6 7ÌíîæåñòâàÃëàâà 1
Îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîå ìíîæåñòâî X, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòû x
1
, x
2
, ..., x
n
, áóäåì îáîçíà÷àòü X={x
1
, x
2
, ..., x
n
}.
 ÷àñòíîñòè, {x} òàê íàçûâàåìîå åäèíè÷íîå ìíîæåñòâî, åñòü
îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî
ÿâëÿåòñÿ x. Åñëè ìíîæåñòâî X êîíå÷íîå, òî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ
â ìíîæåñòâå îáîçíà÷àåòñÿ |X|. Íàïðèìåð, åñëè X={a, b, c}, òî |X|=3.
Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå íå èìååò çíà÷åíèÿ.
Íàïðèìåð, {a, b, c} è {c, a, b} ýòî îäíî è òî æå ìíîæåñòâî.
Ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà ñàìè ìîãóò áûòü ìíî-
æåñòâàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî A={{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} åñòü
ìíîæåñòâî èç òðåõ ýëåìåíòîâ (|A|=3), à èìåííî: {1, 3}, {2, 4} è
{5,6}. Ìíîæåñòâà B={{1, 2}, {2, 3}} è C={1, 2, 3} ðàçëè÷íûå
ìíîæåñòâà, òàê êàê ýëåìåíòàìè ïåðâîãî ÿâëÿþòñÿ {1, 2}, {2, 3}, è
|B|= 2, à ýëåìåíòàìè âòîðîãî1, 2 è 3, |C| = 3. Ìíîæåñòâà D={{1,2}}
è G={1,2} òàêæå ðàçëè÷íû, òàê êàê ïåðâîå îäíîýëåìåíòíîå
ìíîæåñòâî, èìåþùåå åäèíñòâåííûì ñâîèì ýëåìåíòîì {1, 2}, à âòîðîå
èìååò ñâîèìè ýëåìåíòàìè 1 è 2.
Íà îñíîâàíèè êàíòîðîâñêîãî ïîíèìàíèÿ ìíîæåñòâà ìîæíî äàòü
îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà ÷åðåç åãî ñâîéñòâà, êîòîðûå ïîñòóëèðóþòñÿ
êàê èíòóèòèâíûå ïðèíöèïû.
1.1.1. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè
Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì.
Äâà ìíîæåñòâà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîñòîÿò
èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ.
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ: A=B, íåðàâåíñòâî A≠B.
Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà êàêèõ-ëèáî äâóõ êîíêðåòíûõ
ìíîæåñòâ A è B ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî
åñëè x∈A, òî x∈B, è îáðàòíîå: åñëè x∈B, òî x∈A.
Ïðèìåð 1. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A âñåõ ÷åòíûõ ïîëîæè-
òåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî ìíîæåñòâó B ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ
÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû äâóõ íå÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ
öåëûõ ÷èñåë.
Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî x∈A, è äîêàæåì, ÷òî x∈B. Äåéñòâèòåëü-
íî, åñëè x∈A, òî x=2m, òàê ÷òî x=(2m1)+1. Ýòî è îçíà÷àåò,
÷òî x∈B.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî x∈B, è âûâåäåì îòñþäà, ÷òî x∈A.
Åñëè x∈B, òî x=(2p1)+(2q1), îòêóäà x=2(p+q1), èç
÷åãî ñëåäóåò, ÷òî x∈A.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ñîñòîÿò èç
îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, ñëåäîâàòåëüíî, A=B.
1.1.2. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè
Îáîçíà÷åíèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåíèÿ åãî ýëåìåíòîâ
ñëèøêîì ãðîìîçäêî, ÷òîáû åãî èñïîëüçîâàòü äëÿ çàäàíèÿ ìíîæåñòâ,
èìåþùèõ, õîòÿ è êîíå÷íîå, íî áîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, è âîâñå
íåïðèìåíèìî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Áóäåì ïîíèìàòü ïîä âûñêàçûâàíèåì ïîâåñòâî-
âàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê
èñòèííîå èëè ëîæíîå. Òîãäà ïîä îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì
(ôîðìîé) îò x P(x) áóäåì ïîíèìàòü êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü, ñîñòîÿùóþ èç ñëîâ è ñèìâîëà x, òàêóþ, ÷òî åñëè êàæäîå
âõîæäåíèå x â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìåíèòü îäíèì è òåì
æå èìåíåì íåêîòîðîãî ïðåäìåòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðîäà, òî â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ âûñêàçûâàíèå. Íàïðèìåð, êàæäîå èç
ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé åñòü ïðåäèêàò îò x:
5 äåëèò x; õ
2
+x+1 > 0; x ëþáèò Äæîíà; õ
2
=2; 0 < x.
Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü èíòóèòèâíûé ïðèíöèï
àáñòðàêöèè.
Ëþáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå
ìíîæåñòâî A òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A ÿâëÿþò-
ñÿ òå è òîëüêî òå ïðåäìåòû à, äëÿ êîòîðûõ P(a) åñòü èñòèííîå
âûñêàçûâàíèå.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ,
ðàâíû, òî ëþáîé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò â òî÷íîñòè îäíî, âïîëíå
îïðåäåëåííîå, ìíîæåñòâî, îáû÷íî îáîçíà÷àåìîå â ìàòåìàòèêå ÷åðåç
{x | P(x)}, ÷òî ÷èòàåòñÿ òàê: «ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî P(x)».
Òàêèì îáðàçîì, a∈ {x | P(x)} â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè P(a)
èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå âîïðîñà, ÿâëÿ-
åòñÿ ëè äàííûé ïðåäìåò a ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà {x | P(x)}, åñòü
ðåøåíèå âîïðîñà, îáëàäàåò ëè a íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ñâîéñòâîì
(êà÷åñòâîì). Ïîýòîìó, êîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà
A èñïîëüçóþò êàêîé-íèáóäü ïðåäèêàò P(x), åãî îáû÷íî íàçûâàþò
îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì ìíîæåñòâà A.  òàêîì ñëó÷àå ïðèíöèï
àáñòðàêöèè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå óòâåðæäåíèÿ: «Êàæäîå
ñâîéñòâî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî».
Ââåäåíèå â îáðàùåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ
îïðåäåëÿþùèõ èõ ñâîéñòâ ïðîöåäóðà, õîðîøî èçâåñòíàÿ èç
àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Íàïðèìåð, îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2 íà
ïëîñêîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ
x, ÷òî x íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè â äâå åäèíèöû îò íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìíîæåñòâà,
îïðåäåëåííûå ïîñðåäñòâîì íåêîòîðûõ ñâîéñòâ:
A ={x | x ∈ N, x < 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};