Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

341

Ïðèìåð 6.37. Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè

= 0,05 ïðîâåðèòü ãè-

ïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè,

åñëè èçâåñòíû ýìïèðè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû:

6121640138 5

′

41115431566

Ðåøåíèå. ×èñëî ðàçëè÷íûõ âàðèàíò m ðàâíî 7, çíà÷èò ÷èñëî

ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàñïðåäåëåíèÿ

ðàâíî 7  3 = 4. Ïî òàáëè-

öå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ

, ïî óðîâíþ çíà÷èìîñ-

òè

= 0,05 è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû 4 íàõîäèì

êð.

= 9,5. Âû÷èñ-

ëèì

íàáë.

, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó.

123 4 5 6

′

−

)(

′

−

′

−

)(

164 2 4 1

2 12 11 1 1 0,09

3 16 15 1 1 0,061

4 40 43 3 9 0,21

5 13 15 2 4 0,27

6 8 6 2 4 0,7

7 5 6 1 1 0,17

4,2

íàáë.

Òàê êàê

êð.

íàáë.

òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà î íîðìàëüíîñòè ãåíå-

ðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðèíèìàåòñÿ.

Ïðèìåð 6.38. Äàíî ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè:

1,6 3,0 4,4 5,8 7,2 6,6 10,0

3 7 15 35 22 13 5

342

Ðåøåíèå.

1.Íàéäåì ìåòîäîì ïðîèçâåäåíèé âûáîðî÷íûå: ñðåäíþþ, äèñ-

ïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ìå-

òîäîì ïðîèçâåäåíèé, äëÿ ÷åãî ñîñòàâëÿåì òàáë. 1.

Òàáëèöà 1

+ 1)

1,6 3 3 9 27 12

3,0 7 2 14 28 7

4,4 15 1 15 16 0

5,8 35 0 0 0 35

7,2 22 1 22 22 88

8,6 13 2 26 52 117

10,0 5 3 15 45 80

∑

100

∑

=⋅

∑

=⋅

189

∑

339)1(

Â êà÷åñòâå ëîæíîãî íóëÿ ïðèíèìàåì Ñ = 5,8  âàðèàíòà ñ íàè-

áîëüøåé ÷àñòîòîé 35. Øàã âûáîðêè h = x

 x

= 3,0  1,6 = 1,4.

Òîãäà óñëîâíûå âàðèàíòû îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå

4,1

8,5

−

Ïîäñ÷èòûâàåì óñëîâíûå âàðèàíòû u

è çàïîëíÿåì âñå

ñòîëáöû.

Ïîñëåäíèé ñòîëáåö ñëóæèò äëÿ êîíòðîëÿ âû÷èñëåíèé ïî òîæ-

äåñòâó:

∑∑∑

++=+

2 )1(

nununun

iiiiii

Êîíòðîëü: 339 = 189 + 2 · 25 + 100.

Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåíû âåðíî. Íàéäåì óñëîâíûå ìîìåíòû.

.89,1

100

189

;25,0

100

======

∑∑

∗∗

iiii

343

Âû÷èñëÿåì âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ:

.15,68,54,125,0

1Â

=+⋅=+⋅=

∗

ChMx

Íàõîäèì âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ:

.58,34,1])25,0(89,1[])([

2222

12Â

=⋅−=⋅−=

∗∗

hMMd

Îïðåäåëÿåì âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:

.89,158,3

ÂÂ

=== d

2. Ñòðîèì íîðìàëüíóþ êðèâóþ.

Äëÿ îáëåã÷åíèÿ âû÷èñëåíèé âñå ðàñ÷åòû ñâîäèì â òàáë. 2.

Òàáëèöà 2

15,6

−=

=−

89,1

15,6

−

xxx

)

)( 07,74

⋅=

′

1,6 3 4,55 2,41 0,0219 2

3,0 7 3,15 1,67 0,0989 7

4,4 15 1,75 0,92 0,2613 19

5,8 35 0,35 0,18 0,3925 30

7,2 22 1,05 0,56 0,3410 25

8,6 13 2,45 1,30 0,1714 13

10,0 5 3,85 2,04 0,0498 4

100

100 =

′

∑

Çàïîëíÿåì ïåðâûå òðè ñòîëáöà.

Â ÷åòâåðòîì ñòîëáöå çàïèñûâàåì óñëîâíûå âàðèàíòû ïî ôîð-

ìóëå, óêàçàííîé â «øàïêå» òàáëèöû. Â ïÿòîì ñòîëáöå íàõîäèì

çíà÷åíèÿ ôóíêöèè

)(

−

⋅=

344

Ôóíêöèÿ

) ÷åòíàÿ, ò.å.

) =

(u

Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè

) â çàâèñèìîñòè îò àðãóìåíòà u

(áåðóòñÿ ïîëîæèòåëüíûå u

, ò.ê. ôóíêöèÿ

) ÷åòíàÿ) íàõîäèì èç

òàáëèöû.

Òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû òåîðåòè÷åñêîé êðèâîé íàõîäèì ïî

ôîðìóëå

)( 07,74)(

1,89

1,4100

)( )(

ÂÂ

iiii

uhnpnn

ϕϕ

⋅

==⋅⋅⋅=⋅=

′

è çàïîëíÿåì ïîñëåäíèé ñòîëáåö. Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ñòîëá-

öå ÷àñòîòû

′

îêðóãëÿþòñÿ äî öåëîãî ÷èñëà è

.100==

′

∑∑

Â ñèñòåìå êîîðäèíàò

) ;(

iii

nyx

′

ñòðîèì íîðìàëüíóþ (òåîðå-

òè÷åñêóþ) êðèâóþ (ðèñ. 81) ïî âûðàâíèâàþùèì ÷àñòîòàì

′

(îíè

îòìå÷åíû êðóæêàìè) è ïîëèãîí íàáëþäàåìûõ ÷àñòîò (îíè îòìå-

÷åíû êðåñòèêàìè). Ïîëèãîí íàáëþäàåìûõ ÷àñòîò ïîñòðîåí â ñèñ-

òåìå êîîðäèíàò (x

; y

= n

Ðèñ. 81

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

15,6

345

3. Ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó î íîðìàëüíîñòè X ïðè óðîâíå çíà-

÷èìîñòè

= 0,05.

Âû÷èñëèì

íàáë.

, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó 3.

Òàáëèöà 3

′

−

)(

′

−

′

−

)(

′

12 3 4 5 6 7

3 2 1 1 0,5 9 4,5

77 0 0 0 49 7

15 19 4 16 0,84 225 11,84

35 30 5 25 0,83 1225 40,83

22 25 3 9 0,36 484 19,36

13 13 0 0 0 169 13

5 4 1 1 0,25 25 6,25

100 100

78,2

íàáë.

102,78

Ñóììèðóÿ ÷èñëà ïÿòîãî ñòîëáöà, ïîëó÷àåì

íàáë.

= 2,78

Ñóììèðóÿ ÷èñëà ïîñëåäíåãî ñòîëáöà, ïîëó÷àåì 102,78.

Êîíòðîëü:

íàáë.

= 2,78

.78,210078,102

=−=−

′

∑∑

Ñîâïàäåíèå ðåçóëüòàòîâ ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü âû÷èñ-

ëåíèé.

Íàéäåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÷èñëî ãðóïï

âûáîðêè (÷èñëî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ) 7.

= 7  3 = 4.

Ïî òàáëèöå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ

, ïî óðîâíþ çíà-

÷èìîñòè

= 0,05 è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû

= 4 íàõîäèì

.5,9

êð.

Òàê êàê

êð.

íàáë.

òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãàòü íóëåâóþ ãè-

ïîòåçó. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàñõîæäåíèå ýìïèðè÷åñêèõ è òåîðåòè-

÷åñêèõ ÷àñòîò íåçíà÷èìîå. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå íàáëþäåíèé

ñîãëàñóþòñÿ ñ ãèïîòåçîé î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ãåíåðàëü-

íîé ñîâîêóïíîñòè.

346

4. Íàéäåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ îöåíêè íåèçâåñòíîãî

ÌÎ Ì (Õ), ïîëàãàÿ, ÷òî Õ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ñðåä-

íåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

= 1,89 è äîâåðèòåëü-

íàÿ âåðîÿòíîñòü

= 0,95.

Èçâåñòåí îáúåì âûáîðêè: n = 100, âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ

= 6,15.

Èç ñîîòíîøåíèÿ 2Φ(t) =

ïîëó÷èì Φ (t) = 0,475. Ïî òàáëèöå

íàõîäèì ïàðàìåòð t = 1,96.

Íàéäåì òî÷íîñòü îöåíêè

.37,0

100

1,891,96

⋅

Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë òàêîâ:

δδ

+<<−

ÂÂ

)(

xXMx

èëè 6,15  0,37 < Ì (Õ) < 6,15 + 0,37 ⇔ 5,78 < Ì (Õ) < 6,52.

Íàäåæíîñòü

= 0,95 óêàçûâàåò, ÷òî åñëè ïðîèçâåäåíî äîñòà-

òî÷íî áîëüøîå ÷èñëî âûáîðîê, òî 95% èç íèõ îïðåäåëÿò òàêèå

äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, â êîòîðûõ ïàðàìåòð äåéñòâèòåëüíî

çàêëþ÷åí.

6.7. Ýëåìåíòû òåîðèè êîððåëÿöèè

Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç  øèðîêî èçâåñòíûé è ýôôåêòèâíûé

ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ïîçâîëÿþùèé ïî ñîâîêóïíîñ-

òè çíà÷åíèé ïîêàçàòåëåé âûÿâëÿòü è îïèñûâàòü ñâÿçè ìåæäó ïî-

êàçàòåëÿìè.

Åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ âåëè÷èíû Õ ñîîòâåòñòâóåò íåñêîëüêî

çíà÷åíèé âåëè÷èíû Ó, íî ÷èñëî ýòèõ çíà÷åíèé, êàê è ñàìè çíà÷å-

íèÿ, îñòàåòñÿ íå âïîëíå îïðåäåëåííûì, òî òàêèå ñâÿçè íàçûâàþò-

ñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè. Íàïðèìåð, óðîâåíü ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðó-

äà íà ïðåäïðèÿòèÿõ òåì âûøå, ÷åì áîëüøå åãî ýëåêòðîâîîðóæåí-

íîñòü. Âìåñòå ñ òåì, íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé óòâåðæäàòü îá

îäíîçíà÷íîñòè ýòîé çàâèñèìîñòè.

Åñëè èçìåíåíèå îäíîé èç ïåðåìåííûõ ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìå-

íåíèÿìè óñëîâíîãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ äðóãîé ïåðåìåííîé âåëè-

÷èíû, òî òàêàÿ çàâèñèìîñòü ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííîé.

Ïîä óñëîâíûì ñðåäíèì

ïîäðàçóìåâàþò ñðåäíåå àðèôìåòè-

÷åñêîå çíà÷åíèé Ó, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèþ Õ = õ. Íàïðèìåð,

347

ïóñòü ïðè õ

= 2 âåëè÷èíà Ó ïðèíÿëà çíà÷åíèÿ ó

= 5, y

= 6

è ó

= 10. Òîãäà óñëîâíîå ñðåäíåå ðàâíî

)1065(

Êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòüþ Ó îò Õ íàçûâàþò ôóíêöèî-

íàëüíóþ çàâèñèìîñòü óñëîâíîé ñðåäíåé

îò õ:

).(

xfy =

Ýòî

óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì ðåãðåññèè Ó íà Õ; ôóíê-

öèþ f (x) íàçûâàþò ðåãðåññèåé Ó íà Õ, à åå ãðàôèê  ëè-

íèåé ðåãðåññèè Ó íà Õ.

Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç ðàññìàòðèâàåò äâå îñíîâíûå çàäà÷è.

Ïåðâàÿ çàäà÷à òåîðèè êîððåëÿöèè  óñòàíîâèòü ôîðìó êîð-

ðåëÿöèîííîé ñâÿçè, ò.å. âèä ôóíêöèè ðåãðåññèè (ëèíåéíàÿ, êâàä-

ðàòè÷íàÿ è ò.ä.).

Âòîðàÿ çàäà÷à òåîðèè êîððåëÿöèè  îöåíèòü òåñíîòó (ñèëó)

êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè.

Òåñíîòà êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè (çàâèñèìîñòè) Ó íà Õ îöåíèâà-

åòñÿ ïî âåëè÷èíå ðàññåèâàíèÿ çíà÷åíèé Ó âîêðóã óñëîâíîãî ñðåä-

íåãî. Áîëüøîå ðàññåèâàíèå ñâèäåòåëüñòâóåò î ñëàáîé çàâèñèìîñ-

òè Ó îò Õ, ìàëîå ðàññåèâàíèå óêàçûâàåò íà íàëè÷èå ñèëüíîé çàâè-

ñèìîñòè.

6.7.1. Îòûñêàíèå ïàðàìåòðîâ âûáîðî÷íîãî óðàâíåíèÿ

ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåññèè

ïî íåñãðóïïèðîâàííûì äàííûì

Ïóñòü êîëè÷åñòâåííûå ïðèçíàêè Õ è Ó ñâÿçàíû ëèíåéíîé êîð-

ðåëÿöèîííîé òàáëèöåé è â ðåçóëüòàòå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé

ïîëó÷åíû n ïàð ÷èñåë:

x

y

Âûáîðî÷íîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåññèè Ó íà Õ âûáè-

ðàåì â âèäå:

ó =

· x + Â.

348

Ïàðàìåòðû

è Â, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ìåòîäîì íàèìåíü-

øèõ êâàäðàòîâ, èìåþò âèä:



Â ;

1,111

111,

∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑

====

===













⋅−⋅













−

⋅−

xxn

yxxyx

xxn

yxyxn

Âåëè÷èíà

 íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì êîýôôèöèåí-

òîì êîððåëÿöèè. Îíà ñëóæèò äëÿ îöåíêè òåñíîòû ëèíåéíîé êîð-

ðåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè.

Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿ-

öèè íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû, ò.å. 1 ≤ r

≤ 1.

Ñ âîçðàñòàíèåì | r

| ëèíåéíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ñòà-

íîâèòñÿ áîëåå òåñíîé è ïðè | r

| = 1 ïåðåõîäèò â ôóíêöèîíàëüíóþ.

6.7.2. Îòûñêàíèå ïàðàìåòðîâ âûáîðî÷íîãî óðàâíåíèÿ

ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåññèè

ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì

Ïðè áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé îäíî è òî æå çíà÷åíèå Õ ìî-

æåò âñòðåòèòüñÿ n

ðàç, îäíî è òî æ çíà÷åíèå Ó ìîæåò âñòðåòèòüñÿ

ðàç è îäíà è òà æå ïàðà ÷èñåë (x; y) ìîæåò âñòðåòèòüñÿ n

ðàç,

ïðè÷åì îáû÷íî

∑∑∑

===

nnnn

xyyx

 îáúåì âûáîðêè.

Ïîýòîìó äàííûå íàáëþäåíèé ãðóïïèðóþò, ò.å. ïîäñ÷èòûâàþò

, n

. Âñå ñãðóïïèðîâàííûå äàííûå çàïèñûâàþò â âèäå òàá-

ëèöû, êîòîðóþ íàçûâàþò êîððåëÿöèîííîé.

Åñëè îáå ëèíèè ðåãðåññèè Ó íà Õ è Õ íà Ó  ïðÿìûå, òî êîð-

ðåëÿöèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé.

Âûáîðî÷íîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåññèè Ó íà Õ

èìååò âèä:

),(

ÂÂÂ

xxryy

−⋅=−

ãäå

 óñëîâíàÿ ñðåäíÿÿ;

 âûáîðî÷íûå ñðåäíèå ïðè-

çíàêîâ Õ è Ó;

 âûáîðî÷íûå ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îò-

êëîíåíèÿ; r

 âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.

349

Âûáîðî÷íîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåñèè Õ íà Ó èìååò

âèä:

).(

ÂÂÂ

yyrxx

−⋅=−

Ñ÷èòàåì, ÷òî äàííûå íàáëþäåíèé íàä ïðèçíàêàìè Õ è Ó çàäà-

íû â âèäå êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû ñ ðàâíîîòñòîÿùèìè âàðèàí-

òàìè.

Òîãäà ïåðåõîäèì ê óñëîâíûì âàðèàíòàì:

, ;

−

ãäå Ñ

 âàðèàíòà ïðèçíàêà Õ, èìåþùàÿ íàèáîëüøóþ ÷àñòî-

òó; Ñ

 âàðèàíòà ïðèçíàêà Ó, èìåþùàÿ íàèáîëüøóþ ÷àñòî-

òó; h

 øàã (ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè âàðèàíòàìè Õ);

 øàã (ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè âàðèàíòàìè Y).

Òîãäà âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè

jiuv

vuvun

σσ

∑

−

Âåëè÷èíû

ìîãóò áûòü íàéäåíû ìåòîäîì ïðîèç-

âåäåíèé, ëèáî íåïîñðåäñòâåííî ïî ôîðìóëàì

.)( ;)( ; ;

2222

vvuu

−=−=

⋅

∑∑

σσ

Çíàÿ ýòè âåëè÷èíû, íàéäåì ïàðàìåòðû, âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ

ðåãðåññèè, ïî ôîðìóëàì

. ; ; ;

212211

vyux

hhCvhyCuhx

σσσσ

==+⋅=+⋅=

350

ÐÅØÅÍÈÅ ÒÈÏÎÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ

ÐÀÁÎÒÛ ÏÎ ÐÀÇÄÅËÓ 6

12.1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ

12.1.1. Â ÿùèêå íàõîäÿòñÿ 6 îäèíàêîâûõ ïàð ïåð÷àòîê ÷åðíîãî

öâåòà è 4 îäèíàêîâûõ ïàðû ïåð÷àòîê áåæåâîãî öâåòà. Íàéòè âå-

ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâå íàóäà÷ó èçâëå÷åííûå ïåð÷àòêè îáðàçóþò

ïàðó.

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñîáûòèå À  äâå èçâëå÷åííûå íàóäà÷ó

ïåð÷àòêè îáðàçóþò ïàðó; è ãèïîòåçû: Â

 èçâëå÷åíà ïàðà ïåð÷à-

òîê ÷åðíîãî öâåòà, Â

 èçâëå÷åíà ïàðà ïåð÷àòîê áåæåâîãî öâåòà,

 èçâëå÷åííûå ïåð÷àòêè ïàðó íå îáðàçóþò.

Âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû Â

ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ ðàâíà ïðîèç-

âåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé òîãî, ÷òî ïåðâàÿ ïåð÷àòêà ÷åðíîãî öâåòà

è âòîðàÿ ïåð÷àòêà ÷åðíîãî öâåòà, ò.å.

)(

÷åð. 2÷åð. 11

=⋅=⋅= PPBP

Àíàëîãè÷íî, âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû Â

ðàâíà:

)(

áåæ. 2áåæ. 12

=⋅=⋅= PPBP

Òàê êàê ãèïîòåçû Â

, Â

è Â

ñîñòàâëÿþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáû-

òèé, òî âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû Â

ðàâíà:

()

1)( )( 1)(

213













+−=+−=

BPBPBP

Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì:

),()( )()( )()( )(

321

APBPAPBPAPBPAP

BBB

⋅+⋅+⋅=

ãäå

)(

åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàðó îáðàçóþò äâå ÷åðíûå

ïåð÷àòêè è

;1)(

)(

 âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàðó îá-

ðàçóþò äâå áåæåâûå ïåð÷àòêè è

;1)(

=AP

è, íàêîíåö,

)(



âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàðó îáðàçóþò ïåð÷àòêè ðàçíîãî öâåòà è

.0)(

=AP