Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Вычислим значение производной дУ/др в точке Р

, расположенной на самой

сфере (см. рис. 7).

Так как

соз

(г, ъ)

то

Но (при р = Н)

2 Н '

дУ_ , (Т ГГ Л1

Зр ~~ }} 2В г2 2я г '

:4Л В

Полученный результат будем рассматривать, как формальное значение

иначе — прямое значение) на слое, которое

обозначим через дУ

/д р. Следовательно,

можно написать, что

производной потенциала (или

4?—

Таким образом, производная потенциала

при пересечении притягиваемой точкой Р

поверхности сферы испытывает разрыв.

На рис. 9 дан график изменения про-

изводной потенциала однородного беско-

Рис. 9 нечно тонкого сферического слоя. Во вну-

треннем пространстве эта функция равна

нулю, ЕО внешнем пространстве убывает обратно пропорционально р

а при переходе через поверхность сферы функция меняется скачком на ±4л/р

в зависимости от направления движения.

Притяжение шара

Определим потенциал однородного шара. Опять будем различать два слу-

чая: 1) притягиваемая точка находится во внешнем пространстве и 2) притяги-

ваемая точка лежит внутри притягивающих масс.

1. Рассмотрим первый случай. Притягиваемая точка Р находится вне

шара на расстоянии р от его центра. Представим себе, что шар состоит из бес-

конечно большого числа однородных сферических бесконечно тонких слоев.

Тогда потенциал всего шара можно рассматривать как сумму потенциалов

указанных выше слоев. Потенциал каждого отдельного слоя определяется

формулой (1.47), но для выполнения процесса суммирования необходимо по-

верхностную плотность р, заменить объемной плотностью б, используя соот-

ношение (1.25). Так как расстояние между двумя бесконечно близкими сфери-

ческими слоями к = с1В, то выражение (1.25) можно представить в виде

р = бсШ. (1.52)

Подставляя это значение р в формулу (1.47), получим

У = 4я/б -у- ав.

Чтобы получить значение потенциала шара, следует это выражение про-

грировать в пределах от 0 до В

, где через обозначен радиус шара.

4 ^ Д8,

У = 4я/ — \ Я

й/? = -|-я/6-е.. (1.53)

р ^ о р

Введем массу М шара, равную произведению объема -|-яЛш на плотность б.

I гда

У = (1.54)

Следовательно, однородный шар создает во внешнем пространстве такой

потенциал, как если бы вся его масса была сосредоточена в одной точке —

:;гнтре шара.

Определим, с какой силой шар притягивает точечную массу т', помещен-

ную в точку Р. Исходя из соображений симметрии устанавливаем, что сила

притяжения должна быть направлена к центру шара, т. е.

Р=™=Ц-. (1.55)

Зр р2

Отсюда следует вывод, что однородный шар во всем внешнем пространстве

притягивает с силой прямо пропорциональной массе шара и обратно пропор-

циональной квадрату расстояния от центра шара.

2. Пусть притягиваемая точка Р находится внутри шара на расстоянии р

- его центра.

Проведем радиусом р вспомогательную сферу, которая разделит все при-

тягивающие массы на две области: первая область заключена в пределах сферы

радиуса р, потенциал притягивающих масс этой области обозначим У

, при-

тягивающие массы второй области заключены между сферами радиусов р и Н

потенциал этих масс обозначим У

. Используя свойство потенциала — его

екалярность (1.17), представим потенциал шара как сумму двух потенциалов

Для масс, заключенных внутри сферы радиуса р, точка Р может рассматри-

ваться как внешняя и потенциал V] этой части шара на точку Р определится

по формуле (1.53), если положить в ней В

= р

= 4

Для масс, заключенных во второй области, точка Р является внутренней,-

потенциал каждой бесконечно тонкой сферы, расположенной в этой области,

на точку Р определяется формулой (1.50). Заменив в этой формуле поверхно-

стную плотность р согласно (1.52), получим

У = 4я/бВ йВ.

Следовательно,

= 4л/б | В Ж = 2я/б (Да - р

Таким образом, потенциал шара на внутреннюю точку Р будет иметь вид

У = 7

1 +

= ^-хс/б(ЗД

-р

). (1.56)

Из условия симметрии устанавливаем, что сила притяжения точечной

массы та', помещенной в точке Р, должна быть направлена к центру шара,

т. е. по направлению, противоположному направлению р.

Следовательно, на основании (1.56) получим

)

Эта формула показывает, что внутри однородного шара сила притяжения

прямо пропорциональна расстоянию р от центра до притягиваемой точки.

В центре шара р = 0 и Р = 0, т. е. притяжение отсутствует.

Формуле (1.57) можно придать вид, похожий на вид формулы (1.55). Для

этого введем в формулу (1.57) массу шара радиуса р

т = яр

Тогда получим

* = (1-58)

Таким образом, точку, находящуюся внутри однородного шара, притяги-

вают только те массы, которые лежат ближе к центру, чем притягиваемая точка,

и притом так, как если бы они все были сосредоточены в центре шара.

Определим форму уровенных поверхностей и силовых линий. Для опре-

деления формы уровенных поверхностей следует использовать уравнение V =

= сопз1. Возьмем ли мы выражение для потенциала (1.53) или (1.56), в обоих

случаях потенцрщл будет сохранять постоянное значение только при условии,

что р = сопз1;.

Это уравнение является уравнением сферы и, следовательно, уровенные

поверхности потенциала шара являются сферами.

Силовые линии представляют собой прямые линии, пересекающиеся

в центре шара.

Притяжение плоского однородного простого

слоя

Представим, что притягивающие массы в виде бесконечно тонкого слоя

плотности р распределены на круге радиуса а. Построим прямоугольную си-

стему координат таким образом, чтобы начало координат было совмещено

с центром круга — точкой О, оси х и у лежали в плоскости круга (рис. 10),

а ось 2 совпадала с осью его симметрии. Определим притяжение плоского бес-

конечно тонкого однородного круга на точки С, С' и О. Так как точки С и С"

«лкат на оси симметрии, то сила притяжения в этих точках будет направлена

кголь оси г, вследствие чего для точек С и С" имеем

р=р„

Г 2

йа.

При этом по величине эти силы будут равны, но направлены в противо-

положные стороны, так как, если в точке С соз (г, г) = —, то в точке С' соз (г,

: = -г/г.

Что же касается притяжения круга в точ-

ке О, то оно будет равно нулю, ибо притяже-

•ия каждой пары диаметрально противопо-

ложных элементарных частиц, расположенных

вл круге на одинаковом от центра расстоянии,

взаимно уравновешиваются. Вычислим силу

притяжения в точке С. Для упрощения вычи-

слений введем в плоскости (ху) полярную си-

стему координат р и а. Из прямоугольного тре-

угольника ОСМ получаем

+Р

(1.59)

Дифференцируя это равенство, считая 2 по-

стоянным, находим

гйг = р йр.

С'(о,о,-г}

Рис. 10

Элемент поверхности круга в полярных координатах будет йа = рйрйа

или йа — г йг йа. Следовательно,

Уг'+а* 2Я

Е- 4 Г Г гйгйа

2 0

Пределы интегрирования по г установлены, исходя из соотношения (1.59)

между г и р,

-рп р = 0, Г = 2,

грп р = а, г— Уг

-)- ®

Далее имеем

УгЧа*

Р = — 2я/рг ^ г~

йг = — 2я/р[Ч — у==

(1.60)

На основании полученной формулы можно сделать вывод, что если точка С

удаляется в бесконечность (г -> то сила притяжения Р будет стремиться

к нулю. Если же точка С будет приближаться к слою так, что г все время будет

охранять положительное значение, то величина силы будет увеличиваться,

л ее направление будет оставаться противоположным положительному напра-

влению оси 2.

Определим предел, к которому стремится сила Р, когда лежащая на поло-

жительной стороне оси 2 точка С будет неограниченно приближаться к центру

круга О. Обозначив этот предел через Р

, получим

= — 2я/р 1нп (1

Уа2 +

) = —2я/р.

3 Заказ 1379

В центре круга, точке О, как уже было установлено

Если притягиваемая точка перейдет через слой на противоположную

сторону оси г, то направление силы будет совпадать с положительным напра-

влением оси г. При этом величина силы будет определяться по формуле

г)- <

Предел, к которому будет стремиться сила, когда точка С' будет прибли-

жаться к центру круга, оставаясь все время на отрицательной стороне оси 2,

будет равен

Таким образом, сила притяжения бесконечно тонкого однородного круга

испытывает разрыв непрерывности при переходе через слой. Если однородный

простой слой распределен на бесконечной плоскости, то радиус а в (1.60) и (1.61)

следует положить равным бесконечности. Тогда получим, что

±2я/ц,

т. е. является постоянной величиной.

Таким образом, сила притяжения бесконечно плоского однородного про-

стого слоя не зависит от расстояния притягиваемой точки до слоя.

Можно получить те же самые выводы, если воспользоваться потенциальной

функцией притяжения.

В самом деле, потенциал плоского однородного простого слоя радиуса а

на основании (1.26) будет

О 2Я

^ ^ у

24-

0 0

Интегрируя по а, найдем

л У р2+

Перейдем от переменного р к новому переменному г, связанному с р соотно-

шением (1.59). Тогда потенциал можно представить в виде

Уг'+а*

7 = 2я/р ^ йг = 2я/р(/2Ч

-2). (1.62)

Дифференцируя это выражение по положительному и отрицательному

направлениям г, получим формулы (1.60) и (1.61).

Если точка С лежит не на оси симметрии (не на оси г), и угол между напра-

влением оси 2 и направлением на точку С будет (г, I), то на основании (1.60)

определим составляющую силы притяжения плоского однородного круга по

произвольному направлению I, как

Р,= — 2л/р (1 - у==-) соз (2, 0.

Предельные значения и прямое значение составляющей притяжения в этом

•-.тучае будут

= — 2я/р,соз(2, I) •

(Р,)1 = 2л/р

СОЗ

(2, /) . (1.63)

Притяжение цилиндра

Выведем формулы для силы притяжения однородного цилиндра на точку С,

сходящуюся на его оси симметрии (рис. 11), которую примем за ось 2. Поло-

тельным направлением оси г будем считать направление от точки С

у точке С

. Представим себе, что цилиндр состоит из бесконечно большого

ч;:сла бесконечно тонких кругов. Потенциал одного из них (заштрихованного

Н1 рисунке) на точку С будет вычисляться по форму-

.1- (1.62). Сила притяжения этого круга на точку С

чожет быть представлена в виде производной от потен-

циала по положительному направлению оси 2 (по-

::-ольку в данном случае направления оси 2 и силы

притяжения совпадают)

дУ

——

(1/2

дг дг

Заменим поверхностную плотность р через объем-

) согласно (1.25). Получим

2я/б (V2) йг.

дг Рис. 11

Сила притяжения всего цилиндра может быть вычислена как сумма при-

тяжений бесконечно тонких кругов, из которых состоит цилиндр

а о

Р = 2я/б |

Л+Ав

Произведя интегрирование и подставив пределы, будем иметь

Р = 2я/б [/а

+ Л

2-У"а

+ (А+ /г

)

+А].

Если положить к

(1.64)

— 0, то получим формулу для определения силы при-

тяжения однородного цилиндра на точку, находящуюся в центре его верхнего

основания,

Р = 2я/б [а + к - /а

+ к

]. (1.65)

Если к — высота цилиндра значительно меньше, чем а — радиус его

основания, то, считая

№

2 а

получим приближенную формулу

(1.66)

.35

§ 5. СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ТЯГОТЕНИЯ

Потенциал объемных масс

Потенциал объемных масс V является функцией непрерывной, однозначной

и конечной во всем пространстве. Такими свойствами обладают и первые произ-

водные потенциала.

Докажем, что потенциал объемных масс является функцией конечной,

т. е. что он не может неограниченно возрастать подобно точечному потенциалу

при г 0 (1.17).

Очевидно, что во внешнем пространстве г не может обратиться в нуль

и поэтому во внешнем пространстве потенциал V = / [Д (б йт)/г является

конечной и непрерывной функцией координат притягиваемой точки.

Однако во внутреннем пространстве г может стремиться к нулю, подын-

тегральная функция 1/г ->- и может показаться, что интеграл не будет иметь

конечного значения. Однако это не так. Положим, что притягиваемая точка

Р (х, у, г) находится внутри данного тела, примем ее за начало сферической

системы координат г, 0 и X. Элемент объема в этой системе будет

йт = г- 8ш

0 <20 йХ

йг.

Подставив это значение йт в формулу (1.20), получим следующее выражение

для потенциала тяготения

У = / Щб/-зт0й0йА, йг.

Отсюда видно, что и при г, стремящемся к нулю, подынтегральная функция

не обращается в бесконечность и, следовательно, потенциал внутри масс сохра-

няет конечное значение.

Для того чтобы убедиться в том, что потенциал объемных масс — функция

непрерывная и во внутреннем пространстве поместим притягиваемую точку

Р (х, у, г) опять внутрь тела. Проведем вокруг точки Р сферу настолько малого

радиуса К, чтобы плотность внутри этой сферы, которую обозначим через б*,

можно было считать постоянной. Потенциал этой сферы обозначим через

а потенциал всех остальных масс тела — через У

. Потенциал тела У можно

рассматривать как сумму двух потенциалов У

и У

. Потенциал У

в точке Р

будет функцией непрерывной, так как г 0. Потенциал в центре сферы, в соот-

ветствии с формулой (1.56), будет

= 2л{8*В

Для точки Р', расположенной внутри сферы на расстоянии р от ее центра

Вычитая из VI, получим, что

—- = я/б*р

при Р<Д.

Если теперь радиус вспомогательной сферы К уменьшать до нуля, то и раз-

ность VI — Ух будет стремиться к нулю, откуда и следует, что потенциал V

есть функция непрерывная внутри масс.

Первая производная потенциала объемных масс по произвольному напра-

влению I будет равна

Получим общее выражение для производной от функции 1 ]г по произволь-

ному направлению I. Очевидно, что

д (1 /г) __ соз (г, I)

~1 г2 81 ~ г2 V

так как из рис. 12 следует, что ^ = соз (г, I).

Используя соотношение (1.67), найдем

8У

Так же, как и для функции V, можно доказать, что функция дУ/д1 является

функцией непрерывной и конечной как во внешнем, так и во внутреннем про-

странстве. у

Исследуем теперь поведение вторых произ- г

юдных от потенциала объемных масс. Сначала /

рассмотрим случай внешнего пространства.

Так как для любой точки, находящейся вне \

,I)

грвтягивающих масс, г не может обратиться

» нуль, то можно утверждать, что произ- ^

(

,у,г)

нудные всех порядков от потенциала V будут р

ис

ягпрерывны и конечны.

Вычислим вторые производные потенциала по координатам притягиваемой

т»:чкп х, у и г. Имеем

Так как на основании (1.21)

3(1 /г) _ х — 1

Следовательно,

дх т з '

(1/

) _ * [ 3(^-|)2

з т"

По аналогии находим две другие производные

Складывая все три равенства, получим

Учитывая формулу (1.5), под интегралом получим выражение

/ з , 3 \ „ д%У д2у д2у

(-7Г + ^] =

' и поэтому _ + _+_ = 0. (1.69'

Это уравнение, называемое уравнением Лапласа, устанавливает зависимость

между вторыми производными потенциала тяготения объемных масс. Его пишут

часто символически, обозначая левую часть через ДУ, в таком виде

ДУ = 0. (1.70)

Символ А в (1.70) называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворя-

ющие условию (1.70) в некоторой области г, называются в этой области гармо-

ническими. Отсюда следует, что потенциал объемных масс во всем внешнем

пространстве является гармонической функцией координат притягиваемой

точки.

Однако внутри притягиваемых масс уравнение Лапласа не удовлетво-

ряется. Действительно, для точки, находящейся внутри тела, разности х — с,

у — г), 2 — а вместе с тем и г могут стремиться к нулю. При этом выражение

в прямых скобках, стоящее в формуле (1.68), будет содержать в знаменателе

бесконечно малые третьего порядка. Элемент объема йт, на который эта скобка

множится, есть тоже малая третьего порядка (йт = Лхйу йг). Поэтому подын-

тегральная функция в пределе принимает вид неопределенности 0/0.

Для раскрытия неопределенности опишем вокруг точки Р сферу настолько

малого радиуса К, чтобы плотность внутри этой сферы (обозначим ее по-преж-

нему через б*) можно было считать постоянной. Тогда потенциал объемных

масс на точку Р можно представить в виде суммы

где У у — потенциал притяжения масс, находящихся внутри сферы, а У

—

потенциал всех остальных масс.

Образовав оператор Лапласа для каждой части этого равенства, получим

ДУ = ДУ

+ ДУ

. (1.71)

Но для У

значение г нигде в нуль не обращается, и поэтому для этой части

потенциала справедливо уравнение Лапласа

ДУ

= 0.

Для нахождения ДУ

напишем выражение (1.56) для потенциала при-

тяжения однородного шара радиуса В на внутреннюю точку

= -|- я/б* (3-й

—р

здесь В = сопз!; р — расстояние между центром сферы Р (х, у, г) и текущей

точкой М г), Р, находящейся внутри сферы, р < В;

= (

-5)

+(г/-г))2+(

-02

Образуем от У

частную производную по х

Дифференцируя это выражение по х, будем иметь

дх2

що

Аналогично получим

дуг ~ 3

Л1

° '

Зг2 ~ 3

'° •

Складывая вместе все три производные, найдем

А7

= —4я/б*.

Подставив это выражение в (1.71), получим значение оператора Лапласа

тя внутренней точки

ДУ = —4п/б*, (1.72)

е б* — плотность в точке Р (х, у, л). Индекс * в дальнейшем будем опускать.

Соотношение (1.72) носит название уравнения Пуассона. Это уравнение

танавливает зависимость между

орыми производными потенциала

'•ъемных масс в произвольной точ-

--, находящейся внутри притяза-

ющих масс, и плотностью в этой

•? точке. В частном случае, когда

исследуемой точке нет притяги-

ющих масс (6 = 0), уравнение

-.ассона п,ереходит в уравнение

апласа (1.70).

Из (1.72) можно сделать вывод,

о в тех точках, в которых плот-

сть меняется скачком, претерпе-

г-т разрыв непрерывности, по

:айней мере, одна из вторых произ-

•дных потенциала V.

Рассмотрим свойства потенциала объемных масс на бесконечности, т. е.,

гда расстояние г от тела до притягиваемой точки неограниченно возрастает

сравнению с размерами тела. В этом случае можно пренебречь размерами

ла и положить

г '

е М — масса тела.

Отсюда следует, что

Нщ 7 = 0. (1.73)

г-* со

Докажем, что при этом произведение гУ стремится к пределу

Пт гУ = /М.

г —СО

РисМЗ