Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

3.1. Критерии проверки стационарности

добавив конс танту и тр енд.

∆x

= µ

+ µ

t + µ

+ δx

t−1

+ γ

∆x

t−1

+ γ

∆x

t−2

+ ε

Следует заметить, что критические значения, посчитанные для

тестов (3.1–3.4), остаются справедливыми как для (3.8–3.11), так

и для общего случая модели AR(p), куда также можно включить

константу и тренд.

∆x

= δx

t−1

j=1

∆x

t−j

+ ε

где δ =

i=1

− 1, γ

= −

i=j+1

Если порядок AR(p) заранее неизвестен, то следует включить как

можно большее количество лагов, чтобы устранить возможную ав-

токорреляцию ошибок.

В то же время добавление чрезмерного количества лагов сни-

жает мощность теста. Для правильного выбора количества лагов

или порядка k процесса AR можно предложить следующие подхо-

ды.

Интегрированные процессы. . .

1) Выбирать k на основе обычных t- и F -статисти к. Процедура

состоит в том, чтобы начать с некоторой максимальной длины лага

и проверять вниз, используя t- или F -статистики для значимости

самого дальнего лага (лагов). Процесс останавливается, когда t-

статистика или F -статистика значимы.

2) Использовать информационные критерии Акаике и Шварца.

Длина лага с минимальным значением информационного критерия

предпочтительна.

3) Сделать остатки регрессии A DF-критерия как можно бо-

лее похожими на белый шум. Это можно проверить при помощи

критерия на автокорреляцию. Если соответствующая статистика

значима, то лаг выбран неверно и следует увеличить k.

Поскольку дополнительные лаги не меняют асимптотические

результаты, то лучше в зять больше лагов , чем меньше. Однако

этот последний аргумент верен только с асимптотической точки

зрения. ADF может давать разные результаты в зависимости от

того, каким выбрано количество лагов. Даже добавление лага, ко-

3.2. Концепция коинтеграции

торый «не нужен», может резко изменить результат проверки ги-

потезы.

3.2. Концепция коинтеграции

Итак, наличие трендов во временных рядах можно рассмат-

ривать как одну из главных проблем эмпирической эконометрии.

Тренды, как стохастические, так и детерминированные, могут стать

причиной ложной регрессии.

Для избавления от тренда можно выполнить преобразование в

виде перехода к разностям такого порядка, которые будут стацио-

нарными.

Но это не лучшее решение. Применение оператора взятия, на-

пример, первых разнос тей к переменным приводит к потере дол-

госрочных свойств проце ссов, возникает проблема пропущенной

переменной.

Стремление получить модель, которая учитывала бы кратко-

срочные и долгосрочные особенности процессов и в то же время

Интегрированные процессы. . .

поддерживала стационарность всех переменных, подтолкнуло к пе-

ресмотру принципов построения регрессии.

Первым концепцию коинт еграции предложил Клайв Грейнджер

(1981 г.). Настоящую известность и признание концепция Грейн-

джера получила после публикации его совместной с Роб ертом Эн-

глом статьи (1987). Идеи Грейнджера получили свое развитие в

исследованиях Филлипса, Стока и Ватсона, Йохансена и др.

Оказывается, можно установить долгосрочную зависимост ь меж-

ду нестационарными переменными, если они коинтегрированы,

то есть они могут быть скомбинированы в один ряд, который бу-

де т уже стационарным. I(1)-процессы {x

} и {x

} являются ко-

интегрированными порядка 1 и 1, кор от ко CI(1, 1), если существует

коэффициент λ такой, что {x

− λx

} ∼ I(0).

Легко изобразить такие два проце сса если λ = 1 . В этом случае

и x

будут “двигаться” параллельно, синхронно, сонаправлен-

но во времени.

Примерами таких рядов могут служить цены на идентичные

товары на разных рынках, доходы и расходы домашних хозяйств,

3.2. Концепция коинтеграции

Рис. 3.1. Два коинтегрированных процесса при λ = 1

кратко- и долгосрочные ставки процента, ставка процента в раз-

личных частях страны.

Но даже в т ом случае, когда разность двух I(1)-процессов неста-

ционарна, можно иногда подобрать λ 6= 1 такой, что линейная

комбинация x

− λx

будет стационарной.

Очевидно, что коинтегрированными могут быть только такие

два временных ряда, которые и н тегрированы одного порядка.

Определение коинтеграции естес твенным образом распростра-

няется на случай нескольких переменных произвольного поряд-

ка ин тегрирования. Компоненты k-мерного векторного процесса

Интегрированные процессы. . .

= (x

, . . . , x

) называют коинтегрированными порядка d и b,

что обозначается x

∼ CI(d, b), если

1) каждая компонента x

является I(d ), i = 1, . . . , k;

2) существует отличный от н уля вектор β, такой что x

β ∼ I(d−

b), d > b > 0. Вектор β называют коинтегрирующим вектором.

На практике наиболее инт ересна ситуация, когда ряды, транс-

формированные с помощью коинтегрирующего вектора, — стацио-

нарны, то есть d = b .

Рассмотрим ситуацию , когда x

∼ I(1) и x

∼ I(1).

Если бы коэффициент λ был известен, то выяснение того, ко-

интегрированы ли переменные x

и x

, было бы эквивалентно

выяснению того, стационарна ли комбинация x

− λx

(напри-

мер, с помощью критерия Дики —Фуллера). Но в практических

ситуациях обычно стационарная линейная комбинация неизвест-

на. Значит, необходимо оценить коинтегрирующий вектор. После

этого следует выяснить, действительно ли этот вектор дает стаци-

онарную линейную комбинацию.

3.2. Концепция коинтеграции

Простейшим методом отыскания стационарной линей ной ком-

бинации является метод Энгла—Грейнджера. Энгл и Грейнджер

предложили использовать оценки, полученные из обычной регрес-

сии с помощью мет ода наименьших квадратов. Одна из перемен-

ных должна ст оять в левой части регрессии, другая — в правой:

= λx

+ u

К остаткам из этой так называемой коинтеграционной регрес-

сии {u

} применяется метод Дики— Фуллера.

Нулевая гипотеза состоит в том, чт о u

содержит единичный

корень, то есть x

и x

не коинтегрированы. Для проверки ну-

левой гипотезы строится вспомогательная ре грессия

= ρu

t−1

+ ν

Статистика Энгла—Грейнджера представляет собой обычную t-

статистику для проверки гипотезы ρ = 1 в этой вспомогательной

регрессии.

Интегрированные процессы. . .

Нулевой гипотезой, следовательно, предусматривается отсут-

ствие коинтеграции.

Если же гипотеза H

отвергается, то есть основание считать,

что полученные результаты не являются ложной регрессией.

После того, как найдена стационарная линейная комбинация,

можно оценить модель исправления ошибок.

В этой модели используются первые разности исходных пере-

менных и остатки из коинтеграционной регрессии, которые будут

представлять корректирующий элемент модели исправления оши-

бок.

∆x

= β

∆x

+ β

1,t−1

− λx

2,t−1

) + ε

Здесь зависимая переменная ∆x

и регрессоры ∆x

и (x

1,t−1

−

λx

2,t−1

) — все I(0), и нет опасности получения фиктивной регрес-

сии.

В такой модели t и F -статистики будут иметь обычные асимп-

тотические распределения и можно использовать стандартные рас-

пределения Стьюдента, Фишера для проверки соответствующих

гипотез.

3.2. Концепция коинтеграции

Следует подчеркнуть, что для избежания неверных выводов о

коинтеграции, в коинтеграционну ю регрессию иногда целесообраз-

но включать константу, тренд, сезонные фиктивные переменные.

Например, добавляя константу и тренд, получаем ре грессию

= µ

+ µ

t + λx

+ u

Такое добавление, как и в случае DF- теста, меняет распределение

критерия Энгла—Грейнджера.

При этом в отличие от критерия Дики—Фуллера, регрессия, из

которой берется t-статист и ка

= ρu

t−1

+ ν

остается неизменной, то есть в нее не следует добавлять детерми-

нированные регрессоры.

Обозначим роль корректирующего элемента β

1,t−1

−λx

2,t−1

) .

Именно этот элемент в модели исправления ошибок обеспечивает

долгосрочные свойства модели. Без него модель неверно специфи-

цирована и не может воспроизводить динамику проце сса.

Интегрированные процессы. . .

Модель исправления ошибок можно записать и в более общем

виде, если добавить распределенные лаги зависимой переменной

∆x

1,t−j

и регрессора ∆x

2,t−j

∆x

1,t

= β(x

1,t−1

− λx

2,t−1

) +

p−1

j=1

∆x

1,t−j

q−1

j=0

∆x

2,t−j

+ ε

Рекомендуемая литература

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Экономет-

рика — начальный курс.— М.: Дело, 2000. (Гл. 12 — с. 240–

249.)

2. Banerjee A., Dolado J.J., Galbraith J.W. and Hendry D.F.

Co-integration, Error Correction and the Econometric Analysis

of Non-stationary Data. — Oxford University Press, 1993. (Гл.

3–5.)

3. Davidson, R., and J.G. MacKinnon. Estimation and Inference

in Econometrics. — Oxford University Press, 1993. (Гл. 20.)