Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика

Подождите немного. Документ загружается.

ìîå íåñêîëüêèìè äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè (òîêàìè), ðàâíî âåêòîðíîé

ñóììå ïîëåé

, ïîðîæäàåìûõ êàæäûì çàðÿäîì (òîêîì) â îòäåëüíîñòè:

. (3.83)

Çàêîí Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà

Áèî è Ñàâàð ïðîâåëè â 1820 ã. èññëåäîâàíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé, ñîçäà

âàåìûõ òîêàìè, òåêóùèìè ïî òîíêèì ïðîâîäàì ðàçëè÷íîé ôîðìû. Ëàï

ëàñ ïðîàíàëèçèðîâàë ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ïîëó÷åííûå Áèî è Ñà

âàðîì, è óñòàíîâèë çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå çàêîíà

Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà. Ñîãëàñíî ýòîìó çàêîíó ìàãíèòíîå ïîëå ëþáî

ãî òîêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî êàê âåêòîðíàÿ ñóììà (ñóïåðïîçèöèÿ) ïî

ëåé, ñîçäàâàåìûõ îòäåëüíûìè ýëåìåíòàðíûìè ó÷àñòêàìè òîêà. Äëÿ ìàã

íèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåìåíòîì òîêà äëèíîé

, Ëàïëàñ

ïîëó÷èë ôîðìóëó

, (3.84)

ãäå m

— ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, m

=4p ·10

–7

Ãí/ì, ãäå Ãí (ãåíðè)—åäè-

íèöà èíäóêòèâíîñòè, ñì. ðàçä. 3.3.7;

— âåêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ ýëåìåí-

òàðíûì ó÷àñòêîì òîêà è íàïðàâëåííûé â òó ñòîðîíó, â êàêóþ òå÷åò òîê

(ðèñ. 3.21);

— âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò ýëåìåíòà òîêà â òó òî÷êó, â êîòî-

ðîé îïðåäåëÿåòñÿ

; r — ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà.

Âåêòîð

ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, ïðîõî

äÿùåé ÷åðåç âåêòîðû

(êàê ðåçóëüòàò âåêòîð

íîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Íàïðàâëåíèå âåêòîðà

ìîæ

íî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà: êðàò÷àéøèé

ïîâîðîò áóðàâ÷èêà îò

ïðèâåäåò ê ïîñòóïà

òåëüíîìó ïåðåìåùåíèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó

(ñì. ðèñ. 3.21).

Ìîäóëü âåêòîðà (3.84) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæå

íèåì

sin

, (3.85)

ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

131

Ðèñ. 3.21

Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû ïîëåé, êîòîðûå ìîæíî ðàññ÷èòàòü

ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà.

Ïðèìåð 1. Ïîëå ïðÿìîãî òîêà — òîêà, òåêóùåãî ïî òîíêîìó ïðÿìî

ìó ïðîâîäó áåñêîíå÷íîé äëèíû.

Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ ïðÿìîãî òîêà ïðåäñòàâëÿþò ñî

áîé ñèñòåìó îõâàòûâàþùèõ ïðîâîä êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé

(ðèñ. 3.22, à). Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé èíäóêöèè îò ðàññòîÿíèÿ r äî ïðî

âîäà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

. (3.86)

Ïðèìåð 2. Ïîëå êðóãîâîãî òîêà — òîêà, òåêóùåãî ïî òîíêîìó ïðî

âîäíèêó, èìåþùåìó ôîðìó îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R.

Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ êðóãîâîãî òîêà èçîáðàæåíû íà

ðèñ. 3.22, á. Â öåíòðå êðóãîâîãî òîêà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ íàïðàâëåíà

â ñòîðîíó ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè

ê êîíòóðó, ò. å. â ñòîðîíó âåêòîðà

132

Ðèñ. 3.22

. (3.87)

Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ íà îñè êðóãîâîãî òîêà çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ r

äî öåíòðà (ò. O):

(

)

()=

. (3.88)

Ïîëå êðóãîâîãî òîêà ïîäîáíî ïîëþ ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà

(ðèñ. 3.22, â), ïîýòîìó êîíòóð ñ òîêîì è ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà âåäóò ñåáÿ

îäèíàêîâî â ìàãíèòíîì ïîëå (êîòîðîå îêàçûâàåò íà íèõ îðèåíòèðóþùåå

äåéñòâèå).

Ïðèìåð 3. Ïîëå ñîëåíîèäà. Ñîëåíîèä — ïðîâîä, íàâèòûé íà öèëèíä

ðè÷åñêèé êàðêàñ. Ñòðóêòóðà ïîëÿ ñîëåíîèäà êîíå÷íîé äëèíû ïîêàçàíà

íà ðèñ. 3.22, ã è òîæå íàïîìèíàåò ïîëå êðóãîâîãî òîêà (êàê ïîëå íåñêîëü-

êèõ âèòêîâ). Õàðàêòåðèñòèêîé ñîëåíîèäà ÿâëÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ âèòêîâ

nN= l

— ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû.

Â ó÷åíèè îá ýëåêòðîìàãíåòèçìå áîëüøóþ ðîëü èãðàåò âîîáðàæàå-

ìûé áåñêîíå÷íî äëèííûé ñîëåíîèä, ðàâíîìåðíî îáòåêàåìûé òîêîì.

Ó òàêîãî ñîëåíîèäà ïîëå îêàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì è ñîñðåäîòî÷åííûì

âíóòðè ñîëåíîèäà:

BnI= m

. (3.89)

Âíå ñîëåíîèäà ïîëå îòñóòñòâóåò.

Ïðèìåð 4. Òîê — ñîâîêóïíîñòü óïîðÿäî÷åííî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ

ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå. Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà

ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ, ñîçäà

âàåìîãî îòäåëüíûì òî÷å÷íûì çàðÿäîì q, äâèæóùèìñÿ ñî ñêîðîñòüþ

´m

, (3.90)

ãäå

— âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò çàðÿäà â äàííóþ

òî÷êó ïîëÿ; r — åãî ìîäóëü (ðèñ. 3.23). Ìîäóëü

âåêòîðà (3.90) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

sin

, (3.91)

ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

133

Ðèñ. 3.23

Çàêîí Àìïåðà. Ñèëà Ëîðåíöà

Ñîãëàñíî çàêîíó, óñòàíîâëåííîìó Àìïåðîì, íà ýëåìåíò

òîêà I ñî

ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ

äåéñòâóåò ñèëà (ñèëà Àìïåðà):

FI B=´

, (3.92)

ìîäóëü ýòîé ñèëû

lFIB= sin a

, (3.93)

ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

Íàïðàâëåíèå ñèëû Àìïåðà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó áóðàâ÷è

êà: êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò

ïðèâåäåò ê ïîñòóïàòåëüíîìó ïåðåìåùå

íèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó

(ðèñ. 3.24). Íàïðàâ

ëåíèå ñèëû Àìïåðà ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ïî

ïðàâèëó ëåâîé ðóêè: êèñòü ëåâîé ðóêè ðàñïîëî-

æèòü òàê, ÷òîáû ÷åòûðå âûòÿíóòûõ ïàëüöà ðàñïî-

ëàãàëèñü âäîëü òîêà, à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ «âõî-

äèëà» â ëàäîíü. Òîãäà îòîãíóòûé íà 90° áîëüøîé

ïàëåö óêàæåò íàïðàâëåíèå ñèëû.

Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (3.86) è (3.92)

ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñèëó (íà åäèíèöó äëèíû) âçàè-

ìîäåéñòâèÿ äâóõ íàõîäÿùèõñÿ â âàêóóìå ïàðàë-

ëåëüíûõ áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðÿìûõ òîêîâ. Åñ-

ëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òîêàìè b (ðèñ. 3.25), òî êàæ-

äûé ýëåìåíò òîêà I

áóäåò íàõîäèòüñÿ â âîçáóæäàåìîì òîêîì I

ïîëå,

ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ êîòîðîãî

Óãîë ìåæäó ýëåìåíòîì òîêà I

è âåêòîðîì

ïðÿìîé. Òîãäà íà ýëåìåíò

òîêà I

áóäåò äåéñòâî

âàòü ñèëà

dd d

llFIB

Äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó äëèíû,

ïîëó÷àåì:

134

Ðèñ. 3.24

Ðèñ. 3.25

. (3.94)

Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (3.94) óñòàíàâëèâàåòñÿ ýòàëîí ñèëû òîêà

âÑÈ—àìïåð. Àìïåð îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñèëà íåèçìåíÿþùåãîñÿ òîêà, êî

òîðûé, ïðîõîäÿ ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìîëèíåéíûì ïðîâîäíèêàì

áåñêîíå÷íîé äëèíû è íè÷òîæíî ìàëîãî êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåí

íûì íà ðàññòîÿíèè 1 ì îäèí îò äðóãîãî â âàêóóìå, âûçâàë áû ìåæäó ýòè

ìè ïðîâîäíèêàìè ñèëó, ðàâíóþ2·10

–7

Í íà êàæäûé ìåòð äëèíû.

Ñèëà Àìïåðà (3.92) îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò

íà íîñèòåëè òîêà. Îò íîñèòåëåé òîêà äåéñòâèå ñèëû ïåðåäàåòñÿ ïðîâîä

íèêó, ïî êîòîðîìó îíè ïåðåìåùàþòñÿ. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû Àìïåðà

(3.92) ìîæíî íàéòè ñèëó, äåéñòâóþùóþ ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà

îòäåëüíî âçÿòûé äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ

çàðÿä q (ýòà ñèëà íàçûâàåò

ñÿ ñèëîé Ëîðåíöà):

FqB

=´v

. (3.95)

Ìîäóëü ñèëû Ëîðåíöà

FqB

= v sin a

, (3.96)

ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

. Çàðÿä, äâèæóùèéñÿ âäîëü ëèíèé

ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íå èñïûòûâàåò äåéñòâèÿ ñèëû (â ýòîì ñëó÷àå a = 0).

Íàïðàâëåíà ìàãíèòíàÿ ñèëà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè, â êîòî-

ðîé ëåæàò âåêòîðû

. Åñëè çàðÿä ïîëîæèòåëåí, íàïðàâëåíèå ñèëû

ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, êàê äëÿ òîêà (çà ïîëîæèòåëü-

íîå íàïðàâëåíèÿ òîêà ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ

çàðÿäîâ), â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà ñèëà íàïðàâëåíà â ïðîòèâîïî

ëîæíóþ ñòîðîíó. Íà ðèñ. 3.26 ïîêàçàí ïðèìåð îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ

ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùåé íà ïîëî

æèòåëüíûé è îòðèöàòåëüíûé çàðÿäû ñî

ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ (íàïðàâëåí

íîãî îò íàñ).

Ìàãíèòíàÿ ñèëà âñåãäà íàïðàâëåíà

ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ñêîðîñòè çàðÿæåí

íîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó îíà ðàáîòû íàä

÷àñòèöåé íå ñîâåðøàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâóÿ íà çàðÿæåííóþ ÷àñòè

öó ïîñòîÿííûì ìàãíèòíûì ïîëåì, èçìåíèòü åå ýíåðãèþ íåëüçÿ. Ìàãíèò

íàÿ ñèëà ñîçäàåò íîðìàëüíîå óñêîðåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû.

135

Ðèñ. 3.26

Ïðèìåð. Åñëè çàðÿä q äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñî

ñêîðîñòüþ

, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó

, òî ìàãíèòíàÿ ñèëà ñîçäàåò

íîðìàëüíîå óñêîðåíèå, ìîäóëü êîòîðîãî

(3.97)

îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì (a = p/2).

Â ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííûìè ïî ìî

äóëþ ñêîðîñòüþ è íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì, òðàåêòîðèåé ÿâëÿåòñÿ îê

ðóæíîñòü, ðàäèóñ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (1.15): a

= v

/R.

Ñ ó÷åòîì (3.97) íàõîäèì ðàäèóñ

. (3.98)

Ðàäèóñ îêðóæíîñòè çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû, ìàãíèòíîé èíäóê-

öèè ïîëÿ è îòíîøåíèÿ çàðÿäà ÷àñòèöû ê åå ìàññå. Îòíîøåíèå q/m íàçû-

âàåòñÿ óäåëüíûì çàðÿäîì ÷àñòèöû.

Ðàçäåëèâ äëèíó îêðóæíîñòè 2pR íà ñêîðîñòü v, ïîëó÷èì ïåðèîä îá-

ðàùåíèÿ ÷àñòèöû, ò. å. âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå íà îäèí îáîðîò:

. (3.99)

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ïåðèîä îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû íå çàâè-

ñèò îò åå ñêîðîñòè, îí îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî óäåëüíûì çàðÿäîì ÷àñòèöû

è ìàãíèòíîé èíäóêöèåé ïîëÿ (ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ëåæèò â îñíîâå äåéñò

âèÿ öèêëîòðîíà — öèêëè÷åñêîãî óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö).

Ïîòîê è öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè

Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê âåêòîðà

÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ dS ñ íîð

ìàëüþ

ddddF

BnSB SBS=× = =cos a

, (3.100)

ãäå

— íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè (âíåøíÿÿ äëÿ

çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé); a — óãîë ìåæäó âåê

òîðàìè

(ðèñ. 3.27).

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè S ïîòîê âåê

òîðà

(ìàãíèòíûé ïîòîê)

136

Ðèñ. 3.27

BS=

. (3.101)

Åäèíèöåé ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè (ìàãíèòíîãî ïîòîêà) ÿâëÿåò

ñÿ âåáåð (Âá).

Â ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî ëèíèè

íå èìå

þò íè íà÷àëà, íè êîíöà — îíè ëèáî çàìêíóòû, ëèáî óõîäÿò â áåñêîíå÷

íîñòü. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü äîëæåí

áûòü ðàâåí íóëþ (ñêîëüêî ëèíèé âåêòîðà

âõîäèò â çàìêíóòóþ ïîâåðõ

íîñòü, ñòîëüêî æå è âûõîäèò èç íåå). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ìàãíèò

íîãî ïîëÿ è ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S

= 0

. (3.102)

Ýòà ôîðìóëà âûðàæàåò òåîðåìó Ãàóññà äëÿ âåêòîðà

: ïîòîê âåêòî-

ðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ.

Öèðêóëÿöèþ

B ×

âåêòîðà

ïî êîíòóðó

ïðîùå íàéòè íà ïðèìåðå ïîëÿ ïðÿìîãî òîêà

(ñì. ðèñ. 3.22, à). Äëÿ ïðîñòîòû âîçüìåì êîíòóð

ôîðìû êîíöåíòðè÷åñêîé îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r

âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì â îðòîãîíàëüíîé ïðî-

âîäíèêó ïëîñêîñòè (ðèñ. 3.28). Ìàãíèòíàÿ èíäóê-

öèÿ â êàæäîé òî÷êå êîíòóðà (íà ðàññòîÿíèè r îò

ïðîâîäà) íàïðàâëåíà ïî êàñàòåëüíîé ê êîíòóðó

(ñì. (3.86)):

. Òàêèì îáðàçîì,

ll lBB

×= =

dd d

. Öèðêóëÿöèÿ

I×= =

òò

(ãäå

= 2pr

— äëèíà îêðóæíîñòè).

Íà ñëó÷àé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíòóðà è íåñêîëüêèõ òîêîâ ïîëó÷èì

ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:

×=

d m

, (3.103)

ãäå

— àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì. Ïðè

ýòîì òîêè, íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà ïðà

137

Ðèñ. 3.28

âîâèíòîâóþ ñèñòåìó, áåðóòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, òîê ïðîòèâîïîëîæíîãî

íàïðàâëåíèÿ áóäåò îòðèöàòåëüíûì.

Òàêèì îáðàçîì, öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà

ïî íåêîòîðîìó êîíòóðó ðàâíà

àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì, óìíîæåííîé íà

. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î öèðêóëÿöèè âåêòîðà ìàãíèò

íîé èíäóêöèè (â âàêóóìå).

Ñðàâíèì ïîòîê è öèðêóëÿöèþ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî

ïîëåé â âàêóóìå. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (3.10), (3.23), (3.102), (3.103):

ES q

E ×=

= 0

×=

d m

Ñîïîñòàâëåíèå ýòèõ ôîðìóë ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå

è ìàãíèòíîå ïîëÿ èìåþò ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé õàðàêòåð. Èñòî÷íèêàìè

ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû q.Ìàãíèòíîåïîëåíåèìååò

èñòî÷íèêîâ. Öèðêóëÿöèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà

íóëþ; ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî è ìîæåò

áûòü îõàðàêòåðèçîâàíî ïîòåíöèàëîì j. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé

èíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ

êîíòóðîì. Ïîýòîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ íåëüçÿ ïðèïèñàòü ñêàëÿðíûé ïîòåí-

öèàë, àíàëîãè÷íûé ïîòåíöèàëó j ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.

Ïîëå, ó êîòîðîãî öèðêóëÿöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ, íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì

èëè ñîëåíîèäàëüíûì.

Òàêèì îáðàçîì, â òî âðåìÿ êàê ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëü

íî, ìàãíèòíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò íåãî, ÿâëÿåòñÿ âèõðåâûì.

Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òîêà â ìàãíèòíîì ïîëå

Äîïóñòèì, ÷òî ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä ñ

òîêîì ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ âî âíåøíåì ìàã

íèòíîì ïîëå. Ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìî

ùüþ ñêîëüçÿùèõ êîíòàêòîâ ìåæäó êîíöàìè

ïðîâîäà è îñòàëüíûìè ó÷àñòêàìè çàìêíóòîé öå

ïè (ðèñ. 3.29). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàìêíóòàÿ

öåïü îáðàçóåò ïëîñêèé êîíòóð. Âíåøíåå ïîëå

áóäåì ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì è ïåðïåíäèêóëÿð

íûì ê ïëîñêîñòè êîíòóðà.

138

Ðèñ. 3.29

Â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 3.29, íàïðàâëåíèå ïîëÿ è íàïðàâëå

íèå ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè

ê êîíòóðó ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó ìàãíèò

íûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé êîíòóð, ïîëîæèòåëåí è ðàâåí BS (S — ïëî

ùàäü êîíòóðà). Ñèëà

, äåéñòâóþùàÿ íà ïðîâîä â ýòîì ñëó÷àå, íàïðàâëå

íà âïðàâî è èìååò ìîäóëü, ðàâíûé

IBl

. Ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà âïðàâî

íà dx ýòà ñèëà ñîâåðøàåò íàä íèì ïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó

dd d ddAFxIBxIBS I== = =l F

ãäå dS — ïðèðàùåíèå ïëîùàäè êîíòóðà; dÔ — ïðèðàùåíèå ìàãíèòíîãî

ïîòîêà ÷åðåç êîíòóð, êîòîðîå ðàâíî ïîòîêó, «ïåðåñå÷åííîìó» ïðîâîäîì

ïðè åãî äâèæåíèè. Â äàííîì ñëó÷àå dÔ > 0. Ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà

âëåâî ðàáîòà ñèëû

áûëà áû îòðèöàòåëüíîé. Ïðèðàùåíèå ìàãíèòíîãî

ïîòîêà òàêæå áûëî áû îòðèöàòåëüíûì. Òàê ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå ñîâåð

øåííàÿ íàä ïðîâîäîì ðàáîòà ðàâíà ñèëå òîêà, óìíîæåííîé íà ïåðåñå÷åí

íûé ïðîâîäîì ìàãíèòíûé ïîòîê:

ddAI= F

. (3.104)

Äàííîå ñîîòíîøåíèå îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ïðîâîäà ëþáîé

ôîðìû, à òàêæå â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

×òîáû ïîëó÷èòü ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ â ìàãíèòíîì ïîëå ïðè êîíå÷-

íîì ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà, íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ýëåìåíòàðíûå ðàáî-

òû (3.104), ñîâåðøàåìûå íà ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêàõ ïóòè. Â ðåçóëüòàòå

ïîëó÷èì, ÷òî

AI I==

dFDF

, (3.105)

ãäå DÔ — èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî êîíòóð (èëè

ïîòîê, «ïåðåñå÷åííûé» ïðîâîäîì ïðè åãî äâèæåíèè); òîê â ïðîâîäå

ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííûì.

Îòìåòèì, ÷òî ðàáîòà (3.105) ñîâåðøàåòñÿ íå çà ñ÷åò ýíåðãèè âíåøíå

ãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ýòî ïîëå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì), à çà ñ÷åò èñòî÷íèêà

òîêà, ïîääåðæèâàþùåãî ïîñòîÿííîé ñèëó òîêà I.

Ìàãíèòíîå ïîëå â âåùåñòâå

Åñëè â ìàãíèòíîå ïîëå

, ñîçäàííîå â âàêóóìå, ïîìåñòèòü êàêîå-ëè

áî âåùåñòâî, òî ïîëå èçìåíÿåòñÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âñÿêîå âåùå

ñòâî ÿâëÿåòñÿ ìàãíåòèêîì, ò. å. ñïîñîáíî ïîä äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïî

ëÿ ïðèîáðåòàòü ìàãíèòíûé ìîìåíò (íàìàãíè÷èâàòüñÿ). Íàìàãíè÷åííîå

139

âåùåñòâî ñîçäàåò äîïîëíèòåëüíîå ïîëå

B¢

, êîòîðîå ñêëàäûâàåòñÿ ñ ïîëåì

â ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå

rr r

BB B=+¢

. (3.106)

Èñòèííîå (ìèêðîñêîïè÷åñêîå) ïîëå â ìàãíåòèêå ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ

â ïðåäåëàõ ìåæìîëåêóëÿðíûõ ðàññòîÿíèé. Ïîä

ïîäðàçóìåâàåòñÿ óñ

ðåäíåííîå (ìàêðîñêîïè÷åñêîå) ïîëå.

Äëÿ îáúÿñíåíèÿ íàìàãíè÷èâàíèÿ òåë Àìïåð ïðåäïîëîæèë, ÷òî â ìî

ëåêóëàõ âåùåñòâà öèðêóëèðóþò êðóãîâûå òîêè (ìîëåêóëÿðíûå òîêè). Êà

æäûé òàêîé òîê îáëàäàåò ìàãíèòíûì ìîìåíòîì è ñîçäàåò â îêðóæàþùåì

ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå. Â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ ìîëåêóëÿð

íûå òîêè îðèåíòèðîâàíû áåñïîðÿäî÷íûì îáðàçîì, ïîýòîìó îáóñëîâëåí

íîå èìè ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå â ñðåäíåì ðàâíî íóëþ. Âñëåäñòâèå õàîòè

÷åñêîé îðèåíòàöèè ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ îòäåëüíûõ ìîëåêóë ñóììàð-

íûé ìàãíèòíûé ìîìåíò òåëà òàêæå ðàâåí íóëþ. Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî

ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû ìîëåêóë ïðèîáðåòàþò ïðåèìóùåñòâåííóþ

îðèåíòàöèþ â îäíîì íàïðàâëåíèè, âñëåäñòâèå ÷åãî âåùåñòâî íàìàãíè÷è-

âàåòñÿ — åãî ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ñòàíîâèòñÿ îòëè÷íûì îò íó-

ëÿ. Ìàãíèòíûå ïîëÿ îòäåëüíûõ ìîëåêóëÿðíûõ òîêîâ â ýòîì ñëó÷àå óæå

íå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, è âîçíèêàåò ïîëå

B¢

Íàìàãíè÷åíèå âåùåñòâà åñòåñòâåííî õàðàêòåðèçîâàòü ìàãíèòíûì

ìîìåíòîì åäèíèöû îáúåìà. Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò íàìàãíè÷åííîñòüþ

è îáîçíà÷àþò áóêâîé

, (3.107)

ãäå

— ìàãíèòíûé ìîìåíò îòäåëüíîé ìîëåêóëû. Ñóììèðîâàíèå ïðî

èçâîäèòñÿ ïî âñåì ìîëåêóëàì, íàõîäÿùèìñÿ â îáúåìå DV.

Ëèíèè ïîëÿ

B¢

, êàê è ïîëÿ

, ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, ïîýòîìó ïîòîê

ìàãíèòíîé èíäóêöèè

B¢

(à ñëåäîâàòåëüíî, è

) ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ

ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ãàóññà (3.102) ñïðà

âåäëèâà íå òîëüêî äëÿ ïîëÿ â âàêóóìå, íî è äëÿ ïîëÿ â âåùåñòâå.

Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè öèðêóëÿöèþ ïîëÿ

ïî íåêîòîðîìó êîíòóðó,

êðîìå ñóììû ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òîêîâ, ñîçäàþùèõ ïîëå

, íóæíî òàê

æå çíàòü àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ìîëåêóëÿðíûõ òîêîâ, îõâà÷åííûõ ýòèì

êîíòóðîì, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñèò îò

140