Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
93
2. Среднечастотный участок располагается по обе стороны от точки
пересечения характеристикой оси частот. Точка пересечения соответствует
частоте среза
C
ω
. Среднечастотный участок должен обязательно иметь
наклон –20 дБ/дек и продолжаться от
C
ω
до ординат
1
L и
2
L .
2.1. Определение
C
ω
.
Для этого используют зависимости, приведенные на рис. 9.8.
По заданному значению
%
σ
определяется максимальная ордината
вещественной частотной характеристики
м
акс
P
, затем, используя
макс
P ,
находится ордината
с
n
Р
t
ω
π
=
, откуда с учетом заданного значения t
Р
находим частоту среза:
Р
t
n
с
π
ω
= . (9.15)
2.2. Определяется минимальное значение типовой вещественной
характеристики из соотношения 0P1P
м
акс
м
ин
<
−
=
.
2.3.
Определение запасов устойчивости по амплитуде
1
L и
2
L .
Запасы устойчивости находятся по графикам, приведенным на рис. 9.9.
Кривые на рисунке представляют собой зависимости запаса устойчивости по
амплитуде L
1
и запаса устойчивости по фазе
γ
от величины
макс
P .
Чтобы определить
1
L , находим на графике значение равное
м
акс
P
.
Проведя вертикальную прямую вверх до пересечения с кривой
)P(fL
м
акс1
=
, а затем горизонтальную прямую до оси ординат, находим
величину
1
L дБ. Величину
2
L определяем из условия
2
L = –
1
L
.
Аналогичным образом, используя кривую
)P(f
м
акс
=
γ
, найдем значение
запаса устойчивости по фазе
γ
.
3. Высокочастотный участок очень мало влияет на переходный
процесс и строится прямыми с наклоном –40 или –60 дБ/дек или с наклоном
меньшим на 20 дБ/дек, чем ЛАЧХ нескорректированной системы на этом
участке.
4. Среднечастотный участок сопрягается с соседними либо
непосредственно путем продолжения СЧ участка (например, на рис. 9.7),
либо с помощью сопрягающих прямых,
имеющих наклон –40 или –60 дБ/дек
(рис. 9.8).
Желаемая характеристика
)(
ω
C
L строится так, чтобы она по
возможности меньше отличалась от ЛАЧХ нескорректированной системы
)(
ω
H
L . При этом получается корректирующее устройство наиболее простого
типа. Для этого допустимо увеличить запасы устойчивости
1
L
и
2
L
, изменить
наклон сопрягающих прямых и наклон ВЧ–части.
94
0
10
20
30
40
50
60
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Рис. 9.8. Кривые для определения зависимости перерегулирования
σ
и времени регулирования t
p
от максимального
значения вещественной характеристики
0
10
20
30
40
50
60
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Рис. 9.9. Кривые для определения запаса по амплитуде L
1
и
запаса по фазе
γ
с
ω
π
σ, %
P
макс
с
3
ω
π
t
p
, c
L
1
, дБ
γ, град
P
макс
γ
L
1
с
2
ω
π
с
4
ω
π
t
p
σ
95
9.4. Корректирующие звенья
В результате синтеза корректирующих устройств получают
передаточные функции звеньев, которые необходимо реализовать. В общем
случае корректирующие устройства представляют элементы,
осуществляющие то или иное преобразование сигнала управления.
Для этой цели применяют преобразовательные устройства различной
физической природы: электрические, механические, гидравлические,
пневматические и иные элементы. Наиболее широко распространены
электрические преобразовательные элементы постоянного тока.
Такие
корректирующие звенья можно разделить на две основные
группы:
• пассивные четырехполюсники,
• активные четырехполюсники.
В последние годы в качестве регуляторов и корректирующих
звеньев также все чаще применяют промышленные контроллеры, в
которых программным способом реализуются различные законы
управления.
9.4.1. Пассивные четырехполюсники
Эти четырехполюсники представляют собой электрические цепи,
состоящие из резисторов, конденсаторов и индуктивностей, то есть из R–,
L– и C–элементов. Такие звенья называют пассивными корректирующими
устройствами, так как они не содержат источников электродвижущих сил.
Пассивные четырехполюсники могут быть представлены в виде
обобщенной эквивалентной схемы, изображенной на рис. 9.10.
Рис. 9.10
Функции Z
!
(p) и Z
2
(p) представляют собой сопротивления участков
цепи в операторной форме. Влияние последующего звена учтено введением
сопротивления нагрузки Z
Н
(p). Входное и выходное напряжения постоянного
тока обозначены соответственно через u
1
и u
2
.
С учетом введенных обозначений передаточная функция пассивного
четырехполюсника будет равна
Z
2
(p)
Z
1
(p)
Z
Н
(p)
u
1
u
2
96
.
)p(Z)p(Z
)p(Z)p(Z
)p(Z
)p(Z)p(Z
)p(Z)p(Z
)p(U
)p(U
)p(W
2Н
2Н
1
2Н
2Н
1
2
+
+
+
==
(9.16)
Если напряжение
u
2
приложено к нагрузке с бесконечно большим
сопротивлением
Z
Н
(p), то выражение (9.16) приобретает вид
.
)p(Z)p(Z
)p(Z
)p(U
)p(U
)p(W
21
2
1
2
+
==
(9.17)
Передаточная функция (9.16), как правило, соответствует звеньям с
более плохими корректирующими свойствами по сравнению с (9.17).
Варьируя вид операторов сопротивлений Z
!
(p) и Z
2
(p) можно получить
большое количество четырехполюсников с различными передаточными
функциями. Стоимость пассивных четырехполюсников низкая, а
стабильность параметров достаточно высокая, поэтому эти звенья широко
используются в системах автоматического управления. Недостатком
пассивных четырехполюсников является то, что они только ослабляют
сигнал.
Некоторые наиболее характерные схемы пассивных
четырехполюсников представлены в прил. 4, в котором приведены их
передаточные функции и логарифмические частотные характеристики.
Пассивные четырехполюсники принято разделять на
дифференцирующие, интегрирующие и интегро-дифференцирующие.
Дифференцирующие четырехполюсники осуществляют дифференцирование
сигнала в определенном диапазоне частот и создают положительный сдвиг по
фазе. Интегрирующие четырехполюсники в некотором диапазоне частот
обеспечивают интегрирование сигнала и создают отрицательный сдвиг по
фазе. Интегро-дифференцирующие четырехполюсники в
одном диапазоне
частот осуществляют дифференцирование сигнала, а в другом диапазоне его
интегрируют.
9.4.2. Реализация сложных корректирующих звеньев
При практической реализации корректирующих звеньев с
характеристиками, которые не удается реализовать с помощью одного
звена иногда целесообразно соединить последовательно два или более
четырехполюсника.
Передаточная функция таких последовательно соединенных звеньев
(рис. 9.11) равна
)p(W)p(W)p(W
2
K
1
K
Э
⋅= , (9.18)
Формула (9.18) справедлива при условии, что сумма полного
сопротивления второго четырехполюсника
Z
!2
(p)+Z
22
(p) значительно, по
97
Рис. 9.11
крайней мере, на порядок, больше полного сопротивления Z
21
(p) первого
четырехполюсника, то есть
Z
!2
(p)+Z
22
(p)>> Z
21
(p).
Для устранения взаимного влияния четырехполюсников их соединяют
через разделительный усилитель с большим входным сопротивлением.
Рис. 9.12
Если входное сопротивление усилителя не влияет на передаточную
функцию )(
1
pW
K
, то передаточная функция такого соединения
)p(WK)p(W)р(W
2
K
У
1
K
Э
⋅
⋅= , (9.19)
где
У
K
– передаточный коэффициент усилителя.
Преимущество такой схемы и в том, что результирующий
коэффициент усиления может быть больше единицы.
9.4.3. Активные четырехполюсники постоянного тока
Это корректирующие звенья, реализованные на основе операционных
усилителей. Общая схема такого четырехполюсника имеет вид (рис. 9.13).
В схеме используются операционные усилители с коэффициентом
усиления
4
У
105K ⋅≥ .
Тогда передаточная функция с достаточной точностью равна
)p(Z
)p(Z
)p(W
1
2
−=
.
Z
2
(p)
Z
1
(p)
u
1
u
2
Z
21
(p)
W
K1
(p)
W
K2
(p)
Z
1
1
(p)
u
1
Z
22
(p)
u
2
Z
1
2
(p)
Z
21
(p)
W
K1
(p)
Z
1
1
(p)
u
1
W
K2
(p)
Z
22
(p
u
2
Z
1
2
(p)
У
98
Рис. 9.13
Знак минус указывает на то, что усилитель инвертирует знак входного
напряжения.
Активные четырехполюсники позволяют осуществить почти идеальное
интегрирование или дифференцирование сигнала, особенно в ограниченной
полосе частот.
Активные четырехполюсники обладают следующими свойствами:
• осуществляют почти идеальное интегрирование,
• передаточный коэффициент может быть велик,
• легко суммируются несколько сигналов,
• часто имеют меньшие габариты по сравнению с пассивными.
Недостаток: дороже и сложнее пассивных четырехполюсников.
Примеры активных четырехполюсников.
1.
Реальное дифференцирующее звено (рис. 9.14).
Звено описывается передаточной функцией
1pT
pkT
)p(W
+
−=
,
Рис. 9.14
где
CRkT
2
= ; .RRk;CRT
121
=
=
Логарифмические частотные характеристики приведены на рис. 9.15.
20 дБ/де
к
L
φ
90
L
φ
ω
T
-1
C
R
2
R
1
u
1
u
2
99
Рис. 9.15
2.
Пропорционально-интегральный регулятор (рис. 9.16).
Рис. 9.16
Звено описывается передаточной функцией
Tp
1Tp
K)p(W
+
−=
,
где
1
2
R
R
K =
; CRT
2
= .
Логарифмические частотные характеристики приведены на рис. 9.17.
Рис. 9.17
3.
Интегро-дифференцирующее звено
Звено описывается передаточной функцией
)1)(1(
)1)(1(
)(
32
41
++
+
+
−=
pTpT
pTpT
KpW
,
где
1
3
R
R
K =
;
1211
)( CRRT +=
;
122
CRT
=
;
2433
)( CRRT
+
=
;
244
CRT =
.
C
R
2
R
1
u
1
u
2
-90
-20 дБ/дек
L
φ
L
φ
ω
T
-1
R
1
R
3
u
1
u
2
C
1
R
2
C
2
R
4
100
Рис. 9.18
Логарифмические частотные характеристики приведены на рис. 9.19.
Рис. 9.19
Параметры логарифмической амплитудно-частотной характеристики
будут равны
KL lg20
1
=
;
)(
)(
lg20
4321
2143
2
RRRR
RRRR
L
+
+
=
10. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ САУ
Для уменьшения статических и динамических ошибок в САУ
применяют следующие методы проектирования.
Общие методы.
К числу общих методов повышения точности САУ относятся:
Увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы,
Повышение степени астатизма,
Применение регулирования по производным от ошибки,
Применение инвариантных систем 2-х типов:
– инвариантных по отношению к возмущающему воздействию,
– инвариантных по отношению к задающему воздействию.
10.1. Увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы
Является наиболее общим и универсальным методом.
Пусть имеем систему регулирования
-20 дБ/дек
L
2
L
1
L
ω
T
3
-1
T
4
-1
T
1
-1
T
2
-1
+20 дБ/дек
X(p)
f(p)
W
1
(p)
y(p)
g(p)
W
2
(p)
W
3
(p)
101
Рис. 10.1
Рассмотрим режим:
Неподвижное состояние. При этом constgg
=
=
0
, constff ==
0
.
Ошибка системы
x называется в этом случае статической.
Найдем величину ошибки:
)(
)(1
)(
)(
)(1
1
)(
0
pf
pW
pW
pg
pW
pX
P
f
P
+
+
+
=
, (10.1)
где
)()()(
21
pWpWpW
P
⋅= – передаточная функция разомкнутой системы,
)()()(
230
pWpWpW
f
⋅= –передаточная функция объекта по возмущению.
Для получения установившегося значения, то есть статической ошибки
нужно воспользоваться предельным переходом, если
∞→
t
, то 0→
p
.
Например, если в
1
)(
+
=
Tp
K
pW
положить 0
=
p
, то получим
K
W =)0( – коэффициент передачи звена в установившемся состоянии.
Подставим 0
=
p
в (10.1)
CTCT
P
f
P
CT
xxf
W
W
W
g
x
′′
+
′
=
+
+
+
=
0
0
0
)0(1
)0(
)0(1
. (10.2)
Первое слагаемое в (10.2) представляет собой составляющую ошибки от
задающего воздействия.
Для
статических систем KW
P
=
)0(, где K – коэффициент разомкнутой
системы, тогда
K
g
x
CT
+
=
′
1
0
, откуда 1
0
−
′
=
CT
x
g
K
. (10.3)
Для
астатических систем
∞
→)0(
P
W
, тогда
0
=
′
CT
x
.
Второе слагаемое в (10.2) представляет собой составляющую ошибки
от возмущающего воздействия
0
0
)0(1
)0(
f
W
W
x
P
f
CT
+
=
′′
. (10.4)
В статической системе получим
1
1
00
−
′′
⋅
=⇒
+
⋅
=
′′
CT
CT
x
f
K
K
f
x
γ
γ
, (10.5)
где
γ
– отношение установившейся ошибки к постоянному возмущению
(коэффициент статизма) в разомкнутой системе,
102
K
+1
γ
– коэффициент статизма в замкнутой системе (т.е. величина ошибки
уменьшается в
K
+1 раз).
Рис. 10.2
В
астатической системе
∞
→)0(
P
W , но это не значит, что 0
=
′
′
CT
x , так
как возможен случай, когда
∞
→)0(
0f
W , поэтому для каждого возмущения
нужно находить значение (4).
Рис. 10.3
00
)0( KW =
p
K
pW
рег
=)(
В разомкнутой системе
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
210
)( ff
p
K
pWx
и в замкнутой
)(1
)(
210
pW
ff
p
K
pW
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
Пусть
101
ff
=
,
202
ff = , тогда получим
10
20100
)(1
)(
f
pW
ff
p
K
pW
x
уст
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
′′