200 201
x,y∈R, çàäàåò îòíîøåíèå «áîëüøå» íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë; ïîäñòàâèâ â íåãî çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì âûñêàçûâàíèÿ, íàïðè-
ìåð: 5>2=T, 6,8>10=F. Åñëè â ïðåäèêàò P(x,y): x>y ïîäñòà-
âèòü çíà÷åíèå y=0, ïîëó÷èì îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò: x>0, êîòîðûé
çàäàåò ñâîéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áûòü (èëè íå áûòü) áîëüøå
íóëÿ è îïðåäåëÿåò ïîíÿòèå «ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà».
Íà ìåñòî ïåðåìåííîé â ïðåäèêàò ìîæíî ïîäñòàâèòü ôóíêöèþ, îïðå-
äåëåííóþ íà ïðåäìåòíîé îáëàñòè ïðåäèêàòà è ïðèíèìàþùóþ çíà÷å-
íèÿ â ýòîé îáëàñòè. Íàïðèìåð, åñëè â ïðåäèêàò P(x,y) ïîäñòàâèòü
íà ìåñòî x ôóíêöèþ f(u,v)=u+v, ïîëó÷èì íîâûé ïðåäèêàò:
R(f(u,v),y): u+v>y, îïðåäåëÿþùèé îòíîøåíèå ìåæäó ñóììîé
äâóõ ÷èñåë è òðåòüèì ÷èñëîì.
Äðóãîé ïðèìåð äâóìåñòíîãî ïðåäèêàòà: S(x,y): «x ðîäèëñÿ â y
ãîäó», ãäå x∈{ëþäè}, y∈N. Ïðåäèêàò S(x,y) çàäàåò îòíîøåíèå íà
ìíîæåñòâå ëþäåé è ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë. Ïðè çàìåíå y íà îáúåêò
èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, y=1814, ïîëó÷èì îäíîìåñòíûé
ïðåäèêàò S(x,1814), îïðåäåëÿþùèé ñâîéñòâî: «÷åëîâåê x ðîäèëñÿ â
1814 ãîäó». Ïðè çàìåíå îáåèõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì âûñêàçûâàíèå,
íàïðèìåð, «Ëåðìîíòîâ ðîäèëñÿ â 1814 ãîäó».
Òàêèì îáðàçîì, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò çàäàåò íåêîòîðîå áèíàðíîå
îòíîøåíèå íà çàäàííûõ ìíîæåñòâàõ, ïðè÷åì ïðè çàìåíå îäíîé
ïåðåìåííîé ìåñòíîñòü ïðåäèêàòà ïîíèæàåòñÿ (äâóìåñòíûé ïðåäèêàò
ñòàíîâèòñÿ îäíîìåñòíûì), à ïðè çàìåíå îáåèõ ïåðåìåííûõ íà
ïðåäìåòíûå ïîñòîÿííûå îí îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå.
 îáùåì ñëó÷àå n-ìåñòíûé ïðåäèêàò îïðåäåëÿåò n-ìåñòíîå îòíîøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 12.2. N-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì, îïðåäåëåííûì íà
ìíîæåñòâàõ Ì1, Ì2,, Ìn, íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå
îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå ïðè çàìåíå êàæäîé ïðåäìåòíîé ïåðå-
ìåííîé íà ýëåìåíò èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Åñëè âñå ïðåäìåò-
íûå ïåðåìåííûå îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, òî
ïðåäèêàò íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì.
Ïðèìåðû.
R(x,y, z, t): «x ðîäèëñÿ â y ãîäó â ãîðîäå z, èìååò îáðàçîâàíèå t»,
x∈{ëþäè}, y∈N, z∈ {ãîðîäà}, t ∈ {íà÷àëüíîå, ñðåäíåå, âûñøåå}.
R(x,y, z, t) íåîäíîðîäíûé ÷åòûðåõìåñòíûé ïðåäèêàò. Îäíîðîäíûé
ïðåäèêàò: Q(x,y, z): «ïàðàëëåëåïèïåä èìååò âûñîòó x, øèðèíó y,
äëèíó z», ãäå x,y, z∈R.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêàÃëàâà 12
12.2. Ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
12.2.1. Îïåðàöèè íàä ïðåäèêàòàìè
Ïðåäèêàò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ
íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå îáúåêòîâ è ïðèíèìàþùóþ äâà çíà÷åíèÿ,
T è F. Ïîýòîìó íàä ïðåäèêàòàìè îïðåäåëåíû âñå áóëåâû îïåðàöèè:
¬ (îòðèöàíèå), & (êîíúþíêöèÿ), ∨ (äèçúþíêöèÿ), → (èìïëèêàöèÿ),
≡ (ýêâèâàëåíòíîñòü), à òàêæå äâå íîâûå îïåðàöèè îïåðàöèè
íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ: ∀ âñåîáùíîñòè è ∃ ñóùåñòâîâàíèÿ.
Åñëè P(x) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñâîéñòâî íà ìíîæåñòâå Ì, òî
ôîðìóëà ∀xP(x) îáîçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: «äëÿ âñÿêîãî ïðåäìåòà
x ∈ Ì ñâîéñòâî P(x) âûïîëíåíî», èëè «âñå x îáëàäàþò ñâîéñòâîì
P(x)». Çíà÷åíèå ôîðìóëû |∀xP(x)| = T (èñòèííî), åñëè ñâîéñòâî P
âûïîëíåíî äëÿ âñåõ îáúåêòîâ èç Ì, è |∀xP(x)| = F (ëîæíî), åñëè
ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò x=a, a∈Ì, äëÿ êîòîðîãî
ñâîéñòâî P íå âûïîëíåíî, ò.å. |P(a)| = F. Íàïðèìåð: åñëè P(x): x
ñìåðòåí, x∈{ëþäè}, òî ∀xP(x) «âñå ëþäè ñìåðòíû» (çíà÷åíèå
ôîðìóëû |∀xP(x)|=T); åñëè P(x):x>0,x∈R, òî ∀xP(x) «âñå
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû» (|∀xP(x)|=F).
Ôîðìóëà ∃xP(x) îçíà÷àåò: «ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí
ïðåäìåò x, îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì P(x)», èëè: «íåêîòîðûå x îáëà-
äàþò ñâîéñòâîì P(x)». Çíà÷åíèå ôîðìóëû |∃xP(x)| = T (èñòèííî),
åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò x= a, a∈Ì, äëÿ êîòîðîãî
ñâîéñòâî P âûïîëíåíî: |P(a)| = T; çíà÷åíèå |∃xP(x)|=F (ëîæíî),
åñëè ñâîéñòâî P íå âûïîëíåíî äëÿ âñåõ îáúåêòîâ èç Ì. Íàïðèìåð:
åñëè P(x):x>0,x∈R, òî ∃xP(x) ýòî âûñêàçûâàíèå: «íåêîòîðûå
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû», òîãäà |∃xP(x)|=T; åñëè P(x):
x ñìåðòåí, x∈{ëþäè}, òî ∃x¬P(x) «ñóùåñòâóþò áåññìåðòíûå
ëþäè» (ëîæíîå âûñêàçûâàíèå).
Åñëè Ì = {a
1
, a
2
, , a
n
} êîíå÷íàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ïðåäèêàòà P(x), òî ôîðìóëû ñ êâàíòîðàìè ìîãóò áûòü âûðàæåíû
÷åðåç êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ:
∀xP(x) = P(a
1
)&P(a
2
) && P(a
n
), ∃xP(x) = P(a
1
) ∨ P(a
2
) ∨∨P(a
n
).
Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîð âñåîáùíîñòè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì
êîíúþíêöèè, à êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåíèåì äèçúþíêöèè
íà áåñêîíå÷íóþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ.
Êâàíòîðû ∀ è ∃ ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåí-
íîñòè (ïî çàêîíàì äå Ìîðãàíà):
¬∀xP(x)≡∃x¬P(x),¬∃xP(x)≡∀x¬P(x).
Íàïðèìåð, åñëè P(x): «x ñìåðòåí», x ∈ {ëþäè}, òî ôîðìóëà ¬∀xP(x)
îáîçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: «íå âñå ëþäè ñìåðòíû», êîòîðîå ýêâèâà-
ëåíòíî âûñêàçûâàíèþ «ñóùåñòâóþò áåññìåðòíûå ëþäè», ò.å.