В этом случае задача определения коэффициентов А
пк
и В
пк
может быть
значительно упрощена, если значения функции будут даны не в произвольных,
а в определенным образом выбранных точках. В зависимости от принимаемой
системы расположения точек используют различные способы определения
коэффициентов: способ Гаусса и два способа Неймана.
Для второй группы разлагаемая в ряд функция представляется
т п
/1Р = 22 [(А
пк
соз кХР
пк
(0) + В
пк
81 п кХР
пк
(0)], (111.32)
п=О Ь=0
где черт ой отмечены величины, осредненные по некоторым площадям сферы.
При определении тем или иным методом коэффициентов различных раз-
ложений приходится учитывать один существенный факт, в значительной сте-
пени усложняющий весь процесс вычисления коэффициентов.
Так как значения функции / (0, Я) в отдельных точках определяются из
наблюдений, а наблюдения в большинстве случаев очень неравномерно распре-
делены по земной поверхности, это приводит к существенному искажению
результатов вычислений.
Поэтому для ослабления влияния неравномерности распределения точек,
в которых определена функция / (0, Я), при определении коэффициентов раз-
ложения выгоднее использовать методы, которые предусматривают использо-
вание осредненных результатов. Рассмотрим некоторые методы.
1. Способ Гаусса
Пусть требуется выполнить разложение функции / (0, Я) в рядно сфери-
ческим функциям до степени т.
На (т + 1) произвольно выбранных параллелях в точках, равноотстоящих
друг от друга по долготе, задаются значения / (0, Я) таким образом, что на одной
параллели дается одно значение, на второй — три, на третьей — пять и т. д.
и на (т + 1) параллели — (2т + 1) значение. Всего, таким образом, задается
(т + I)
2
значений функции / (0, Я), что равно числу определяемых коэффи-
циентов А
пк
и В
пк
.
Тогда совокупность значений / (0, Я) на любой параллели (т. е. при 0 =
= сопз1) может быть представлена рядом Фурье по синусам и косинусам дол-
готы Я. Обозначая коэффициенты этого ряда через р
к
и д
к
, для п-й параллели
напишем
/ (Я) = р
0
+ р
х
сов
Я
+ р
г
сов
2Я
+ . .
.
+ р„ соз пХ + зт
Я
+
+ д
2
зт 2Я + ...-{- д
п
зт пХ. (III.33)
Для определения коэффициентов р
к
и этого ряда воспользуемся свой-
ством ортогональности функций, по которым производится разложение в ряд
Фурье.
Как известно, две вещественные функции § (х) и к (х), заданные на конеч-
ном интервале а < х <[ Ъ, ортогональны на этом интервале, если
ь
Ц
$ (х) к (х)
с1х —
0.
а
Понятие ортогональности при этом во многом аналогично условию пер-
пендикулярности двух векторов, заданных своими декартовыми проекциями.
Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если
115"