Сибирева А.Р. Высшая математика для студентов технических специальностей в формулах и таблицах
Подождите немного. Документ загружается.
31
1 способ (метод Бернулли).
Подстановка
v
⋅
=
uy , vv
′
⋅+⋅
′
=
′
uuy
приводит к решению системы
уравнений
⎩
⎨
⎧
=
′
=+
′
).x(qu
,)x(f
v
0vv
5. Линейные уравнения первого поряд-
ка
)()( xqyxfy =⋅+
′
2 способ
(метод вариации произ-
вольной постоянной).
1 способ (метод Бернулли).
Подстановка
v⋅= uy
приводит к решению системы
уравнений
⎩
⎨
⎧
⋅=
′
=+
′
.u)x(qu
,)x(f
mm
vv
0vv
6. Уравнения Бернулли
m
yxqyxfy ⋅=⋅+
′
)()(
2 способ
. Разделить обе части
уравнения почленно на
m
y . Замена
zy
m
=
−1
,
m
z
yy
m
−
′
=⋅
′
−
1
приводит к уравнению вида 5.
Второй способ используют для
упрощения интегрирования.
1 способ.
∫
+= )();();( ydxyxPyxF
ϕ
.
Найдем
y
F
∂
∂
. Из уравнения
)y;x(Q
y
F
=
∂
∂
выразим
)( y
ϕ
′
.
Найдем
∫
′
= dyyy
)()(
ϕϕ
. Общее ре-
шение имеет вид
CyxF =);( .
7. Уравнение вида
0);();(
=
+ dyyxQdxyxP
является уравнением в полных диф-
ференциалах, если
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
.
2 способ
. Решение находим по
формуле
∫
=+
);(
);(
00
);();(
yx
yx
CdyyxQdxyxP
или по формуле
∫∫
=+
x
x
y
y
CdyyxQdxyxP
00
);();(
0
.
32
6.2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Вид уравнения Способ нахождения общего
решения
1.
)(
)(
xfy
n
=
n раз проинтегрировать обе части
равенства
а) 0),,(
2
2
=
dx
yd
dx
dy
xF Замена )(xp
dx
dy
= ,
dx
dp
dx
yd
=
2
2
2.
б)
0
1
=
−
)y,y,x(F
)n()n(
Замена
)(
)1(
xpy
n
=
−
,
dx
dp
y
n
=
)(
а) 0),,(
2
2
=
dx
yd
dx
dy
yF Замена
)( yp
dx
dy
=
, p
dy
dp
dx
yd
⋅=
2
2
3.
б)
0
1
=
−
)y,y,y(F
)n()n(
Замена
)(
)1(
ypy
n
=
−
, p
dy
dp
y
n
⋅=
)(
6.3. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим уравнение
0...
)2(
2
)1(
1
)(
=++++
−−
yayayay
n
nnn
, (6)
где
Raaa
n
∈,...,,
21
.
Составим уравнение, называемое характеристическим уравнением,
0...
2
2
1
1
=++++
−−
n
nnn
ararar . (7)
По основной теореме алгебры уравнение (7) имеет
n
корней
n
rrr ,...,,
21
.
Вид корней характеристического
уравнения
Общее решение уравнения (6)
1.
Все корни
n
rrr ,...,,
21
действительны
и различны
xr
n
xrxr
n
eCeCeCy +++= ...
21
21
, (8)
где
∈
n
C,...,C,C
21
R произвольные
постоянные
2. Среди корней характеристического
уравнения
1
r
– действительный ко-
рень кратности
k (т.е.
k
rrr
=
=
= ...
21
)
Соответствующие
k слагаемых в (8)
заменим выражением
)...(
12
321
1
−
++++
k
k
xr
xCxCxCCe
3. Среди корней характеристического
уравнения
β
α
i
±
– пара однократ-
ных комплексно-сопряженных кор-
ней
Соответствующие слагаемые в (8)
заменим выражением
)xsinCxcosC(e
x
ββ
α
21
+
4. Среди корней характеристического
уравнения
β
α
i± – пара комплексно-
сопряженных корней, каждый из
которых имеет кратность
k
Соответствующие
k пар слагаемых
в (8) заменим выражением
]xsin)xC
~
...xC
~
xC
~
C
~
(
xcos)xC...xCxCC[(e
k
k
k
k
x
β
β
α
12
321
12
321
−
−
+++++
+++++
33
6.4.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения высшего
порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
)(...
1
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyayayayay
nn
nnn
=+++++
−
−−
, (9)
где
∈
n
a,...,a
1
R.
Общее решение уравнения (9) имеет вид
чн
yyy
+
=
00
, где
00
y – общее
решение однородного уравнения (см. п. 6.3),
чн
y – частное решение неодно-
родного уравнения.
Для некоторых специальных видов функций
)(xf
чн
y можно найти ме-
тодом неопределенных коэффициентов, используя следующую таблицу.
1.
)(xf
Корни характеристи-
ческого уравнения
чн
y
а)
0
- не корень харак-
теристического урав-
нения (7)
)(xQ
m
– многочлен степе-
ни
m
2.
)(xP
m
– многочлен сте-
пени
m
б)
0 - корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
)(xQx
m
k
⋅
а) a – не корень ха-
рактеристического
уравнения
)(xQe
m
ax
⋅
3.
)(xPe
m
ax
,
где
)(xP
m
– многочлен
степени
m
б)
a
– корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
)(xQex
m
axk
⋅⋅
а) bi – не корень харак-
теристического урав-
нения
bxsin)x(Rbxcos)x(T
mm
+ ,
где
)(xT
m
, )(xR
m
– много-
члены степени
m
4.
bxsin)x(Qbxcos)x(P
mm
+ ,
где
)(xP
m
, )(xQ
m
– мно-
гочлены степени не
выше
m , один из них
имеет степень
m
.
б)
bi
– корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[x
m
m
k
+
+
а)
iba
+
– не корень ха-
рактеристического
уравнения
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[e
m
m
ax
+
+
5.
]bxsin)x(Q
bxcos)x(P[e
m
m
ax
+
+
б)
iba
+
–корень харак-
теристического урав-
нения кратности
k
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[ex
m
m
axk
+
+
Замечание. Если
)()()(
21
xfxfxf
+
= , где )(
1
xf и )(
2
xf – функции из пер-
вого столбца таблицы, то
21 чнчнчн
yyy
+
=
, где
1чн
y и
2чн
y – функции из третьего
столбца, отвечающие
)(
1
xf и )(
2
xf .
34
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.,
Наука, 1970.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитиче-
ской геометрии. М., Наука, 1980.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчис-
ление. – М., Наука, 1980.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения
. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М., Наука, 1981.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вту-
зов. – М., Наука, Т.1,2, 1978.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................................................................. 3
1. Элементы линейной алгебры ............................................................................. 3
2. Элементы аналитической геометрии ................................................................ 7
3. Пределы и непрерывность................................................................................ 11
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ..................... 15
5. Интегральное исчисление функций одной переменной .............................. 20
6. Дифференциальные уравнения........................................................................ 30
Библиографический список
.................................................................................. 34
Учебное издание
Высшая математика для студентов технических специальностей
в формулах и таблицах
Методические указания
Составитель: СИБИРЕВА Анна Рудольфовна