Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

421

12. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé

12.1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ

12.1.1. Â ÿùèêå íàõîäÿòñÿ (m + 3) îäèíàêîâûõ ïàð ïåð÷àòîê

÷åðíîãî öâåòà è (n + 2) îäèíàêîâûõ ïàð ïåð÷àòîê áåæåâîãî öâåòà.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâå íàóäà÷ó èçâëå÷åííûå ïåð÷àòêè

îáðàçóþò ïàðó.

12.1.2. Â óðíå íàõîäÿòñÿ 3 øàðà áåëîãî öâåòà è (n + 1) øàðîâ

÷åðíîãî öâåòà. Íàóäà÷ó ïî îäíîìó èçâëåêàþòñÿ 3 øàðà è ïîñëå

êàæäîãî èçâëå÷åíèÿ âîçâðàùàþòñÿ â óðíó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü

òîãî, ÷òî ñðåäè èçâëå÷åííûõ øàðîâ îêàæåòñÿ:

à) ðîâíî äâà áåëûõ øàðà;

á) íå ìåíåå äâóõ áåëûõ øàðîâ.

12.1.3. Â óðíå íàõîäÿòñÿ (m + 2) áåëûõ (n + 2) ÷åðíûõ øàðà.

Ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëåêàþòñÿ íàóäà÷ó òðè øàðà áåç èõ âîçâðà-

ùåíèÿ â óðíó.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåòèé ïî ñ÷åòó øàð îêàæåòñÿ

áåëûì.

12.2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû

12.2.1. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

x èìååò âèä:

2 1 0 mm + n

0,2 0,1 0,2 p

Íàéòè âåðîÿòíîñòè p

, p

, è äèñïåðñèþ D (X), åñëè ìàòåìàòè-

÷åñêîå îæèäàíèå Ì (Õ) = 0,5 + 0,5m + 0,1n.

12.2.2. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû Õ èìååò âèä:











+∞<≤+

+<<−⋅

≤<∞

/)(

0

)(

xnm

nmxmnmxa

ïðè

Íàéòè:

à) ïàðàìåòð à;

á) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x);

422

â) âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â èíòåðâàë

; 1 ,













+++ nm

ã) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (X) è äèñïåðñèþ D (X).

Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé f (x) è F (õ).

12.2.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X

, X

èìåþò ãåîìåòðè÷åñêîå,

áèíîìèàëüíîå è ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.

Íàéòè âåðîÿòíîñòè P (m ≤ X

≤ m + 2), åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-

äàíèÿ Ì (X

) = n + 1, à äèñïåðñèÿ D (X

) = (n + 1)(7  n) / 8.

12.2.4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X

, X

èìåþò ðàâíîìåðíîå,

ïîêàçàòåëüíîå è íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Íàé-

òè âåðîÿòíîñòè P (n < X

< n + m), åñëè ó ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ

ðàâíû m.

13. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà

13.1. ×èñëåííàÿ îáðàáîòêà äàííûõ îäíîìåðíîé âûáîðêè

Âûáîðêà Õ îáúåìîì N = 100 èçìåðåíèé çàäàíà òàáëèöåé:

5 13 20 + (m + n) 30  (m + n)19 10 3

ãäå x

 ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé,

 ÷àñòîòû, ñ êîòîðûìè âñòðå-

÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ x

∑

,100

= 0,2 · m + (i  1) · 0,3 · n.

13.1.1. Ïîñòðîèòü ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò

13.1.2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå âûáîðî÷íîå X , âûáîðî÷íóþ äèñ-

ïåðñèþ D

è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

13.1.3. Ïî êðèòåðèþ

ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñ-

ïðåäåëåíèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè

= 0,05.

Ïðèìå÷àíèå. Äëÿ ðàñ÷åòîâ

X è D

ðåêîìåíäóåòñÿ ïåðåéòè ê óñ-

ëîâíûì çíà÷åíèÿì

⋅

−

3,0

è, âçÿâ çà ëîæíûé íóëü ñ

çíà÷åíèå

ñ íàèáîëüøåé ÷àñòîòîé, èñïîëüçîâàòü ñóììû

∑

⋅

∑

⋅

423

13.2. Ïîñòðîåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ðåãðåññèè

Äâóìåðíàÿ âûáîðêà ðåçóëüòàòîâ ñîâìåñòíûõ èçìåðåíèé ïðè-

çíàêîâ x è y îáúåìîì N = 100 èçìåðåíèé çàäàíà êîððåëÿöèîííîé

òàáëèöåé:

23   5

38 2  13

8 + m12 + n   20 + (m + n)

  16  m 14  n  30  (m + n)

 910 19

 3 61 10

  12 3

5 19 + m 42 + n  m 31  n 3 N = 100

ãäå x

= 0,2 · m + (i  1) · 0,3 · n, y

= 0,5 · m + (j  1) · 0,2 · n.

13.2.1. Íàéòè

äëÿ âûáîðêè

5 19 + m 42 + n  m 31  n 3

(Ðàñ÷åòû

ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íî ðàñ÷åòàì

çàäà÷å 13.1.2).

13.2.2. Ïîñòðîèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé ðåãðåññèè Y íà Õ â âèäå

,baxy

ñëåäóåò âçÿòü èç çàäà÷è 13.1.2.

13.2.3. Íà ãðàôèêå èçîáðàçèòü êîððåëÿöèîííîå ïîëå, òî åñòü

íàíåñòè òî÷êè (x

, y

) è ïîñòðîèòü ïðÿìóþ

baxy

Ïðèìå÷àíèå. Óðàâíåíèå ðåãðåññèè ñíà÷àëà ðåêîìåíäóåòñÿ íàé-

òè â âèäå

σσ

−

⋅=

ãäå r  âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîð-

ðåëÿöèè, äëÿ ðàñ÷åòà êîòîðîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì

÷åòûðåõ ïîëåé.

424

14. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå

14.1. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè

Ïðåäïðèÿòèå ïëàíèðóåò âûïóñê äâóõ âèäîâ ïðîäóêöèè I è II,

íà ïðîèçâîäñòâî êîòîðûõ ðàñõîäóåòñÿ òðè âèäà ñûðüÿ À, Â è Ñ.

Ïîòðåáíîñòü à

íà êàæäóþ åäèíèöó j-ãî âèäà ïðîäóêöèè i-ãî âèäà

ñûðüÿ, çàïàñ b

ñîîòâåòñòâóþùåãî âèäà ñûðüÿ è ïðèáûëü ñ

îò ðåà-

ëèçàöèè åäèíèöû j-ãî âèäà ïðîäóêöèè çàäàíû òàáëèöåé:

Âèäû ïðîäóêöèè

III

= na

= 2 b

= mn + 5n

= 1 a

= 1 b

= m + n + 3

= 2 a

= m + 1 b

= mn + 4m + n + 4

ïðèáûëü ñ

= m + 2 ñ

= n + 1

ïëàí (åä.) õ

14.1.1. Äëÿ ïðîèçâîäñòâà äâóõ âèäîâ ïðîäóêöèè I è II ñ ïëà-

íîì õ

è õ

åäèíèö ñîñòàâèòü öåëåâóþ ôóíêöèþ ïðèáûëè Z è ñî-

îòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé ïî çàïàñàì ñûðüÿ, ïðåäïî-

ëàãàÿ, ÷òî òðåáóåòñÿ èçãîòîâèòü â ñóììå íå ìåíåå n åäèíèö îáîèõ

âèäîâ ïðîäóêöèè.

14.1.2. Â óñëîâèÿõ çàäà÷è 14.1.1. ñîñòàâèòü îïòèìàëüíûé ïëàí

(õ

, õ

) ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè, îáåñïå÷èâàþùèé ìàêñèìàëüíóþ

ïðèáûëü Z

max

. Îïðåäåëèòü îñòàòêè êàæäîãî âèäà ñûðüÿ. (Çàäà÷ó

ðåøèòü ñèìïëåêñ  ìåòîäîì).

14.1.3. Ïîñòðîèòü ïî ïîëó÷åííîé ñèñòåìå îãðàíè÷åíèé ìíî-

ãîóãîëüíèê äîïóñòèìûõ ðåøåíèé è íàéòè îïòèìàëüíûé ïëàí ïðî-

èçâîäñòâà ãåîìåòðè÷åñêèì ïóòåì. Îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ

ïðèáûëü Z

max

14.2. Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à

Íà òðåõ ñêëàäàõ À

, À

è À

õðàíèòñÿ à

= 100, à

= 200

è à

= 60 + 10n åäèíèö îäíîãî è òîãî æå ãðóçà. Ýòîò ãðóç òðåáóåòñÿ

äîñòàâèòü òðåì ïîòðåáèòåëÿì Â

, Â

è Â

, çàêàçû êîòîðûõ ñîñòàâ-

ëÿþò b

= 190, b

= 120 è b

= 10m åäèíèö ãðóçà ñîîòâåòñòâåííî.

Âèäû

ñûðüÿ

Çàïàñû

ñûðüÿ

425

Ñòîèìîñòè ïåðåâîçîê ñ

åäèíèöû ãðóçà ñ i-ãî ñêëàäà j-ìó ïîòðåáè-

òåëþ óêàçàíû â ïðàâûõ âåðõíèõ óãëàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ êëåòîê

òðàíñïîðòíîé òàáëèöû:

Ïîòðåáíîñòè Â

Çàïàñû b

= 190 b

= 120 b

= 10m

42 m

= 100

n 53

= 200

1 m + 1 6

= 60 + 10n

14.2.1. Ñðàâíèâàÿ ñóììàðíûé çàïàñ

∑

è ñóììàðíóþ ïî-

òðåáíîñòü

∑

â ãðóçå, óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ìîäåëü

òðàíñïîðòíîé çàäà÷è, çàäàííàÿ ýòîé òàáëèöåé, îòêðûòîé èëè çàê-

ðûòîé. Åñëè ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé, òî åå íåîáõîäèìî çàêðûòü,

äîáàâèâ ôèêòèâíûé ñêëàä

′

è aba −=

′

â ñëó÷àå a < b èëè ôèê-

òèâíîãî ïîòðåáèòåëÿ

′

c ïîòðåáíîñòüþ

bab −=

′

â ñëó÷àå a > b

è ïîëîæèâ ñîîòâåòñòâóþùèå èì òàðèôû ïåðåâîçîê íóëåâûìè.

14.2.2. Ñîñòàâèòü ïåðâîíà÷àëüíûé ïëàí ïåðåâîçîê. (Ðåêîìåí-

äóåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì íàèìåíüøåé ñòîèìîñòè.)

14.2.3. Ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïåðâîíà÷àëüíûé ïëàí îïòè-

ìàëüíûì â ñìûñëå ñóììàðíîé ñòîèìîñòè ïåðåâîçîê, è åñëè ýòî íå

òàê, òî ñîñòàâèòü îïòèìàëüíûé ïëàí

333231

232221

131211

îïò













xxx

îáåñïå÷èâàþùèé ìèíèìàëüíóþ ñòîèìîñòü ïåðåâîçîê

1 ,

min

∑

ijij

xñS

Íàéòè ýòó ñòîèìîñòü.

426

15. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå

15.1. Ñåòåâîå ïëàíèðîâàíèå

Ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà ñëîæíîé ïðîäóêöèè ðàçáèâàåòñÿ íà îò-

äåëüíûå ýòàïû, çàøèôðîâàííûå íîìåðàìè 1, 2, , 10. 1  íà-

÷àëüíûé ýòàï ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè, 10  çàâåðøàþùèé. Ïå-

ðåõîä îò i-ãî ýòàïà ê j-ìó ýòàïó íàçîâåì îïåðàöèåé. Âîçìîæíîñòè

âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé (i > j) è èõ ïðîäîëæèòåëüíîñòè t

çàäàþòñÿ

òàáëèöåé.

øèôð ïðîäîëæèòåëüíîñòü øèôð ïðîäîëæèòåëüíîñòü

îïåðàöèè îïåðàöèè îïåðàöèè îïåðàöèè

i → jt

11 → 2 m 10 5 → 9 m + 1

21 → 34116 → 74

31 → 4 n 12 6 → 83

42 → 33137 → 87

52 → 65147 → 9 m

64 → 32157 → 10 5

74 → 66168 → 10 4

83 → 53179 → 10 n

93 → 7 n + 1

15.1.1. Ñîñòàâüòå è óïîðÿäî÷èòå ïî ñëîÿì ñåòåâîé ãðàôèê ïðî-

èçâîäñòâà ðàáîò. Íîìåðà ýòàïîâ íåîáõîäèìî îáâåñòè êðóæêàìè,

à îïåðàöèè i → j îáîçíà÷èòü ñòðåëêàìè, ïðîñòàâëÿÿ íàä íèìè ïðî-

äîëæèòåëüíîñòü t

îïåðàöèè.

15.1.2. Ñ÷èòàÿ, ÷òî íà÷àëî ðàáîòû ïðîèñõîäèò âî âðåìÿ t

= 0,

îïðåäåëèòå âðåìÿ t

( j ) îêîí÷àíèÿ êàæäîãî j-ãî ýòàïà è âðåìÿ t

(i)

ïîçäíåãî äîïóñòèìîãî ñðîêà íàñòóïëåíèÿ i-ãî ñîáûòèÿ.

15.1.3. Íàéäèòå êðèòè÷åñêîå âðåìÿ çàâåðøåíèÿ ïðîöåññà ðà-

áîò T

êð

è âûäåëèòå ñòðåëêè, ëåæàùèå íà êðèòè÷åñêîì ïóòè.

15.1.4. Äëÿ êàæäîé îïåðàöèè i → j îïðåäåëèòå ðåçåðâû ñâîáîä-

íîãî âðåìåíè ÑP

, ïîëíûé ðåçåðâ ÏP

, íåçàâèñèìûé ðåçåðâ ÍP

è ãàðàíòèéíûé ðåçåðâ ÃP

. Ðåøèòå çàäà÷ó òàáëè÷íûì ìåòîäîì.

Íîìåðà ýòàïîâ, ëåæàùèå íà êðèòè÷åñêîì ïóòè ïîä÷åðêíèòå.

ï/ï

427

15.2. Çàäà÷à ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà

Òðè îòðàñëè ïðîìûøëåííîñòè I, II è III ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäèòå-

ëÿìè è â òî æå âðåìÿ ïîòðåáèòåëÿìè íåêîòîðîé ïðîäóêöèè. Èõ âçà-

èìîñâÿçè îïðåäåëÿåò ìàòðèöà À êîýôôèöèåíòîâ ïðÿìûõ çàòðàò

2,01,04,0

1,03,00

1,01,02,0













⋅

= n

â êîòîðîé ÷èñëî à

, ñòîÿùåå íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîë-

áöà ðàâíî õ

/ Õ

, ãäå õ

 ïîòîê ñðåäñòâ ïðîèçâîäñòâà èç i-é îòðàñ-

ëè â j-þ, à Õ

 âàëîâîé îáúåì ïðîäóêöèè j-é îòðàñëè (âñå îáúåìû

ïðîäóêöèè âûðàæàþòñÿ â åäèíèöàõ ñòîèìîñòè).

Çàäàí òàêæå âåêòîð

























100400

100500

1000

îáúåìîâ êîíå÷íîé

ïðîäóêöèè.

15.2.1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà.

15.2.2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà, òî

åñòü íàéòè îáúåìû âàëîâîé ïðîäóêöèè êàæäîé îòðàñëè Õ

, Õ

îáåñïå÷èâàþùèå ïîòðåáíîñòè âñåõ îòðàñëåé è èçãîòîâëåíèå êî-

íå÷íîé ïðîäóêöèè Y. (Ðàñ÷åòû ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîèçâîäèòü ñ òî÷-

íîñòüþ äî òðåõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé).

15.2.3. Ñîñòàâèòü ìàòðèöó Õ ïîòîêîâ ñðåäñòâ ïðîèçâîäñòâà õ

15.2.4. Îïðåäåëèòü ÷èñòóþ ïðîäóêöèþ êàæäîé îòðàñëè

∑

−=

ijjj

xXP

15.2.5. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ îôîðìèòü â âèäå òàáëèöû ìåæîò-

ðàñëåâîãî áàëàíñà:

êîíå÷íûé âàëîâîé

ïðîäóêò ïðîäóêò

I x

II x

III x

îáùèé äîõîä P

âàëîâîé ïðîäóêò X

ïîòðåáëÿþùèå

îòðàñëè

ïðîèçâî-

äÿùèå îòðàñëè

I II III

428

ÑÏÈÑÎÊ Ó×ÅÁÍÎÉ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ

1. Àêóëè÷ È. Ë. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå â ïðèìåðàõ è

çàäà÷àõ.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1986.

2. Áåëîâ Á. À. Ñáîðíèê êîíòðîëüíûõ çàäàíèé ïî êóðñàì âûñøåé

ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ýêîíîìèêå äëÿ ñòóäåí-

òîâ-çàî÷íèêîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé / Ïîä ðåä. ä.ô.ì.í., ïðîô.

Ê. À. Ñàìàðîâà.  Ì: Èçä-âî ÌÃÓ ñåðâèñà. 2000.

3. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âó-

çîâ / Í. Ø. Êðåìåð, Á. À. Ïóòêî, È. Ì. Òðèøèí, Ì. Í. Ôðèä-

ìàí. Ïîä ðåä. ïðîô. Í. Ø. Êðåìåðà.  Ì.: Áàíêè è áèðæè,

ÞÍÈÒÈ, 1997.

4. Ãìóðìàí Â. Å. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòà-

òèñòèêè.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1980.

5. Ãìóðìàí Â. Å. Ðóêîâîäñòâî ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿò-

íîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1980.

6. Äàíêî Ï. Å., Ïîïîâ À. Ã., Êîæåâíèêîâà Ò. ß. Âûñøàÿ ìàòåìàòè-

êà â óïðàæíåíèÿõ è çàäà÷àõ. Ò. 1, 2.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1980.

7. Åôèìîâ Í. Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.  Ì.:

Íàóêà, 1972.

8. Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà.  Ì.: Íàóêà, 1974.

9. Êðàñíîâ Ì. Ë., Êèñåëåâ À. È., Ìàêàðåíêî Ã. Í. Ôóíêöèè êîìï-

ëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Òåîðèÿ óñòîé-

÷èâîñòè.  Ì.: Íàóêà, 1981.

10. Êðàññ Ì. Ñ. Ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé:

Ó÷åáíèê.  Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 1998.

11. Êóçíåöîâ Þ. Í., Êóçóáîâ Â. È., Âåëîùåíêî À. Á. Ìàòåìàòè÷åñêîå

ïðîãðàììèðîâàíèå.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1980.

12. Ìèíîðñêèé Â. Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå: Ó÷åá.

ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ.  14-å èçä. èñïð.  Ì.: Èçäàòåëüñòâî ôèçè-

êî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 2000.

13. Ïèñêóíîâ Í. Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ.

Ò. 1, 2.  Ì.: Íàóêà, 1978.

14. Ñäâèæêîâ Î. À. Ìàòåìàòèêà íà êîìïüþòåðå: Maple 8.  Ì.:

ÑÎËÎÍ-Ïðåññ, 2003.

15. Ñîëîäîâíèêîâ À. Ñ., Áàáàéöåâ Â. À., Áðàèëîâ À. Â., Øàíäðà È. Ã.

Ìàòåìàòèêà â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê: â 2-õ ÷.  Ì.: Ôèíàíñû è

ñòàòèñòèêà, 1999.

16. ×åòûðêèí Å. Ì., Êàëèõìàí È. Ë. Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà. 

Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1982.

17. Øàïêèí À. Ñ., Ìàçàåâà Í. Ï. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè

èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé: Ó÷åáíèê.  Ì.: Èçäàòåëüñêî-òîðãîâàÿ

êîðïîðàöèÿ «Äàøêîâ è Ê°», 2003.

429

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ââåäåíèå ..................................................................................................... 3

Ìåòîäèêà èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè â âûñøåì ó÷åáíîì çàâåäåíèè

ñòóäåíòàìè-çàî÷íèêàìè ........................................................................... 4

Ïðîãðàììà êóðñà ìàòåìàòèêè ................................................................. 9

Ðàçäåë 1. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß. ÂÅÊÒÎÐÍÀß

ÀËÃÅÁÐÀ. ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ ......... 16

1.1. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà ....................................................................... 16

1.1.1.Ìàòðè÷íûé ñïîñîá ............................................................... 16

1.1.2. Ôîðìóëû Êðàìåðà ............................................................... 24

1.1.3. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ (ìåòîä Ãàóññà) ............. 25

1.1.4. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ............................................. 28

1.2. Ýëåìåíòû âåêòîðíîé àëãåáðû .................................................. 33

1.3. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ......................................................... 39

1.3.1. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè .......................... 39

1.3.2. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ â ïðîñòðàíñòâå ....................... 57

Ðàçäåë 2. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ........................ 72

2.1. Ôóíêöèè, ïðåäåë, íåïðåðûâíîñòü ............................................ 72

2.2. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë .................................................. 80

2.3. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ............................................................. 92

Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ïî ðàçäåëàì 1 è 2 ........ 111

Ðàçäåë 3. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ..................................... 146

3.1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë ........................................................ 146

3.1.1. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë ... 146

3.1.2. Òàáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ .......................................... 148

3.1.3. Èíòåãðèðîâàíèå ìåòîäîì çàìåíû ïåðåìåííîé ............... 149

3.1.4. Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ..................................... 152

3.1.5. Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé .......... 155

3.2. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ............................................................ 160

3.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñâîéñòâà ............................................ 160

3.2.2. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ............................. 161

3.2.3. Ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ............................ 162

3.3. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ........................................... 168

3.4. Äâîéíûå èíòåãðàëû ..................................................................... 174

Ðàçäåë 4. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß .......................... 182

4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ..................................................................... 182

4.2. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ......................... 183

4.3. Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ............................................................. 187

430

4.4. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ .................................................................. 190

4.5. Óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè .................................................................. 194

4.6. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà âèäà

″″

″ = f (x) ....................................................................................... 195

4.7. Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ............... 197

4.8. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ............... 200

Ðàçäåë 5. ÐßÄÛ ........................................................................................ 208

5.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ..................................................................... 208

5.2. Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà. Äîñòàòî÷íûå

ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè .... 209

5.3. Ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Ëåéáíèöà ................................................ 213

5.4. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà 215

5.5. Ñòåïåííûå ðÿäû ......................................................................... 217

5.6. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû Òåéëîðà .................. 220

5.7. Ïðèëîæåíèå ðÿäîâ ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì .............. 224

Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ïî ðàçäåëàì 3, 4 è 5 ..... 227

Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ïî ñïåöèàëüíûì

ðàçäåëàì âûñøåé ìàòåìàòèêè ................................................................. 261

Ðàçäåë 6. ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß

ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ ........................................................................ 286

6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé .............. 286

6.1.1. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ............................ 286

6.1.2. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè ............................................. 287

6.1.3. Òåîðåìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ............... 290

6.1.4. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è ôîðìóëà Áàéåñà .......... 294

6.2. Ñõåìà ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé ................................................... 298

6.2.1. Ôîðìóëà Áåðíóëëè .............................................................. 298

6.2.2. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà .............................................. 300

6.2.3. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà ........................................ 301

6.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ................................................................ 305

6.3.1. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ........................................................ 306

6.3.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............... 310

6.3.3. Äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................ 312

6.3.4. Íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................. 315

6.3.4.1. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ........................................ 315

6.3.4.2. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå .............................. 317

6.3.4.3. Íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ............................. 320

6.4. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ................... 324

6.4.1. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü. Âûáîðêà. Îñíîâíûå òèïû

çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè .................................... 324

6.4.2. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ....... 327