Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

12.7.

НОРМА ЛЬНОЕ

РА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Среди значений функции Ф ищем ближайшее к 0,4. Это число 0,445,

соответствующее значению аргумента 1,6. Поэтому

-С =1,6.

Ответ: С —

—1,6.

Пример 16. Вес пачек с рисом, расфасованных фирмой "Новый

рис", является нормально распределенной случайной величиной с

математическим ожиданием 1 кг и стандартным отклонением 10 г.

Проверка показала, что 2,5% выпускаемых пачек имеют вес меньше

минимально допустимого стандартом. Каков этот минимальный вес?

Решение. Вес пачки риса является нормально распределенной ве-

личиной X =

7V(1000,10).

Для ответа на вопрос достаточно решить

уравнение

р(Х < С)

0,025.

Преобразуем его:

< —

]

= 0,025.

Ясно,

что

сцшо

<о

С учетом этого получаем

Ответ: Минимально допустимый стандартный вес составляет

980 г.

261

ГЛАВА 12. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

12.8. Формула Муавра-Лапласа

Напомним, что биномиальное распределение Bi(n,p) имеет два па-

раметра —

пир.

Если случайная величина X распределена

но

за-

кону

Bi(n,p),

то это означает следующее:

р(Х

к)=С

пР

(1-р)

к =

0,1,...,

п.

При

этом

ЕХ

пр,

DX = пр(1 - р).

Между биномиальным и нормальным распределениями существу-

ет простая связь. При больших значениях п справедлива следующая

приближенная формула:

Bi(n,p) ~ N

(пр,

\/пр(1

— р)

. (2)

Эта формула называется формулой Муавра-Лапласа. Мы будем при-

менять ее для вычисления вероятностей, связанных с биномиальным

распределением, при выполнении условий

п > 90, пр(1 - р) > 9.

Пример

П.

Игральный кубик бросают 120 раз.

Какова

вероят-

ность того, что число выпаданий "единицы" будет лежать в пределах

от 20 до 30?

Решение. Здесь мы имеем дело с биномиальной случайной величи-

ной

Вг(120,1/6).

Проверим, можно ли применить формулу Муавра-

Лапласа:

п = 120 > 90,

пр(1 - р)

120 • |-• !

16,7 > 9.

Условия выполнены. Поэтому случайную величину

Вг(120,1/6)

можно заменить нормальным распределением

ЛГ(д,

а)

с параметра-

ми

= 120 • - = 20,

262

12.8. ФОРМУЛА

МУАВРА-ЛАПЛАСА

Имеем:

Пример 18. На некотором производстве регулярно проводится

проверка качества продукции, для чего выбираются случайным об-

разом 500 изделий и проверяются. Опыт показывает, что в среднем

11 изделий оказываются бракованными. Найти вероятность того, что

во время очередной проверки число бракованных изделий окажется

не менее 20.

Решение. Число бракованных изделий является биномиальной слу-

чайной величиной с параметрами п = 500 ир= ^^

0,022. Прове-

рим условия применимости формулы Муавра-Лапласа. Имеем:

п = 500 > 90,

пр(1

р) = 11 • (1 -

0,022)

= 10,758 > 9.

Условия выполнены, поэтому величину

Вг(500;

0,022) можно заме-

нить нормальной случайной величиной с параметрами:

/л

= пр = 11,

а=

у/пр(1

-р) = 3,3.

Имеем:

= p(U

2,7) = 0,5 -

Ф(2,7)

0,5 - 0,497

0,003.

Замечание (центральная предельная теорема). Формула

Муавра-

Лапласа является частным случаем следующего удивительного

утверждения:

сумма большого числа почти произвольных случайных величин

распределена приближенно по нормальному закону.

Этот факт является теоретическим обоснованием того, что мно-

гие реально наблюдаемые величины, испытывающие влияние мно-

жества случайных факторов, распределены по нормальному закону.

263

ГЛАВА 12. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

12.9. Задания и ответы

1. Монету бросают 5 раз. Случайная величина X — число выпада-

ний герба. Составьте таблицу распределения, найдите математиче-

ское ожидание и дисперсию случайной величины X.

Ответ: 2,5; 1,25.

2. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышей.

Количество и размер выигрышей заданы в таблице:

Требуется составить закон распределения случайной величины —

размера выигрыша в лотерее, приходящегося на один билет, а также

найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной вели-

чины.

Ответ: 0,5; 4,85.

3. Найдите вероятности (здесь и в следующей задаче U =

—

N(0,1)

— стандартная нормальная случайная величина):

б) p(U

0,7);

в) р(0,3

0,4);

г)

р(-0,1

^U^

0,2);

д)р(-1,9^*7^

-1,3);

е) p(U

-2).

Ответ: а) 0,258; б) 0,242; в) 0,037; г) 0,119; д) 0,068; е) 0,977.

4. Найдите число х такое, что

а) р(0

х) = 0,4;

б)

p{\U\

<х) = 0,95.

Ответ: а) 1,3; б) 2.

5. Найдите следующие вероятности:

264

12.9. ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ

Ответ: а) 0,236; б) 0,841; в) 0,232; г) 0,078; д) 0,045.

6. Производительность труда рабочих некоторого цеха является

нормально распределенной случайной величиной с математическим

ожиданием 90 кг за смену и стандартным отклонением 15 кг за сме-

ну. Вычислите долю рабочих, производительность которых:

а) лежит в промежутке от 80 до 110 кг за смену;

б) превышает 110 кг за смену;

в) менее 80 кг за смену.

г) Какой следует установить норму дневной выработки, чтобы

90% рабочих ее выполняли?

Ответ: а) 0,66; б) 0,1; в) 0,24; г) 70,5 кг.

7. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из

взятых на исследование 1100 изделий забраковано будет не более

17?

Ответ: 0,964.

8. Какова вероятность того, что при 100-кратном бросании моне-

ты число выпаданий герба будет от 45 до 55?

Ответ: 0,682.

Зак. 7492

Глава 13

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

13.1. Вводные замечания

математической

статистике

Математическая статистика изучает различные методы обработки

и осмысления результатов многократно повторяемых случайных со-

бытий. Понятие случайного события определяется в теории веро-

ятностей, обработка результатов также производится при помощи

теоретически разработанных вероятностных методов. Задачей мате-

матической статистики является построение и оценка адекватности

идеальных вероятностных моделей реальных процессов.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть

имеется

"реальный"

игральный кубик. Обычно рассматривается мо-

дель, в соответствии с которой при бросании кубика вероятность

выпадания любого числа очков от 1 до 6 одинакова и равна 1/6.

Однако для "реального" кубика может случиться так, что при бро-

сании его, например, 1000 раз шестерка выпала в 300 случаях. В

принципе такое может произойти и в рамках модели с вероятностью

1/6, однако здравый смысл подсказывает, что скорее всего у кубика

смещен центр тяжести. Это означает, что в дальнейшем имеет смысл

использовать другую гипотезу относительно вероятности выпадания

шестерки при бросании данного кубика. Например, довольно логич-

но предположить, что эта вероятность близка к 0,3.

Для процесса построения и применения моделей характерно сле-

дующее обстоятельство: чем больше данных, тем точнее, адекватнее

модель. В полной мере это относится к статистическим моделям. И

в приведенном выше примере с кубиком вывод делается

на

основе

многократного повторения испытания (бросания кубика).

266

13.2. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Поскольку мы имеем дело со случайными событиями, то рекомен-

дации, полученные на основе статистических соображений, всегда

носят вероятностный характер. Однако это ни в коей мере не снижа-

ет их ценности. Напротив, вероятностный характер модели является

показателем близости к описываемой реальной ситуации, которая

зачастую слишком сложна для детерминированного описания.

Приведем несколько примеров практических задач, требующих

применения статистических методов.

1. Пусть по некоторому вопросу в городе опрошено N человек, из

них М дали положительный ответ и (N — M) — отрицательный. Как

по этим данным оценить долю горожан, дающих положительный

ответ? Понятно, что эта доля близка к M/N, но в какой степени?

Замечание. Имеется еще немаловажный вопрос о том, каким обра-

зом правильно организовать опрос (чтобы учесть мнение различных

групп населения), но здесь мы этой проблематики касаться не будем.

2. Предположим, что на некоторой фирме применили нововве-

дение: внедрили новую технологию, перешли на выпуск новой про-

дукции и т. п. Для простоты будем считать, что регистрируемыми

данными являются значения производительности труда в течение

дня. Эта производительность зависит от ряда случайных факторов

и, следовательно, является случайной величиной.

Пусть имеется последовательность чисел — производительность

за некоторый срок. Например: 7, 11, 10, 6, 6, 9, 9, 10, 5, 6, 10, 7 (в

этот момент процесс производства был изменен, последующие дан-

ные относятся к новой ситуации), 11, 7, 9, 8, 10, 9.

Как по имеющимся числовым данным определить, достигнуто ли

повышение производительности труда?

3. Требуется дать прогноз на изменение значения некоторой ве-

личины — курса доллара, спроса на продукцию, числа зрителей

на стадионе и т. п. Основными исходными данными здесь являются

значения, которые принимала изучаемая величина в прошлом.

13.2. Первичная обработка данных

Обработка данных и получение на ее основе каких-либо рекоменда-

ций относительно принятия того или иного управленческого реше-

ния — процесс, вообще говоря, многоэтапный. Обычно полученные

в результате наблюдений данные представляют собой набор чисел.

267

ГЛАВА 13. О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Просматривая этот набор, как правило, трудно выявить какую-либо

закономерность. Поэтому данные подвергают некоторой первичной

обработке, целью которой является упрощение дальнейшего анали-

за. Мы рассмотрим подробно один из возможных способов.

Рассмотрим данные, полученные в результате регистрации зна-

чений некоторой случайной величины, — набор чисел:

(отметим, что некоторые значения могут совпадать). Этот набор чи-

сел называется выборкой.

Дальнейшие действия зависят от того, как много в выборке раз-

личных чисел. Если мы имеем дело с дискретной случайной вели-

чиной, то различных чисел немного; если с непрерывной случайной

величиной, то могут и все числа оказаться различными. Поэтому

далее рассмотрим два этих случая по отдельности.

Дискретный случай

Первый этап обработки выборки — это составление вариационного

ряда. Его получают так: среди всех чисел

отбирают различные и

располагают в порядке возрастания —

где

а.\

< • • • <

Следующий этап обработки выборки

таблицы частот:

составление дискретной

Здесь п — число всех измерений,

к^

— число измерений, в которых

наблюдалось значение

щ.

Величины

называются частотами, а

величины

ki/n

— относительными частотами.

Графической иллюстрацией дискретной таблицы частот является

столбиковая диаграмма (рис. 1).

Замечание 1. Частоты и относительные частоты пропорциональны,

поэтому при построении столбиковой диаграммы

па

вертикальной

268

13.2. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Рис. 1

оси можно указывать значения либо относительных частот, либо ча-

стот — визуальное восприятие от этого не зависит.

Пример 1. Пусть нашей задачей является выявление картины

успеваемости студентов, сдавших экзамен по курсу "Математиче-

ские модели в управлении". На курсе 56 человек. Полученные сту-

дентами оценки представляют собой (в порядке алфавитного спис-

ка) следующий набор чисел:

3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 3, 5, 5, 2, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 5,

3, 3, 4, 3, 4, 3, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 3, 5, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 3,

4, 3, 5, 3, 5.

Это и есть исходные данные — выборка. Числа, составляющие

выборку, представляют собой реализации случайной величины —

оценки на экзамене.

Составление вариационного ряда не представляет сложностей.

Вот он:

2, 3, 4, 5.

Теперь надо подсчитать, сколько раз встречается каждая из оце-

нок. Это можно сделать непосредственно, однако существует и дру-

гой способ. Выписываются значения 2, 3, 4, 5 по одному на каждой

строке. После этого выборка просматривается: одно число за дру-

гим, и для каждого значения ставится вертикальный отрезок в со-

ответствующей строке. После этого подсчитывается число отрезков

в каждой строке.

В данном случае имеем:

269

ГЛАВА

13.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Таблица частот выглядит следующим образом:

Здесь в последней строке — относительные частоты, полученные

при делении частот на число измерений п — 56.

Рис. 2

Столбиковая диаграмма, иллюстрирующая полученную таблицу,

изображена на рис. 2.

Непрерывный случай

Если число различных значений в выборке велико, вычислять час-

тоту каждого из них не имеет большого смысла. Например, если все

значения в выборке различны, то дискретная таблица частот имеет

вид

ПОНЯТНО,

ЧТО такая таблица не добавляет наглядности.

Поэтому поступают следующим образом. Весь промежуток изме-

нения значений выборки, от минимального до максимального, раз-

бивают на интервалы. После этого подсчитывают число значений

из выборки, попадающих в каждый интервал (частоты), а затем —

относительные частоты. В результате получаем интервальную та-

270