Суляндзига Е.П., Ушакова Г.А. Тесты по математике: Предел, производная, элементы алгебры и геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
3
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения»
Кафедра «Прикладная математика»
Е.П. Суляндзига, Г.А. Ушакова
ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ:
ПРЕДЕЛ, ПРОИЗВОДНАЯ,
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2009
4
ВВЕДЕНИЕ
Всякое человеческое познание
начинается с созерцаний,
переходит от них к понятиям
и заканчивается идеями.
И. Кант,
“Критика чистого разума”
Предлагаемое учебное пособие можно рассматривать как сборник за-
дач. Задачи охватывают традиционные темы – основы математического
анализа: функцию, ее предел и производную. Присутствуют задачи по ос-
новам линейной алгебры и аналитической геометрии. Поскольку предел и
производная функции являются более трудными, и кроме того, эти темы
являются фундаментальными для интегрального исчисления, то им уде-
лено наибольшее внимание: подробно разобраны решения типовых задач.
Теория пределов − это введение в теорию дифференцирования функ-
ции. Авторы надеются, что с помощью вербального аппарата им удалось
рассказать о неопределенностях и правилах их раскрытия.
При нахождении производной сложной функции слишком трудно дает-
ся студентам установление порядка следования функций, образующих
сложную функцию. Несомненно, этот материал надо увидеть в устном из-
ложении преподавателя. Хочется верить, что при вдумчивом подходе чи-
татель сможет самостоятельно разобраться и с дифференцированием
сложной функции.
Собранный в учебном пособии материал неоднократно использовался
на практических занятиях.
5
Repetitio est mater studiorum (лат.)
Повторение – мать обучения
Я занимался до сих пор решением ряда
задач, ибо при изучении наук
примеры полезнее правил.
И. Ньютон.
“Всеобщая арифметика”
1. ПРЕДЕЛ. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ПРАВИЛА ИХ РАСКРЫТИЯ
Функция
α
(x) называется бесконечно малой при
x
, стремящемся к
некоторой заданной величине
a
:
x a
→
, если предел
(
)
x
α
при указанном
стремлении переменной
x
есть ноль:
(
)
lim 0.
x a
x
α
→
=
Функция
β
(х) называется бесконечно большой при
x
, стремящемся
к некоторой величине
a
, если при неограниченном приближении аргумен-
та
x
к величине
a
абсолютные значения функции
β
(х) становятся и оста-
ются гораздо большими как угодно большого наперед заданного числа.
Говорят, что в этом случае пределом функции
β
(х) является бесконеч-
ность, и обозначается этот факт как
(
)
lim
x a
x
β
→
= ∞
.
Бесконечно малая и бесконечно большая функции находятся в обрат-
ной зависимости:
1) если
α
(x) бесконечно малая функция при
x a
→
,
(
)
lim 0
x a
x
α
→
=
,
то
( )
1
α
x
бесконечно большая функция при
x a
→
:
( )
1
lim
α
→
= ∞
x a
x
;
2) если
β
(х) бесконечно большая функция при
x a
→
,
(
)
lim
x a
x
β
→
= ∞
,
то
( )
1
β
x
бесконечно малая функция при
x a
→
:
( )
1
lim 0.
x a
x
β
→
=
Известно, что сумма и произведение бесконечно больших функций при
стремлении аргумента
x
к некоторому фиксированному наперед заданно-
му значению
a
есть бесконечно большие функции. Теперь, следуя обще-
принятым обозначениям, запишем:
1 1
; ; ; 0; 0 0 0.
0
∞ + ∞ = ∞ ∞ ⋅∞ = ∞ = ∞ = ⋅ =
∞
Но если здесь все ясно, то отношение бесконечно больших функций,
разность бесконечно больших функций, отношение бесконечно малых
функций, а также произведение бесконечно малой функции на бесконечно
6
большую функцию есть неопределенности. Названные неопределенно-
сти обозначаем
0
, , , 0
0
∞
∞ − ∞ ⋅∞
∞
соответственно.
Надо заметить, что каждая из перечисленных неопределенностей име-
ет свои правила раскрытия.
Правило раскрытия неопределенности
∞
∞
Рассмотрим это правило на вычислении
(
)
( )
lim
→∞
n
x
m
P x
Q x
, где функцией яв-
ляется отношение двух многочленов, т.е. рациональная функция.
Исследуем отношение двух многочленов при условии, что аргумент
x
становится и остается как угодно большим, т.е.
x
→ ∞
. Заметим, что сте-
пень многочлена определяется старшей степенью переменной
x
. Приняты
обозначения для многочленов степеней
n
и
m
соответственно:
( )
( )
2 1
0 1 2 1
2 1
0 1 2 1
... ,
... .
n n
n n n
m m
m m m
P x a a x a x a x a x
Q x b b x b x b x b x
−
−
−
−
= + + + + +
= + + + + +
Ориентируясь только на старшие степени
n
или
m
многочленов
(
)
n
P x
и
(
)
m
Q x
, можно утверждать, что
(
)
(
)
lim , lim
n m
x x
P x Q x
→∞ →∞
= ∞ = ∞
.
Пример 1. Найти
3 2
2
5 4 1
lim
7 8 11
x
x x x
x x
→∞
− + −
+ +
.
Решение
Обозначим многочлен третьей степени, находящийся в числителе,
( )
3 2
3
5 4 1
x x P x
− − =
, а многочлен второй степени, который записан в знаме-
нателе,
( )
2
2
7 8 11
x x Q x
+ + =
. Анализируя многочлены
( )
3 2
3
5 4 1
P x x x
= − −
и
( )
2
2
7 8 11
Q x x x
= + +
, стоящие в числителе и знаменателе соответственно,
делаем вывод, что перед нами есть отношение двух бесконечно больших
функций при условии, что аргумент
x
стремится к бесконечности. Это
факт записывается
3 2
2
5 4 1
lim .
7 8 11
x
x x x
x x
→∞
− + − ∞
=
∞
+ +
Анализируя степени 3 и 2 многочленов
(
)
3
P x
и
(
)
2
Q x
соответственно,
замечаем, что наибольшей степенью переменной
x
является 3. Эту сте-
пень дает многочлен
(
)
3
P x
, который в данном случае находится в числи-
теле. Следует обратить внимание на определение степени 3 переменной
x
как
{
}
max 2,3 3
=
. Выполним операцию почленного деления многочленов,
7
стоящих в числителе и знаменателе, на
3
x
. Будем иметь
(
)
( )
3 2 3
3 2
2
2 3
3 2
3 3 3 3 2 3
2
2 3
3 3 3
5 4 1 /
5 4 1
lim lim
7 8 11
7 8 11 /
5 4 1 5 4 1 1
lim lim lim
1
lim
7 8 11
7 8 11
lim lim lim
5
.
0
x x
x x x
x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x
x x x
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞
→∞ →∞ →∞
− + −
− + − ∞
= = =
∞
+ +
+ +
− + − − + −
= = =
+ +
+ +
= = ∞
Здесь
2 3 2 3
4 1 1 7 8 11
lim lim lim lim lim lim 0.
x x x x x x
x x
x x x x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= = = = = =
Ответ:
3 2
2
5 4 1
lim
7 8 11
x
x x x
x x
→∞
− + −
=
+ +
∞
.
Пример 2. Найти
2
5 2
8 4 3
lim
6 3 2
x
x x
x x x
→∞
− + −
− + −
.
Решение
Видим, что перед нами есть вновь отношение двух бесконечно боль-
ших функций при условии, что аргумент
x
стремится к бесконечности.
Многочлен второй степени
( )
2
2
8 4 1
x x P x
− + − =
находится в числителе,
многочлен пятой степени
( )
5 2
5
6 3 2
x x x Q x
− + − =
−
в знаменателе. Анали-
зируя степени многочленов
(
)
2
P x
и
(
)
5
Q x
, замечаем, что наибольшей сте-
пенью переменной
x
является 5. Эту степень дает многочлен
(
)
5
Q x
, и на-
ходится многочлен с более высокой степенью в знаменателе. Наивысшую
степень 5 переменной
x
определили как
{
}
max 2,5 5
=
. Выполним операцию
почленного деления многочленов
(
)
2
P x
и
(
)
5
Q x
, стоящих в числителе и
знаменателе соответственно, на
5
x
. Получим
(
)
( )
2 5
2
5 2
5 2 5
8 4 3 /
8 4 3
lim lim
6 3 2
6 3 2 /
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
→∞ →∞
− + −
− + − ∞
= = =
∞
− + −
− + −
8
2
5 5 5 3 4 5
5 2
3 4 5
5 5 5 5
8 4 3 8 4 3
lim lim
6 3 1 2
6 3 2
1
x x
x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x
→∞ →∞
− + − − + −
= = =
− + −
− + −
3 4 5
3 4 5
8 4 3
lim lim lim
0
0.
6 3 1 2
6
lim lim lim
1
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
− + −
= = =
− + −
x x x
x x x
x x x
x x x
Здесь
3 4 5 3 4 5
8 4 3 3 1 2
lim lim lim lim lim lim 0.
x x x x x x
x x x x x x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= = = = = =
Ответ:
2
5 2
8 4 3
lim 0.
6 3 2
x
x x
x x x
→∞
− + −
=
− + −
Пример 3. Найти
3 2
3
6 8 12 3
lim
7 4 9
x
x x x
x x
→∞
− + − +
− +
Решение
И в этом случае имеем отношение двух бесконечно больших функций
при условии, что аргумент
x
стремится к бесконечности. В числителе и в
знаменателе находятся многочлены третьей степени:
( )
3 2
3
6 8 12 3
x x x P x
− + − + =
и
( )
3
3
7 4 9
x x Q x
− + =
. Степени этих многочленов
одинаковы, в данном случае это 3. Выполним почленное деление много-
членов
(
)
3
P x
и
(
)
3
Q x
на
3
x
. В результате элементарных преобразований
будем иметь
3 2
3 2
3 3 3 3
3 3
3 3 3
2 3
2 3
6 8 12 3
6 8 12 3
lim lim
7 4 9 7 4 9
6 8 12 3
lim lim lim
6
1
.
7 4 9
7
lim lim
1
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
− + − +
− + − + ∞
= = =
∞
− +
− +
− + − +
= = −
− +
Здесь
2 3 2 3
8 12 3 4 9
lim lim lim lim lim 0
x x x x x
x
x x x x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= = = = =
.
Ответ:
3 2
3
6 8 12 3 6
lim .
7
7 4 9
x
x x x
x x
→∞
− + − +
= −
− +
9
Анализ решений приведенных примеров позволяет сделать вывод.
Пусть в роли бесконечно больших функций выступают многочлены, их на-
зывают еще полиномами, а это возможно при стремлении аргумента
x
к
бесконечности. Отношение таких функций есть неопределенность
∞
∞
.
Если многочлен с наибольшей степенью находится в числителе, то в
ответе получаем бесконечно большое число, которое как абстракцию обо-
значаем
∞
.
Если же многочлен с наибольшей степенью находится в знаменателе,
то в ответе имеем 0, как предел бесконечно малой величины (ранее отме-
тили, что бесконечно малая величина есть величина, обратная бесконечно
большой).
Если степени многочленов оказываются равными, то в пределе имеем
отношение коэффициентов, стоящих при старших степенях многочленов.
Заметим, что именно старшая степень переменной многочлена и опреде-
ляет его степень.
Сформулированный выше вывод можно очень кратко представить
в математической символике:
( )
( )
, ,
lim 0, ,
, .
n
x
m
n
m
n m
P x
n m
Q x
a
n m
b
→∞
∞ >
∞
= = <
∞
=
если
если
если
Правило раскрытия неопределенности вида
0
0
Сначала рассмотрим отношение многочленов, которые при условии,
что переменная
x
стремится к некоторому наперед заданному чис-
лу
a
, обращаются в бесконечно малые величины, т. е.
(
)
( )
0
lim
0
n
x a
m
P x
Q x
→
=
.
Тот факт, что многочлены
(
)
n
P x
и
(
)
m
Q x
при подстановке
x a
=
обра-
щаются в нули, говорит о том, что число
a
является корнем этих много-
членов. А это означает, что и многочлен
(
)
n
P x
степени
n
, и многочлен
(
)
m
Q x
степени
m
делятся на
(
)
x a
−
без остатка
1
, т. е.
(
)
(
)
(
)
1
n n
P x x a R x
−
= −
1
Здесь рассматривается следствие теоремы Безу о делении многочлена f(x) на линейный двучлен
(x-a): число а является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на
двучлен (x-a). Этьен Безу (Etienne Bezout, 1730 − 1783) − французский математик. Основные труды по-
священы алгебре.
10
и
(
)
(
)
(
)
1
m m
Q x x a S x
−
= −
. Здесь
(
)
1
n
R x
−
− частное от деления многочле-
на
(
)
n
P x
на линейный двучлен
(
)
x a
−
. Это вновь многочлен, но степень его
уже на единицу меньше, т. е. равна
1
n
−
. Совершенно аналогично можно
сказать, что многочлен
(
)
1
m
S x
−
степени
1
m
−
есть частное от деления мно-
гочлена
(
)
m
Q x
на линейный двучлен
(
)
x a
−
. Если теперь посмотреть на
поставленную задачу о нахождении предела и выполнить предложенные
преобразования
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
1
1
0
lim lim
0
n n
x a x a
m m
P x x a R x
Q x x a S x
−
→ →
−
−
= =
−
, то заметим, что двучлен
(
)
x a
−
можно сократить. Следует обратить внимание на то, что не нули сокраща-
ем, а одинаковые бесконечно малые величины, поскольку
x a
≠
, но
x a
→
,
и разность
(
)
x a
−
является бесконечно малой величиной.
Отсюда следует
вывод
: если отношение многочленов при
x a
→
обращается в отношение бесконечно малых величин, то уже известен
множитель, который дает ноль. Это
(
)
x a
−
или
(
)
a x
−
. Разложите много-
члены на простейшие множители. Сократив бесконечно малые величины
(
)
x a
−
или
(
)
a x
−
, можно получить результат. Этот метод позво-
лит избавиться от неопределенности
0
0
, или, как говорят, раскрыть ее.
Пример 4
. Найти
2
2
2
5 6
lim
2
x
x x
x x
→
− +
−
.
Решение
При подстановке предельного значения аргумента
2
x
=
в выражение
2
2
5 6
2
x x
x x
− +
−
имеем отношение
0
0
, а это отношение не определено. В этом
случае говорят, что имеем неопределенность вида
0
0
.
Поскольку многочлены второй степени (квадратные трехчлены)
2
5 6
x x
− +
и
2
2
x x
−
обращаются в ноль при подстановке
2
x
=
, то это озна-
чает, что каждое из уравнений
2
5 6 0
x x
− + =
и
2
2 0
x x
− =
имеет своим кор-
нем
2
x
=
. Следовательно, в выражениях
2
5 6
x x
− +
и
2
2
x x
−
можно выде-
лить разность
(
)
2
x
−
как бесконечно малую величину при
2
x
→
.
Решим уравнение
2
5 6 0
x x
− + =
. Найдем его корни:
2
x
=
и
3
x
=
(это
11
видно из теоремы Виета
2
: 2+3=5, 2⋅3=6). Разложим квадратный трехчлен
2
5 6
x x
− +
на множители:
( )( )
2
5 6 2 3
x x x x
− + = − −
.
Преобразование же выражения
2
2
x x
−
:
( )
2
2 2
x x x x
− = −
очевидно.
Видим, что и в числителе, и в знаменателе удалось выделить одинако-
вый множитель – бесконечно малую функцию
(
)
2
x
−
при
2
x
→
. Сократим
одинаковые бесконечно малые величины
(
)
2
x
−
. Результат получим при
подстановке в оставшееся выражение предельного значения аргумента
x
, т.е.
2
x
=
. Решение будет таким:
(
)
(
)
( )
2
2
2 2 2
2 3
5 6 3 1
lim lim lim
2 2
2
x x x
x x
x x x
x x x
x x
→ → →
− −
− + −
= = −
−
−
.
Ответ
:
2
2
2
5 6 1
lim
2
2
x
x x
x x
→
− +
= −
−
.
Вывод
. Чтобы раскрыть неопределенность вида
0
0
, надо выде-
лить в числителе и знаменателе одинаковые множители, это будут при
x a
→
бесконечно малые величины − либо
(
)
x a
−
, либо
(
)
a x
−
, и сократить
эти бесконечно малые величины.
Правило раскрытия неопределенности вида
∞ − ∞
Пример 5
. Найти
lim 2 4
x
x x
→∞
− − +
.
Решение
Имеем разность двух бесконечно больших функций при условии, что
аргумент
x
стремится к бесконечности. Этот факт записываем как
(
)
lim 2 4 .
x
x x
→∞
− − + = ∞ − ∞
Выражение
2 4
x x
− + +
называется сопряженным по отношению к
исходному
2 4
x x
− − +
. Заметим, что в сопряженном выражении
2 4
x x
− + +
нет неопределенности, действительно, сумма двух беско-
нечно больших величин есть бесконечно большая величина, т. е.
2
Виет (Вьет) Франсуа (Viete Francois) (1540 – 1603) – французский математик, по профессии –
юрист. Интересовался астрономией и пришел через нее к тригонометрии и алгебре. Получил решение
уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах. Ввел впервые буквенные обозначения не только неиз-
вестных величин, но и для данных – коэффициентов уравнений.
12
(
)
lim 2 4
x
x x
→∞
− + + = ∞ + ∞ = ∞
. Интересен тот факт, что произведение
двух взаимно сопряженных выражений позволяет избавиться от квадрат-
ных корней. Действительно, здесь используется одна из формул сокра-
щенного умножения:
( ) ( )
2 2
.
a b a b a b
− ⋅ + = −
В нашем случае будем иметь
(
)
(
)
( ) ( )
2 4 2 4 2 4 2 4 6
x x x x x x x x
− − + − + + = − − + = − − − = −
.
Выполним эквивалентные преобразования, суть дела не меняется, но
внешний вид будет другим: умножим и числитель, и знаменатель на выра-
жение
2 4
x x
− + +
, сопряженное исходному
2 4
x x
− − +
, и используем
уже готовый промежуточный результат:
(
)
(
)
( )
( )
2 4 2 4
lim 2 4 lim
2 4
6 6
lim 0.
2 4
x x
x
x x x x
x x
x x
x x
→∞ →∞
→∞
− − + − + +
− − + = =
− + +
− −
= = =
∞
− + +
Как видим, такое элементарное эквивалентное преобразование исход-
ного выражения позволило избавиться от неопределенности вида
(
)
∞ − ∞
.
Ответ
:
lim 2 4 0.
x
x x
→∞
− − + =
Пример 6
. Найти
3
2
lim
5
x
x
x
x
→∞
−
−
.
Решение
Исследуем дробь
3
2
5
x
x
+
. Поскольку имеем отношение двух бесконечно
больших функций при стремлении переменной
x
к бесконечности, то в со-
ответствии с выводами, полученными выше, имеем
3
2
lim .
5
x
x
x
→∞
∞
= = ∞
∞
−
Таким образом, имеем разность двух бесконечно больших функций, имен-
но,
( )
3
2
lim
5
x
x
x
x
→∞
− = ∞ − ∞
−
. В этом случае избавиться от неопределен-
ности
∞ − ∞
поможет приведение исходного выражения к общему знаме-
нателю. Итак, будем иметь