Прохоров С.А. Лабораторный практикум. Моделирование и анализ случайных процессов
Подождите немного. Документ загружается.
Приложение 4
Функции распределения вероятностей и их обратные функции
№
Наименование
Функция распределения
(
)
xFy
=
Обратная функция
(
)
yFx
1
−
=
1
Треугольный
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−=
<<−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
;ax0,
a
xa
2
1
1y
;0xa,
a
ax
2
1
y
2
2
⎩
⎨
⎧
<<−−=
<<+−=
;1y2/1,2/)y1(a2ax
;2/1y0,2/ya2ax
2
Треугольный
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
+<<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
;bx2/ba,
ab
xb
21y
;2/baxa,
ab
ax
2y
2
2
⎩
⎨
⎧
<<−−−=
<<−+=
;2/1y0,2/)y1()ab(bx
;2/1y0,2/y)ab(ax
3
Трапециевидный
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
−
−+−
=
<<−
+
++
=
−<<−
−
+
=
;axb,
ba2
xax2b2a
y
;bxb,
ba2
x2ba
y
;bxa,
ba2
ax
y
22
222
22
2
(
)
()
()
()
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
+
+
−−−=
+
+
<<
+
−
−
+
=
+
−
<<−+−=
;1y
ba2
b3a
,y1ba2ax
;
ba2
b3a
y
ba2
ba
,1y2
2
)ba(
x
;
ba2
ba
y0,bay2ax
22
22
x
а b 0
f(x)
x
-а а
f(x))
0
-а
x
а
f(x)
-b b 0
Продолжение приложения 4
№
Наименование
Функция распределения
(
)
xFy
=
Обратная функция
(
)
yFx
1
−
=
4
Антимодальный I
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<+=
<<−
−
−=
;ax0,
a2
x
2
1
y
;0xa,
a2
ax
y
2
2
2
22
()
⎩
⎨
⎧
<<−=
<<−−=
;1y2/1,1y2ax
;2/1y0;y21ax
5
Антимодальный II
(
)
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
−
−
+=
<<−=
−<<−
−
−++
−=
;axb,
ba2
bx
2
1
y
;bxb,
2
1
y
;bxa,
ba2
axab2bx2
y
2
2
2
22
(
)
()
⎩
⎨
⎧
<<−−+=
<<−−−−=
;1y2/1;1y2babx
;2/1y0;y21babx
f(x)
x
-а а
-а
x
а
f(x)
-b b
Приложение 5
Характеристики типовых законов распределения (Рд=0,999)
№ Название
(
)
xf
x
(
)
xF
′
′
dx
1 Нормальный
(
)
2
x
2
ax
x
e
2
1
σ
−
−
σπ
2
1
x
e
2
1
−
σπ
x
8,6 σ
2
Односторонний
нормальный
2
x
2
2
x
2
x
e
2
σ
−
πσ
2
1
2
x
x
e
21
−
πσ
σ
x
4.3 σ
3
Усечённый
нормальный
(
)
2
x
2
ax
x
e
2
A
σ
−
−
σπ
() ()
[]
()
∫
σ
−
−
=
−
π
=
x
i
2
ax
0
2
u
i
12
duexB
,
xBxB
2
1
1
A
2
1
2
x
e
2
A
−
σπ
(
)
x12
xx σ
−
4
Распределение модуля
нормальной случайной
величины
() ()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
σπ
σ
+
−
σ
−
−
2
x
2
2
x
2
2
ax
2
ax
x
ee
2
1
X
э
определяется из уравнения
(
)
()
()
()
()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−
σπ
=
σ
−
σ
σ−+
σ
+
−
σ
−
−
2
x
2
2
x
2
2
ax
2
ax
3
x
2
x
2
x
2
x
22
eaxeax
2
1
;0
ax
shax2
ax
chax
x
15,3 σ
Продолжение приложения 5
№ Название
(
)
xf
x
(
)
xF
′
′
dx
5
Логарифмический
нормальный
(
)
2
x
2
2
axln
x
e
2x
1
σ
−
−
πσ
(
)
()
125,0ex
,axlne
x2
1
4
x
5,1a
2
x
2
axln
23
x
2
x
2
x
2
+σ=
−+σ
πσ
−
σ−
σ
−
−
m
a085,3
x
e
+σ
6 Экспоненциальный
x
e
α
−
α
2
α
α
9078,6
7 Пирсона
()
()
...3,2,1n,
2
n
,ex
Г
x1
==λ
λ
α
α−−λ
λ
(
)
()
()
11
2
2
e
Г
111
−λ−−λ−
−
λ
λ
−λ−−λ−λα
α
4
8 Гамма-распределение
()
0,1,ex
1Г
1
x
1
>β−>α
+αβ
β
−
α
+α
(
)
()
()
α−α−
−
α
+αβ
α−αα
e
1Г
2
1
β5,9
9 Максвелла
()
2
x
2
2
x
2
2/3
2
x
ex
2
4
σ
−
σπ
()
2192,0
2/3
2
x
x
e
2
1357,4
−
σπ
σ
x
1,4 σ
10
Распределение модуля
многомерного вектора
()
()
...3,2,1n,e
2/nГ2
x2
2
x
2
2
x
2/n
2
x
1n
=
σ
σ
−
−
[
(
)
]
()
()
[]
()
2
7n815,0n
2/n
2
x
2n
x
e
17n8
2/nГ2
7n815,0n
−+−
−
−
×
×
−−
σ
−+−σ
x
8,3 σ
Продолжение приложения 5
№ Название
(
)
xf
x
(
)
xF
′
′
dx
11
«m- распределение»
(Накагами)
()
2/1m,e
mГ
xm2
2
x
2
mx
m2
x
1m2m
≥
σ
σ
−
−
2/3
2
x
2
x
2/1
e
6
,1m
e2
,2/1m
−
−
σ
=
σ
π
=
m
33,2
x
σ
12
Показательно-
степенной
x
m
e
!
m
x
−
(
)
()
mm
1m
e
!
m
mm
m
−−
+
−
13 Эрланга
()
...3,2,1,e
!1
x
x
1
=α
−α
β
β−
−
α
α
(
)
()
()
11
2
2
e
!1
111
−α−−α−
−
α
−α
−α−−α−αβ
14
Гиперэкспоненциаль-
ный
∑
=
λ−
λα
N
1n
x
nn
n
e
∑
=
λα
N
1n
2
nn
195
Приложение 6
Таблица χ
2
распределения
r\p 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10
1 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,71
2 0,211 0,446 0,713 1,386 2,41 3,22 4,60
3 0,584 1,005 1,424 2,37 3,66 4,64 6,25
4 1,064 1,649 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78
5 1,610 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24
6 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64
7 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02
8 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36
9 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68
10 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99
11 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28
12 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55
13 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81
14 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,10
15 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,30
16 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,50 23,50
17 10,08 12,00 13,53 16,34 19,51 21,60 24,80
18 10,86 12,86 14,44 17,34 20,60 22,80 26.00
Приложение 7
Таблица значений коэффициента λ к критерию Колмогорова
δ\Ν
500 1000 2000 5000 8000 10000
0,0025 0,0559 0,0790 0,1118 0,1767 0,2236 0,25
0,005 0,1118 0,1581 0,2236 0,3535 0,4472 0,5
0,01 0,2236 0,3162 0,4472 0,7071 0,8944 1
0,02 0,4472 0,6324 0,8944 1,4142 1,7889 2
0,03 0,6708 0,9486 1,3416 2,1213 2,6833 3
0,04 0,8972 1,2648 1,7888 2,8284 3,5777 4
0,05 1,1208 1,5810 2,2360 3,5355 4,4721 5
Приложение 8
Производные для однопараметрических плотностей распределения вероятностей
Закон распределения
)
1
,x(f
β
β
∂
β
∂
1
)
1
,x(f
β
∂
β
∂
2
1
)
1
,x(f
2
xhsec
2
j
xa
ch
2
2
a
−
)
j
x)
j
x
j
x)
j
x a(sha(
ch
3
aa(
ch
2
2
1
−
−
−
++
−
− )
x
j
1(
x
)j
a(sh
x
)j
a(
ch
3
)1
x
)j
a(
sh
2
x
)j
a(
ch
2
3(
x
)j
a(
ch
2
x
2
j
a
−
−
−
+
Арксинуса
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
π
x
2
j
a
2
2/1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
π
x
2
j
a
2
2/3
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
π
−
−
−
π
x
2
j
a
2
2/3
1
x
2
j
a
2
2/5
a
2
3
Рэлея
e
2
2
x
2
j
2
x
j
σ
−
σ
)
3
x
j
2
5
x
3
j
(
e
2
2
x
2
j
σ
−
σ
σ
−
)
4
x
j
6
6
x
3
j
7
8
x
5
j
(
e
2
2
x
2
j
σ
+
σ
−
σ
σ
−
Экспоненциальный
e
x
j
α
α
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
x
j
α1
e
x
j
α
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
x
j
α2
e
x
j
α
x
j
Приложение 9
Производные для двухпараметрических плотностей распределения вероятностей
Закон
распределения
β
∂
β
β
∂
1
)
2
,
1
,x(f
β
∂
β
β
∂
2
)
2
,
1
,x(f
β
∂
ββ
∂
2
1
)
2
,
1
,x(f
2
Симпсона
() ()
3
ab
)a
x(
j
8
2
ab
4
−
−
+
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
()
3
ab
)
xb(
j
8
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
()
3
ab
)a
x(
j
8
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
()()
3
ab
)
xb(
j
8
2
ab
4
−
−
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
() ()
4
ab
)a
x(
j
24
3
ab
)a
x(
j
16
−
−
+
−
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
()
4
ab
)
xb(
j
24
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
Лапласа
))
x
j
(1(
e
)
x
j
(
2
1
μ−λ−
μ−λ−
)x(
μ
>
))
x
j
(1(
e
)
x
j
(
2
1
μ−λ+
μ−λ
)x(
μ
<
e
)
x
j
(
2
2
μ−λ−
λ
)x(
μ
>
e
x
j
)(
2
2
μλ
λ
−
−
)x(
μ
<
))
x
j
(2)(
x
j
(
e
)
x
j
(
2
1
μ−λ−μ−
μ−λ−
−
)x(
μ
>
))
x
j
(2)(
x
j
(
e
)
x
j
(
2
1
μ−λ+μ−
μ−λ
)x(
μ
<
Вейбулла
)
x
j
ln
x
j
x
j
ln1(
e
x
j
x
j
1 α
αβ−α+
α
β−
−α
β
)
x
j
1(
e
x
j
x
j
1 α
β−
α
β−
−α
+
−α
αβ−
α
β−
α
β−
−α
β )
x
j
ln
x
j
1
x
j
1(
x
j
ln
e
x
j
x
j
1
)
x
j
ln
x
j
x
j
ln1)(
x
j
1(
x
j
ln
e
x
j
x
j
1 α
αβ−α+
α
β−
α
β−
−α
β+
Продолжение приложения 9
Закон
распределения
β
∂
ββ
∂
2
2
)
2
,
1
,x(f
2
ββ
∂
ββ
∂
21
)
2
,
1
,x(f
2
ββ
∂
ββ
∂
12
)
2
,
1
,x(f
2
Симпсона
()
4
ab
)a
x(
j
24
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
() ()
4
ab
)
xb(
j
24
3
ab
16
−
−
+
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
()()
4
ab
)a
x(
j
24
3
ab
8
−
−
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
()()
4
ab
)
xb(
j
24
3
ab
8
−
−
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
()()
4
ab
)a
x(
j
24
3
ab
8
−
−
−
−
)
2
ba
xa(
+
<<
() ()
4
ab
)
xb(
j
24
3
ab
8
−
−
−
−
)bx
2
ba
( <<
+
Лапласа
e
)
x
j
(
2
3
μ−λ−
λ
)x(
μ
>
e
)
x
j
(
2
3
μ−λ
λ
)x(
μ
<
))
x
j
(2(
e
)
x
j
(
2
μ−λ−
μ−λ−
λ
)x(
μ
>
))(2(
)(
2
μλ
μλ
λ
−+
−
−
x
j
e
x
j
)x(
μ
<
))
x
j
(2(
e
)
x
j
(
2
μ−λ−
μ−λ−
λ
)x(
μ
>
))
x
j
(2(
e
)
x
j
(
2
μ−λ+
μ−λ
λ
−
)x(
μ
<
Вейбулла
)
x
j
2(
e
x
j
x
j
12 α
β−
α
β−
−α
α−
)
x
j
ln
x
j
x
j
ln1()
x
j
ln
x
j
(
e
x
j
x
j
1 α
αβ
−
α++
α
α−
α
β−
−α
β
)
e
x
j
x
j
12
e
x
j
x
j
1
(
α
β−
−α
β−
α
β−
−α
)
x
j
1()
x
j
ln
x
j
(
e
x
j
x
j
1 α
β−+
α
β−
α
β−
−α
)
x
j
ln
x
j
x
j
ln1(
e
x
j
x
j
1
(
α
αβ−α+
α
β−
−α
Приложение 10
Производные для однопараметрических функций распределения вероятностей
Закон распределения
)
1
,x(F
β
β
∂
β
∂
1
)
1
,x(F
β
∂
β
∂
2
1
)
1
,x(F
2
xhsec
2
)
j
ax(th
2
1
2
1
+
)
j
ax(
ch
2
2
x
i
−
)
j
ax(
ch
3
2
j
x
−
Арксинуса
a
j
x
arcsin
1
2
1
π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−π
a
2
2
j
x
a
4
j
x
3
)
2
j
x
a
2
(2
j
x
−π
Рэлея
e
2
2
2
j
x
1
σ
−
−
e
2
2
2
j
x
3
j
x
σ
−
σ
−
)
6
4
j
x
4
2
j
x3
(
e
2
2
2
j
x
σ
−
σ
σ
−
Экспоненциальный
e
j
x
1
α
−
−
e
j
x
j
x
α
−
e
j
x
2
j
x
α−