Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

Показывает относительное изменение, выраженное в про-

центах, величины спроса q на какое-либо благо при изменении

цены р этого блага на 1% и характеризует чувствительность по-

требителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эла-

стичность спроса по модулю

\Ер

(q)\

> 1, то спрос называют эла-

стичньш;

если

\Ер

{q)\

<1, то

—

неэластичным,

если

\Ер

{д)\

=1, то

спрос с

единичной

эластичностью.

Эластичность спроса

по

доходу

Е,

{q) = {dq

/q)/{dl/

Г)

= {dq / dl) (// q).

Характеризует относительное изменение (в процентах) вели-

чины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потре-

бителей этого блага на один процент; если \Ej

(q)\

> О, то товары

потребления качественные, если же \Е/

(q)\

< О, то товары мало-

ценные, некачественные; высокий положительный коэффици-

ент спроса по доходу в отрасли указывает ее вклад в экономиче-

ский рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет

шансы на расширение и процветание в перспективе. Напротив,

если этот коэффициент имеет незначительное или отрицатель-

ное значения, то ее может ожидать застой и перспектива сокра-

щения производства.

Перекрестная эластичность спроса

по

цене

Epjiq-i) = {dq,/qi)/(dpj/pj) = (dqi/dpj)- (Pj/qi).

Характеризует относительное изменение (в процентах) вели-

чины спроса q на одно благо при изменениях цены на другое

благо, заменяющее или дополняющее его в потреблении, на 1%.

Условие EpXqi)>0 свидетельствует о замещаемости благ, а

EpXq-,) < О —

об их дополняемости.

Ценовая эластичность ресурсов

Ер^{Ri) = {dRi

IR;)/

{dp,

/pi)

{dR,

I dp,) •

{p,

IR,).

Характеризует относительное изменение (в процентах) величи-

ны спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении

цены этого ресурса (соответственно заработной платы) на 1%;

Эластичность замещения одного ресурса другим

ER^{Ri)

= (dRi

IR;)/(dRj I Rj)

(dR,

IdRj)•

{Rj

IR,).

Характеризует необходимые изменения (в процентах) вели-

чины одного ресурса (например, капитала) при изменении ко-

личества другого ресурса (например, труда) на 1% с тем, чтобы

выпуск при этом не изменился.

основным

факторам,

определяющим эластичность

спроса,

относятся следующие [1]:

а) замещаемость блага в потреблении (эластичность спроса

по цене тем выше, чем выше замещаемость блага);

б) удельный вес в доходе (эластичность спроса по цене тем

выше, чем выше удельный вес расходов на данное благо в дохо-

де потребителя);

в) субъективная необходимость (эластичность спроса по цене

тем

вьшхе,

чем ниже субъективная необходимость

данном благе);

г) фактор времени (эластичность спроса по цене обычно

выше, чем больше промежуток времени).

Известны следующие теоретические зависимости взаимосвя-

зи эластичности с другими факторами жизни общества:

Эластичность выручки

от

продаж какого-либо блага тесно

связана

эластичностью спроса

на

это

благо.

Используя формулу

вьфучки R = pq и формулу для эластичности произведения

функций, получаем:

Е,(К)

= Е,(q) +

Е,(р)

E,{q)

\ = \ -

\Е,{q)\,

так как эластичность спроса по цене

Ер (q)

всегда отрицательна из-за

того,

что JP'(^) < 0. При эластичном спросе вьфучка растет с ростом

объема или уменьшением цены, а при неэластичном

—

падает.

Связь цены

предельных издержек монополиста

такова, что ве-

личина надбавки к издержкам s

обусловливается величиной

эластич-

ности.

Если совершенно конкурентная фирма устанавливает цену

на свою продукцию, равную предельным издержкам р^ = МС, то

монополист обычно назначает на свою продукцию цену выше

предельных издержек /?„ = МС (I + s), ще s — надбавка к из-

держкам, составляющая 10%, 20% и более. Записывая условие

максимизации прибыли П как разницы между выручкой R и из-

держками

С (11=

R— Q, имеем:

П' - R' - С'= MR- МС= О,

где Я'

—

знак производной от прибыли.

Если вычислить предельную выручку MR и приравнять ее к

предельным издержкам МС, получим соотношение

р =

МС/{1-1/т),

где Е^ = р / qp'iq), из которого следует, что надбавка к предельным

издержкам в цене должна быть тем меньше, чем выше эластичность

спроса (рис.1.2,г).

Эта формула позволяет объяснить, как происходит сегмента-

ция рынка монопольным производителем с целью дискримина-

ции потребителей и извлечения из этого дополнительной при-

были. Если монополист может устойчиво разделить покупателей

по какому-либо признаку на две или большее число групп

(пенсионеров, студентов, работающих и т.п.), то ему выгоднее

установить для различных фупп различные цены и, таким обра-

зом, сегментировать рынок. При этом суммарная выручка от

продаж на двух и более рынках одного товара (или услуги) будет

максимальна при равенстве предельных доходов от каждого из

рынков (иначе ему будет выгоднее перераспределить объем про-

даж в пользу рынка с большим предельным доходом).

Таким образом,

Л/Л, =

рх

(1-1 / \Ef

р2

(1-1 / Iff

= A//?2.

Отсюда получаем

Следовательно, те покупатели, спрос которых на товар менее

эластичен, платят за него большую цену.

Эластичность тесно связана

налоговой политикой

моде-

лями

налогов,

базирующимися на концепции спроса и предложе-

ния. При этом в [1], например, показано, что большее налоговое

бремя падает на экономического агента с меньшей эластично-

стью,

у которого меньше возможностей для ухода от налогового

бремени. В частности, если эластичность спроса равна нулю, то

все налоговое бремя ложится на потребителей, так как незави-

симо от величины налога (а следовательно, и от величины цены)

потребители не изменят объема покупок. Если же спрос на ка-

кой-либо товар характеризуется совершенной эластичностью, то

в проигрыше оказывается производитель, так как потребители

уходят от налога, снижая величину спроса и потребляя товары-

заменители (рис.

1.2,д).

Аналогичная ситуация возникает, когда налог формально

взимается с потребителей. В этом случае введение налога приво-

дит к сдвигу кривой спроса влево (к уменьшению объема про-

даж и цены товара), опять обратно пропорционально эластич-

ностям производителей и потребителей. При этом независимо

от того, кто является формальным плательщиком налога, факти-

ческим плательщиком оказывается экономический агент с

меньшей эластичностью, особенно если эластичность спроса и

предложения сильно различается (рис. 1.2, е).

Рассматривая проблему влияния величины налоговой ставки

на величину налоговой выручки, можно заметить, что эти вели-

чины связаны примерно аналогично зависимости выручки про-

даж и цены товара. В [1] показано, что налоговая выручка воз-

растает с увеличением налоговой ставки только до тех пор, пока

доля ставки налога в цене товара меньше суммы обратных эла-

стичносгей спроса и предложения. Это дает возможность уста-

навливать высокие ставки налогообложения, существенно пре-

вышающие цену товара, на товары, спрос на которые неэласти-

чен (или предложение которых неэластично). Примером этого

служат акцизы на табак и винно-водочные изделия.

1.3. Соотношения между суммарными, средними

и предельными величинами в экономике

Все множество технико-экономических показателей можно

подразделить на:

•

абсолютные

показатели, выражаемые в количественных, обь-

емных или денежных единицах и подразделяющиеся на тто-

ковые

(величины за определенный щэеменной период) и

запасх>-

вые

(величины на

определенную дату

или момент времени);

•

относительные

показатели, представляющие собой отно-

шения абсолютных (или других относительных) показате-

лей, т. е. количество единиц одного показателя на одну

единицу другого, причем не только соотношения разных

показателей на один и тот же момент времени, но и од-

ного и того же показателя в разные моменты времени

(темпы роста данного показателя).

В экономическом анализе и принятии решений в одних си-

туациях важны абсолютные показатели, в других

—

относитель-

ные,

в третьих

—

их сочетание.

Как правило, при комплексном анализе экономических си-

туаций для выбора наилучшего решения важны разнообразные

показатели, как абсолютные, так и относительные, причем по-

следние могут выступать как

средние

(например, величина соот-

ветствующего показателя (прибыли, издержек, выручки и др. в

расчете на единицу выпуска) и

предельные

(прирост соответст-

вующего показателя в расчете на единицу прироста выпуска)

величины. Если, к примеру, средняя выручка превышает сред-

ние издержки, то субъект хозяйствования получает прибыль и

производить продукцию ему выгодно. Если при этом предельная

выручка превышает предельные издержки, то ему выгодно рас-

ширять производство, увеличивая объем прибыли. Соответст-

венно, если средние издержки превышают среднюю выручку, то

субъект хозяйствования терпит убытки, а если предельные из-

держки превышают предельную выручку, то объем производства

нужно сокращать.

В разделе III книги подробно рассмотрены проблемы анали-

за и особенности управленческого учета субъектов рынка с рас-

четом всех указанных показателей. Приведем формальные опре-

деления суммарных, средних и предельных величин.

Суммарная величина

f{x)

—

любая функция независимой пе-

ременной F(x). Как правило, в экономике под суммарными ве-

личинами понимают абсолютные величины, в роли которых вы-

ступают следующие: доход (выручка) R(Q) или издержки C(Q)

как функции объема выпуска Q, объем выпуска как функция от

количества переменного ресурса, например, труда Q(L), полез-

ность как функция количества потребляемого блага U(x) и др.

(любая из перечисленных функций может быть задана форму-

лой, таблицей или графиком).

Средняя величина AF{x)

определяется как отношение суммар-

ной величины Дх) к независимой переменной х, т. е.

AF(x) = Fix)/x,

где буква А

—

сокращение англ. Avenge (средняя).

Средняя величина обозначается так же, как F. Пример средних

величин в экономике — это среднедушевой объем потребления,

средняя фондоотдача, средняя выручка (доход) AR =

R(Q)/Q,

сред-

ние издержки

АС

C(Q)/Q,

средний продукт труда AQi=

Q(L)/L

др.

(средняя величина как функция независимой переменной также

может задаваться в виде формулы или графика,

1ис.

1.3, а).

Маржинальная,

или

предельная,

величина

MF{x)

определяется

как производная суммарной величины

F{x)

по независимой пе-

ременной

т. е.

MF(x) =

F'(x),

если х

—

непрерывная величина;

MF {х)

=AF/Ax, если х

—

величина дискретная.

Примерами предельных величин в экономике могут быть на-

званы перечисленные выше показатели, применимые к средним

величинам.

Найти маржинальную величину по суммарной величине (для

непрерывного случая) можно на базе формулы:

А/Дх) =

FXx).

У/ 1

/ /

ki ^

'•Пх)

—•

МС \АС

АС'<0 АОО

с,п.я\

R(Q^ С,ПЯ\МС АС

AR=MR

G. 62 6364

C,n,R"

«- Q

Q, Q2 Qy QA

* Q

Рис. 1.3.

Соотношения

между

суммарными

(а),

средними

(б)

предельными величинами

экономике:

—

нахождение суммарной величины по средней; г (д)

—

соотношение между

графиками средних и предельных издержек АС н МС (продуктов труда АР и

MP);

е (ж)

—

соотношения между предельными, средними и суммарными вели-

чинами для рыночной структуры совершенной конкуренции (монополии), R

—

доход;

С —

издержки; Я

—

прибыль; Q

—

объем выпуска

Если, например, F{х) = ах—

Ьх^,

то MF(х) = а

—

46х'.

Если суммарная величина задается выпуклой кривой F{x) в

виде графика, то необходимо через точку А графика суммарной

величины, имеющую координаты [х, Ях)\, провести касатель-

ную к графику. Тангенс угла наклона касательной к фафику

суммарной величины численно равняется производной суммар-

ной величины, и следовательно, является предельной величиной

MRx) =

F{x)

= tgo (рис.

1.3,6).

Если необходимо найти суммарную величину по маржиналь-

ной величине, то применяется операция интегрирования

Дх) = jAfF(x)

dx.

Например, если

MF (х)

= а —

Ьх^,

то Дх) =

jAf/'(x)dx= ах—

Ь^/Ъ

+ С, где С

—

произвольная постоянная.

Если предельная величина задана фафиком, то площадь под

графиком функции предельной величины в диапазоне измене-

ния независимой переменной от нуля до х равняется суммарной

величине минус постоянная С

(рис.

1.3, в).

Соотношения

между

средними

AF,

суммарными

F и маржи-

нальными

(предельными) AfF

величинами

независимой непрерыв-

ной переменной х находятся легко: например, если задана сред-

няя величина AF(x), то суммарная величина Дх) =

x-AF(x),

предельная величина МДх) = F'(x) = (x'AF(x)) =AF(x) +x'AF(x).

Аналогичным образом можно выразить среднюю величину через

суммарную величину: АДх) = 1/х • jMF{x)

dx.

Примеры соотно-

шения между графиками средних АС и предельных МС издер-

жек среднего АР^ и предельного МР^ продуктов труда приведе-

ны на рис. 1.3, г, д.

Если же независимая переменная х может принимать только

дискретные значения (например, количество выпуска штучной

продукции, количество рабочих и т.п.), то все полученные выше

соотношения сохраняют свой вид при следующих условиях:

а) производная функция F'{x) заменяется на отношение

Д/уДх;

б) интефал \MF{x)

заменяется на конечную сумму

MF(x);

в) касательная к фафику функции F

(х)

заменяется на прямую

линию, проходящую через две точки с координатами (х, Дх) и

(х+Дх, F(x+Ax)).

Соотношение между средними и предельными величинами в

дискретном случае имеет простую интерпретацию: если ученик

— «ударник» получает только «хорошо», то его средняя оценка

также «хорошо». Каждая последующая оценка может интерпре-

тироваться как предельная оценка, при этом если он получает

только «отлично», то его средняя оценка постепенно повышает-

ся,

а если — лишь «удовлетворительно», то предельная оценка

станет ниже средней и его средняя оценка понизится.

Анализ показателей и их соотношений как предельных, средних

и суммарных величин, характеризующих pa6oiy субъекта рьппца.

Если в качестве примера соотношений между предельными,

средними и суммарными величинами рассмотреть показатели,

характеризующие работу одного и того же с>'бъекта рынка, рабо-

тающего по законам: а) совершенно конкурентной фирмы,

б) фирмы-монополиста, то можно констатировать следующее

(для понимания рассуждений введем ряд обозначений показателей:

—

объем выпуска продукции; р

—

цена; R = p(Q)' Q — доход

(выручка); С

—

издержки; П = R— С

—

прибыль, q

—

величина

спроса).

Если субъект рынка выступает как совершенно

конкурент-

ная фирма, то цена на ее продукцию постоянна и не зависит от

объема производства данной фирмы, определяясь рынком, т. е.

p{Q)

— Р>

и, следовательно, R

{q)

pQ.

Доход является линейной

функцией объема выпуска. Для типичной функции издержек,

растущих быстрее, чем доход при малых объемах выпуска, гра-

фики дохода R{q), издержек C(Q) и прибыли n{Q) имеют вид

(рис.

1.3, е). По ним можно построить графики средних и пре-

дельных величин. Так как MR =

(pQ)'=

р = pQ/Q =

AR^

то фа-

фики среднего и предельного доходов имеют вид прямой, па-

раллельной оси Q.

График средних издержек

совпадает с фафиком среднего дохо-

да при объемах выпуска бг и 04 (так как в этих точках значения

функций С(0 и R{Q) совпадают), лежит

выше

его при Q

Оги

Q>Q4 (из С(0 > R(Q)-^AC(Q) =

C(Q)

/ Q>R(Q)/ Q= MC(Q)

и лежит

ниже

его при Qi< Q< 64- В точке, лежащей чуть ниже

Оз,

средние издержки минимальны. Эту точку можно найти, про-

водя из начала координат прямую, касающуюся фафика С(0.

График

предельных издержек

можно построить, анализируя

изменение наклона касательной к фафику

C{Q).

В точках

касательная к фафику C{Q) параллельна фафику дохода

R{Q).

Следовательно, в этих точках предельные издержки совпа-

дают с предельным доходом и имеет место минимум прибыли

(максимум убытков) в точке Q\ и максимум прибыли в точке бз

(Я'

Л' - С = МК

—

МС = 0), так как прибыль положительна

при объеме выпуска Q2< Q < 0^^^ отрицательна при Q <

Ог

04-

Величину прибыли при оптимальном объеме выпуска ft

можно найти как площадь заштрихованного прямоугольника по

графикам средних издержек и среднего дохода (вершины этого

прямоугольника находятся в точках с координатами: AiQ^, р);

В(0,

AC(Q3));

С(0, АС

(Qj));

ДО, Р).

Если субъект рынка выступает как

монопольная

фирма,

то

она сама выбирает цену исходя из кривой спроса p(Q) на ее

продукцию. Так как p(Q) — убывающая функхщя, то p'(Q) < 0.

При той же функции издержек, что и в первом случае, графики

суммарных, средних и предельных показателей приведены на

рис.

1.3, ж, при этом графики суммарных, средних и предельных

издержек имеют аналогичный первому случаю вид.

График среднего дохода

AR =

pi,Q)'

Q/Q = /Кб) совпадает с

графиком функции спроса и пересекает фафик средних издер-

жек в точках

и Q^, где

R(Q)—C{Q).

График предельного дохо-

да лежит ниже графика среднего дохода при любых объемах выпуска,

так как

МЛ

= Л'(0 = р(0 + Qp'(G) =

>1Л

ОР'(0

<-4Л и//(Q) <

пересекает фафик предельных издержек в точках

и ft, в ко-

торых касательные к графикам дохода и издержек имеют одина-

ковый наклон. При этих объемах выпуска прибыль, как и в пер-

вом случае, принимает минимальное и максимальное значения со-

ответственно. Это обусловлено тем, что необходимое условие мак-

симума прибыли записывается аналогично как П' = R'

—

С= =MR

- МС = О, и в оптимальной точке предельный доход обязатель-

но равен предельным издержкам. Аналогично первому случаю

прибыль на фафиках средних и предельных величин можно оп-

ределить как площадь заштрихованного прямоугольника, по-

строенного между фафиками среднего дохода и средних издер-

жек, при этом вершины прямоугольника» находятся в точках:

ЖО,

ARiQ3))\

В(0,

АС(Оз));

ЦО, ^C(ft)); ДО, /J/?(ft)).

Таким образом, при определении оптимального объема про-

изводства фирмы, если известны ее функции суммарного дохода

и издержек

R{Q)

и С(0 (предполагается, что эти функции диф-

ференцируемы), средние и предельные показатели могут быть

использованы следующим образом:

а) вначале находятся точки, в которых величина предельного

дохода равна величине предельных издержек, т. е.

MR(Q)

MC(Q);

если таких точек нет, то фирме либо невыгодно производить

вообще продукцию (при R(Q) < С(0)), либо выгодно сколько

угодно наращивать объем производства (при

R{Q)

> C(Q));

б) в найденных точках может достигаться максимум прибы-

ли,

максимум убытка, минимум прибыли, минимум убытка, ли-

бо ничего из перечисленного; поэтому далее среди этих точек

находятся те, в которых функция прибыли Я(0 = R{Q) - C(Q)

достигает максимума (ее производная меняет знак с плюса на

минус). Эти точки являются точками максимума прибыли или

минимума убытка;

в) необходимо выбрать точки (точку), где величина прибыли

положительна; признаком этого может быть превышение сред-

него дохода над средними издержками: AR(Q) > MR(Q). Если

такая точка найдена, то она является точкой (локального) мак-

симума прибыли фирмы.

Рассмотрим особенности моделей полезности и производст-

венных функций и их применения в экономических задачах.

1.4. Применение производственных функций

в макро- и микроэкономике

Понятие производственной функции. Производственная функ-

ция одной переменной Y =

Ддс)

— функция, независимая пере-

менная которой принимает значения объемов затрачиваемого

ресурса (фактора производства), а зависимая переменная

—

значения объемов выпускаемой продукции. В связи с этим про-

изводственная функция (ПФ) / называется

одноресурсной,

или

однофакторной

ПФ, ее область определения

—

множество неот-

рицательных действительных чисел. Запись у =

J{x)

означает, что

если ресурс затрачивается или используется в количестве х еди-

ниц, то продукция выпускается в количестве у = Дх) единиц.

Символ / (знак функции) является характеристикой производст-

венной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэко-

номике считают, что у — это максимально возможный объем

выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется

в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не

совсем корректно, так как при ином распределении ресурсов

между структурными единицами экономики выпуск может быть

иным, поэтому ПФ

—

это статистически устойчивая связь между

затратами ресурса и вьтуском. Более правильной считается запись

=j[x, а),

где а

—

вектор параметров ПФ.