Глава 4 Проверка статистических гипотез 95
§ 14 Проверка равенства математических ожи-
даний
14.1 Постановка задачи
Рассмотрим задачу проверки равенства математических ожи-
даний (средних) двух нормальных совокупностей. Точнее задача
формулируется следующим образом. Пусть X ∈ N (µ
1
, σ
2
), Y ∈
N(µ
2
, σ
2
) — независимые нормально рас пре дел ен ные величины и
x = (x
1
, . . . x
n
), y = (y
1
, . . . y
m
) — наблюдения, полученные путем
ПСВ над с.в. X и Y соответственно. Требуется проверить гипотезу
H
0
: µ
1
= µ
2
против класса альтернатив H : µ
1
6= µ
2
.
Отметим, что в данном случае мы имеем дело с проверкой слож-
ной гипотезы H
0
(так как она не выделяет единственного распре-
деления в выборочном пространстве) против сложной же альтерна-
тивы. Таким образом, теория Неймана-Пирсон а не применима к ре-
шению поставленной задачи и следует искать статистику критерия
h(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
), которая позволил а бы проверить иссл едуе-
мую гипотезу H
0
. Так как в данном случае для проверяемых пара-
метров существует достаточные статистики равные соответственно
выборочным средним, то естественно проверку равенства математи-
ческих ожиданий µ
1
= µ
2
основывать на близости соответствующих
выборочных средних ¯x и ¯y.
Для постр оени я статистики критерия рассмотрим два случая:
1) когда дисперсии равны и известны, σ
2
1
= σ
2
2
= σ
2
;
2) когда дисперсии равны, но неизвестны, σ
2
1
= σ
2
2
.
Замечание. Случай, когда дисперсии не равны, σ
2
1
6= σ
2
2
, приводит
к более сложному правилу проверки гипотезы и здес ь рассматри-
ваться не будет. Соответствующее правило можно найти, например,
в [?]