Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая
Подождите немного. Документ загружается.
/ /,/
U2
U
1Л
р
(о)
1 V 1,2 и 1Л Р(0)
Рис. 4.30
наклон к = o^/cog. Функция, соответствующая частотной ха-
рактеристике Б (рис. 4.31), записывается так:
1 при 0<со<и;
Р{оэ) =
1 — (со — и)/(1
—х) -
(1 —
со)/(1 —х) при к < со< 1;
,0 при
со
< 0 и
оз
> 1.
Если принять такую единичную трапецию за некоторую
вещественную частотную характеристику, то соответствующая
ей переходная /ьфункция определяется интегралом:
к 1
h
(т)
1
(1—<o) sin ют
(1-й)
=
±([
sin
dn
п \ J со
V0
— f
Si
(т) — к Si (ит) +
п (\—
к)
I.
rfco
со
COST —cos
яг
-
/
]. (4.79)
где Si
/ \ f si
sm
сот
€t>
dco—интегральный синус.
о
Значения ft-функций
даны в табл. 4.2. р
Для трапеции с другой р
н
высотой P
ky
основанием оз
2
и точкой излома со
А
= ксо
2
j
(характеристика Л на
рис. 4.31) получим (по
свойствам 2 и 3 об изме-
нении масштабов) $
h (0 = ^ (4.80)
где t = т/со
2
.
со
2
«
Обычно поступают так: сна-
чала характеристику Р (со) при-
близительно разбивают на пря-
молинейные отрезки, при этом
в окрестности экстремумов пря-
молинейные отрезки распола-
гаются параллельно оси со
(рис. 4.32, а). Далее из точек
изломов проводят линии так, что
характеристика оказывается раз-
битой на несколько трапеций,
частично наложенных одна на
другую. Затем эти трапеции
вычерчиваются на другом черте-
же таким образом, чтобы осно-
вание каждой из них легло на
ось со (рис. 4.32, б).
Для всех трапеций опреде-
ляют h
t
(т|), по (4.80) — соот-
ветствующие им hi (t)\ вычерчи-
вают кривые на одном графике;
их знаки должны совпадать со
знаками ординат соответствую-
щих трапеций. Суммируя гра-
фически вычисленные процессы
(рис. 4.32, в), получим h (0 —
= %hi (0-
Можно также характеристи-
ку Р (со) представить линей-
ными отрезками, но распреде-
лить их с лучшим приближени-
ем к кривой и тогда пользо-
ваться методом треугольников,
предложенным А. А. Вороно-
вым 12]. Полученные при пере-
счете значения t
t
из т
г
по (4.80)
могут не совпадать для отдельных трапеций, поэтому прнеис-
пользовании метода трапеций возникает необходимость гра-
фического суммирования составляющих кривых hi (t), что
ухудшает точность результатов. От этого недостатка свобо-
ден метод треугольников.
Представим характеристику Р (со) линейными отрезками
(рис. 4.33), обеспечив возможно лучшее приближение к кри-
Рис. 4.32
вой; отрезки продолжаем до пересечения с осью ординат, при
этом площадь под кривой будет разбита на пять треугольников:
АОВ
7
BCD, DEF, FGH, GHK. Затем каждый из треугольников
заменим другим с основанием, равным проекции основания
данного треугольника на ось со, с высотой, равной стороне,
лежащей на оси Р. На рис. 4.34, a
t
б показана замена Д£>ВС
.на так, чтобы 0
Х
А
Х
= OA и О
х
В
±
= BD.
;
. Из (4.79) при к = О
h (т) = — (s\ х —LZI££LI.\
(
4.81)
л \ х ]
определяют значения Л-функции для единичного треуголь-
ника (со
х
= Н
г
= 1).
Соответствующие значения /j-функции даны в табл. 4.3.
Заметим, что переходный процесс для. треугольной частотной
характеристики описыва-
ется монотонной функцией
времени. Для того чтобы
показать это, продиффе-
рен цир уем (4.81):
dh
dx
2 j sin т
n \ X
+
+
i
sin г
т
cos x
\
)
2
JtT
i
(i
—
cos t). (4.82)
Из полученного выраже-
ния видно, что производ-
ная h' (х) положительна
V /
и обращается в нуль при
значениях т = 2 fax, где
k = О, 1, 2, ...
Переходный процесс
для треугольников, заме-
щающих Р (со), определя-
ют из следующей зависи-
мости: x
h
(fy=Phh (т/оo
h
),
где P
h
— высота;
<о&
—
основание замещающего
треугольника.
Ркс, 4.33
т
X
\
0,0
0. 05
о ,10
0.15
0.20
0, 25
0,30
0,35
0,40
0, 45
0,0
0,000
0
000
0
000
0,000
0,000
0
ООО
0,000
0,000
0
ООО
0,000
0
5
0,138 0
165
0
176
0,184
0,192
0
199
0,207
0,215 0
223
0,231
1
0
0,310
0
326 0
340
0,356
0,371
0
386
0,401
0,417 0
432
0,447
1
5
0,449
0
469
0
494'
0,5J6
0,538
0
560
0,594
0,603
0
617
0,646
2
0
0,572
0 597
0
628
0,655
0,683
0
709
0,681
0,761
0
786
0,810
2
5
0,674
0
705 0
797
0,833
0,867
0
833
0,839
0,891
0
938
0,943
3 0
0,755
0
790
0
828
0,863
0,896
0
928
0,958
0,987
1
013
1,038
3
f
о
0,783
0
853
0
892
0,928
0,963
0
994
1,024
1,050 1
074
1,095
4
0
0,857
0
896
0
938
0,974
1,008
1
039
1,060 1,090
1
107
1,124
4
5
0,883
0
923 0
960
0,997
1,029
1
057
1,080
1,100
1
115
1,129
5
0
0,896
0
936 0
978
0,012
1,042 1
067
1,087
1,103
1
112
1,117
5
5
0,900
0
940 0
986
1,019
1,046
I
067
1,083
1,093
t
095
1,197
6
0
0,904
0
943
0
982
1,013
1,037
1
054
1,065
1,070
1
068
1 ,062
6
5
0,904
0 942
0
980
1,009
1,030
1
043
1,050
1,049
1
043
1,033
7
0
0,904
0
944
0
979
1,006
1,024
1
035
1,037
1,033
1
023
1,009
7
5
0,907
0
945
0
980
1,006
1,019
1
02b
1,025
1,017
1
005
0,989
8
0
0,910
0 951
0
985
1,008
1,020 1
024
1,021
1,012
0
995
0,981
8
5
0,918
0 956
0
989
1,010
1,021
1
022
1,018
1,007
0
992
0,977
9
0
0,924
0 965
0
997
1,016
1,02a
1
025
1,018
1,006
0
992
0,978
9
5
0,932
0
972
1
004
1,022
1,029
I
027
1,019
1,006
0
993
0,982
Ю
0
0,939
0
978
1
009
1,025
1,031
1
027
1,019
1,006
0
993
0,987
Ю
5
0,946
0
985 I
013
1,028
1,033
1
028
1,017
1,005
0
993
0,991
П
0
0,947
0
988
1
015
1,029
1,031
1
025
1,014
1,002
0 993
0,991
11
5
0,949
0
988 1
016
1,027
1,028
1
021
1,010
0,999
0
991
0,989
12
0
0,950
0
988
I
015
1,025
1,024
1
015
1,004
0,994
0
988
0,987
12
5
0,950
0
989
1
013
1,022
1,019 1
010
0,999
0,990
0
986
0,986
13
0
0,950
0
989 1
012
1,019
1,015
1
005
0,994
0,986
0
985
0,987
13
5
0,950
0
990
1
OH
1,017
1,011
1
ООО
0,990
0,983
0
984
0,988
14
0
0,952
0
989
1
Oil
1,016
1,009 0
997
0,988
0,983
0
985
0,991
14
5
0,954
0
990
1
012
1,015
1,008
0
996
0,987
0,985
0
988
0,996
15
0
0,956
0
993
1
012
1,014
1,007 0
995
0,988
0,987
0
991
1,000
15
5
0,959
0
995
1
014
1,014
1,006 0
995
0,989
0,988
0
996
1,004
16
0
0,961
0 997
1
015
1,014
1,006
0
995
0,991
0,992
0
998
1,007
16
5
0,964
0
999 1
016
1,014
1,005
0
995
0,993
0,905
1
002
1,009
17
0
0,965
I
001
1
016
1,013
1,005
0
995
0,994
0,997
1
005
1,010
17
5
0,966
I
002 1
015
1,012
1,003 0
995
0,994
0,998
1
006
1,010
18
0
0,966
1
002
1
015
1,011
1,002
0
995
0,995
1,001
1
008
1,010
18
5
0,966
I
001
1
015
1,009
1,001
0
994
0,995
1,001
1
007
1,009
19
0
0,967
1
000
1
015
1,008
0,998
0
992
0,995
1,001
1
006
1,006
19
5
0,967
1
000
1
014
1,006
0,996
0
991
0,995
1 ,001 I
005
1,004
20
0
0,967
1
000 1
013
1,005
0,995
0
991
0,995
1,001
1
005
1,002
20
5
0,968
1
002
1
012
1,004
0,994
0
991
0,996
1,002
1
004
1,001
21
0
0,968
1
002 1
01!
1,003
0,994
0
992
0,997
1,003
1
004
1,001
21
5
0,969
1
002
1 Oil 1,003
0,99b
0
992
0,999
1,004
1
004
1,001
Таблица
4.2
0, 50
0, 55 0,60
0,65
0,70
0, 75
0,80
0, 85
0,90
0,95
1 ,00
0,000
0,240
0,461
0,665
0,833
0,967
1,061
1,115
1,142
1,138
1,118
1,092
1,051
1,018
0,993
0,974
Q,966
0,966
0,970
0
>975
0,982
0,987
0,993
0,997
0,997
0,997
0,997
0,998
1,000
1,002
1.005
1,008
1,011
1,011
1,012
1,009
1,008
1.006
1,001
0,998
0,996
0,995
0,995
0,996
0,000
0,248
0,476
0,685
0,856
0,985
1,082
1,132
1,152
1,134
1,115
1,083
1,037
1,001
0,975
0,958
0,951
0,949
0,960
0,972
0,985
0,996
1,002
1,006
1,006
1,006
1,006
1,006
1,006
1,006
1,007
1.007
1.008
1,008
1,007
1,005
1,002
0,999
0,995
0,992
0.991
0,991
0,993
0,995
0,000
0,255
0,490
0,706
0,878
1,010
1,100
1,145
1,158
1,134
1,107
1,070
1,021
0,982
0,957
0,944
0,941
0,944
0,961
0,980
0,993
1.007
1,014
1.017
1,019
1.018
1,014
1,010
1.008
1.005
0,002
1,001
1,000
1,001
0,999
0,997
0,997
0,995
0,993
0,992
0,992
0,994
0,997
1,000
0,000
0,259
0,505
0,722
0,899
1,031
1,117
1.158
1.159
1,138
1,098
1,050
1,003
0,946
0,941
0,926
0,935
0,948
0,966
0,987
1,006
1,017
1,027
1,029
1,026
1,019
1,012
1,005
0,999
0,994
0,993
0,993
0,994
0,996
0,997
0,998
0,998
0,998
0,997
0,996
0,995
0,996
0,996
0,995
0,000
0,267
0,519
0,740
0,919
1,042
1,130
1,161
1,160
1,132
1,084
1.032
0,984
0,948
0,927
0,922
0,932
0,951
0,976
1,000
1,020
1.033
1,039
1,037
1,027
1,017
1,005
0,995
0,987
0,983
0,983
0,985
0,990
0,995
0,999
1,002
1,004
1.003
1.004
1,003
1,003
1,001
0,999
0,998
0,000
0,275
0,534
0,758
0,938
1,060
0,142
1,166
1,161
1,127
1,069
1,016
0,956
0,936
0,917
0,911
0,936
0,958
0,990
1,015
1,036
1.046
1.047
1,043
1,025
1,010
0,993
0,982
0,974
0,970
0,976
0,984
0,983
1,001
1,008
1,012
1,014
1,012
1,009
1,005
1,001
0,996
0,993
0,992
0,000
0,282
0,547
0,776
0.956
1,078
1,154
1,171
1,156
1,m
1.053
0,994
0,949
0,920
0*911
0,920
0,944
0,974
1,006
1.033
1,049
1.054
1,048
1.034
1,015
0,995
0,980
0,968
0,96o
0,969
0,978
0,99i
1,003
1,014
1,020
1,023
1,020
1,014
1,006
0,998
0,991
0,986
0,983
0,986
0,000
0,290
0,562
0,794
0,974
1.098
1,164
1,174
1,149
1.099
1,037
0,979
0,934
0,910
0,908
0,927
0,955
0,990
1.023
1,048
1,059
1,058
1,044
1.024
1,000
0,979
0,964
0,98a
0,961
0,97t
0,987
1,003
1,018
1,027
1,030
1,027
1,018
1,007
1,007
0,985
0,979
0,976
0,975
0,988
0,000
0,297
0,575
0,813
0,986
1,113
1,172
1,175
1,141
1,085
1,019
0,962
0,922
0,903
0,909
0,934
0,970
1,006
1,039
1,059
1,063
1,055
1,034
1,010
0,984
0,965
0,955
0,954
0,965
0,981
1,001,
1,019
1.031
1,036
1.032
1,023
1,038
0,993
0,981
0,973
0,972
0,974
0,981
0,997
0,000
0,304
0,593
0,832
1,003
1,125
1.176
1,175
1,131
1,071
1,001
0,951
0,920
0,903
0,915
0,946
0,986
1,023
1,053
1,066
1,062
1,048
1,021
0,994
0,969
0,954
0,950
0,958
0,976
0,997
1,017
1,032
1,039
1,038
1,027
1,013
0,993
0,978
0,969
0,967
0,974
0,990
! ,002
1,013
0,000
0,314
0,603
0,844
1,020
1,133
1,178
1,175
1,118
1,053
0,986
0,932
0,906
0,905
0,925
0,958
1.004
1,041
1,06.1
1,066
1,056
1,033
1.005
0,977
0,958
0,949
0,955
0,970
0,990
1,010
1,030
1,040
1,039
1,028
1,012
0,988
0,979
0,969
0,956
0,973
0,985
1,001
1,016
1,024
X
0,0 0,05
0,10 0,15
0,20 0,25
0.30 0.35 0,40
0,45
22,0
0,971
1,002
1,011
1,002
0,995
0,993
1,000
1,005
1,004
1,000
22,5 0,973
1,002
1,011 1,002 0,996
0,995 1,002 1,006
1,004
0,999
23,0 0,974 1,005 1,011
1,002
0,996 0,997 1,004
1,007
1,003
0,999
23,5 0,975
1,005 1,010 1,002 0,996 0,998 1,004
1,008 1,003
0,998
24,0
0,975 1,005
1,010
1,001 0,996
0,999 1,005 1,007
1,002
0,997
24,5
0,975
1,005
1,009 1,000
0,996
0,999 1,005
1,006
1,001
0,997
25,0
0,975
1,005 1,008 1,000
0,995 0,999
1,005
1,004
1,000
0,996
25,5
0,975
1,005 1,008
0,999 0,995
0,999
1,004
1,003 0,998
0,996
26,0
0,975
1,005 1.007
0,999
0,995
0.999
1.004
1,002
0,997 0,996
Рассмотрим несколько случаев нахождения ординат веще-
ственной частотной характеристики по другим характеристи-
кам системы: амплитудно-фазовой, логарифмическим частот-
ным характеристикам, кривым D-разбиения в плоскости одно-
го параметра системы.
Остановимся на определении Р (<о) по амплитудно-фазовой
характеристике системы.
Передаточная функция замкнутой системы {см. рис. 4.1).
w
gx
{h)
Определим Р (со):
W
{/со)
Р (ш) = Re W
gx
(/со) -
I
+«Ч/й>)
I w (jflo) |
|
1
+ Г
(yo>)
I
(4.83)
cos (a
— f3),
(4.84)
A
t
o)
где a — аргумент вектора
W (/со); [3 — аргумент вектора
El + W (/со)].
Соответствующее построение
приведено на рис. 4.35.
В. В. Солодовниковым раз-
работан метод построения кру-
говой диаграммы для нахонеде
ния линий равного значения
Р (со) = const и Q (со) = const,
т. е. если W (/со) — и (<о) +
+ v (со), то из (4.83) имеем
Продолжение табл.
4.2
0,50
0,55 0.60
0,65
0,70
0,75
0. 80
0,85
0,90
0,95 1.00
0,996
0,996 1,000
0,997 0,997
0,991
0,991
0,997
1,012
1,024
1,029
0,997
1,000 1,004
1,000 0,996
0,992
0,998 1,008
1,022
1,028
1,026
0,998
1,001
1,006
1,001
0,997
0,994
1,002
1,015
1,025
1,027
1,016
0,999
1,002
1,007
1,002
0,998
0,997
1,007 1,017
1,023
1,023 1,002
1,000
1,002
1,008
1,003
0,999
1,000
1,008 1,017
1,015 1,012
0,998
1,000
1,002 1,006
1,003 1,000
1,002
1,008
1,014
1,005
0,995
0,979
1,000
1 ,002
1,004
1,003 1,001
1,003
1,005 1,008
0,991
0,985
0,975
1,000
1,002 .1,002
1,002
1,002
1,004
1,004
1,001
0,986
0,978 0,977
1,000
1,002 1,000
1,001
1,002 1,004
1,002
0,987
0,984
0,977
0,983
w
gx
(/<»)
= Р Н
-I-
IQ Н=-
и
2,
+
и
+ V
2
и
±_Р _ (1+«
— jv) (и
+ jv)
Р(со)-
+
M
+
/V
Q(со)-
или
(Р — 1) и
%
+ (2Р — 1) и + (Р — 1) & + Р = 0; (4.85)
+ 2Qu + Qv
2
— v + Q-= 0. (4.86)
Кривая (4.85) является окружностью, центр которой Р .=
— const лежит на оси абсцисс, так как уравнение не содержит
v; окружности имеют общую точку v ~ 0, м = 1, и =
= —Р(1 — Р). Радиус окружности
# = 0,5 11 — Р|. (4.87)
Соответствующие кривые показаны на рис. 4.36 с указанием
значений Р, для которых эти окружности построены. Анало-
гично находят все ок-
ружности Q = const
(рис. 4.36). Радиус ок-
ружности
Я = 1/[21Q|1. (4.88)
На круговую диаг-
рамму накладывают
кривую W (/со), выпол-
ненную в том же мас-
штабе, и считывают зна-
чения Р (со,), которые
3rn
W(jco)
(
В
О Re wQid)
Рис. 4.35
Таблица
4.3
т
h т
h
т
1 *
* *
0,00
0,00000
0,50
0,158 1,0
0,310
7,0
0,904
01
0,00318
51
0,161
1
0,339
2
0,904
02
0,00637
52
0,164
2
0,36?
4
0,906
03
0,00955
53 0,167
3
0,395
6
0,907
04
0,0127
54
0,171
4
0,422
8
0,909
0,05
0,0159
0,55
0,174
1,5
0,449
8,0
0,911
06
0,0191
56
0,177
6
0,475
2
0,913
07
0,0223
57
0,180
7
0,500
4
0,916
08
0,0254
58
0,183
8
0,525
6
0,919
09
0,0286
59
1,186
9
0,548
8
0,922
0,10
0,0318
0,60
0,189
2,0
0,571
9,0
0,925
11
0,0350
61
0,192
I
0,593
2
0,928
12
0,0382
62
0,195
2
0,615
4
0,931
13
0,0415
63
0,198
3
0,635
6
0,934
14
0,0446
64
0,201
4
0,655
8
0,936
0,15
0,0477
0,65
0,204
2,5
0,674
10,0
0,939
16
0,0509
66
0,208
6
0,691
2
0,941
17
0,0541
67
0,211
7
0,709
4
0,943
18
0,0573
68
0,214
8
0,725
6
0,945
19
0,0604
69
0,217
9
0,740
8
0,946
0,20
0,0637
0,70
0,220
3,0
0,755
11,0
0,947
21
0,0668
71
0,223
1
0,768
11,5
0,949
22
0,0700
72
0,226
2
0,781
12,0
0,950
23
0,0731
73
0,229
3
0,793
12,5
0,950
24
0,0763
74
0,232
4
0,£04
13,0
0,950
0,25
0,0794
0,75
0,235
3,5
0,815
13,5
0,950
26
0,0826
76
0,238
6
0,824
14,0
0,951
27
0,0856
77
0,241
7
0,833
14,5
0,954
28
0,0889
78
0,244
8
0,842
15,0
0,956
29
0,0921
79
0,247
9
0,849
15,5
0,959
0,30
0,0952-
0,80
0,250
4,0
0,856
16,0
0,961
31
0,0984
81
0,253
I
0,862
16,5
0,963
32
0,100
82
0,256
2
0,868
17,0-
0,965
33
0,105
83
0,259
3
0,873
17,5
0,966
34 0,108
84
0,262
4
0,878
18,0
0,966
0,35
0,111
0,85
0,265
4,5
0,882
18,5
0,966
36
0,114
• 86
0,268
6
0,885
19,0
0,966
37
0,117
87
0,271
7
0,888
19,5
0,967
38
0,121
88
0,274
8
0,891
20,0
0,967
39 0,124
89
0,277
9
0,894
21,0
0,968
0,40
0,127
0,90
0,280
5,0
0,895
22
0,971
41
0,130
91
0,283
2
0,899
23
0,973
42
0,133
92
0,286
4
0,901
24
0,975
43
0,136
93
0,289
6
0,902
25
0,975
44
0,139
94
0,292
8
0,903
30
0,980
0,45
0,142
0,95
0,29b
6,0
0,903
40
0,984
46
0,146
96
0,298
2
0,903
50
0,987
47
0,149
97
0,301
4
0,903
100
0,994
48
0,152 98
0,304
6
0,903
120
0,995
49
0,155
99
0,307
8
0,903
соответствуют индексам окружностей сетки, пересекающей
кривую W (/со) в точках, соответствующих частотам о>
£
.
Вещественную частотную характеристику определяют по
логарифмическим частотным характеристикам. Передаточную
функцию разомкнутой системы можно записать через ампли-
туду и фазу:
W
(/со)
- А
(со)
е
/ф
<©>
- А
(со)
[cos
ср (со)
+ /sin
ср (оз)].
(4.89)
г
Если (4.89) подставить в (4.83) и разделить вещественные и
мнимые части, то
р ^ А
2
(со)
+
А (со)
cos
ф
(со)
QH-
А
2
(ш)
+ 2
А
(со) cos
ф (со)
+ I '
А (со) sin
ф
(со)
А
2
(о>) Н-
(to) cos
ф (to)
+1
От \N(j<x>)
-0,05
1
T 1,5j
\ At
r
(4.90)
(4.91)
Рис. 4.36
По этим формулам построены номограммы для определе-
ния Р (о) и О (со) по логарифмическим частотным характери-
стикам. Эти номограммы построены на плоскости, по оси аб-
сцисс которой отложены значения <р, а по оси ординат —
20 lg А (стороны квадрата). На эту плоскость накладывают
ЛАФЧХ разомкнутой системы с указанием частоты. Значения
вещественной частотной (или мнимой) характеристики опреде-
ляют по точкам пересечения нанесенной кривой ЛАФЧХ
с кривыми номограммы. Эти номограммы представлены на
рис. 4.37.
Lm, дБ
%
град
-д20 -ZOO ~260 -260 -ZW -220 -200 ЧдО -160
-№
~120 -ISO
-80 -60 "40 .
Lm, дБ
-320 -300
-
-160 -ISO
-100 -80
-60 -40
(ру град
Рис. 4.37