Щеглов О.О., Неделько Є.Ю. Збірник задач з вищої математики для студентів економічних спеціальностей
Подождите немного. Документ загружается.
21
3. Äëÿ ñïëàâó À
3
ìàºìî
{}
7,2258,107,2
3
=
a
;
=
10
75,0
10
9
3
b
.
Ñ
3
=
33
ba ⋅
= 2,7⋅9 + 10,58⋅10 + 2⋅0,75 + 2,7⋅10 = 243,3 + +105,8 +
+ 1,5 + 27 = 158,6 ãð. îä.
³äïîâ³äü: ïåðøèé ñïëàâ êîøòóº 348,4 ãð. îä.; äðóãèé
472,35 ãð. îä.; òðåò³é 158,6 ãð. îä.
Çàäà÷à 2.4. Ñòðóêòóðíà ìàòðèöÿ òîðã³âë³ òðüîõ äåðæàâ ìàº
âèãëÿä
=
4
1
2
1
0
2
1
0
3
2
4
1
2
1
3
1
À
.
Çíàéòè íàö³îíàëüí³ äîõîäè äåðæàâ äëÿ çáàëàíñîâàíî¿ òîðã³âë³.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ç óìîâè çàäà÷³ ìàºìî
−
−
−
=−
4
3
2
1
0
2
1
1
3
2
4
1
2
1
3
2
ÅÀ
.
Ðîçâ'ÿçóºìî îäíîð³äíó ñèñòåìó ð³âíÿíü (À Å)Õ = 0 ìåòîäîì
Ãàócñà:
22
⇔
−
−
−
+
⇔
−
−
−
0
0
0
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
4
1
2
1
3
2
III
III
I
0
0
0
4
3
2
1
0
2
1
1
3
2
4
1
2
1
3
2
⇔
−
−
+
⇔
000
4
3
2
1
0
4
1
2
1
3
2
IIIII
II
I
=+−
=++−
)2(0
4
3
2
1
)1(0
4
1
2
1
3
2
32
321
õõ
õõõ
Ïîçíà÷èìî õ
3
= t → (2):
1/2õ
2
= 3/4t → õ
2
= 3/2 t → (1),
tõtõttõ
2
3
0
3
2
0
4
1
2
3
2
1
3
2
111
=→=+−→=+⋅+−
.
Îòæå, îòðèìóºìî
=
tttÕ
;
2
3
;
2
3
.
³äïîâ³äü: îòðèìàíèé ðåçóëüòàò îçíà÷àº, ùî çáàëàíñîâàí³ñòü
òîðã³âë³ òðüîõ äåðæàâ äîñÿãàºòüñÿ ïðè âåêòîð³ íàö³îíàëüíèõ äî-
õîä³â
=
tttÕ
;
2
3
;
2
3
, òîáòî ïðè ñï³ââ³äíîøåíí³ íàö³îíàëüíèõ
äîõîä³â õ
1
: õ
2
: õ
3
= 3 : 3 : 2.
Çàäà÷³ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè
Çàäà÷à 2.5. Áðèãàäà ç ÷îòèðüîõ ðîá³òíèê³â îòðèìàëà çàðîá³ò-
íó ïëàòíþ ó ðîçì³ð³ 250, 230, 230, 210 ãðí â³äïîâ³äíî, à òàêîæ
ïðåì³þ ó ðîçì³ð³ 70, 65, 60, 60 ãðí â³äïîâ³äíî.
23
Ñê³ëüêè ãðîøåé îòðèìàëè ÷ëåíè áðèãàäè ï³ñëÿ 15 % îïîäàòêó-
âàííÿ?
³äïîâ³äü: âåêòîð îñòàòî÷íèõ âèïëàò
=
5,229
5,246
75,250
272
Ñ
ãðí.
Çàäà÷à 2.6. Öåõ âèïóñêຠçà îäèí äåíü 20 øàô, 50 ñòîë³â, 120
ñò³ëüö³â, ïðè÷îìó íà îäíó øàôó âèòðà÷àºòüñÿ 0,35 ì
3
äåðåâèíè,
íà ñò³ë 0,25 ì
3
, à íà ñò³ëåöü 0,1 ì
3
.
Ñê³ëüêè äåðåâèíè âèòðà÷àºòüñÿ íà âèãîòîâëåííÿ ìåáë³â çà
îäèí ðîáî÷èé äåíü?
³äïîâ³äü: âèòðàòè äåðåâèíè çà îäèí äåíü ðîáîòè ñêëàäàþòü
31,5 ì
3
.
2.2. Àíàë³òè÷íà ãåîìåòð³ÿ
Ïðèêëàäè ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷
Çàäà÷à 2.7. Òðàíñïîðòí³ âèòðàòè íà ïåðåâåçåííÿ îäèíèö³ âàí-
òàæó (y) ìîðñüêèì òà çàë³çíè÷íèì òðàíñïîðòîì â çàëåæíîñò³ â³ä
â³äñòàí³ (x) ïåðåâåçåíü çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
y
ç
= x + 150;
ó
ì
= 3/2õ + 50,
äå õ äàíî â ê³ëîìåòðàõ, ó ãðîøîâèõ
îäèíèöÿõ.
Ïðîàíàë³çóâàòè åôåêòèâí³ñòü âè-
êîðèñòàííÿ ìîðñüêîãî òà çàë³çíè÷íîãî
òðàíñïîðòó â çàëåæíîñò³ â³ä â³äñòàí³
ïåðåâåçåíü.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Áóäóºìî ãðàô³êè
ôóíêö³é ó
ç
³ ó
ì
òà çíàõîäèìî òî÷êó ¿õ
ïåðåòèíó:
õ + 150 = 3/2õ + 50 → õ = 200 êì.
Ãðàô³êè âèòðàò äîçâîëÿþòü çðîáè-
òè òàê³ âèñíîâêè:
êîëè 0 ≤ x ≤ 200, òðàíñïîðòí³ âè-
òðàòè ó
ç
ïåðåâåçåíü çàë³çíè÷íèì òðàíñ
150
200
y
ì
300
0
200
100
250
50
y
ç
x
300
y
100
24
ïîðòîì íèæ÷³ âèòðàò ïåðåâåçåíü ìîðñüêèì òðàíñïîðòîì. Íà â³ä-
ñòàíÿõ 0 ≤ õ ≤ 200 êì äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè çàë³çíè÷íèé òðàíñ-
ïîðò;
êîëè õ > 200, âèòðàòè ïåðåâåçåíü ìîðñüêèì òðàíñïîðòîì ó
ì
íèæ÷³, í³æ çàë³çíè÷íèì ó
ç
. Íà â³äñòàíÿõ õ > 200 êì äîö³ëüíî âèêî-
ðèñòîâóâàòè ìîðñüêèé òðàíñïîðò.
Çàäà÷à 2.8. Çàëåæí³ñòü ïðèáóòêó â³ä îáñÿãó âèðîáíèöòâà ï³ä-
êîðÿºòüñÿ ïàðàáîë³÷í³é çàëåæíîñò³ ó = 0,001(õ 300)
2
+ 90, äå õ
òà ó âèì³ðÿþòüñÿ ó òèñÿ÷àõ ãðèâåíü. Çàëåæí³ñòü âèòðàò íà ðåêëà-
ìó â³ä îáñÿã³â âèðîáíèöòâà ìຠâèãëÿä
45
40
3
+=
xy
(õ ³ ó âèì³ðþ-
þòüñÿ ó òèñÿ÷àõ ãðèâåíü).
Çíàéòè ³íòåðâàëè îáñÿã³â âèðîáíèöòâà, äå ïðèáóòîê ïåðåâè-
ùóº âèòðàòè íà ðåêëàìó. Ïîáóäóâàòè ãðàô³êè.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ïîòð³áíèõ ³íòåðâàë³â çíàõî-
äèìî òî÷êè ïåðåòèíó ãðàô³ê³â ôóíêö³é ïðèáóòêó òà ðåêëàìè:
⇒+−=+⇒
+=
++−−=
6,0001,045
40
3
45
40
3
90)90000600(001,0
2
2
xxx
xy
xxy
=+−⇒
04553,0001,0
2
x
.
Çíàõîäèìî êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ: õ
1,2
= 425; 105.
Áóäóºìî ãðàô³êè ôóíêö³é ïðèáóòêó òà ðåêëàìè â çàëåæíîñò³
â³ä îáñÿãó âèðîáíèöòâà.
100
50
400 300 200 100
0
X
À
Â
y
õ
25
Òî÷êè À ³  ïåðåòèíó öèõ ãðàô³ê³â âèçíà÷àþòü â³äïîâ³äí³ ³í-
òåðâàëè. Íà ïðîì³æêó (105; 425) ïðèáóòîê ïåðåâèùóº âèòðàòè íà
ðåêëàìó.
³äïîâ³äü: ïðè îáñÿãàõ âèðîáíèöòâà 105 < õ < 425 òèñ. ãðí ïðè-
áóòîê ïåðåâèùóº âèòðàòè íà ðåêëàìó.
Çàäà÷à 2.9. Äîñë³äæåííÿ âïëèâó ðîçøèðåííÿ òðàêòîðíîãî ïàð-
êó íà çðîñòàííÿ âðîæàþ çåðíîâèõ.
Ó 1980 ðîö³ äåðæàâà ìàëà 108,5 òèñ. òðàêòîð³â ³ îäåðæàëà ç
îäíîãî ãåêòàðà 8,5 ö çåðíîâèõ. Ó 1995 ðîö³ äåðæàâà ìàëà 510 òèñ.
òðàêòîð³â ³ òðèìàëà ç îäíîãî ãåêòàðà 21 ö çåðíîâèõ.
Ïîð³âíÿòè òåìïè ðîçøèðåííÿ òðàêòîðíîãî ïàðêó òà çðîñòàí-
íÿ âðîæàéíîñò³ çåðíîâèõ.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ïîçíà÷èìî ÷àñ ÷åðåç õ; ê³ëüê³ñòü òèñÿ÷ ãåêòà-
ð³â ÷åðåç ó; âðîæàé, ÿêèé îäåðæàëè ç îäíîãî ãåêòàðà, ïîçíà÷èìî
÷åðåç z (öåíòíåð³â).
Çà óìîâîþ çàäà÷³ ìàºìî ÷îòèðè òî÷êè:
À(õ
1
; ó
1
): õ
1
= 1980; ó
1
= 108,5;
Â(õ
2
; ó
2
): õ
2
= 1995; ó
2
= 510;
Ì
1
(õ
1
; z
1
): õ
1
= 1980; z
1
= 8,5;
Ì
2
(õ
2
; z
2
): õ
2
= 1995; z
2
= 21.
Çíàéäåìî ð³âíÿííÿ ïðÿìèõ ãðàô³ê³â çðîñòàííÿ òðàêòîðíîãî
ïàðêó òà âðîæàéíîñò³ çåðíîâèõ ç îäíîãî ãåêòàðà çà 19801995 ðîêè
ó âèãëÿä³ ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ç êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì ó = kõ + b.
Âèêîðèñòîâóþ÷è ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ çà-
äàí³ òî÷êè, îäåðæèìî
⇒
−
=
−
⇒
−
−
=
−
−
5,401
5,108
15
1980
5,108510
5,108
19801995
1980 yxyx
⇒
401,5õ 401,5⋅1980 = 15ó 15⋅108,5
⇒
⇒
15ó = 15⋅108,5 + 401,5⋅õ 401,5⋅1980
⇒
⇒
15ó = 401,5õ 793342,5
⇒
15
5,793342
15
5,401
−=
xy
.
Òàêèì ÷èíîì, êóòîâèé êîåô³ö³ºíò ïðÿìî¿ çðîñòàííÿ òðàêòîð-
íîãî ïàðêó áóäå k
1
= 401,5/15 ≈ 26,77.
26
Âèêîðèñòîâóþ÷è òî÷êè Ì
1
òà Ì
2
, àíàëîã³÷íî çíàõîäèìî ð³â-
íÿííÿ ïðÿìî¿ çðîñòàííÿ âðîæàéíîñò³ çåðíîâèõ ç îäíîãî ãåêòàðà:
⇒
−
=
−
⇒
−
−
=
−
−
5
,
12
5,8
15
1980
5
,
821
5,8
19801995
1980
zxzx
⇒
12,5õ 1980⋅12,5 = 15z 8,5⋅15 15z = 12,5õ 24877,5.
Îòæå, êóòîâèé êîåô³ö³ºíò áóäå k
2
=12,5/15 ≈ 0,83.
Ç óìîâ çàäà÷³ ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ïðè çðîñòàíí³ òðàê-
òîðíîãî ïàðêó âðîæàéí³ñòü çåðíîâèõ ç 1 ãà çðîñòàº. Àëå êóòîâèé
êîåô³ö³ºíò k
1
ãðàô³êà çðîñòàííÿ ê³ëüêîñò³ òðàêòîð³â çíà÷íî á³ëü-
øèé çà êóòîâèé êîåô³ö³ºíò k
2
ãðàô³êà çðîñòàííÿ âðîæàéíîñò³ çåð-
íîâèõ.
Òàêèì ÷èíîì, çðîñòàííÿ òðàêòîðíîãî ïàðêà ñïðèÿº çðîñòàí-
íþ âðîæàéíîñò³ çåðíîâèõ, àëå íå ïðîïîðö³éíî.
Çðîñòàííÿ ê³ëüêîñò³ òðàêòîð³â çðîñòàííÿ òåõí³÷íî¿ îçáðîº-
íîñò³ ñ³ëüñüêîãî ãîñïîäàðñòâà íå º îñíîâíèì ôàêòîðîì ó ï³äâè-
ùåíí³ åôåêòèâíîñò³ ñ³ëüñüêîãî ãîñïîäàðñòâà. Íåîáõ³äíî âðàõîâó-
âàòè âïëèâ ³íøèõ ôàêòîð³â, íàïðèêëàä ÿêîñò³ íàñ³ííÿ, êóëüòóðó
àãðîòåõí³êè.
Çàäà÷à 2.10. Âèçíà÷åííÿ âèòðàò ïàëèâà ñóäíîì íà ï³äâîäíèõ
êðèëàõ.
Äîñë³äæåííÿì âèÿâëåíî, ùî âèòðàòè ïàëèâà ñóäíîì íà ï³äâîä-
íèõ êðèëàõ çðîñòàþòü ïðîïîðö³éíî êâàäðàòó øâèäêîñò³ ñóäíà.
Òðåáà çíàéòè àíàë³òè÷íó çàëåæí³ñòü ì³æ âèòðàòàìè ïàëèâà m
òà øâèäê³ñòþ ñóäíà v, âðàõîâóþ÷è, ùî ïðè v = 40 êì/ãîä âèòðà÷å-
íî 20 ë ïàëèâà çà ãîäèíó, à òàêîæ âèçíà÷èòè âèòðàòè ïàëèâà ïðè
øâèäêîñò³ 60 êì/ãîä.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Çã³äíî ç óìîâîþ çàäà÷³ øóêàíó çàëåæí³ñòü ìî-
æíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³
v
2
= km,
äå k äåÿêèé êîåô³ö³ºíò ïðîïîðö³éíîñò³.
Ïîð³âíÿííÿ ö³º¿ ôîðìóëè ç ð³âíÿííÿì ïàðàáîëè y
2
= 2ðõ äîçâî-
ëÿº çðîáèòè âèñíîâîê, ùî âèòðàòè ïàëèâà çì³íþþòüñÿ çà ïàðàáî-
ë³÷íèì çàêîíîì. Ïðè m =0 øâèäê³ñòü v = 0, òîáòî ïàðàáîëà ïðîõî-
äèòü ÷åðåç ïî÷àòîê ñèñòåìè êîîðäèíàò m0v. Çã³äíî ç óìîâîþ çà-
äà÷³ ïàðàáîëà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Ì
0
(20; 40), òîìó ¿¿ êîîðäè-
27
íàòè çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ ïàðàáîëè
40
2
= k⋅20
⇒
k = 80.
Òàêèì ÷èíîì, àíàë³òè÷íà çàëåæí³ñòü ì³æ âèòðàòàìè ïàëèâà
òà øâèäê³ñòþ ñóäíà áóäå
v
2
= 80⋅m
⇒
m = v
2
/80.
Ãðàô³ê ö³º¿ çàëåæíîñò³ çîáðàæåíî íà ðèñóíêó, äå F ôîêóñ
ïàðàáîëè.
Ç îñòàííüî¿ ôîðìóëè âèïëè-
âàº, ùî ïðè øâèäêîñò³ 60 êì/ãîä
âèòðàòè ïàëèâà (ó ë³òðàõ) çà ãî-
äèíó m = 60
2
/80 = 45.
Çàäà÷à 2.11. ϳäïðèºìñòâî ïî-
÷àëî ïðàöþâàòè ÷åðåç 16 äí³â ï³ñ-
ëÿ ïî÷àòêó ðîêó. Êðèâà îáñÿã³â
âèðîáíèöòâà ïî÷àëà àñèìïòîòè÷-
íî íàáëèæóâàòèñÿ äî ïðÿìî¿ ó =
= õ/2. Çíàéòè ôóíêö³þ çàëåæíîñò³
îáñÿã³â âèðîáíèöòâà â³ä ÷àñó, ââà-
æàþ÷è öþ çàëåæí³ñòü ã³ïåðáîë³÷-
íîþ, òà çíàéòè îáñÿã ïðîäóêö³¿ ïðè
õ = 24.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Êàíîí³÷íå ð³âíÿííÿ ã³ïåðáîëè
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
. Ç óìî-
âè çàäà÷³ à = 16. Îñê³ëüêè ïðÿìà ó = õ/2 º àñèìïòîòîþ ã³ïåðáîëè,
òî
.8
22
1
==⇒=
a
b
a
b
Òîìó êàíîí³÷íå ð³âíÿííÿ ã³ïåðáîëè ìຠâèãëÿä
.1
64256
22
=−
yx
ϳäñòàâëÿþ÷è â öå ð³âíÿííÿ õ = 24, ìàºìî
4
5
1
2
3
64
1
64
16
24
2
22
2
2
=−
=⇒=−
yy
, ó
2
= 80
⇒
ó = 8,944 òèñ. ãð. îä.
60
40
20
0
20
40
M
0
F
28
³äïîâ³äü: îáñÿã ïðîäóêö³¿ ïðè õ = 24 äí³ ñêëàäຠ8,944 òèñ. ãð. îä.
Çàäà÷³ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè
Çàäà÷à 2.12. Âèçíà÷åííÿ ðåíòàáåëüíîñò³ òðàíñïîðòíîãî ïîñòà-
÷àííÿ.
Òðàíñïîðòí³ âèòðàòè ïåðåâåçåííÿ îäèíèö³ âàíòàæó ó çàë³çíè÷-
íèì òðàíñïîðòîì íà â³äñòàíü õ çíàõîäÿòü çà ôîðìóëàìè:
ó = 1/2õ + 10 òà ó = õ + 5,
äå õ âèì³ðþºòüñÿ äåñÿòêàìè ê³ëîìåòð³â, ó ó ãðîøîâèõ îäèíèöÿõ.
Ïðîàíàë³çóâàòè åôåêòèâí³ñòü âèêîðèñòàííÿ çàë³çíè÷íîãî òà
àâòîìîá³ëüíîãî òðàíñïîðòó â çàëåæíîñò³ â³ä â³äñòàí³ ïåðåâåçåíü.
³äïîâ³äü:
êîëè õ ∈ [0; 10), òîáòî õ < 100 êì, òðàíñïîðòí³ âèòðàòè ó ïåðå-
âåçåíü àâòîòðàíñïîðòîì íèæ÷³ âèòðàò ïåðåâåçåíü çàë³çíè÷íèì
òðàíñïîðòîì;
êîëè õ ∈ [10; ∞), òîáòî õ >100 êì, á³ëüø ðåíòàáåëüíèì áóäå
çàë³çíè÷íèé òðàíñïîðò.
Çàäà÷à 2.13. Ó ìàñëîöåõó ç ìîëîêà âèãîòîâëÿþòü âåðøêîâå
ìàñëî. Çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ îòðèìàíîãî ìàñëà â³ä æèðíîñò³ ìîëî-
êà ìຠâèãëÿä³
xKG =
,
äå G ê³ëüê³ñòü ìàñëà, êã; õ æèðí³ñòü, %, ïðè÷îìó ïðè æèðíîñò³
4 % îòðèìóºòüñÿ çà ãîäèíó 200 êã ìàñëà.
Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ G = G(õ) ³ çíàéòè ê³ëüê³ñòü
ìàñëà, îòðèìàíîãî ïðè æèðíîñò³ 5 %.
³äïîâ³äü: ïðè æèðíîñò³ õ = 5 ìàºìî G (5) = 224 êã.
Çàäà÷à 2.14. гâíîâàãà äîõîäó òà çáèòê³â.
Êîìïàí³ÿ âèðîáëÿº âèðîáè À òà ïðîäຠ¿õ ïî 2 äîëàðè çà êîæ-
íèé. Êåð³âíèöòâî êîìïàí³¿ âñòàíîâèëî, ùî ñóìà Y
â
çàãàëüíèõ ùî-
òèæíåâèõ âèòðàò (â äîëàðàõ) íà âèãîòîâëåííÿ âèðîá³â À ê³ëüê³-
ñòþ õ òèñ. îä. ìຠòàêó çàêîíîì³ðí³ñòü:
Y
â
= 1000 + 1300õ + 100õ
2
.
Âèçíà÷èòè ùîòèæíåâó ê³ëüê³ñòü âèãîòîâëåííÿ òà ïðîäàæó âè-
ðîá³â À, ÿêà çàáåçïå÷óº ð³âíîâàãó âèòðàò ³ äîõîäó.
29
³äïîâ³äü: ÿêùî 2 < õ < 5, êîìïàí³ÿ îäåðæèòü ïðèáóòîê; ïðè îáñÿ-
ãàõ âèãîòîâëåííÿ òà ïðîäàæó âèðîá³â ó ê³ëüêîñò³ 2 àáî 5 òèñ. îä.
çàáåçïå÷óºòüñÿ ð³âíîâàãà âèòðàò ³ äîõîäó.
Ðîçä³ë 3. ÔÓÍÊÖ²¯, ÃÐÀÍÈÖ², ÍÅÏÅÐÅÐÂͲÑÒÜ
3.1. Ôóíêö³¿
Ïðèêëàäè ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷
Çàäà÷à 3.1. Ñòâîðþºòüñÿ êîìïàí³ÿ ç âèðîáíèöòâà ïðèëàäó, ùî
âèì³ðþº ð³âåíü ðàä³àö³¿. Âèðó÷êà â³ä ðåàë³çàö³¿ îäíîãî ïðèëàäó
áóäå ñòàíîâèòè 30 ãðí. Äëÿ âèðîáíèöòâà ïðèëàä³â íåîáõ³äíî çà-
êóïèòè îáëàäíàííÿ íà ñóìó 240 òèñ. ãðí. Âèòðàòè íà âèïóñê îäíî-
ãî ïðèëàäó ïðîãíîçóþòüñÿ â ñóì³ 22,5 ãðí.
Âèçíà÷èòè, ñê³ëüêè ïðèëàä³â ïîòð³áíî âèïóñòèòè, ùîá áóëè ïî-
êðèò³ ïî÷àòêîâ³ âèòðàòè; ÿêèé ì³í³ìàëüíèé êðåäèò ïîòð³áíî âçÿ-
òè, ùîá âèðîáíèöòâî ïî÷àëî ïðàöþâàòè. ßêùî êîìïàí³ÿ áóäå âè-
ïóñêàòè 20000 ïðèëàä³â íà ì³ñÿöü, òî ÷åðåç ÿêèé ÷àñ çìîæå ïîâåð-
íóòè êðåäèò, âèäàíèé ï³ä ïðîñòèé â³äñîòîê 120 % ð³÷íèõ?
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. ×åðåç õ ïîçíà÷èìî ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíèõ êîì-
ïàí³ºþ òîâàð³â. Òîä³ âàëîâèé äîõîä
xxR
30
)
(
=
.
Çàãàëüíà âàðò³ñòü âèòðàò íà âèïóñê ïðîäóêö³¿
2400005,22)(
+=
xxC
.
Äëÿ çíàõîäæåííÿ ê³ëüêîñò³ ïðèëàä³â, ÿê³ íåîáõ³äíî âèïóñòèòè,
ùîá áóëè ïîêðèò³ ïî÷àòêîâ³ âèòðàòè, ïîòð³áíî ðîçâ'ÿçàòè ð³âíÿííÿ
)()(
11
xCxR =
:
2400005,2230
11
+= xx
;
32000
1
=
x
îä.
Ùîá âèðîáíèöòâî ïî÷àëî ïðàöþâàòè, ïîòð³áíî âçÿòè êðåäèò:
960000240000320005,22)(
1
=+⋅=
xC
ãðí.
Îòæå, ïîòð³áíî ìàòè 960 òèñ. ãðí, ÿê³ â³çüìåìî ó êðåäèò ï³ä
120 % ð³÷íèõ, ùî íà ì³ñÿöü áóäå ñêëàäàòè 10 %.
̳ñÿ÷íà âàëîâà âèðó÷êà
6000003020000
=⋅
ãðí.
30
Íà ïîêðèòòÿ çáèòê³â ïîòð³áíî âèïóñòèòè 32000 ïðèëàä³â, íà
öå ï³äå
6,120000/32000
=
ì³ñÿöÿ.
ßêùî êðåäèò âçÿòè ï³ä ïðîñòèé ïðîöåíò ó ê³ëüêîñò³ 960000 ãðí,
òî çà êîæåí ì³ñÿöü áàíêó âèïëà÷óþòüñÿ ïðîöåíòè:
960009600001,0
=⋅
ãðí.
×åðåç n ì³ñÿö³â áóäå ïîâåðíóòî êðåäèò. Ñêëàäåìî ð³âíÿííÿ:
nn
60000096000960000
=+
;
9,1
=n
ì³ñÿöÿ.
Çàäà÷à 3.2. Çì³íà ê³ëüêîñò³ íàñåëåííÿ äåÿêîãî ì³ñòà çà t ðîê³â
çä³éñíþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
2
120100010000
)
(
tttP
++=
.
Âèçíà÷èòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ â ïåð³îä
ì³æ ÷àñîì: à) â³ä
3
1
=
t
äî
5
2
=
t
; á) â³ä
3
1
=
t
äî
5,3
2
=
t
.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü çì³íè íàñåëåííÿ
t
tPttP
t
P
∆
−∆+
=
∆
∆
)()(
;
à)
235
=−=∆
t
;
∆Ð = Ð(5) Ð(3) = (10000 + 5000 120⋅25)
(10000 + 3000 120⋅9) = 80.
Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ
40
2
80
==
∆
∆
t
P
;
á) ∆t = 5 3 = 2,
∆Ð = Ð(3,5) Ð(3) = (10000 + 3,5⋅1000 120⋅(3,5)
2
)
(10000 + 3000 120⋅9) = 110.
Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ
220
5,0
110
==
∆
∆
t
P
.