
ex
2
4
;0x,0
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
π
<<∞−
2
2
2
x
;
2
3
Г
2
;0x,0
1
α
2
μ
;k
;
a
3
μ
;k
;
4
ε
μ
Параметры
функции рас-
пределения
σ≈ 6,1
2
73,1 σ≈ ;15,0
3
σ≈
;07,0
≈
;5,13
4
σ≈
;55,1
≈
1
625,0
α
≈σ
187
Приложение 2
Характеристические функции
№ Название закона
(
)
xf
x
()
u
x
ϕ
1
Равномерный
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<
−
<<∞−
;xb,0
;bxa,
ab
1
;ax,0
()
abiu
ee
iuaiub
−
−
2
Симпсона
()
()
()
()
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<+
−
−
+<<
−
−
<<∞−
;xb,0
;bx2/)ba(,
ab
xb4
);2/ba(xa,
ab
ax4
;ax,0
2
2
()
()
2/iua2/iub
2
2
ee
abu
4
−
−
−
3
Арксинуса
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<−
−π
−<<∞−
,xa,0
,axa,
xa
1
,ax,0
22
∫
−
−
π
a
a
22
iux
dx
xa
e1
4
Коши
()
[
]
2
2
ax
a
+μ−π
[
]
uauiexp −μ
5
Лапласа
μ−λ−
λ
x
e
2
()
22
/
u1
iuexp
λ+
μ
6
Вейбулла
(
)
()
⎩
⎨
⎧
β−αβ
<<∞−
α−α
;
xexpx
;0x,0
1
0,0 >
β
>
α
(
)
∑
∞
=
α−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
+β+
1
k
/k
2
k
1Г
!k
iu
1
7
Рэлея
()
()
∞<<
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
<<∞−
xo,
2
x
exp
x
;0x,0
2
2
2
()
()
()
()
∑
∞
=
+
σ−
πσ
+
+σ
+
−
σ
−
−
0k
22
2k2
k
2/uexp
2
u
i
2u
!1k2
!k1
2
u
1
8 Экспоненциаль-
ный
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∞<<α
<<∞−
α−
x0,e
;0x,0
x
iu−α
α
9
xhsec
2
axhsec
2
a
2
a
2
u
sha2
u
π
π
10
Нормальный
()
(
)
2
2
2/axexp
2
1
σ−−
σπ
(
)
2/uiuaexp
22
σ−
188
Продолжение приложения 2
11
Односторонний
нормальный
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>σ−
πσ
<∞−
0x,2/xexp
2
;0x,,0
22
2
(
)
;
2
iu
Ф1
2/uexp
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
+×
×σ
()
()
∫
−
π
=
z
0
2
dttexp
2
zФ
12
Пирсона
()
()
()
...,2,1n2/n
;ex
Г
;0x,0
x1
==λ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
λ
α
<<∞−
α−−λ
λ
()
λ
α− /iu1
1
13
Эрланга
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
−α
β
<
<
∞−
β−
−αα
x0,e
!1
x
;0x,0
x
1
α−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
β
−
iu
1
14
«Гамма-
распределение»
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>β−>α
∞<<
+αβ
<<∞−
β
−
α
+α
0,1
,x0,ex
1Г
1
;0x,0
x
1
()
1
iu1
1
+α
β−
15
Показательно-
степенной
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<<
<<∞−
−
x0,e
!m
x
;0x,0
x
m
()
1m
iu1
1
+
−
189
Приложение 3
Обратные функции законов распределения
Закон распределения Обратная функция
Арксинуса
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
<<−π−=
=
−
=
;1y,ax
);1y0(),2/1y(sinax
;0y,ax
Коши
(
)
;2/1ytgax
−
π
+
μ
=
Лапласа
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<−
λ
−μ=
<<
λ
+μ=
);1y
2
1
[)),y1(2ln(
1
x
);
2
1
y0(),y2ln(
1
x
Вейбулла
;
y1
1
ln
1
ln
1
expx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−βα
=
Рэлея
⎩
⎨
⎧
<<−−σ=
=
=
);1y0(,)y1ln(2x
;0y,0x
Экспоненциальный
односторонний
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
λ
−=
==
);1y0(),y1ln(
1
x
;0y,0x
axhsec
2
()
;1y2arcth
a
1
x −=