Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Однако она означает противоположное тому, что предполагалось. Эта запись эквивалентна
1x
, а не
пустому множеству.
Напомним, что любая непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего на
отрезке значений. Она их принимает или в критических точках, лежащих внутри отрезка, или в граничных
точках. Критические точки – это точки, лежащие внутри D(f), в которых производная равна 0 или не
существует. Если функция на отрезке строго монотонна (только строго убывает или только строго
возрастает), то она достигает наибольшее и наименьшее значения в граничных точках отрезка.
Пример [6], №582. Решить уравнение
2233
1111
xx
.
Решение. ОДЗ:
01
01
x
x
1
1
x
x
x[-1; 1]
В уравнении справа и слева функции, строго возрастающие на [-1;1]. Их значения на концах отрезка:
При
1x
03333
111
,
01
2
1
222
2
111
;
При
1x
013333
2111
,
02222
111
.
Итак,
22033
1111
xx
x[-1; 1].
Равенство может быть только, когда обе части равны 0. Но 0 достигается в разных точках.
81
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Ответ: .
Иногда оценки значений левой и правой частей на всей ОДЗ имеют перекрытие, представляющее
собой промежуток. Однако анализ на частях ОДЗ может дать отсутствие перекрытия или соприкосновение
оценок. Обнаружению такой ситуации помогает построение графиков левой и правой частей уравнения.
Отметим только, что графический метод относится к приближенным. На некоторых экзаменах с
повышенными требованиями применение только приближенных методов вычислений считается
недостатком. На таких экзаменах для полноты ответа следует провести еще точный анализ.
Пример ([3], с.417, подобный). Решить уравнение
xx sin)2(
2
.
Решение.
0)2(
2
x
,
1sin1 x
хR.
Эти оценки не позволяют сформулировать определенный вывод. Корни могут быть и не быть.
Построим графики функций, стоящих в уравнении слева и справа. На чертеже видно, что графики не
пересекаются, т.е. корней нет.
Для строгого доказательства решим неравенство
1)2(
2
x
;
144
2
xx
;
034
2
xx
;
) ;1()3 ;( x
.
Итак,
) ;1()3 ;( x
xx sin1)2(
2
;
]1 ;3 [ x
xx sin0)2(
2
, т.к.
)0 ;(]1 ;3[
, где синус
отрицателен.
82
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Вывод: корней нет на всех промежутках.
Ответ: .
Ниже рассмотрены тригонометрические уравнения, решаемые методом оценок.
Пример. Решить уравнение
1ctg12sin
149
xx
.
Решение.
xx
149
ctg121sin
. ОДЗ:
0sin x
.
xx
149
ctg1211sin
хОДЗ.
Значит, данное уравнение равносильно системе уравнений
0ctg
1sin
14
9
x
x
0ctg
1sin
x
x
Zmmx
Znnx
,2
,22
Ответ:
Znn 2
2
.
Пример. Решить уравнение
13sin3cos
92
xx
.
Решение.
xx 3sin3sin
29
хR.,
13sin3cos3sin3cos
2292
xxxx
хR.
Левая часть уравнения не может быть равна 1, если выполняется строгое неравенство
xx 3sin3sin
29
.
Следовательно, данное уравнение эквивалентно уравнению
83
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
xx 3sin3sin
29
13sin
03sin
x
x
Znnx
Znnx
,223
,3
Ответ:
Zn
nn
3
2
6
;
3
.
84
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить уравнение
1sincos
117
xx
.
Решение.
1sincos
117
xx
.
Rxxxxx
Rxxx
Rxxx
1sincossincos
sinsin
coscos
22117
211
27
Левая часть уравнения не может быть равна 1, если выполняется
хотя бы одно строгое неравенство:
xx
27
coscos
или
xx
211
sinsin
. Значит, данное уравнение равносильно системе
уравнений
xx
xx
211
27
sinsin
coscos
)(
0sin
1sin
)(
0cos
1cos
x
x
x
x
Zmmx
Znnx
,2
,2
2
Ответ:
Znnn 2 ,2
2
.
85
0
cosх
sinх
2
-
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить уравнение
1cossin
10
7
4
xx
.
Решение. ОДЗ:
0cos x
.
xx
2
7
4
sinsin
,
xx
2
10
coscos
хОДЗ.
1cossincossin
22
10
7
2
xxxx
хОДЗ.
Левая часть данного уравнения не может быть равна 1, если
выполняется хотя бы одно строгое неравенство
xx
2
7
4
sinsin
или
xx
2
10
coscos
. Следовательно, данное уравнение эквивалентно
системе уравнений
xx
xx
2
10
2
7
4
coscos
sinsin
)(
0cos
1cos
)(
1sin
0sin
x
x
x
x
Zmmx
Znnx
,
2
,2
Ответ:
Znnn
2
;2
.
Такое же решение имеет уравнение
1cossin
12
xx
, но
5,0cossin
12
xx
х
Далее рассмотрим примеры, в которых
)(x
и
)(x
– какие-либо функции.
86
0
cosx
sinх
2
-
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример:
1)(cos
1)(cos
7)(cos2)(cos5
x
x
xx
Zmmx
Znnx
,2)(
,2)(
Эта эквивалентность следует из оценок подпунктов 1 и 5 «Тригонометрических оценок». Последняя
система, несмотря на свою внешнюю простоту, не всегда решается легко. Здесь только отметим, что в этой
системе обозначение целых переменных обязательно должно быть разным.
Пример:
1)(sin)(sin xx
.
Первый способ:
2)(sin)(sin2 xx
2)()(cos)()(cos xxxx
1)()(cos
1)()(cos
xx
xx
Znnxx
Zmmxx
,2)()(
,2)()(
Второй способ:
1)(sin)(sin xx
1)(sin
1)(sin
1)(sin
1)(sin
x
x
x
x
Обычно 2-й способ не рационален, т.к. приходится решать две системы уравнений.
Далее применим для решения уравнения неравенство Коши-Буняковского.
87
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить уравнение
)1(sin21cossinsin
22
xxx
.
Решение ОДЗ:
Rx
. Пусть
)1;(sin xa
,
1cos;sin
2
xxb
.Тогда
1cos1sinsin
2
xxxba
;
1sin
2
xa
;
21cossin1cossin
222
2
xxb
.
Согласно неравенству Коши-Буняковского:
bababa
,
, справедлива оценка:
Rxxxxx 21sin1cossinsin
22
Равенство может быть только, если
ba
, т.е. если
0
1cos
1
sin
sin
2
x
x
x
.
Следовательно, данное уравнение согласно свойствам пропорции (также см. замечание к этим свойствам)
эквивалентно уравнению
xxx sin1cossin
2
011cossin
0sin
2
xx
x
11cos
0sin
0sin
2
x
x
x
0cos
0sin
0sin
x
x
x
1sin
0sin
x
x
Zmmx
Znnx
,22
,
Ответ:
Znnn
2
2
,
88
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решим еще с помощью этого неравенства систему уравнений.
Пример. Решить систему
72
1
222
444
zyx
zyx
.
Решение. Пусть
2;1;1a
,
);;(
222
zyxb
. Тогда
222
2zyxba
;
6a
;
1
444
zyxb
.
Последнее равенство записано с учетом 1-го уравнения системы.
Используя неравенство Коши-Буняковского, получили оценку
7162
222
zyx
,
откуда следует, что 2-е уравнение системы не выполняется. Ответ: .
89
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Уравнения с двумя неизвестными
Это уравнения вида
0),( yxF
.
Обычно такое уравнение на координатной плоскости описывает линию. Координаты точек линии и
являются решениями уравнения. Однако в некоторых случаях уравнение описывает одну точку, несколько
отдельно стоящих точек или пустое множество. Это так называемые случаи вырождения линии. Как раз
такие уравнения иногда предлагают решить на конкурсных экзаменах. Для их решения применяют тот же
метод оценок ограниченности функций и др.
Решение методом оценок ограниченности
Рассмотрим на примерах.
Пример. Решить уравнение
xyyxxyyx
3622594
3
.
Решение.
09369162424
xyxyyxyx
03342
22
xyyx
033
042
xy
yx
1
2
xy
yx
1
1
y
x
Ответ: (1; 1).
90